2021屆超級全能生高考數(shù)學聯(lián)考試卷(理科)(4月份)(丙卷)(含答案解析)

2021屆超級全能生高考數(shù)學聯(lián)考試卷（理科）（4月份）（丙卷）

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知集合4={xez|-2cxW3},B={x€R|0Wx<4},則力nB=()

A.{%G/?|0<%<3}B.{xGZ|-2<x<4}

C.{-1,0,1,2,3)D.{0,1,2,3}

2.設復數(shù)z=其中，?為虛數(shù)單位)，則z-3=()

A.1B.3C.5D.6

x

4.若sin（7r—a）=—爭且ae（兀號），貝人也（］+］）=（）

A.—在B.—在C.在

366DT

5.途因德紙草書少是世界上最古老的數(shù)學著作只之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包

分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的，是較小的兩份之和，問最小一份

為（）

A.|B.?C.|D.y

3366

6.已知函數(shù)/出加=解媽旨，則下列等式成立的是

A.-弱=/Wi）B.就添去剖=J（ui）

C,就-蝴=-我刻D.-斕=?/!網(wǎng)

7.某幾何體的三視圖下圖所示（在下邊的網(wǎng)格線中，每個小正方形的邊長為1）,則該幾何體的表面

積為（）

A.48B.54C.60D.64

8.雙曲線16y2一巾2/=i（m>o）的一個頂點到它的一條漸近線的距離是右則〃?的值是（）

A.1B.2C.3D.4

9.如圖是某人按打中國聯(lián)通客服熱線10010,準備借助人工臺咨詢本手機的收費情況，他參照以

下流程，撥完10010后，需按的鍵應該是（）

10.已知0<a<b<1,則()

2ab

A.3b<3aB.(Igay<iIgb)C.loga3>logb3D.(|)<(1)

11.設T(x)=|2x-1|,若不等式|a|7(x)N仁+1|-|2￡1-1|對任意實數(shù)￡1工0恒成立，則x的取值

范圍是()

A.(-00,-1]U[2,+00)B.(-00,0]U[1,4-00)

C.[0,1]D.[-1,2]

12.已知三棱錐4-BCD中，CDJ■平面ABC,Rt△ABC中兩直角邊力B=5,AC=3,若三棱錐的體

積為10,則該三棱錐的外接球的表面積為()

A.507rB.25兀C.—D.—

24

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設兩個向量五=(4+3,4-cos?。)，3=(M+sinO),其中。CR,若五=2了，貝哈的最小值為

14.設棱長為1的正方體為圖形G，以6各個面的中心為頂點的正八面體為圖形。2，以各個面的

中心為頂點的正方體為圖形。3,以各個面的中心為頂點的正八面體為圖形。4,…，以此類推.設

正多面體Cn(nGN+)的棱長為即(各棱長相等的多面體稱為正多面體)，則：

(1>1=1，a2-:

(2)當〃為奇數(shù)時，a”=.

15.如果(1+x+x2)(x-a)5(a為實常數(shù))的展開式中所有項的系數(shù)和為0,則展開式中含P項的系

數(shù)為.

16.拋物線/=16X焦點與雙曲線冬一9=1的一個焦點重合，則曲線實軸長為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若B=三,且(a-b+c)(a+b-c)=

(I)求cosC的值；

(11)若￡1=5,求△ABC的面積.

18.如圖，在空間幾何體A-8CDE中，底面BCCE是梯形，且CD〃BE,

CD=2BE=4,Z.CDE=60°,△4DE是邊長為2的等邊三角形.

(1)若F為AC的中點，求證：B/7/平面AOE；

(2)若4C=4,求證：平面ADE1平面8c

19.在2016年6月美國“脫歐”公投前夕，為了統(tǒng)計該國公民是否有“留歐”意愿，該國某中學教

學興趣小組隨機抽查了50名不同年齡層次的公民，調(diào)查統(tǒng)計他們是贊成“留歐”還是反對“留

歐”.現(xiàn)已得知50人中贊成“留歐”的占60%,統(tǒng)計情況如表：

年齡層次贊成“留歐”反對“留歐”合計

18?49歲6

50歲及50歲以上10

合計50

(I)請補充完整上述列聯(lián)表;

(U)請問是否有97.5%的把握認為贊成“留歐”與年齡層次有關(guān)？請說明理由.

