高中數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積和體積公式匯總及例題講解

高中數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積和體積公式匯總及

例題講解空間幾何體的表面積和體積1,多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面枳（S側(cè)）全面積CS全）體積（V）棱柱棱柱直截面周長XIS側(cè)十2s底S底.h二S百微面■h直棱柱chS底■h棱棱錐各側(cè)面積之和S吊］+S底；S底.h正棱錐Ich72棱臺棱臺各側(cè)面面積之和s慎+S上底+s下底（h（S上底十S下底，下運,&F成）正棱臺-(c+cz)h72表中S表示面積，一、c分別表示上,下底面周長，h表斜高，X表示斜高，I表示側(cè)梭長。2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球s便2nrInrInGi+「。1s重2nr(I+r)nr(I+r)n(一+r，i+n(r"1)4nR2VnrJh(即nr31)1nr^hrJ1nh(r21+r1r2+r22)士nR3J表中Kh分別表示母線?高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑,小Q分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑?典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1-一個長方體全面積是20cm\所有棱長的和是24cm,求長方體的對角線長.解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcmtVGm、zcmvIcmTOC\o"1-5"\h\z2（xy+yz+zx）=20 八、依題音得.’ ⑴M屋,缶何?[4（x+y+r）=24 （2）由（2）'得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）—⑴得x'+戶/=16即/-16所以/=4（cm）o點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2.如圖1所示，在平行六面體ABCD—A超CR中，已知AB=5tAD=4,AAi二3,AB±AD,NA】AB=NA】AD=￡。（1）求證：頂點兒在底面ABCD上的射影0在NBAD的平分線上；（2）求這個平行六面體的體積。 _4i//力芳！/圖1解析：（1）如圖2,連結(jié)AQ,圖2則從0_L底面ABCD0作OM_LAB交AB于M,作ON_LAD交AD于N,連結(jié)AMAM由三垂線定得得A/，AB,A；N-LAD0：人州二々AN,/.RtAA.NA^RtAA.MA,.\A1NI=A1NJ從而OM=ONo.,?點。在NBAD的平分線上。(2)：AM=AAgost二3X1二士3 22j,AO=q二三百。co5-2

4又在RtZ\AOA|中，AQJAA；-A02=9-|=|,「從0:ng,平行六面體的體積為尸=辦4上?=30后.題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是M后新，這個長方體對角線的長是( )A.2后B.342 C.6 D.46解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為平1,b=區(qū)。=后,則對角線/的長為仁加+―答案L點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長.TOC\o"1-5"\h\z例4.如圖，三棱柱ABC—AB。中，若&F分別為AB、AC的中點,平面EBG將三棱柱分成體積為%,%的兩部分，那么V"V尸_ 戶解；設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=V產(chǎn)％=ShnVEvF分別為AB、AC的中點， &*',Sref二衿V,=；h(S+lS+^)=2ShV產(chǎn)Sh-V'Sh, A\9:V尸7：5O點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可◎

題型3：錐體的體積和表面積例5.右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是D(A)9n (B)10n(011n (D)12n連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦川、⑦的長度分別等于?/、4括，A：l、A分別為川8、⑺的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦■心⑺可能相交于點加 ②弦月療、⑺可能相交于點N③的最大值為5 ④m的最小值為1其中真命題的個數(shù)為CA.1個B.2個C.3個D,4個用與球心距離為?的平面去截球，所得的截面面積為g則球的體積為BA" B.yk Cm D.也3 5 3點評：本小題重點考查線面垂直,面面垂直,二面角及其平面角，棱鋒的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例6(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐尸刃成了)中，平面內(nèi)門1平面都ci, 〃是等邊三角形，已知」冷二2/。=8r窺無.(I)設(shè)W是改，上的一點，證明：平面A*1平面』勾。；(II)求四棱求人俊m的體積.

