江蘇省南通市如皋市2024屆上學(xué)期期初考試押題卷數(shù)學(xué)學(xué)科試題解析

答案第試題解析1．A先將式子化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可解出m,n，進(jìn)而選出答案.由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念有解得故選：A2．C根據(jù)題意確定集合M的元素，進(jìn)而可確定集合M的真子集的個(gè)數(shù)，即得答案.由題意知集合且，則集合M的真子集有，共7個(gè)，故選：C3．C根據(jù)充分必要條件的定義和等比數(shù)列的定義判斷．時(shí)，由得，，，，所以是等比數(shù)列，充分性滿足；反之若是等比數(shù)列，則，，也成等比數(shù)列，所以，即，又，所以，此時(shí)，滿足題意，必要性也滿足，應(yīng)為充要條件．故選：C．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查充分必要條件的判斷，考查等比數(shù)列的判斷，掌握充分必要條件和等比數(shù)列的定義是解題關(guān)鍵．解題方法是充分性與必要性分別進(jìn)行判斷，充分性只要把代入計(jì)算求出即可判斷，而必要性需由數(shù)列是等比數(shù)列求出參數(shù)，因此可由開始的3項(xiàng)成等比數(shù)列求出，然后再檢驗(yàn)對(duì)數(shù)列是等比數(shù)列即可．4．C由條件列式確定參數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算解方程即可.由題意可得，即，解得，令，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，即，解得，故選：C5．B利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過冪指數(shù)為160，求出關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，所以，令，解得所以，所以，∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，故選：B.6．C對(duì)關(guān)系式中的n分奇偶進(jìn)行討論，然后利用求和公式計(jì)算即可.由題意，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成公比為3的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)都為1，由求和公式可得，故選：C本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.7．D先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.8．D利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求的最小值.設(shè)零點(diǎn)為t，則，因此，考慮函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而的最小值為．故選：D.9．AD根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算平均值和方差后比較可得．甲的平均值為，乙的平均值為，A正確，B錯(cuò)誤；甲方差為，乙方差為，甲方差大于乙方差，從而甲標(biāo)準(zhǔn)差大于乙標(biāo)準(zhǔn)差，C錯(cuò)，D正確．故選：AD．10．ACD由圖象求出的值，利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷AB選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).由圖知在圖象上，且為圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，所以，令，得，所以，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD．11．AD代入，可得，可判斷A；項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，求得，可判斷B；比較，可判斷C；計(jì)算，，，可判斷D當(dāng)時(shí)，，A正確．當(dāng)，時(shí)，．所以，故，不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤．因?yàn)椋圆皇沁f增數(shù)列，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，，，所以?，則，所以，，成等比數(shù)列，D正確．故選：AD12．BD根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域不同可判斷選項(xiàng)A不正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B，分離參數(shù)得，只需，即可判斷選項(xiàng)C，是一個(gè)奇函數(shù)加常數(shù)，奇函數(shù)在定義域內(nèi)最大值與最小值之和等于可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)值域?yàn)?，所以與函數(shù)不是相等函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若函數(shù)且的圖象沒有經(jīng)過第二象限，則，解得：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，即，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：函數(shù)，令則，所以是奇函數(shù)，所以，因此，故選項(xiàng)D正確，故選：BD思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.13．根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，利用兩角和的正弦公式求得，再用正弦定理即可求得答案.在△ABC中，，則，故，故由正弦定理得,故答案為：14．8186根據(jù)正態(tài)分布的概率分布原則可得，進(jìn)而求出即可求解.由題意知，，所以，得，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.故答案為：8186.15．根據(jù)A，B是函數(shù)（其中a＞0）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．得到點(diǎn)A，B分別位于分段函數(shù)的兩支上，設(shè)PA與f（x）＝﹣e﹣x相切于點(diǎn)A（x0，y0），由kAP＝f′（x0）＝，解得x0＝a﹣1，再由的最小值為0，得到kPA＝tan45°＝1求解.因?yàn)锳，B是函數(shù)（其中a＞0）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．又開口向下，所以，因?yàn)榈淖钚≈禐?，，所以點(diǎn)A，B分別位于分段函數(shù)的兩支上，設(shè)直線PA與f（x）＝﹣e﹣x相切于點(diǎn)A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝解得x0＝a﹣1，∵的最小值為0，∴，∴kPA＝tan45°＝1，∴=1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案為本題主要考查分段函數(shù)求最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16．由球的表面積公式求解四棱臺(tái)的外接球表面積，并求出側(cè)面積，然后求解即可.當(dāng)取得最小值時(shí)，則球心在正四棱臺(tái)的下底面內(nèi)，為上底面的中心，如圖所示，

由此可得外接球的半徑為，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求側(cè)面的斜高.則側(cè)面的面積，又，所以.故答案為：.17．（1）；（2）證明見解析(1)先求出,再利用求解即可;(2),利用裂項(xiàng)相消法求和,再利用放縮法可得結(jié)論.（1）由,解得或,∵數(shù)列都是正項(xiàng),,,,解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),,當(dāng)時(shí),有,解得,當(dāng)時(shí),,符合,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2),所有裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.18．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).（1）設(shè)和交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）由線面垂直可得線線垂直，再由菱形對(duì)角線垂直可得線面垂直，即可得證；（3）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.（1）設(shè)和交于點(diǎn)，連接，如圖，由于，分別是，的中點(diǎn)，故，∵平面，平面，所以直線平面.（2）在四棱柱中，底面是菱形，則，又平面，且平面，則，∵平面，平面，∴平面.平面，∴.（3）連接，，因?yàn)椋侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，∴為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值?19．（1）（2）（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得的值，結(jié)合A的范圍，可求A的值；（2）利用三角形的面積公式可求的值，從而解得的值，由余弦定理可求的值，由正弦定理可求的值.解：（1）因?yàn)?，可得：，解得：或，為銳角三角形，，；（2），可得，又，可得：，在中，由余弦定理可，，，在中，由正弦定理可知：，可得：.本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20．（1），；（2）.（1）求得的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間上的最大值和最小值.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，.對(duì)分成，兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析，由此求得的取值范圍.（1）的定義域?yàn)?，，令，得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增又，.所以，（2）由題意知：只需，，由（1）知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，①若，則在單減，則只需，即，記，，因?yàn)椋栽跍p，增，而，，所以在恒成立，又因?yàn)?，所以?duì)任意恒成立.②若，，只需，即，解得，綜上，.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式成立的存在性問題，屬于中檔題.21．（1）；（2）證明見解析.（1）根據(jù)動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過的定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線l斜率不存在時(shí)，也過該定點(diǎn)，從而證明直線過定點(diǎn).（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓N內(nèi)切，所以，則，由橢圓定義可知，曲線C是以為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，故，所以曲線C的方程為.（2）①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，即，得.則，因?yàn)?，所?即，直線，所以直線l過定點(diǎn).②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，且，則點(diǎn)，解得，所以直線也過定點(diǎn).綜上所述，直線l過定點(diǎn).本題考查圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.22．（1）見解析；（2）見解析；（3）試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，對(duì)求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷最值，證明結(jié)論，第三問，構(gòu)造函數(shù)=（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而證明結(jié)論.試題解析：