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人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)全套試卷練習(xí)(Word版含答案)一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題(難)△中,,∠AB=AC=BCABCBDC=120°且BD=DC,現(xiàn)以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,使角1.如圖,兩邊分別交AB,AC邊所在直線于M,N兩點(diǎn),連接MN,探究線段BM、、MNNC之間的關(guān)系,并加以證明.()如圖,若∠MDN的兩邊分別交AB,AC邊于M,N兩點(diǎn).猜想:BM+NC=MN.延長(zhǎng)11AC到點(diǎn)E,使CE=BM,連接DE,再證明兩次三角形全等可證.請(qǐng)你按照該思路寫出完整的證明過程;()如圖,若點(diǎn)M、N分別是AB、CA的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),其它條件不變,再探究線段22BMMNNC,,之間的關(guān)系,請(qǐng)直接寫出你的猜想(不用證明).1析;()2MN=NC﹣BM.【答案】()過程見解【解析】【分析】(1)延長(zhǎng)AC至E,使得CE=BM并連接DE,根據(jù)△BDC為等腰三角形,△ABC為等邊三角形,可以證得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根據(jù)∠MDN=60°,∠BDC=120°,可證∠MDN=∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,進(jìn)而得到MN=BM+NC.(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的證明方法,先證△BMD≌△CED(SAS),再證△MDN≌△EDN(SAS),即可得出結(jié)論.【詳解】解:()如圖1示,延長(zhǎng)AC至E,使得CE=BM,并連接DE.∵△BDC為等腰三角形,為等邊三角形,△ABC∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又,且∠BDC=120°,BD=DC∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD與△ECD中,BDCD∵M(jìn)BDECD,BMCE∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN=∠NDE=60°,在△DMN與△DEN中,MDDE∵EDN,MDNDNDN∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)如圖②中,結(jié)論:MN=NC﹣BM.理由:在上截取CE=BM.CA∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD=CD∠BDC=120°又,,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠DCE=90°,△BMD△CED在和中BMCE∵M(jìn)BDECD,BDCD∴△BMD≌△CED(),SAS∴DM=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,即:∠MDN=∠NDE=60°,△MDN△EDN在和中NDND∵EDNMDN,NDND∴△MDN≌△EDN(),SAS∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM.【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.2.如圖,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).1PBC6cm/sBC()如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)在線段上由QCACA向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).QP1①若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過秒后,與是否全等,請(qǐng)△BPD△CQP說明理由;QPQ②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?2QCP()若點(diǎn)以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),都B逆時(shí)針沿△ABCPQ△ABC三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇?V7.5Q1BPDCQP/【答案】()①△≌△,理由見解析;②(厘米秒);()點(diǎn)、2PQ80在邊上相遇,即經(jīng)過了秒,點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇.ABPQAB3【解析】【分析】(1)①先求出t=1時(shí)BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根據(jù)∠B=∠C證得△≌△;BPDCQPVV②根據(jù)≠,使△與△BPDCQPCQBD所以==10,再P的時(shí)間即可得到全等,利用點(diǎn)PQ點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度;(2)根據(jù)V>VP,只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn),即點(diǎn)PQ設(shè)運(yùn)動(dòng)P比點(diǎn)多走AB+AC的路程,xQ152x6x220,解方程即可得到結(jié)果.