參考公式與數(shù)據(jù)：K2-其中n-a+b+c+d

(a+D)(c+dj(a+c)(o+a)

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小題滿分10分)選修4-1幾何證明選講

如圖，A8是00的直徑，BE為圓0的切線，點c為0。上不同于A、8的一點，AZ)為/懿門的平

分線，且分別與BC交于H,與◎。交于。，與BE交于E,連結(jié)跳入CD.

(/)求證：8。平分之燧因

(〃)求證：AH.BH=AE.HC

21.已知橢圓拋物線C2的焦點均在x軸上，G的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各

取兩個點,其坐標分別為(3,-2⑥，(-2,0),(4,-4),(V2,y).

(1)求的，C2的標準方程；

(II)過點M(0,2)的直線/與橢圓G交于不同的兩點A、B,且乙4。8為銳角(其中O為坐標原點)，求直

線/的斜率&的取值范圍.

X=-t

(y=4+4費(I為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方

程為為參數(shù))，以。為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系?

—JL十siiicp

(1)求直線/和曲線G的極坐標方程；

(2)若曲線C2：。=?(。＞0)分別交直線/和曲線。1于點4B,求需.

23.設。，b,。均為正數(shù)，且a+b+c=1.

(1)證明：ab+bc+cawg

(2)若不等式。+尤+《Nt恒成立，求f的最大值.

bca

【答案與解析】

1.答案:D

解析：解：集合4={x6Z|—2<xW3},

B={%eR\0<x<4},

則4nB={xeZ|0SxS3}

={0,1,2,3).

故選：D.

由集合的交集的定義，即可得到所求集合.

本題考查集合的交集的求法，注意運用定義法解題，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：解：復數(shù)z=n~=5(2+i)=%!12=2+i,

師VI?，肝?攵以2-i(2-i)(2+i)5'

則zi=(2+i)(2-i)=5,

故選：C.

利用復數(shù)的運算法則、共枕復數(shù)的性質(zhì)即可得出.

本題考查了復數(shù)的運算法則、共較復數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：A

解析：解：函數(shù)的對稱中心為(-1,2),排除BC,

/(0)=2-3=-1<0,排除。

故選:A.

結(jié)合反比例函數(shù)的對稱性以及函數(shù)值的對應性進行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合反比例函數(shù)的對稱性以及函數(shù)值的對應性利用排除法是

解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析：

已知等式利用誘導公式化簡求出sina的值，根據(jù)a的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa

的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos押值，所求式子利用誘導公式化簡，將cos押值代入

計算即可求出值.

此題考查了誘導公式的作用，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

解：vsin(7r—Q)=sina=——,且aW(匹羊)，

3N

???cosa=—Vl—sin2a=—Jl—(~~)2=-1，

2

vcosa=2COS^-19(py),

all+cosa—+1限

?'?嗎=-』^=-什=-7

則sin《+》=cos^=---

故選8.

5.答案:A

解析：解：設五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)；

則，(a—2d)+(a—d)+Q+(a+d)+(a+2d)=5a=100,:.a=20；

由2(Q+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)；??.24d=Ila,

,55

-'-d=-

所以，最小的1份為a-2d=20-券=J.

o3

故選：A.

設五個人所分得的面包為a-2d,Q-d,a,a+d,a4-2d,(d>0)；則由五個人的面包和為100,

得a的值；由較大的三份之和的,是較小的兩份之和，得”的值；從而得最小的1份a-2d的值.

本題考查了等差數(shù)列模型的實際應用，解題時應巧設數(shù)列的中間項，從而容易得出結(jié)果.

