2021屆全國高考數(shù)學(xué)考前保溫?zé)嵘碓嚲?九)附答案解析

2021屆全國高考數(shù)學(xué)考前保溫?zé)嵘碓嚲恚ň牛?/p>

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知全集u=R,A={x\x<0},B={x\x>-1),則集合Q(4nB)=()

A.{x|-1<%<0]B.{x|-1<%<0]

C.[x\x<-1或%>0]D.{x\x<-1或》>0}

2.若iz=(1—i)(l+i),則z=()

A.2iB.0C.—iD.-2i

3.若％,a=x3,b=(|)x,c=logix,則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

4.某臺小型晚會由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在第四位，節(jié)目乙不能排在

第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（）

A.16種B.18種C.24種D.36種

「，一工

5.將正弦曲線y=s譏x經(jīng)過伸縮變換*=5”后得到曲線的方程的周期為（）

（y=3y

A./B.zrC.27rD.37r

6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)考試的成績.老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、

兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績.看后乙對大家說：

我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，貝M）

A.甲可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.甲、丁可以知道對方的成績D.甲、丁可以知道自己的成績

7.空間四邊形4BC。中，M,N分別是AB和CC的中點(diǎn)，AD=BC=6,MN=3垃,則4。和BC所

成的角是（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

8.設(shè)函數(shù)丫=25譏（2%-9（4>0,3>0）的圖象為（；，下面結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)/（%）的最小正周期是2兀

B.圖象C關(guān)于點(diǎn)?,0）對稱

C.圖象C向右平移;個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對稱

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(一上是增函數(shù)

二、多選題(本大題共3小題，共15.0分)

9.已知雙曲線C：1缶>0/>0)與雙曲線0：5―3=1有相同的漸近線，且過點(diǎn)

P(6,4V3)，F(xiàn)i，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則下列說法中正確的有()

A.若雙曲線C上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)0的距離等于16,則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)片的距離為1。

B.若N是雙曲線C左支上的點(diǎn)，且|N&|?|NF2|=32,則A&NF2的面積為16

C.過點(diǎn)(3,0)的直線［與雙曲線C有唯一公共點(diǎn)，則直線/的方程為4%-3y-12=0或4x+3y-

12=0

22

D.過點(diǎn)Q(2,2)的直線與雙曲線」一一丹=1相交于4,B兩點(diǎn)，且Q(2,2)為弦4B的中點(diǎn)，則直

線4B的方程為4x—y—6=0

10.已知向量五=(m,3),石=(2,-4),若位+?)1方，則()

A.m=1或m=—3

B.m=-1或?n=3

C.\a+b\=>/2^\a+b\=y/10

D.Ia+/?I=&或Ia.+b\—y/26

11.港珠澳大橋位于中國廣東省珠江口伶仃洋海域內(nèi)，是中國境內(nèi)一項(xiàng)連接香港、珠海和澳門的橋

隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度和頂尖的建造技術(shù)而聞名世界.2018年10月24日

上午9時(shí)開通運(yùn)營后香港到澳門之間4個(gè)小時(shí)的陸路車程極大縮短.為了解實(shí)際通行所需時(shí)間，隨

機(jī)抽取了n臺車輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示這些車輛的通行時(shí)間(單位：分鐘)都在［35,50］內(nèi)，按通行

時(shí)間分為［35,38),［38,41),［41,44),［44,47),［47,50］五組，其中通行時(shí)間在［38,47)的車輛有182

臺，頻率分布直方圖如圖所示，則()

A.n=200

B.n=280

C.抽取的車輛中通行時(shí)間在［35,38)的車輛有4臺

D.抽取的車輛中通行時(shí)間在［35,38)的車輛有12臺

三、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

12.下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是.(填上正確的序號)

?/(X)=J(尤一1)2,g(x)=x-l

②f(x)=x-l,g(t)=t-1

(3)/(x)=Vx2—1>g(x)-yjx+1-Vx—1

(4)/(x)=x,g(x)=??