秒,即可列出方程【詳解】()①因?yàn)閠=1(秒),所以BP=CQ=6(厘米)∵AB=20,為中點(diǎn),DAB∴BD=10(厘米)又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD1∵AB=AC,∴∠B=∠C,BPDCQP在△與△中,BPCQBC,PCBDBPDCQPSAS∴△≌△(),VV②因?yàn)椤伲琍QBPCQ所以≠,BC又因?yàn)椤希健希珺PDCQPBPCP8BPD要使△與△全等,只能==,即△≌△,CPQCQBD10故==.BP84PQ所以點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t663(秒),CQ10VQ7.5/(厘米秒).4此時(shí)t3()因?yàn)椋荆荒苁屈c(diǎn)追上點(diǎn),即點(diǎn)比點(diǎn)多走AB+AC的路程VV2QPQPQP15設(shè)經(jīng)過秒后與第一次相遇,依題意得x6x220,xPQ280解得x=(秒)380此時(shí)運(yùn)動(dòng)了6160(厘米)P3ABC56160562+48又因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為厘米,=×,80所以點(diǎn)、在邊上相遇,即經(jīng)過了秒,點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇.PQABPQAB3【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的證明,三角形與動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合的解題方法,再證明三角形全等時(shí)注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是證明的關(guān)鍵.3.(1)1ABCDAB=ADBAD=120如圖:在四邊形中,,∠°,∠B=∠ADC=90°.,EF分別是BCCD且∠EAF=60°.探究圖中線段EF,,BEFD之間的,上的點(diǎn).?dāng)?shù)量關(guān)系.小明同學(xué)探究的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn).使.AG先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,連結(jié),GDG=BE他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論,不需證明);(2)2如圖,ABCDAB=AD若在四邊形中,,∠B+∠D=180EFBCCD°,、分別是,上的點(diǎn),EAFBAD且∠是∠的二分之一,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.(3)3ABCD5如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為的EBF=45正方形,∠°,DEF直接寫出三角形的周長(zhǎng).1EF=BE+DF2310.【答案】().()成立,理由見解析;()【解析】【分析】(1ABEFD到G,使得DG=DC,先證△≌△得到,EAF=GAF△AEFAGF,EF=FGADG,AE=AG1)如圖,延長(zhǎng)BAE=DAG∠∠,進(jìn)一步根據(jù)題意得∠∠,再證明≌△得到,最后運(yùn)用線段的和差證明即可.G.使DG=BE.連結(jié)AG,證得△ABE≌△ADG(2)如圖,得到,2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)AE=AG∠BAE=∠DAG,再結(jié)合題意得到∠EAF=∠GAF,再證明△AEF≌△AGF,EF=FG得到,最后運(yùn)用線段的和差證明即可.3DCGCG=AEBG(3)如圖,延長(zhǎng)到點(diǎn),截取,連接,先證△AEB≌△CGBBE=BG,得到,∠ABE=∠CBG,結(jié)合已知條件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再證明△EBF≌△GBF,得到EF=FG,最后求三角形的周長(zhǎng)即可.【詳解】解答:()解11:如圖,延長(zhǎng)FD到G,使得DG=DCABEADG在△和△中,DCDG∵BADGABAD∴△ABE≌△ADG(),SAS∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,1∵∠EAF=∠BAD,2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,AEF在△和△GAF中,AEAG∵EAFGAF,AFAF∴△AEF≌△AGF(),SAS∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;故答案為:EF=BE+DF.2()解:結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;2FDGDG=BE理由:如圖,延長(zhǎng)到點(diǎn).使.連結(jié)AGABEADG在△和△中,DGBE∵ADG,BABAD∴△ABE≌△ADG(),SAS∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,1∵∠EAF=∠BAD,2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,AEFGAF在△和△中,AEAG∵EAFGAF,AFAF∴△AEF≌△AGF(),SAS∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;()解:如圖,延長(zhǎng)到點(diǎn),截取CG=AE33DCGBG,連接,AEBCGB在△與△中,AECG∵BOGAAFBF,∴△AEB≌△CGB(),SAS∴BE=BG,∠ABE=∠CBG.∵∠EBF=45°,∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBF=45°,∴∠CBF+∠CBG=45°.在△EBF與△GBF中,BEBG∵EBFGBF,BFBF∴△EBF≌△GBF(),SAS∴EF=GF,∴△DEF的周長(zhǎng)=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì),靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵.但本題分為三問,對(duì)提升思維能力大有好處.難度不斷增加,4.如圖,∠BAD=∠CAE=90°,,,AB=ADAE=ACAF⊥CB,垂足為F.