高中數(shù)學(xué)九種方法解決三角函數(shù)最值問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)九種方法解決三角函數(shù)最值問(wèn)題高中數(shù)學(xué)：9種方法解決三角函數(shù)最值問(wèn)題。三角函數(shù)最值問(wèn)題解題9法三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具1:三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng):常涉及的問(wèn)題.這部分內(nèi)容是一札難點(diǎn)；它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及符合應(yīng)用要求較高匚解決這一類問(wèn)題的基本途徑，同求解其他函敷最值一樣，一方面應(yīng)無(wú)分利用三角函數(shù)自身的特殊性〔如有界性等3另一方面還要注宸將求解三角函藪最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)［二法函數(shù)等。最值問(wèn)題.下面就介紹幾種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的方法：若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余拓函數(shù)，切它們次數(shù)是2時(shí)，一般就希要通過(guò)配方或換元將紿定的函教化歸為二院函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.Ml由豺尸=_.2沌_38盯十$的鼠小值為C)._jA.2 B,0 匚.4 D. 6［分析］本題可通過(guò)缶式=1一81K將函數(shù)表達(dá)式化為尸二8一工―-COSJr+2-因含有(3丫1COSK的二鐵.式.可換元.令COSKM-,則一1工工蘭Lr=￡一比十2,配方.得［2/4,,''—1工:工L：當(dāng)t=i時(shí)，即匚dkl時(shí)，>Z二口』選B.倒？求函數(shù)y=5sitiK+ccis2K的最值［分析］E觀察三角的數(shù)名和角.其中一個(gè)為正弦.一個(gè)為余弦.角分別是單角和倍增.斯以光化簡(jiǎn)，使三角函數(shù)的名利角達(dá)到統(tǒng)一。TOC\o"1-5"\h\zf^ \ ^ . (. 5V33=5sinx+(1—2sin2jf)=—2sin2aH-5smaH-l=-2sin—— +——JT- QI 弓弓■,--1<sma<1,sinx=-1,2：=Ztzr——，七七“4=-2x—+—=-62 16 8」 「、，河， 門口33 “sinx=l;.x=2k7U十一，土Ez,外皿=—2x——十 =42 16 8二號(hào)［人林刷南法］V3y=—cos2k+——smx-cosx+1(aeR)例3m沏函數(shù)2 2 當(dāng)函數(shù)￥取得最大值時(shí).求自變量M的集合口［分析］此類問(wèn)題為尸=以皿* 爐內(nèi)的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，它可通

過(guò)降次化筒整理為'=〃地榮+旅8支型求解“TOC\o"1-5"\h\zl+cos2x75sin2x11 _ 511 ./乃 + +1=-cos2x+-sin21十一二一一co$2i+——$in2x2 2 2 4 4 422 2 ,*穴式7T,/3 、 727+—*—+2tor二1h一+k或ejLy_^=-62 6 4三利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中,正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基盅也是最重要的特征一一有界性，利用正隹函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函效最值的最基本方法口2eosx+ly二例4求函數(shù)2c8.1的值域acos工+bTOC\o"1-5"\h\zy= 7［分析］此為 人?￡工一d型的三隹函數(shù)求最值問(wèn)題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解口或者也可先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解口2 17=H //Icoszl<1 工”一.解法一：原函數(shù)變形為 2cos1 ,胃直接得到：尸一或 3cosx-y、Icosx|W1,A?JWL二n〈］解法-1原函數(shù)變形為 不刁 肉-川，”或~3例寫己知函數(shù),k)=2wHsiilR+CMK),求函數(shù)電)的最小正周期和最大值.［分析］在本題的函數(shù)表達(dá)式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，故需設(shè)法通可除次化二次為一次式I再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達(dá)式“m r(/(j)=2sinz+2anzcosx=1-cos2z+sm2x=1+V2i?21一一解： l引:, f3的最小正周期為汗，最大值為1+依，四引入?yún)?shù)法(換元法)

對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有sin^cQSEr與鼠1/匚可笈的函數(shù)r運(yùn)用關(guān)系或(sin2L±cosa)2(sin2L±cosa)2=1±2sinzcosa,注意換元后新變量的取值范圍。W6求南數(shù)產(chǎn)smx+匚口需十由必力解的最大值口sinx+cosj;?=l+2sinxcosa.> .［分析］解：［一「同》一，其中-71忑' ［分析］解：［一「同》一，其中-71忑五利用基本不等觸利用基本不等式照函數(shù)的最值，要合理的拆案項(xiàng)，蹇常數(shù)，同時(shí)嬖注意等號(hào)成立的密件，否則叁陷入誤區(qū)口1 4y= ——+ 例7求函數(shù)卸,二⑶一人的最值口解,?5垃2工+0寸工」+C^+4。+!:一?。?5+匚優(yōu)7+4團(tuán)'工25+2又2二9當(dāng)且應(yīng)當(dāng)gj、=4tai?人即gt工二士后時(shí)，等號(hào)成立，故必由二9A利用南雅密區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性2y、 7=smx+ Ws已知二巨電同，求函數(shù) 小匯的最小值0asina4- ［分析］此題為 如x以三角函數(shù)求最值問(wèn)題，當(dāng)應(yīng)阻汕聲工不能用均值不等式求最值?適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解.sin工二￡［0<7王l\y=￡+1設(shè) ￡,在（口，1）上為減函數(shù)，當(dāng)t=l時(shí),乃m二々七教形結(jié)合由于血.+峰廣1二1,所以從圖形考慮，點(diǎn)（COSES加）在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦國(guó)乳又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問(wèn)題可考慮用幾何方法求鼠例9求函數(shù)2-BSX 的最小值00-皿兀

V= ,［分析I法一，招表達(dá)式改寫成2-as/y可看成連接兩點(diǎn)A2。）與點(diǎn)融混眄切的直線的斜率.由于點(diǎn)（c硼例nx）的軌跡是單位圓的上半圓〔如圖上所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)1使得相應(yīng)的直線斜率最小.役過(guò)點(diǎn)A的切線與半圓相切與點(diǎn)B則上必*了<0i^=tan—="-.可求得6 3忑_JT所以y的最小值為3（此時(shí)3）.法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bco2廬萬(wàn)如（工+夕）（即引入輔助角法）和育界性來(lái)求解。A判別式法sec2冗一tan冗y= 例10求函數(shù) $eJx+tan=的最值口［分析］同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和首數(shù)分離法.secx-tanxtani-tanr+1y= = sec2Altan了tan2x4-tan1+1（v-l）tan2x+b+l）taii苫+卜-1）=0解Ay-l,tan1=0,1二k#e/時(shí)此時(shí)一亓二次方程總有實(shí)數(shù)解

:"二卜十1『—心—『"…(3y-l)(>-3)<0..——.y—3.■TT-"底+了優(yōu)E4Pmim=3TOC\o"1-5"\h\z由產(chǎn)3rtanx=-lr $1 ? ,笈 17=-ntan^=t,.x=k^r^-^=-由3 4 3九赫H觸含缶數(shù)的三角函數(shù)的值域問(wèn)題，需要對(duì)舂收進(jìn)行討論口=-cos2x+cisinx--=-cos2x+cisinx--制口設(shè) 4\(--0<x<-212人用a表示用四的最大值岫公/(1)=-sin2/(1)=-sin2x+flsina--+—.解： 42令￡也曰_,則0<lr式0=/(幻=—d+畫—；+；=—i口a1￡——,2)->1當(dāng)->1當(dāng)2，即"之2g（力在曲1］上遞增,伯 越1）二即0二厘工2時(shí)，國(guó)同在［o