遼寧省鞍山市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

鞍山市普通高中2023-2024學(xué)年度高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列如下：1，2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第分位數(shù)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.54．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0 B．1 C． D．1或5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A．130 B．169 C．200 D．2307．已知函數(shù)，若為上的增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知直線，點(diǎn)，記到的距離為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱B．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．若為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．若為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．若，則弦最短長(zhǎng)度為4C．存在以為直徑的圓與相交D．若直線，且點(diǎn)在軸的上方，則11．甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若從甲盒中一次性取出2個(gè)球，記表示取出白球的個(gè)數(shù)，則B．若從甲盒和乙盒中各取1個(gè)球，則恰好取出1個(gè)白球的概率為C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都放回，則恰好得到2個(gè)白球的概率為D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再?gòu)囊液兄腥〕?球，記：從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，則12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且直線平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．直線與直線所成的角記為，則的最小值為C．平面與平面所成的銳二面角記為，則D．平面將正方體分成的兩部分體積之比為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知等邊中，，點(diǎn)在邊上，且，則______．14．已知函數(shù)，．直線與函數(shù)的兩相鄰交點(diǎn)的距離最小值為，則______．15．有6名同學(xué)要分到4個(gè)不同的單位去實(shí)習(xí)，要求每個(gè)單位至少接收1名同學(xué)，則不同的分配方法有______種．16．已知橢圓，直線，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．本小題滿分10分已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，為邊上一點(diǎn)，，且．（1）若，求；（2）若的面積為，求的長(zhǎng)．18．本小題滿分12分已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，，記表示為的前項(xiàng)和．（1）求；若，請(qǐng)寫出的表達(dá)式（不必寫出推導(dǎo)過(guò)程）；（2）求的最小正整數(shù)．19．本小題滿分12分如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為棱中點(diǎn)，且平面．（1）求證：；（2）若，二面角的大小為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑．20．本小題滿分12分為了促進(jìn)某城市旅游產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，該城市一家旅游公司擬推出一款優(yōu)質(zhì)旅游套餐，以下簡(jiǎn)記為“套餐”，已知套餐的成本為800元/份，經(jīng)過(guò)對(duì)有購(gòu)買套餐意向的人群（以下簡(jiǎn)稱為“優(yōu)質(zhì)客戶”）調(diào)查，得到銷售價(jià)格元/份與購(gòu)買套餐的概率之間的關(guān)系如下：約定：每位優(yōu)質(zhì)客戶最多可以購(gòu)買1份套餐，且每位優(yōu)質(zhì)客戶購(gòu)買套餐的概率只與銷售價(jià)格有關(guān)．（1）若銷售價(jià)格元/份，記表示4名優(yōu)質(zhì)客戶購(gòu)買套餐的人數(shù)，求；（2）若優(yōu)質(zhì)客戶有人，該旅游公司銷售套餐的利潤(rùn)為（單位：元），求最大時(shí)，銷售價(jià)格的值．21．本小題滿分12分已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）點(diǎn)在直線上，、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)．22．本小題滿分12分已知函數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）時(shí)，求的極小值點(diǎn)；（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．鞍山市普通高中2023-2024學(xué)年高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)科參考答案一、選擇題：1~5、ACBCD 6~8、CBB 9、BCD 10、BD 11、BCD 12、ABC二、填空題：13、 14、2 15、1560 16、三、解答題：17．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，（2）作，垂足為，則，，∴所以，為Rt，又，且，∴為等邊18解：（1）因?yàn)?，?）由題意，為偶數(shù)時(shí)，由時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，由時(shí)，綜上：的最小正整數(shù)為1712分19：（1）中，為中點(diǎn)，∴，又∴平面平面平面，又平面（2）在Rt中，，∴，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)為平面的法向量，則有，令，得，取為平面的法向量，，解得∴，該三棱錐的表面積記為則，由得綜上：20（1）解：由題意每名優(yōu)質(zhì)客戶購(gòu)買套餐的概率為的取值集合為，且（1）記表示購(gòu)買套餐的人數(shù)，則，（1）時(shí)，，此時(shí)時(shí)，的最大值為（2）時(shí)，，此時(shí)時(shí)，的最大值為（3）時(shí)，，此時(shí)時(shí)，的最大值為（4）時(shí)，，此時(shí)時(shí)，的最大值為綜上：的最大值為，此時(shí)銷售價(jià)格元/份21（1）由題意，可得，∴雙曲線（2）法一：設(shè)直線，代入，得，，則有，直線，直線，由直線、的交點(diǎn)在上得，即：∴恒成立若，將代入得，∴過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)，與題意不符，故舍去∴直線過(guò)定點(diǎn)法二：設(shè)，則設(shè)直線由，得，記，則和是該方程的兩個(gè)根則，由，得，記，則2和是該方程的兩個(gè)根則則直線的斜率∴，令，故直線過(guò)定點(diǎn)22解：（1）時(shí)，令，所以，在上遞減，在上遞增的極小值點(diǎn)為0（也可寫）（2），