()求證:△ABC≌△ADE;∠FAE12()的度數(shù);求3()求證:CD=2BF+DE.12∠【答案】()證明見解析;().FAE=135°;(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件易證∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根據(jù)SAS即可證得△ABC≌△ADE;(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠E=45°,知△BAC≌△DAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BCA=∠E=45°,再求得1由()∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度數(shù);(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,易證△AFB≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS證得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性質(zhì)可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.【詳解】(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE,在△BAC和△DAE中,ABADBACDAE,ACAE∴△BAC≌△DAE(SAS);(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°,由()知△BAC≌△DAE,1∴∠BCA=∠E=45°,∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,在△AFB和△AFG中,BFGFAFBAFG,AFAF∴△AFB≌△AFG(SAS),∴AB=AG,∠ABF=∠G,∵△BAC≌△DAE,∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA,△CGA△CDA在和中,GCADCACGACDA,AGAD∴△CGA≌△CDA,∴CG=CD,∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE.【點(diǎn)睛】3BFG本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),解決第問需作輔助線,延長(zhǎng)到,使得FG=FB,△CGA≌△CDA證得.是解題的關(guān)鍵5.如圖,在ABC中,5,高AD、相交于點(diǎn),BD32CD,且AEBE.OBCBE(1)(2)AO;求線段的長(zhǎng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)OOAAQPP,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)到從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),BCBPP,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,POQ的面積為,請(qǐng)達(dá)點(diǎn)時(shí),ASP用含t的式子表示S,并直接寫出相應(yīng)的的取值范圍;CFBO.是否存在值,使以點(diǎn)(3)(2)t條件下,點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn)且B,O,P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,Q為頂點(diǎn)的三角形全等t;t在的AC?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的值若不存在,請(qǐng)說明理由.QD24t,t的取值范圍是【答案】();()①當(dāng)點(diǎn)在線段BD上時(shí),152Q0t11;②當(dāng)點(diǎn)在射線DC上時(shí),,,的取值范圍是;()t542ttQQD3225t1或.存在,3【解析】【分析】1AOEBCE()只要證明△≌△即可解決問題;2QBDQD=2-4t()分兩種情形討論求解即可①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),,②當(dāng)點(diǎn)在射線QDC上時(shí),DQ=4t-2時(shí);32OP=CQBOP()分兩種情形求解即可①如圖中,當(dāng)時(shí),≌△.②如圖中,當(dāng)FCQ3OP=CQBOPFCQ時(shí),△≌△;【詳解】解:()∵AD是高,∴ADC901∵是高,∴AEBBEC90BE∴EAOACD90,EBCECB90,∴EAOEBC在AOE和BCE中,EAOEBCAEBEAEOBEC∴AOE≌BCE∴AOBC5;2()∵,BC=52BDCD3CD=3,∴BD=2,根據(jù)題意,OPt,BQ4t,QD24t,Q①當(dāng)點(diǎn)在線段BD上時(shí),∴S12t(24t)2t2t,t的取值范圍是0t1.2QD4t2,Q②當(dāng)點(diǎn)在射線DC上時(shí),1∴1St(4t2)2t2t,t的取值范圍是t5223()存在.①如圖中,當(dāng)時(shí),∵,∠POB=∠FCQ2OP=CQOB=CF△≌△FCQ.BOP,∴CQ=OP∴,5-4t═t∴,解得t=1,②如圖中,當(dāng)時(shí),∵,∠POB=∠FCQ3OP=CQOB=CF△≌△FCQ.BOP,∴CQ=OP∴,4t-5=t∴,5解得t=.35綜上所述,t=1或sBOP與△FCQ時(shí),△全等.3【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考常考題型.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題(難)6.如圖,在△ABC中,已知AD是邊上的中線,BCBEAC,E是AD上一點(diǎn),且延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,求證:AFEF.BE【答案】證明見解析【解析】【分析】G,使得ADDG,連接,結(jié)合BG延長(zhǎng)AD到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),易證△ADC和△GDB全等,利用全等三角形性質(zhì)以及等量代換,得到△AEF中的兩個(gè)角相等,再根據(jù)等角對(duì)等邊證得AE=EF.【詳解】G,使得ADDG,連接.G,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)BG如圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)∵AD是BC邊上的中線,∴DCDB.在ADC和GDB中,△ADDGADCGDB(對(duì)頂角相等),DCDB∴ADC≌GDB(SAS).∴CADG,BGAC.又BEAC,△∴BEBG.∴BEDG.∵BEDAEF∴AEFCAD,即AEFFAE∴AFEF.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.ABCABACBMBNABC7.