13.函數(shù)、=25譏(；兀工+8)(9>0)的部分圖象如圖所示，設(shè)p是圖象的最高點(diǎn)，A,B是圖象與％軸

的交點(diǎn)，則cos乙4PB=.

14.設(shè)函數(shù)/⑺二產(chǎn)(黃：。，若f(f(a))>0,則a的取值范圍為

15.在拋物線/=2py(p>0)上，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為5,貝切=.

16.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面已

半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是cm.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.在△48C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2QCOS(TT+C)+2b=c.

(1)求角4的大小；

(2)若的(學(xué)一。)+25譏(兀-8)=0,且a=V5,試判斷△4BC的形狀，并說明理由.

已知數(shù)列｛｝的首項(xiàng)％.=|,冊+言，，

18.an1=m=12,

(I)證明：數(shù)列｛9—1｝是等比數(shù)列;

an

(口)求數(shù)列｛7｝的前《項(xiàng)和.

19.對甲，乙兩名運(yùn)動員分別在100場比賽中的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

做出甲的得分頻率分布直方圖如圖，列出乙的得分統(tǒng)計(jì)表如下:

分值[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)

場數(shù)10204030

(1)估計(jì)甲在一場比賽中得分不低于20分的概率

(2)判斷甲，乙兩名運(yùn)動員哪個(gè)成績更穩(wěn)定；(結(jié)論不要求證明)

(3)在乙所進(jìn)行的100場比賽中，按表格中個(gè)分值區(qū)間的場數(shù)分布采用分層抽樣法取出10場比賽,

再從這10場比賽中隨機(jī)選出2場進(jìn)一步分析，記這2場比賽中得分不低于10分的場數(shù)為求f的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為平行四邊形，LDAB=60°,AB=2AD,M為4B的中

點(diǎn)，△PAD為等邊

三角形，且平面P4D1?平面ABCD.

(/)證明：PMJLBC；

(口)求二面角。-BC-P的余弦值.

21.以橢圓C；\+^=l(a>b>0)的中心。為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”.已

知橢圓的離心率為當(dāng)，拋物線/=8y的準(zhǔn)線過此橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

(I)求橢圓C及其“伴隨”的方程；

(II)斜率為1的直線沉經(jīng)過拋物線久2=8y的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，求線段MN的長度;

(DI)過點(diǎn)p(o,m)作“伴隨”的切線，交橢圓c于a,B兩點(diǎn)，若耐?布=|,求切線，的方程.

22.設(shè).成拆砥:=帆@＞蹴一黑-：蹣？.

(1)當(dāng)￡=田寸，意感取到極值，求懶的值；

(2)當(dāng)就滿足什么條件時(shí)，典緘在區(qū)間上有單調(diào)遞增的區(qū)間.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：T4={x|xW0},B={x\x>-1},

???nB={x|—1<x<0},

則CudCB)={x\x<-1或x>0},

故選：D.

根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ).

2.答案：D

解析：解：：iz=(1-i)(l+i)=2,?,?z='=-2i

故選：D.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.答案：C

解析：解：：％〉1，???一>1,0<<(1)0=1,logix<logil=0,

-?c<b<a.

故選：C.

根據(jù)x>l即可得出％3>1,0<(|尸<1［。9/<0,從而可得出a,b,c的大小關(guān)系.

本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析：解：由題意如，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的節(jié)目全排列，

故臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有有用“=18種.

故選：B.

由題意知，甲丙的位置固定，節(jié)目乙不能排在第一位，先排乙，再排剩余，然后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理

得到結(jié)果.

本題主要考查排列組合基礎(chǔ)知識，考查分步計(jì)數(shù)原理，特殊元素優(yōu)先安排的原則，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：解：?.?「'=),

=3y

(x—2xr

??)irf

:.|yz=sin2x',即y'=3sin2x',

??.變換后的曲線周期為等=限

故選：B.

