中職數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件（同濟(jì)版）第三章

第三章函數(shù)

知識結(jié)構(gòu)命題趨勢

本章內(nèi)容在歷年真題中出題數(shù)量基本保持在2~4道，考查的知識點主要有：（1）函數(shù)f（x）的定義及求簡單函數(shù)的定義域、值域.（2）單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)的概念和圖像特點，會判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求值、比較函數(shù)值的大小.（3）根據(jù)實際應(yīng)用問題建立函數(shù)關(guān)系式，綜合應(yīng)用分段函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)等知識解決實際問題.第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示知識梳理知識點一函數(shù)的定義

如果在某變化過程中有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，都有唯一確定的y值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x稱為自變量，x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，各x的值對應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱為值域(我們稱用變量敘述的定義為函數(shù)的傳統(tǒng)定義).函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，

B上的映射，此時稱數(shù)集A為定義域，數(shù)集B={f(x)|x∈A}為值域.定義域、對應(yīng)法則、值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素.知識點二函數(shù)的定義域(1)若無特別說明，函數(shù)的定義域是指使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍.(2)函數(shù)定義域的求法.已知函數(shù)解析式，求定義域：①分式形式的函數(shù),分母不等于零;偶次根式被開方式非負(fù);x0中的底數(shù)x不等于零.②分段函數(shù)的定義域是各段中x取值的并集;若f(x)是由多個部分的式子構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各部分有意義的集合的交集.③若f(x)的定義域為[a,b],則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b解出.知識點三函數(shù)的值域函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用什么方法求函數(shù)的值域均應(yīng)考慮其定義域.1

y=kx+b(k≠0)的值域為R.23常見函數(shù)的值域y=x2的值域為{y∈R|y≥0}.

4

知識點四函數(shù)的表示方法列表法圖像法解析法通過列出自變量與對應(yīng)的函數(shù)值的表來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法叫作列表法.如果圖形F是函數(shù)y=f(x)的圖像,則圖像上的任意點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)的關(guān)系式,反之滿足函數(shù)關(guān)系式的點都在圖像上.這種由圖形表示函數(shù)的方法叫作圖像法.如果在函數(shù)y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代數(shù)式來表達(dá)的,這種方法叫作解析式法.典例解析例1

與y=x表示相同函數(shù)的是().解析技巧點撥因為與y=x對應(yīng)法則不同,排除A;與y=x的定義域不同,排除B；實質(zhì)是y=|x|,與y=x的對應(yīng)法則、值域不同,排除C;

與y=x的定義域相同、對應(yīng)法則相同、值域相同,故選D判斷兩個函數(shù)是否相同,要看函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則是否均相同.其中對應(yīng)法則不能僅僅從解析式上考慮,要分析其對應(yīng)法則的本質(zhì).典例解析例2

求下列函數(shù)的定義域:解析

故定義域為

故定義域為

故定義域為

故定義域為技巧點撥求函數(shù)的定義域時,應(yīng)注意以下幾個方面:1234567函數(shù)式是整式時,定義域為R.函數(shù)式含分式時,分母不等于零.函數(shù)式含偶次根式時,被開方數(shù)大于等于零.函數(shù)式含對數(shù)式時,真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1.函數(shù)式含零指數(shù)式時,底數(shù)不等于零,如，則x-1≠0,即x≠1.

實際應(yīng)用題中函數(shù)的定義域還要受實際條件的限制.典例解析例3

求下列函數(shù)的值域:(1)因為f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,所以x=2時，時所以函數(shù)的值域為[-1,0].(2)因為

所以函數(shù)的值域為(-1,1).解析技巧點撥直接觀察法反函數(shù)法配方法換元法不等式法對于一些比較簡單的函數(shù),根據(jù)函數(shù)的定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域.直接求函數(shù)的值域困難時,可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一,即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù),然后通過求函數(shù)的值域,間接地求解原函數(shù)的值域利用幾個重要不等式及推論來求得最值,進(jìn)而求得值域.求函數(shù)的值域,應(yīng)根據(jù)解析式的結(jié)構(gòu)特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒?常見的有:典例解析例4解析此題y=f(x)表達(dá)式滿足直接代入求值的條件,將x分別替換為2,-3,a即可求出相應(yīng)值.技巧點撥第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)知識梳理知識點一函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性的概念

如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1,x2，當(dāng)x1<x2時，有f(x1)<f(x2)，那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(增函數(shù))；當(dāng)x1<x2時，有f(x1)>f(x2)，那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減(減函數(shù)).如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，這個區(qū)間叫作單調(diào)區(qū)間.