已知在△中,=,射線、在∠內(nèi)部,分別交線段于點(diǎn)、.ACGH()如圖,若∠=ABC60°,∠=MBN30°,作AE⊥BN于點(diǎn),分別交、于點(diǎn)11DBCBME、.F①②求證:∠=∠2;1如圖,若=,連接CF,求證:BF⊥CF;2BF2AF()如圖,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),交于點(diǎn),連接CF,若∠=∠=∠,23AEBMFBFEBAC2CFES求SABF的值.ACF【答1案】()①見解析;②見解析;()22【解析】【分析】12+BAF1+BAF60°()①只要證明∠∠=∠∠=即可解決問題;BFC②只要證明△≌△,ADBBFC即可推出∠=∠=;ADB90°()在BF上截取BK=,AF連接AK.只要證明△ABK≌CAF,可得S=,再證明2SAFC△ABK△==,可得S=,AFFKBKSAFK△即可解決問題;ABK△【詳解】11()①證明:如圖中,∵AB=,∠=ACABC60°ABC∴△是等邊三角形,BAC60°∴∠=,∵AD⊥BN,ADB90°∴∠=,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②證明:如圖2中,在Rt△BFDFBD30°中,∵∠=,∴BF=2DF,∵BF=2AF,∴BF=AD,∵∠BAEFBC,AB=BC,=∠∴△BFC≌△ADB,∴∠BFC=∠ADB=90°,∴BF⊥CF(2)在BF上截取BK=AF,連接AK.∵∠BFE=∠2+∠BAF,∠CFE=∠4+∠1,∴∠CFB=∠2+∠4+∠BAC,∵∠BFE=∠BAC=2∠EFC,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB=AC,∴△ABK≌CAF,∴∠3=∠4,S△ABK=SAFC,△∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE=∠AKB,∠BAC=2∠CEF,∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF,∴AF=FK=BK,∴SABK=SAFK,△△SABF2∴S.AFC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角30三角形度角性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是能夠正確添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.A(﹣3,0)8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,點(diǎn)是軸正半軸上ByC、Dx一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在正半軸上.(1)如圖,若∠BAO=60°,∠BCO=40°,BD、CE是△的兩條角平分線,且BD、CE交ABC于點(diǎn),直接寫出CF的長(zhǎng)_____.(2)F如圖,△是等邊三角形,以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCQ,連接QD并ABD2PD=DC?3延長(zhǎng),交y軸于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),滿足請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)如圖,以AB為邊在AB的下方作等邊△,點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求OP的最小ABPBy值.32【答案】(1)6;(2)C的坐標(biāo)為(12,0);(3).【解析】【分析】(1)作∠DCH=10°,CH交BD的延長(zhǎng)線于,分別證明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC,H根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答;(2)證明△CBA≌△QBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BDQ=∠BAC=60°,求出CD,得到答案;(3)以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△,連接EP,并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn).證明點(diǎn)在直線ADEFPEF上運(yùn)動(dòng),根據(jù)垂線段最短解答.【詳解】解:(1)作∠DCH=10°,CH交BD的延長(zhǎng)線于H,∵∠BAO=60°,∴∠ABO=30°,∴AB=2OA=6,∵∠BAO=60°,∠BCO=40°,∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°,∵BD是△ABC的角平分線,∴∠ABD=∠CBD=40°,∴∠CBD=∠DCB,∠OBD=40°﹣30°=10°,∴DB=DC,在△OBD和△HCD中,OBD=HCDDBDCODC=HDC∴△OBD≌△HCD(ASA),∴OB=HC,在△AOB和△FHC中,ABO=FCHOBHCAOB=FHC∴△AOB≌△FHC(ASA),∴CF=AB=6,故答案為6;(2)∵△ABD和△BCQ是等邊三角形,∴∠ABD=∠CBQ=60°,∴∠ABC=∠DBQ,在△CBA和△QBD中,BABDABCDBQBCBQ∴△CBA≌△QBD(SAS),∴∠BDQ=∠BAC=60°,∴∠PDO=60°,∴PD=2DO=6,2PD=∵DC,3DC=9OC=OD+CD=12,∴,即C12,0);∴點(diǎn)的坐標(biāo)為((33)如圖,以為對(duì)稱軸作等邊OAADEEPF.△,連接,并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)EPx2△AEPADB,由()得,≌△∴∠AEP=∠ADB=120°,∴∠OEF=60°,∴OF=OA=3,∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng),當(dāng)OP⊥EF時(shí),OP最小,132OP=∴OF=23.則OP的最小值為2【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),垂線段最短,掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.9.在等邊ABC中,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上且OAOD.OBC1()如圖,1CODOBC若點(diǎn)為中點(diǎn),的度數(shù);求22()如圖,OBCADABBO.