根據(jù)坐標(biāo)變換得出變換后的曲線解析式，利用周期公式得出.

本題考查了坐標(biāo)系的伸縮變換，三角函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：由乙不知道自己的成績可知：甲和丙只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好；乙和丁也是一個(gè)優(yōu)

秀一個(gè)良好，

當(dāng)甲知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，但是甲不知道乙丁的成績，

丁知道乙的成績后，能夠知道自己的成績，但是乙不知道甲和丙的成績.但是丁不知道甲丙的成績，

綜上所述，甲，丁可以知道自己的成績.

故選：D.

根據(jù)題意可逐句進(jìn)行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而乙知道甲、丙的成績后仍無法得知

自己的成績，故甲和丙只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好；然后進(jìn)行推理即可

本題考查了簡單的合情推理，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：解：如圖所示：取的中點(diǎn)G,連接GM,GN,空間四邊形/BCD中，AD=BC=6,M、N分

別是4B、CO的中點(diǎn)，

故MG是三角形48。的中位線，GN是三角形CBD的中位線，

故4MGN(或其補(bǔ)角)即為力。與BC所成的角.

△MGN中，MN=3?MG=NG=3,

MG2+NG2=18=MN2,

：.4MGN=90°.

故選B.

8.答案：B

解析：解：?.?函數(shù)y=2s譏(2x-今(4>0,3>0)的圖象為酊

故函數(shù)的最小正周期為學(xué)=兀，故A錯誤；

令％=也求得f(x)=O,可得圖象C關(guān)于點(diǎn)。,0)對稱，故B正確；

圖象C向右平移三個(gè)單位后，得到y(tǒng)=2sin(2x一兀一9=-2sin(2x-$的圖象，

顯然，所得圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C錯誤；

當(dāng)xe區(qū)間(一巳》216(一?),函數(shù)在區(qū)間(一看本)上不是增函數(shù),故。錯誤，

故選：B.

由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+w)的圖象與性質(zhì)以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

9.答案：BD

解析：解：由題意可知，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為立-竺=k(k>0),

將點(diǎn)P(6,4g)代入雙曲線方程，可得k=也

故雙曲線C的方程為百一乃=1,

916

所以a-3,b=4,c=5.

對于選項(xiàng)4由雙曲線的定義可知，HAfFJ-\MF2\\=2a,即|16-|MBI|=6,

解得IMF21=10或IM/y=22,

故選項(xiàng)A錯誤；

對于選項(xiàng)B,若N是雙曲線C左支上的點(diǎn)，則|NFz|-|N0|=6,

2

所以INF】/-2\NF^\■\NF2\+\NF2\=36,

又|NFJL=32,

2

所以|NF/2+\NF2\=36+2X32=100,

2

又IF1F2I=10.所以|NF/2+\NF2\=內(nèi)尸2『=100,

故△&NF2為直角三角形，

所以='NF/?INF2I=：X32=16,

故選項(xiàng)8正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?3,0)為雙曲線C的右頂點(diǎn)，

當(dāng)過點(diǎn)(3,0)的直線，與雙曲線C相切時(shí)，直線，與雙曲線C有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)，的方程為x=3；

當(dāng)直線［與雙曲線C的漸近線平行時(shí)，直線2與雙曲線C有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)直線I的斜率為土，

故直線［的方程為y=±5(X-3),即4x—3y—12=?；?x+3y-12=0.

綜上所述，直線，的方程為％=3或4x-3y-12=0或4x+3y-12=0.