2.單調(diào)函數(shù)的圖像增函數(shù)的圖像從左往右呈上升趨勢，減函數(shù)的圖像從左往右呈下降趨勢.知識點一函數(shù)的單調(diào)性知識點一函數(shù)的單調(diào)性3.函數(shù)單調(diào)性證明的一般過程1在指定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量的值x1,x2，且x1<x22作f(x1)-f(x2)，通過因式分解、配方或有理化等手段對差進(jìn)行變形.3判斷f(x1)-f(x2)的符號,由定義得出單調(diào)性.知識點二函數(shù)的奇偶性1.軸對稱和中心對稱的圖形一般地,設(shè)點P(a,b)為平面上任意一點,則點P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為(a,-b),點P(a,b)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(-a,b),點P(a,b)關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(-a,-b).結(jié)論:關(guān)于誰,誰不變;關(guān)于原點都改變.對于函數(shù)圖像,我們有如下的結(jié)論:(1)如果函數(shù)圖像上任意一點P關(guān)于原點的對稱點P'也在函數(shù)的圖像上,那么,函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,原點O稱為這個函數(shù)圖像的對稱中心.(2)如果函數(shù)圖像上任意一點P關(guān)于y軸的對稱點P'也在函數(shù)的圖像上,那么,函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,y軸稱為這個函數(shù)圖像的對稱軸.知識點二函數(shù)的奇偶性2.函數(shù)奇偶性的定義奇函數(shù)偶函數(shù)奇偶性如果對于函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),則這個函數(shù)是奇函數(shù).如果對于函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),則這個函數(shù)是偶函數(shù).如果f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說f(x)具有奇偶性.知識點二函數(shù)的奇偶性3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)y=f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于原點對稱;y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.若f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.奇函數(shù)在其對稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在其對稱的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.123知識點二函數(shù)的奇偶性4.奇偶函數(shù)的判定y=f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于原點對稱;y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.奇函數(shù)在其對稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在其對稱的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.（1）檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.

若定義域不關(guān)于原點對稱,則一定是非奇非偶函數(shù);

若定義域關(guān)于原點對稱,再考察函數(shù)值的關(guān)系.（2）判斷函數(shù)奇偶性的方法定義法若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)為奇函數(shù);若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)為偶函數(shù).圖像法若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，,則f(x)為奇函數(shù);若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,則f(x)為偶函數(shù)。知識點二函數(shù)的奇偶性一般地,在求一個函數(shù)時,如果知道這個函數(shù)的一般形式,可先把所求函數(shù)寫成一般的形式,其中系數(shù)待定,然后根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù),這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間的關(guān)系式的方法稱為待定系數(shù)法.定義首先確定所求問題含待定系數(shù)的函數(shù)解析式;其次根據(jù)恒等條件,列出一組含待定系數(shù)的方程(組);最后解方程(組)或消去待定系數(shù).一般過程5.待定系數(shù)法知識點二函數(shù)的奇偶性

典例解析例1

判斷下列函數(shù)的增減性(1)函數(shù)y=2x-3在R上是________函數(shù);(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________,單調(diào)遞減區(qū)間是________;(3)函數(shù)在(0,+∞)上是___________函數(shù)解析技巧點撥這些初等函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)(實際上還包括三角函數(shù)),可畫出所給函數(shù)的圖像進(jìn)行判斷.(1)增;(2)[1,+∞),(-∞,1];(3)減.熟記常見函數(shù)的單調(diào)性對解題有很大的好處,上述各函數(shù)的圖像如圖3-1所示.典例解析例2討論函數(shù)上的單調(diào)性.在(1,+∞)上任取兩數(shù)因為

，所以

故函數(shù)

上是增函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的證明或者判斷的步驟是:取值作差斷號作結(jié)論解析技巧點撥典例解析解析例3

判斷下列函數(shù)的奇偶性:因為f(x)的定義域是R,關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,又因為所以函數(shù)f(x)=x(x+1)是非奇非偶函數(shù).解析(2)因為f(x)的定義域是R,關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,又因為所以函數(shù)是奇函數(shù).(3)所以函數(shù)f(x)的定義域是[-1,0)∪(0,1],關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.又因為所以函數(shù)