若點(diǎn)為上任意一點(diǎn),求證33()如圖,若點(diǎn)為上任意一點(diǎn),點(diǎn)OBCD關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接BCPAP,OP,請(qǐng)判斷的形狀,并說明理由AOP.2)見解析;(3)AOP是等邊三角形,理由見解析【答案】(1).30;(【解析】【分析】CAO1BAC30且1()根據(jù)三角形的等邊三角形的性質(zhì)可求2AOBC,AOC90,根據(jù)OAOD,等腰三角形的性質(zhì)得到的度數(shù),再通過DAODCOD.內(nèi)角和定理求,即可求出的度數(shù)2OOE//AB,OE交于先證明COE為等邊三角形,再根據(jù)等邊三角ADE()過作形的性質(zhì)求AEO120,DCO120AOEDOC(AAS),得到,再證明CDEA,再通過證明得到EABO、ABAC通過,又因?yàn)锳DACCD,通過.等量代換即可得到答案ODFOPF(SAS)3()通過作輔助線先證明OAODOPOD,得到,又因?yàn)?,得到AO=OP,證得AOP為等腰三角形,如解析輔助線,由(2)可知得AOEDOCAOEDOC,通過角的關(guān)系得到AOPCOE60°,即可得到證得AOP是等邊三角形.【詳解】ABC1()∵為等邊三角形∴BAC60∵O為BC中點(diǎn)∴CAO1BAC302且AOBC,AOC90∵OAOD∴AOD中,DCAO30∴AOD180DCAO120∴CODAODAOC302OOE//AB,OE交于()過作ADE∵OE//AB∴EOCABC60CEOCAB60∴COE為等邊三角形∴OEOCCEAEO180CEO120DCO180ACB120又∵OAOD∴EAOCDO在AOE和COD中AOEDOCEAOCDOOAOD∴AOEDOC(AAS)∴CDEA∵EAACCEBOBCCO∴EABO∴BOCD,∵ABAC,ADACCD∴ADABBO(3)AOP為等邊三角形證明過程如下:連接PC,PD,延長(zhǎng)OC交PD于F∵P、D關(guān)于OC對(duì)稱∴PFDF,PFODFO90在ODF與OPF中,PFDFPFODFOOFOF∴ODFOPF(SAS),POCDOC∴OPOD∵OAOD∴AO=OP∴AOP為等腰三角形過O作OE//AB,OE交于ADEAOEDOC2由()得∴AOEDOC又∵POCDOC∴AOEPOF∴AOEPOEPOF即AOPCOEPOE∵AB∥OE,∠B=60°COEB60∴∴AOPCOE60°∴AOP是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題是考查了全等三角形和等邊三角形的綜合性問題,靈活應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)得到邊與角的關(guān)系,以及等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.10.已知ABC為等邊三角形,E為射線AC上一點(diǎn),D為射線CB上一點(diǎn),ADDE.CDCE時(shí),AD是ABC的中線嗎?請(qǐng)說明1()如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上且理由;()2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí),寫出AB,BD,AE之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)說明理由;()3如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在線段上時(shí),請(qǐng)直接寫出ACAB,BD,AE的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)AD是ABC的中線,理由詳見解析;(2)ABBDAE,理由詳見解析;(3)ABAEBD.【解析】【分析】1ABCCD=CE()利用△是等邊三角形及可得CDE=E=30°,利用AD=DE,證明∠∠∠CAD=∠E=30°,即可解決問題.2()AB上取BH=BD,連接DH,證明AHDDCE≌△得DH=CEAE=AB+BD,得出,在出3()AB上取AF=AE,連接DF,利用△≌△得AFDEFDBDF的關(guān)系,得在出角出△是等腰三角形,根據(jù)邊的關(guān)系得出結(jié)論AB=BD+AE.【詳解】1()解:如圖1,結(jié)論:AD是△ABC的中線.理由如下:ABC∵△是等邊三角形,∴AB=AC,∠,∠∠BAC=B=ACB=60°,∵CD=CE∴∠CDE=∠E,∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°,∴∠E=30°,∵DA=DE,∴∠DAC=∠E=30°,∵∠BAC=60°,∴∠DAB=∠CAD,∵AB=AC,∴BD=DC,∴AD是△ABC的中線.2()結(jié)論:AB+BD=AE,理由如下:如圖2,在AB上取BH=BD,連接DH,∵BH=BD,∠B=60°,BDH∴△為等邊三角形,AB-BH=BC-BD,∴∠BHD=60°,BD=DH,AH=DC,∵AD=DE,∴∠E=∠CAD∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠EBAD=∠CDE,,∴∠BHD=60°ACB=60°,∵∠,∠∴∠180°-BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE,∴在△AHD和△DCE,BADCDEAHDDCEADDE∴△AHD≌△DCE(AAS),DH=CE∴,BD=CE∴,∴AE=AC+CE=AB+BD.(3)結(jié)論:AB=BD+AE,理由如下:如圖3,在AB上取AF=AE,連接DF,∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°∴△AFEFAE=∠FEA=∠AFE=60°,,是等邊三角形,∴∠∴EF∥BC,∴∠EDB=∠DEF,∵AD=DE,DEA=∠DAE,∴∠DEF=∠DAF,∴∠∵DF=DF,AF=EF,在△AFD和△EFD中,ADDEDFDF,AFEF∴△AFDEFD(SSS)≌△ADF=∠EDF,∠DAF=∠DEF,∴∠FDB=∠EDF+∠EDB,∠DFB=∠DAF+∠ADF,∴∠∵∠EDB=∠DEF,F(xiàn)DB=∠DFB,∴∠∴DB=BF,∵AB=AF+FB,∴AB=BD+AE【點(diǎn)睛】.本題屬于三角形綜合題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,運(yùn)用三角形全等找出對(duì)應(yīng)的線段.