6.答案：D

解析：試題分析：由于給定函數(shù)解析式，因此可以一一驗證，也可以直接利用性質(zhì)來得到。

由于函數(shù)篇=臉』，是偶函數(shù)，那么可知選項。成立。而對于選項4

金

Jte-53!=原點巴J=贏尚學加配不成立。

JJ

選項8中，，購到=懶第營的周期為丁=榭,因此說要使得函數(shù)值重復出現(xiàn)至少增加同爆個單位長度,

因此不成立。

選項C中，顯然不是奇函數(shù)，因此錯誤。

故選D.

考點：本試題主要是考查了函數(shù)的解析式應用。

點評：對于三角函數(shù)來說，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及周期性，來判定結(jié)論的正確與否。一

般的就是要代入解析式證明左邊和右邊相等即可，屬于基礎(chǔ)題。

7.答案：C

解析：

本題考查了利用幾何體三視圖求表面積的應用問題，是基礎(chǔ)題.

由三視圖知該幾何體是底面為矩形的四棱錐，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算它的表面積即可.

解：由三視圖可知：該幾何體是底面為矩形的四棱錐，

如圖所示：

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算它的表面積為

S—S矩形ABCD+SAPAB+2SAPAD+SaCD

111

=3x6+-x6x4+2x-x3x5+-x6x5

222

=60.

故選：C.

8.答案：C

解析：解：根據(jù)雙曲線方程可知a=；,b=~,

4m

所以漸近線為y=±7X-

取:x-y=0,

由于頂點(01)，

,,1

則距離d=丁盍=51

解得巾2=9,

?*,771—3.

故選c.

先根據(jù)雙曲線方程求得4和〃，進而可得漸近線方程和定點坐標，根據(jù)頂點到漸近線的距離等于

進而求得m.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查點到直線的距離公式的運用，考查運

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：D

解析：解：根據(jù)流程圖，因為準備借助人工臺咨詢本手機的收費情況，所以按0.

故選：D.

根據(jù)流程圖，因為準備借助人工臺咨詢本手機的收費情況，所以按0.

本題考查流程圖的作用，正確讀圖是關(guān)鍵.

10.答案:C

解析：解：,-,0<a<b<1,

3a<3%

Iga<Igb<0,可得(，ga)2>(Igb)2；

言〉加可得器，1嗚3>嗨3;

針>(處

綜上可得：只有C正確.

故選：C.

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：A

解析：

本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想，考查恒成立問題，屬于中檔題.

依題意，可得|2x-l]2胃一專言=|1+；1-|2-3,令g(a)=|l+?—|2—；|，利用絕對值

不等式可得9(a)max=3,于是解不等式|2%-1|>3即可得到答案.

解："(xXIZx-ll，

/.|a||2x-1|>|a4-1|-\2a-1|,又Q*0,

令g(a)=|l+p-|2-],

則g(a)W|l+；+2-；|=3,

當0<aW?取等號，

即g(a)max=3,

A|2x-1|>3,即2x-1>3或2x-1<-3,

解得：乂22或％4-1.

?1-x的取值范圍是U[2,+oo).

故選A.

12.答案：A

解析：解：由題意可得：1x|x3x5xCD=10,解得CO=4.

???設該三棱錐的外接球的半徑為R,則(2R)2=42+32+52=50.

???該三棱錐的外接球的表面積=4兀/?2=50兀，

故選：A.

由題意可得：!x：x3x5xCD=10,解得CD.利用長方體的對角線與外接球的直徑的關(guān)系，利用

勾股定理即可得出該三棱錐的外接球的半徑.

本題考查了三棱錐的性質(zhì)、長方體的性質(zhì)、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：一1

解析：解：兩個向量不=(4+3,4—cos?。)，b=+sind),

a=2b>4+3=2〃，A-cos20=^+sinB,

〃=3+cos204-2sin9=4—sin20+2sin0=5—(sm0—l)2,〃€[1,5],

511]-=—=2-->-l,

則"的最小值為一1.

故答案為：-1.

利用向量相等，列出方程，通過三角函數(shù)的有界性求出〃的范圍，然后求解表達式的最值.

本題考查向量平行與函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)三角函數(shù)有界性的應用，考查計算能

力.