(I)證明：在中,由于M=①)=3q/S=4石所以方廳=月加.故勾。18。?又平面PAL)1平面4所3,平面P也門平面Ati(L)=AD,加匚平面ABCD,所以陽1平面23,又仁平面A"辦，故平面A/M1平面/他.(II)解：過尸作PCUZD交M于0,由于平面PAD_1平面ABCD,所以陽1平面上陽心.因此尸。為四棱錐r-AHCi)的高，又△4力)是邊長為4的等邊三角形.因此PO=—x4-2V3.2在底面四邊形國以力中,AH//IX,,Afi=213(',所以四邊形電切是梯形，在母△*加中，斜邊內(nèi)H邊上的高為史二辿，M5此即為梯形的高，所以四邊形AHCD的面積為￡='乎且'竽="?故仁由「324x2追=166.點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理口題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7.ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB

垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC-2,求點B到平面EFC的距離?解：如圖，取EF的中點0,連接GB、GO.CD、FB構(gòu)造三棱錐B—EFG。設(shè)點E到平面EFG的距離為h,BD=4?,EF=2叵，C0=，4點=3后.4GO^ylcO2+GC2=/近y+*=718+4=V22口而GC_L平面ABCD,且GC=20由L麗產(chǎn)七.國，得，*?W?方=! .□ J點評:該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，4EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法,從而簡化了運界0例8,如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)球心0,且與BC,DC分別截于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S2,則必有()A,$i<S] B.Si>S2C.0二& D.a,S工的大小關(guān)系不能確定解：連0A%OB、0C、0D,—Vq_A0D+V—Vq_A0D+VO-ABE+V。-昕口-6EFD=%TFC,而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S柳+S版+5暗0=s檎+Saec+Sef,又面AEF公共，故選C點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度,求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系口題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題例9.(本小題滿分12分)如圖，面ABEF，面ABCD,四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形,ZBAD=ZFAB=90°,BC2;AD,BE^lAFtG、H分另！J是FA、FD的中點。(I)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(IDC.D、E、F四點是否共面？為什么？(HI)iftAB=BE1證明：平面AOE_L平面CDE.解法一；(I)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA.FH=HD.所以GH嗎仞,又BC故GH曲■所以四邊形6CHG是平行四邊形.(II)C.EF四點共面理由如下：由的心及，G是刀的中點知，BEg所以小

日(I)知BG//GH,故/7/共面.又點。在直線FH上…所以C\DyF\下四點共面.(III)連結(jié)EG,由臟8E,比"G及/班090°知力8FG是正方形.故BaLE4由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD.初兩兩垂直，故力〃_L平面必先，因此曰是在平面用鴕內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BGLED.又EOCEA=E,所以8GL平面4?E由(I)知，。/〃86所以劭_1平面ADE.由(II)知辰平面3E故C左平面CDE,得平面4?RL平面C如解法二：由題設(shè)知，用.力&初兩兩互相垂直.如圖，以X為坐標原點，射線為*軸正方向建立直角坐標系A(chǔ)-xyz.(I)設(shè)=a,BG=brBE=cf則由題設(shè)得4(0,0,0),B(a,0,0),CO,b,0),0(0,2bt0),E"0,c)T5(0.0,c),從0,hc).所以，(汨=(o力,o),?。?(o,及o)于是面=圮又點G不在直線宛上.所以四邊形所刑?是平行四邊形.(idaaf、e四點共面,理由如下：由題設(shè)知，下(0.0.20,所以8戶=(-aO?/W =(汽又c星云居hem故廠又網(wǎng)內(nèi)四點共面.(11|)由48超得戶環(huán)所以國二(。03加：二皿。⑶又歷=(也&&.因此濟通=您函?25二4即CHLAE、CH-LAD,又ADV\AE=兒所以CH1.平面ADE.故由陽二平面CDFE,得平面平面CDE.點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意義的問題。考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10.（1）設(shè)是球心。的半徑OF上的兩點,且N