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題(難)11.利用我們學(xué)過的知識(shí),可以導(dǎo)出下面這個(gè)等式:1bcca222a2b2c2abbcacab.2該等式從左到右的變形,不僅保持了結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、簡(jiǎn)潔美.(1)請(qǐng)你展開右邊檢驗(yàn)這個(gè)等式的正確性;(2)利用上面的式子計(jì)算:201822019220202201820192019202020182020.【答案】(1)見解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根據(jù)完全平方公式和合并同類項(xiàng)的方法可以將等式右邊的式子進(jìn)行簡(jiǎn)化,從而可以得出結(jié)論;(2)根據(jù)題目中的等式可以求得所求式子的值.【詳解】1解:(1)[(a-b)2()()2]+b-c+c-a221==2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c+a22-2ac+c2)12×(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=a2+b2+c2-ab-bc-ac,1()2()()2]正確;故a2+b2+c2-ab-bc-ac=[a-b+b-c+c-a22(2)20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×20201==×[(2018-2019)2+(2019-2020+2020-2018)2])2(212×(1+1+4)12×6==3.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,熟練掌握完全平方公式并能靈活運(yùn)用.12.先閱讀下列材料,然后解后面的問題.材料:一個(gè)三位自然數(shù)abc(百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個(gè)位數(shù)字為c),若滿足)=ac.如374,因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字a+c=b,則稱這個(gè)三位數(shù)為“歡喜數(shù)”,并規(guī)定F(abc3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7,所以374是“歡喜數(shù)”,∴F(374)=3×4=12.(1)對(duì)于“歡喜數(shù)”,若滿足b能被9整除,求證:“歡喜數(shù)”能被99整除;abcabc(2)已知有兩個(gè)十位數(shù)字相同的“歡喜數(shù)”m,n(m>n),若F(m)﹣F(n)=3,求m﹣n的值.【答案】(1)詳見解析;(2)99或297.【解析】【分析】(1)首先由題意可得a+c=b,將歡喜數(shù)展開,因?yàn)橐C明“歡喜數(shù)”能被99整除,所abc以將展開式中100a拆成99a+a,這樣展開式中出現(xiàn)了a+c,將a+c用b替代,整理出最終結(jié)果即可;(2)首先設(shè)出兩個(gè)歡喜數(shù)m、n,F(xiàn)(m)、F(n)代入F(m)﹣F(n)=3中,將式子變形分析得出最終結(jié)果即可.【詳解】(1)證明:∵abc為歡喜數(shù),∴a+c=b.∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b,b能被9整除,∴11b能被99整除,99a能被99整除,∴“歡喜數(shù)”能被99整除;abc(2)設(shè)m=abc,n=abc(且a>a2),11122∵F(m)﹣F(n)=a1?c1﹣a2?c2=a1?(b﹣a1)﹣a2(b﹣a2)=(a1﹣a2)(b﹣a1﹣a2)=3,a1、a2、b均為整數(shù),∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3.∵m﹣n=100(a1﹣a2)﹣(a1﹣a2)=99(a1﹣a2),∴m﹣n=99或m﹣n=297.∴若F(m)﹣F(n)=3,則m﹣n的值為99或297.【點(diǎn)睛】做此類閱讀理解類題目首先要充分理解題目,會(huì)運(yùn)用因式分解將式子變形.13.請(qǐng)你觀察下列式子:(x1)(x1)x21x1xx1x312x1x3x2x1x41x1x4x3x2x1x51……根據(jù)上面的規(guī)律,解答下列問題:x31()當(dāng)時(shí),計(jì)算(31)(320173201632015…333231)=_________;()設(shè)a22201622015,則的個(gè)位數(shù)字為;…22212a201732()求式子201652015…53525的和.55320175520181);();()23313【答案】(20184【解析】【分析】1()根據(jù)已知的等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解;2x=2,a=2-12()先根據(jù)求出,再發(fā)現(xiàn)的冪個(gè)位數(shù)字的規(guī)律,即可求出的個(gè)位數(shù)a2018字;×(55201552014...551)即可201635-1()利用已知的等式運(yùn)算規(guī)律構(gòu)造()2.求解【詳解】(x1)(x1)x211()∵x1xx1x312x1x3x2x1x41x1x4x3x2x1x51……n1x1xxx...xx1x1nn1n22∴(31)(320173201632015…333231)=320181時(shí),故x=331故填:;2018()a20172201622015…22212232=2-1(22201622015…232221)=220181()2017∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n的個(gè)位數(shù)按2,4,8,6,依次循環(huán)排列,∵÷20184=504…2,2∴2018的個(gè)位數(shù)為4,∴220181的個(gè)位數(shù)為3,故填:3;(3)52017…535255520162015145(51)5(5…55155)=2016201520142()(55…5251)5=×5-12016201520144520171)=×(54=5201854【點(diǎn)睛】此題主要考查等式的規(guī)律探索及應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式找到規(guī)律.14.你會(huì)對(duì)多項(xiàng)式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式嗎?