故選項(xiàng)C錯誤；

2222

對于選項(xiàng)。，由題意，雙曲線------—=1即為^—=1,

。2-7匕2-828

設(shè)砥卬月)，B(x,y),則苧一q=i，學(xué)一4=1，

22ZOZo

兩式相減可得，生遐一/二理=0,即a*出包一型口亞3=0,

2828

因?yàn)镼(2,2)為弦4B的中點(diǎn)，

所以XI+》2=4,yi+y2=4,且直線4B的斜率存在，

故舊-&)、4_Ji-")X4_0

所以直線4B的斜率k=手資=4,

xl~x2

故直線AB的方程為y-2=4(%-2),即4x-y-6=0,

故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的定義判斷選項(xiàng)4利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理，可得

△F1NF2為直角三角形，由三角形的面積公式求解，即可判斷選項(xiàng)B；分直線斜率不存在和直線與雙

曲線的漸近線平行兩種情況，分別求解直線，的方程，即可判斷選項(xiàng)G利用“點(diǎn)差法”求出直線48

的斜率，由點(diǎn)斜式求出直線4B的方程，即可判斷選項(xiàng)D.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線位置

關(guān)系的運(yùn)用，“點(diǎn)差法”的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.答案:AC

解析：解：根據(jù)題意，向量五=(?n,3),B=(2,—4),則乞+3=(m+2,—1)，

若@+K)1a>則有+2)+(―1)x3=m2+2m—3=0,

解可得：？n=l或一3,故A正確，B錯誤；

當(dāng)m=l時(shí)，a+b=(3,-1)>貝！1|曰+5|=歷萬=/16

當(dāng)m=-3時(shí)，a+b=(-1,-1)-則|蒼+B|=Vm=夜，

故|方+B|=VI或同，故C正確，力錯誤，

故選：AC.

根據(jù)題意，用m表示丘+石的坐標(biāo)，由向量垂直的判斷方法可得若0+K)la)則有加(僧+2)+(-1)x

3=m2+2m-3=0,解可得m的值，即可得W+3的坐標(biāo)，求出|五+刈的值，即可得答案.

本題考查向量垂直的判斷，涉及向量模和向量坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：AD

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

由頻率分布直方圖得通行時(shí)間在［38,47)對應(yīng)的頻率為0.91,再由通行時(shí)間在［38,47)的車輛有182臺,

能求出小山通行時(shí)間在［35,38)的頻率為0.06,能求出抽取的車輛中通行時(shí)間在［35,38)的車輛數(shù).

解：由頻率分布直方圖得：

通行時(shí)間在［38,47)對應(yīng)的頻率為：1-(0.01+0.02)x3=0.91,

?.?通行時(shí)間在［38,47)的車輛有182臺，

n==200,故A正確，B錯誤；

通行時(shí)間在［35,38)的頻率為0.02x3=0.06,

???抽取的車輛中通行時(shí)間在［35,38)的車輛有：0.06x200=12臺，故C錯誤，。正確.

故選：AD.

12.答案：②

解析：解：要判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，需要從三個(gè)方面來分析，

即：定義域，對應(yīng)法則和值域,

①中兩個(gè)函數(shù)f(x)=|x-1|,g(x)=x-1的對應(yīng)法則不同，

②中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，值域也相同，

③中兩個(gè)函數(shù)的定義域分別為：刀式一1或％21；或兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，

2

④中，/(x)=X的定義域是R，9(久)=亍的定義域是{x|x羊0},所以不是同一個(gè)函數(shù)；

故答案為：②

要判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，需要從三個(gè)方面來分析，即定義域，對應(yīng)法則和值域.

本題考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，在開始學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，注

意要從三個(gè)方面來分析.

13?答案：f

解析：解：由題意作PNJ.X軸于N,由函數(shù)的解析式可知:

A=2即PN=2,

設(shè)乙4PN=a,4NPB=B，

因?yàn)楹瘮?shù)的周期T=4B=e=4,所以4V=1,NB=3,

2

13

所以=tanp=

tana+tanp_5+3

所以tan乙4PB=tan(a+3)=

1-tanatanpi-lx1

所以cos2乙4PB=1----1-=一1,

1+taM乙4PB----1+64-----65

°J解得：COS乙4PB=—.

65

故答案為：叵.

65

利用函數(shù)的解析式求出4通過函數(shù)的周期求出AB,然后利用兩角和的正切函數(shù)求tan乙4PB,再由

COS2Z^APB=石m而即可求cos乙4PB的值.