14.答案：圣?詈

解析：解：(1)正方體G各面中心為頂點的凸多面體。2為正八面體，

它的中截面(垂直平分相對頂點連線的界面)是正方形，

該正方形對角線長等于正方體的棱長，

所以它的棱長=^=圣

(2)以C2各個面的中心為頂點的正方體為圖形C3是正方體，

正方體面對角線長等于棱長的|，(正三角形中心到對邊的距離等于高的|)，

因此對角線為|X'=爭所以&3=喘=［，

以上方式類推，得&4=患=?，。5=繆=/…’

當〃為奇數(shù)時，斯=(］等，

故答案為：(1)當；(2)(》等?

(1)根據(jù)條件先求出。2，

(2)根據(jù)條件依次求出。3,。4,。5,然后利用歸納推理得到：〃為奇數(shù)時，曲的表達式.

本題主要考查等比數(shù)列得通項公式，以及歸納推理的應用，可以從中找到規(guī)律，分奇數(shù)項、偶數(shù)項

討論，可以求廝通項公式.

15.答案：-5

解析：

本題考查二項式定理的應用，屬于基礎(chǔ)題.

利用賦值法求出“，然后化簡已知表達式，求出項的系數(shù)即可.

解：???(1+x+x2)(x-a)s的展開式所有項的系數(shù)和為(1+1+12)(1一a)5=0,

?-a=1,

???(1+x+x2)(x-a)5=(1+%4-x2)(x-l)5=(%3-1)(%-l)4=x3(x-I)4-(%-l)4,

其展開式中含%4項的系數(shù)為盤(一1)3—以(一1)。=-5.

故答案為-5.

16.答案:2V7

解析：解：拋物線y2=I6x焦點(4,0)與雙曲線5一9=1的一個焦點重合，

可得@2+9=16,解得a=夜,

所以曲線實軸長為：25

故答案為：2小.

求出拋物線的焦點坐標，然后轉(zhuǎn)化求解?即可得到結(jié)果.

本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

17.答案：解：(I)(Q-b+c)(a+b-c)=be可得：a2-(6-c)2=a2-62-c2+2bc=|bc,

:.a2=b2+c2—}bc,

b2+c2-a2_11

???cosA=2bc-14'

???sinA=V1—cos2>l=—,

14

貝kosC=-cosM+8）=-cosAcosB+sinAsinB=——x-+—x—

\,1421427

（D）由（I）可得sinC=V1—cos2C=等，

4^

在AABC中，由正弦定理‘，=-%=白，得：?=喏=苓=8,

sinAstnBsinCsinA2X1

14

則S=-acsinB=-x5x8x—=10V3.

222

解析：（I）已知等式利用平方差公式及完全平方公式變形，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示

出cosC,將得出的關(guān)系式代入求出cosA的值，進而求出sinA的值，由cosC=-cos（4+8）,利用

兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計算即可求出cosC的值；

（口）由sinC,a,sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即

可.

此題考查了余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

18.答案：證明：（1）如圖所示，取D4的中點G,連接FG,GE.

???尸為AC的中點,

GF//DC,S.GF=^DC.

又DC"BE,CD=2BE=4,

EB//GF,且EB=GF,

.??四邊形BFGE是平行四邊形，

???BF//EG.

vEGu平面ADE,BF仁平面ADE,

：.BF〃平面ADE.

（2）取。E的中點H,連接AH,CH.

???△40E是邊長為2的等邊三角形，

???AH1DE,且AH=V3.

在ADHC中，DH=1,DC=4,^HDC=60°

根據(jù)余弦定理可得=DH2+DC2_2DH,DCcos6Qo=12+42_2X1X4x|=13,即HC=

V13.

在△4HC中，AH=靠,WC=V13.AC=4.

所以4c2=4“2+”。2,即4HJ_HC.

因為4HJLDE,AH1HC,且DEu平面8cOf,HCu平面BCDE,DECHC=H,

AH?L平面BCDE.

又4Hu平面ADE,

平面ADEL平面BCDE.