對(duì)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多項(xiàng)式,若把其中某些部分看成一個(gè)整體,用新字母代替(即換元),能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、明朗化.從換元的個(gè)數(shù)看,有一元代換、二元代換等.對(duì)于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12.x+5xy解法一:設(shè)=,2則原式=(y+2)(y+3)12y+5y6(y+6)(y1)﹣=﹣=﹣2=(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)=(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1).解法二:設(shè)x2+5x+2=y(tǒng),y(y+1)12y+y12(y+4)(y3)則原式=﹣=﹣=﹣2=(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)=(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1).x+2m5xn解法三:設(shè)=,=,2則原式=(m+n)(m+n+1)﹣12=(m+n)2+(m+n)﹣12=(m+n+4)(m+n﹣3)=(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)=(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1).按照上面介紹的方法對(duì)下列多項(xiàng)式分解因式:(1)(x2+x﹣4)(x2+x+3)+10;(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2;(3)(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2.【答案】(1)(x+2)(x-1)(x2x+1)x(2)(x66)22(3)(x+y-xy-1)2【解析】【分析】=m4m310因式分解即可;1()令原式m=xx,2x1x2x3x6x2=(x76)(x56令xxx)+,222()2n=x25x6=n+2n+x,再將原式()進(jìn)行因式分解即可;23a=x+y,b=xy.()令,代入原式即可因式分解【詳解】1()令m=xx,2m4m310=原式=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x2x-2)(x2x+1)=(x+2)(x-1)(x2x+1)(2)x1x2x3x6x2=(xxxx56276)(x2)+,2n=x5x6,令2=n+2n+x=n+2n+x2原式()22x66)2=(n+x)2=(x2a2ba2b12(3)a=x+y,b=xy=令,原式=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【點(diǎn)睛】.此題主要考查復(fù)雜的因式分解,解題的關(guān)鍵是讀懂材料學(xué)會(huì)材料中因式分解的方法ab0時(shí),一定有;當(dāng)a、b的大小比較,有下面的方法:當(dāng)ab15.對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)ab0時(shí),一定有ab;當(dāng)ab0時(shí),一定有ab.反過來也成立.因此,我們”把這種比較兩個(gè)數(shù)請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下面的題目:大小的方法叫做“求差法.yA2x2y8y,,且AB,試判斷的符號(hào);B8xy1()已知:和2ac的大?。叄容^a2cb2abc()已知:、、為三角形的22<2acacb1y02【答案】()>;()222【解析】【分析】()根據(jù)題意得到2x2y8y8xy0,因式分解得到2y(x2)20,進(jìn)而得到y(tǒng)的符1號(hào)即可;2ac2()將acb2和作差,結(jié)合已知及三角形的兩邊之和大于第三邊可求.22【詳解】解:()因1為>,AB所以A-B>0,2xy8y8xy0,即22y(x44x)2y(x2)20,∴2(x2)20,因?yàn)閥0∴>2a?bc?2acac?2ac?ba?c?ba?c?b()因?yàn)椋剑剑ǎ剑ǎǎ?,a?cb22222222abcabc∵+>,<+,a?c?ba?cb0所以()(+)<,a?bc?2ac所以+的符號(hào)為負(fù).222∴a2c2b2<2ac【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較兩個(gè)式子的大小以及因式分解,解題的關(guān)鍵是理解題中的“求差法”比較兩個(gè)數(shù)的大小,并熟練掌握因式分解的方法.四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題(難)16.閱讀下面內(nèi)容:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》,聰明的你可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)a0,b0時(shí),∵(ab)2a2abb0ab2,∴ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題:11(1)當(dāng)x0時(shí),值為_______;當(dāng)x0時(shí),的xx的最小最大值為__________.xxx23x16(2)當(dāng)x0時(shí),求y的最小值.xO(3)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn),△AOB、△COD的面積分別為4和9,求四邊形ABCD面積的最小值.【答案】(1)2,-2;(2)11;(3)25【解析】【分析】()當(dāng)x>0時(shí),按照公式(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))來計(jì)算即可;x<0時(shí),1a+b≥2ab1由于-x>,>,0-則也可以按照公式(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))來計(jì)算;0a+b≥2abxx23x16的分子分別除以分給公式求得最母,展開,將含x的項(xiàng)用題中所將y2()x小值,再加上常數(shù)即可;3()設(shè),已知,,則由等高三角形可知:::S=xS=4S=9SS=SCODAOBBOCAOB△COD△BOC△△△△SxSABCD,用含的式子表示出,四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來,再按照xAOD△AOD△題中所給公式求得最小值,加上常數(shù)即可.