本題考查三角函數(shù)的解析式的應(yīng)用，兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，

考查分析問題解決問題的能力，考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)

用，屬于中檔題.

14.答案：a>1

解析：解：設(shè)t=f(a),

則不等式等價(jià)為/?)>0,

當(dāng)t>0時(shí)，f(t)=-t2>0不成立，

當(dāng)t<0時(shí)，，由/(t)>0得戶+t>0,

得t>0(舍)或t<-1,

即不等式f(f(a))>0等價(jià)為/(a)=t<-l,

若a>0時(shí)，/(a)=-a2<-1,得a2>1得a>1或a<-1(舍)，

當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)=t<—1得a2+a<-1,

得a2+a+l<0,此時(shí)判別式△=1-4=—3<0,即不等式無解，

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1,

故答案為：a>l.

設(shè)t=/(a),利用換元法轉(zhuǎn)化為/(t)>0,然后求出t的范圍，再次求解不等式即可.

本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的

換元思想.

15.答案6

解析：解：???拋物線/=2py(p>0)上，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為5,

2+巳=5,

2

.??p=6.

故答案為6.

利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查拋物線簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.答案：4

解析：設(shè)球的半徑為r,

4

則6r-itr2=8?rr2+3X—TTr3=^>6r-nr2=8TTr2+4TIr3^^>6r=8+4r=

3

4(cm).

17.答案：(本題滿分12分)

解：(1)在△ABC中，由2acos(7r+C)+2b=c,

可得：-2acosC+2b=c.即：_2以>叱~：)+2b=c,

化簡得匕2+c2-a2=be,即：cosA=

又因?yàn)椋篈e(0,TT),

所以：4=家.??6分

（2）△力BC的形狀為直角三角形，理由如下：

由cos（羊—C）+2sin（n—B）=0,得—si"+2sinB=0,即c=2b,

22

又由余弦定理Q2=b+c-2bccosA9

222

將Q=V5，c=2b代入，可得：3=h4-4b—2bf

解得b=1,c=2,即Q24-ft2=C2,

即△ABC的形狀為直角三角形，得證.…12分

解析：（1）利用誘導(dǎo)公式，余弦定理化簡已知可求cosa=；,結(jié)合范圍2€（0,兀），可求A的值.

（2）利用誘導(dǎo)公式，正弦定理化簡等式可得c=2b,又由余弦定理可求b,c的值，再由勾股定理即可

判斷△ABC的形狀.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，余弦定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：（I）由已知：M+i=巖，

1a+l1.11

?'=n-.=_+-?^―

a

n+i20n22an

又=I.

二數(shù)列｛《-1｝是以;為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列.

Unzz

（口）由（I淡哈-1=1C）"T=費(fèi),

昵=?1，??哈?+&

設(shè)%=3+專+9+…+羨①

則九=蠢+晟+…+?+嘉’②

由①一②得：=#費(fèi)+…+*一號一品=1一專一號'

2

???7；=2—/一/又1+2+3+,“+凡=審.

,數(shù)歹%｝的前幾項(xiàng)和：Sn=2—雷+也羅=的戶一答+崇一募=?宇一贏=1—/一

n

2n+1

解析：（1）化簡廝+1=若構(gòu)造新的數(shù)列｛2一1｝,進(jìn)而證明數(shù)歹此9—1｝是等比數(shù)列.

（2）根據(jù)（1）求出數(shù)歹U｛《-1｝的遞推公式，得出即，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列｛；｝,求出數(shù)列｛；｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)

而求出前n項(xiàng)和治.

此題主要考查通過構(gòu)造新數(shù)列達(dá)到求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和的方法.

19.答案：解：（1）由甲的得分頻率分布直方圖知：

甲在一場比賽中得分不低于20分的概率p=0.048x10+0.024x10=0.72....（2分）.