是偶函數(shù).技巧點撥判斷一個函數(shù)是否具有奇偶性的基本步驟如下:(1)先求出函數(shù)的定義域D,如果對于任意的x∈D都有-x∈D(關(guān)于坐標(biāo)原點對稱),則可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性;如果存在某個，但是，即函數(shù)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(-x)與f(x)的大小關(guān)系,若f(-x)=f(x),則函數(shù)為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)然，對于用圖像法表示的函數(shù),可以通過對函數(shù)圖像對稱性的觀察來判斷函數(shù)是否具有奇偶性.典例解析例4解析技巧點撥已知y=f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)時，

求當(dāng)x<0時,f(x)的解析式.當(dāng)x<0時,-x>0.因為當(dāng)x≥0時,

所以又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).故本題中f(x)為奇函數(shù),且f(0)有意義,f(0)=0,即圖像過原點.利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可作答.第三節(jié)一元二次函數(shù)知識梳理1.一元二次函數(shù)的概念及其定義域形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)叫作一元二次函數(shù)，其定義域是R.2.一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線.具體圖像和性質(zhì)如表3-1所列.3.一元二次函數(shù)的解析式形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.（2）頂點式：y=a（x-m）2+n（a≠0），（m，n）為該函數(shù)的頂點坐標(biāo).（3）兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），式中x1，x2為該一元二次函數(shù)的兩個實根.典例解析例1函數(shù)f(x)=ax2+bx+c

圖像的一部分如圖3-2所示,圖像過點A(-3,0),對稱軸方程為x=-1,給出下面四個結(jié)論:

b2>4ac

2a-b=1

a-b+c=0

5a<b

其中正確的是().

圖3-2解析技巧點撥

由函數(shù)f（x）的圖像可知a<0，最大值由于a<0，所以4a<0，4ac-b2<0，故b2>4ac，①正確對稱軸方程為x=-1，即，故2a=b，②錯誤圖像在-1點的函數(shù)值大于0，所以3a-b+c＞0，③錯誤因為2a=b，a<0，故5a<b，④正確選擇B.解決一元二次函數(shù)的圖像問題有兩種方法：①排除法，抓住函數(shù)的特殊性質(zhì)或特殊點；②討論函數(shù)圖像，依據(jù)圖像特征得到參數(shù)間的關(guān)系.例2

若二次函數(shù)y=3x2+bx+c的圖像過原點和點（2,0），則該函數(shù)的最小值為

.

典例解析由題意可知c=0,b=-6，故該函數(shù)的解析式為y=3x2-6x，其最小值為密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法，一般從以下四方面進(jìn)行分析

開口方向?qū)ΨQ軸位置判別式端點函數(shù)值的符號解析技巧點撥典例解析例3

若函數(shù)f（x）=x2+bx+c對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（-x），那么（）. A.f（-2）<f（0）<f（2） B.f（0）<f（-2）<f（2） C.f（2）<f（0）<f（-2） D.f（0）<f（2）<f（-2）由題可知，函數(shù)f（x）的對稱軸方程為

，因為a=1>0，故該函數(shù)圖像開口向上，則對稱軸方程為

.因此，f（0）<f（2）<f（-2）.本題的解題關(guān)鍵是判斷對稱軸的位置，掌握函數(shù)的對稱性.解析技巧點撥第四節(jié)函數(shù)的實際應(yīng)用一個函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，需要用不同的解析式來表示，我們把這種函數(shù)叫作分段函數(shù).求函數(shù)值f（x0）時，首先應(yīng)該判斷x0所屬的取值范圍，然后再把x0代入相應(yīng)的式子中進(jìn)行計算.作分段函數(shù)的圖像時，要在同一個坐標(biāo)系中，分別在自變量的各個不同取值范圍內(nèi)，根據(jù)相應(yīng)的式子作出相應(yīng)部分的圖像.1.分段函數(shù)

2.幾種常見的函數(shù)模型典例解析例6已知分段函數(shù)求函數(shù)f(x)的定義域,計算f(3)-f(-2)+f(1)的值,并作出函數(shù)f(x)的圖像.分段函數(shù)的定義域是自變量的各不同取值范圍的并集.求分段函數(shù)的函數(shù)值f（x0）時,應(yīng)該首先判斷x0所屬的取值范圍,再把x0代入相應(yīng)的解析式中進(jìn)行計算.函數(shù)f