數(shù)學(xué)人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.4空間向量的應(yīng)用（共19張ppt）

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1.4空間向量的應(yīng)用

點的向量表示

如何用向量表示空間中的一個點

如圖1.4-1，在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示我們把向量稱為點P的位置向量.

我們知道，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線l

空間直線的向量表示

如圖1.4-2，a是直線的方向向量，在直線上取=a，設(shè)P是直線上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t，使得

=ta，即=t

如圖1.4-3，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使

=+ta，

將=a代人上式，得

=+t，

空間直線的向量表示

平面的向量表示

一個定點和兩個定方向能否確定一個平面進一步地，一個定點和一個定方向能否確定一個平面如果能確定，如何用向量表示這個平面

如圖1.4-4，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得

=xa+yb.

平面的向量表示

如圖1.4-5，取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y，使

=+x+y.

平面的向量表示

如圖1.4-6，直線L⊥α，取直線的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量(normalvector)，給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·=0}.

由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系

空間中直線、平面的平行

如圖1.4-8，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行;反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以

l1∥l2u1∥u2存在λ∈R，使得u1=λu2.

空間中直線、平面的平行

如圖1.4-9，設(shè)u是直線的方向向量，n是平面α的法向量，l不在α內(nèi)，則

l//αu⊥nu·n=0.

如圖1.4-10，設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則

α//βn1//n2存在λ∈R，使得n1=λn2.

空間中直線、平面的垂直

類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系

如圖1.4-13(1)，設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則

l1⊥l2u1⊥u2u1·u2=0.

空間中直線、平面的垂直

如圖1.4-13(2)，設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的

法向量為n，則

l⊥αu∥n存在λ∈R，使得u=λn

如圖1.4-13(3)，設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則

α⊥βn1⊥n2n1·n2=0.

1.已知平面α的一個法向量是（2，-1,1），α∥β，則下列向量可作為平面β的法向量的是（）

A.（4,2，-2）B.（2,0,4）C.（2，-1，-5）D.（4，-2,2）

課堂練習(xí)

2.已知平面α內(nèi)兩向量a=（1,1,1），b=（0,2，-1），且c=ma+nb+（4，-4,1）,

若c為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）

A.-1,2B.1，-2C.1,2D.-1，-2

課堂練習(xí)

3.設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉=π，則l與α所成的角為（）

A.B.C.D.

課堂練習(xí)

4.已知A（0,1,1），B（0,2,0），C（3,0,0），O（0，0,0），則點O到平面ABC的距離是（）

A.B.C.D.

課堂練習(xí)

5.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3,BC=