（2）觀察甲的得分頻率分布直方圖和乙的得分統(tǒng)計(jì)表，

得到甲的成績更穩(wěn)定.…（5分）

（HI）按照分層抽樣法，在[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）

內(nèi)抽出的比賽場數(shù)分別為1,2,4,3,...（6分）

X的取值為0,1,2,...（7分）

。6=。）=尋=卜“（9分）

P（f=l）=等=看，…（10分）

Lio

P（f=2）=旨=*...（11分）

???X的分布列為：

X012

771

P

151515

...（13分）

解析：（1）由甲的得分頻率分布直方圖能求出甲在一場比賽中得分不低于20分的概率.

（2）觀察甲的得分頻率分布直方圖和乙的得分統(tǒng)計(jì)表，得到甲的成績更穩(wěn)定.

（2）由題意知X的取值為0,1,2,分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.

本題考查頻率分布直方圖和頻率分布統(tǒng)計(jì)表的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求

法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用.

20.答案：(/)證明：取AD中點(diǎn)為0,連結(jié)P。、0M、DM,T

由已知得P。平面4BCD,二PO1BC,

/.DAB=90°,AB=2AD,/I_

???△4DM是正三角形，

???OMLAD,二OM_LBC,；.BC_L平面POM,???PMA.BC-,J'、、

X,v

(H)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線。4方向、OM方向、OP

方向?yàn)閤、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)4。=2,則。P=百，BD=2V3,貝加(0,0,b)，B(-1,2A/3,0).C(-3,2A/3,0),

APB=(-1.2A-V3)，BC=(-2,0,0).

???平面DBC的法向量為元=(0,0,1),

設(shè)平面PBC的法向量為布=(x,y,z),

由［沅?竺=0得］一4+275y—V3z=0

Im-BC=0l-2x=0

取y=1，得記=(0,1,2),

__>一、mn22Vs

???cos<m,n>=——=］——=—?

|m||n|Vl+225

.??二面角。-BC-P的余弦值為述.

5

解析：(/)取4。中點(diǎn)為。，連結(jié)P。、OM、DM,通過計(jì)算可得△4DM是正三角形，利用線面垂直的

判定定理即得結(jié)論；

(II)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線。4方向、OM方向、OP方向?yàn)閤、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

所求值即為平面DBC的法向量與平面P8C的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計(jì)算即可.

本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計(jì)算，線線垂直的判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力，

注意解題方法的積累，屬于中檔題.

21.答案:解:(I)橢圓C的離心率為e=工3,即3a2=牝2,

a2

由小=爐+c2f則小=4b2,

設(shè)橢圓C的方程為馬+圣=1,.?.(1分)

拋物線/=8y的準(zhǔn)線方程為y=-2,它與y軸的交點(diǎn)(0,—2)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，

故a=2,

??.b=1,...(2分)

，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為t+%2=1,

4

橢圓C的“伴隨”方程為M+y2=L...(3分)

(II)由拋物線/=8y焦點(diǎn)在(0,2),設(shè)直線m的斜率y=x+2,則時(shí)(右,則)，W(x4,y4),

北2二=".2,整理得：y2-12y+4=0,

由韋達(dá)定理可知：為+、4=12,%3+%4=8,

由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可知：|MN|=%+y4+P=16;.?.(6分)

(HI)由題意知，|m|>1.

易知切線］的斜率存在，設(shè)切線，的方程為y=k％+加，

y=kx+m

*+%2_］，得(N+4)x2+2kmx+m2-4=0...(7分)

{4

設(shè)a,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(/,力),(%2而，

則/+x2=-記7，x1-x2=再z....(8分)

又由，與圓/+y2=1相切，

.?.黑=1,即/=62一1.(9分)

vfcz+l

2222

月,72=(kX［+m)(/cx2+m)=kxx-x2+km{xr+x2)+m=k-+km(-+m=

4(>2―卜2)

H+4'

又小2一卜2=i,

4

???%”=引

于是Xl巾2+%、2=法