解析：（1）取D4的中點G,連接尸G,GE,證明四邊形BFGE是平行四邊形，得出BF〃EG,從而證

明BF〃平面ADE.

（2）取。E的中點連接AH,CH,證明AH1OE,求出4"=遮，利用余弦定理求得HC,再利用

勾股定理的逆定理判斷AH1HC,證明AHL平面BCDE,從而證明平面4DE_L平面BCDE.

本題考查了平面與平面垂直的證明，以及直線與平面平行的證明問題，也考查了推理與證明能力，

解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

19.答案：解：（I）列聯(lián)表如下：

年齡層次贊成“留歐”反對“留歐”合計

18?49歲20626

50歲及50歲以上101424

合計302050

（n獷=5。黑嘉黑6）。6.46>5.024,

???有97.5%的把握認為贊成“留歐”與年齡層次有關(guān).

解析：

（I）根據(jù)50人中贊成“留歐”的占60%,即可得到列聯(lián)表；

（II）利用公式求得K2,與臨界值比較，即可得到結(jié)論.

本題考查獨立性檢驗知識，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

20.答案：（1）結(jié)合弦切角定理來證明角相等，從而得到平分問題。

（2）利用三角形的相似來得到對應線段的長度之積相等。

解析：試題分析：證明：（I）由弦切角定理知上盛嬲=,￡：疆翩;......2分

由必盛豁;比瞬姒，海凝=左期=

所以左思窿=/颯您，即豳平分汶,.......5分

（口）由（1）可知能=獻.

所以四骸.斯=“斯常，翻1........7分

因為在幽城=2：磁窗，通孤解=心.蹈，

所以盛愚翻繪S感就璘，

所以.±=隹，即4球.齷=澳爵湘.......10分

.翹窿

即：感/螂=/姆初.

考點：本試題考查了幾何證明的知識。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于平分角的求解，可以利用角相等，結(jié)合弦切角定理來得到角相等的

證明，同時利用相似三角形來證明對應邊的乘積相等，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，屬于中檔

題。

2

21.答案：解：（1）設拋物線。2：y2=2px,。羊0）,則?=2p,（x40）,

把四個點（3,-2代），（-2,0）,（4,-4）,（隹當分別代入驗證，

得至火3,—2K），（4,一4）在拋物線上,

?..2p=竽=4,.??拋物線C2的標準方程為：y2=4%.

設橢圓G的標準方程為冬+￡=l（a>b>0）,

把（-2,0）,（或馬分別代入，得：

2

.?橢圓G的標準方程為會+y2=1.

（口）過點M（0,2）的直線/與橢圓G交于不同的兩點A、B,且N40B為銳角（其中。為坐標原點）,

直線x=0不滿足條件，設直線/：y=kx+2,A（x1,y1）,B（x2，y2）*

由［7+'2=1,得(i+41)/+i6kx+12=0,

(y=kx+2

???△=(16fc)2-4x12(1+4k2)>0,

AkG(-oo,-y)U(y,4-oo),①

-16k12

%!4-%2=l+4k29—i+4fc2

???Z710B為銳角,???OA?O^B=+V1V2>o，

xx2

:.0^4-OB=xrx2+yty2=i2++2)(/cx2+2)=(1+/C)%I%2+2kg+x2)+4>0,

???(1+fc2)x+2/cx+4>0,

kJ1+4/c2l+4k2

解得-2<k<2.②

由①②，得一2<k<—曰或曰<k<2.

???直線/的斜率左的取值范圍是（一2,-亨）U（亨,2）.

解析：（I）設拋物線C2：y2=2px,（p豐0）,則?=2P,（%豐0）,把四個點（3,-2K），（-2,0）,（4,-4）,

（或凈分別代入驗證，得到（3,-2回，（4,-4）在拋物線上，由此能求出G，C2的標準方程.

+y22

(口)設直線/：y=kx+2,4(Xi，%),B(x2,y2)>由［彳-二得(1+4k)x+16kx+12=0,

ly=kx+2

由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出直線/的斜率上的取值范圍.

本題考查拋物線、橢圓的標準方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查拋物線、橢