【詳解】1解:()當(dāng)>時(shí),1x2x21x0xx11xx0當(dāng)<時(shí),xxx11x2x2∵xx1x2∴x1x的最小值為2;當(dāng)x0時(shí),的最大值為-2;x1xxx0時(shí),∴當(dāng)x23x1616x3x()由y2xx0∵>,1616∴yx32x311xx16當(dāng)x時(shí),最小值為11;x3S=xS=4S=9()設(shè),已知,COD△BOCAOB△△SS=SSAOD△△△則由等高三角形可知:::BOC△CODAOB∴x::9=4S△AOD36=xS∴:AOD△36=4+9+x+x36132x25ABCD∴四邊形面積xABCD當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=6取等號(hào),即四邊形面積的最小值為25.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用,同時(shí)本題還考查了分式化簡(jiǎn)和等高三角形的性質(zhì),本題難度中等略大.17.閱讀下面的材料,并解答后面的問題3x4x12.將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和(差)的形式材料:x1解:由分母為x1,可設(shè)3x4x1(x1)(3xa)b.2因?yàn)?(x1)(3xa)b3x2ax3xab3x2(a3)xab,3x4x13x2(a3)xab.所以2a34a1b2所以,解之,得.ab13x4x1(x1)(3x1)22所以x1x1(x1)(3x1)22x1x13x1x13x4x1x12x12這樣,分式就被拆分成了一個(gè)整式與一個(gè)分式的差的形式3x1.2x3x6x12問題:()請(qǐng)將分式1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和(差)的形式;5x9x23x24()請(qǐng)將分式22拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和(差)的形.式2x3x62x5115x9x235x112.24【答案】(1);(2)x22x1x12x2【解析】【分析】(x1)(2xa)b,求出2x3x6分解為(1)仿照例題將2a、b的值即可得到答案;,得到m109(2)將2mn3,求出m、n,整24(x2)(5x2m)n5x9x23分解為理后即可得到答案.【詳解】(1)由分母為x-1,可設(shè)2x3x6=(x1)(2xa)b,2(x1)(2xa)b=2x2ax2xab2x2(a2)x(ba),∵∴2x23x62x(a2)x(ba)2a23ba65b11a∴,得,2x23x6(x1)(2x5)11(x1)(2x5)112x511x1=x1;x1=(x22)(5x2m)n,∴==x1x1x2,可設(shè)5x9x23(2)由分母為24(x2)(5x2m)n=5x4mx210x22mn5x4(m10)x2(2mn)∵2∴5x49x23=5x4(m10)x2(2mn),m109m1n1,得,∴2mn35x9x23(x22)(5x21)1=5x2114∴2=.x2x22x22【點(diǎn)睛】此題是仿照例題解題的形式解題,正確理解題意,明確例題中的計(jì)算的方法是解題的關(guān)鍵.761213.18.我們知道,假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式,例如:33在分式中,對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式,當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí),我們稱之為“假分式”;當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí),我們稱之為“真分式”.x2,,…這樣的分式是假分式;像,x3x32x3例如:像x3x3…這樣的分式是真分式.,x2.類似的,假分式也可以化為整式與真分式的和(差)的形式x2x5x32將分式.(差)的形式例如:拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和x3,可設(shè)x2x5(x3)(xa)b方法一:解:由分母為2則由x22x5(x3)(xa)bx2ax3x3abx2(a3)x(3ab)x對(duì)于任意,上述等式均成立,a32a1b2∴,解得3ab5∴x22x5(x3)(x1)2(x3)(x1)x3x3x3x2x52x32x3x12.成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和(差)的形式這樣,分式就被拆分x3方法二:解:x22x5x23xx32x(x3)(x3)2x(x3)x322x3x3x3x1x3x3x3x2x5x32這樣,分式就拆分.成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和(差)的形式x3x7x3x12將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真(1)請(qǐng)仿照上面的方法,選擇其中一種方法分式的和(差)的形式;2x5x11x22(2)已知整數(shù)使分式x所有整數(shù)的值.x的值為整數(shù),求出滿足條件的92)x=-1或-3或11或-15.x1;(x61【答案】()【解析】【分析】x7x3=x2x6x692()先變形1“”,由真分式的定義,仿照例題即可得出結(jié)x1x1論;2x()先把分式化為真分式,再根據(jù)分式的值為整數(shù)確定整數(shù)的值.【詳解】x7x3=x2x6x692解:()1x1x1=x(x1)6(x1)9x19=x6x1;2x5x11=2x24xx2132()2x2x22x(x2)(x2)13x2=13x2,=2x12x5x11x22∵是整數(shù),x也是整數(shù),∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13,∴x=-1或或或-311-15.【點(diǎn)睛】本題考查了逆用整式和分式的加減法對(duì)分式進(jìn)行變形.解決本題的關(guān)鍵是理解真分式的定義對(duì)分子進(jìn)行拆分.11111119.已知xaybzc,,.bcacab11b1,c2時(shí),求()當(dāng)a1,1x1y1的值;111abbcac0時(shí),求2()當(dāng)x1y1z1的值.1421【答案】();()【解析】【分析】z+1y+1、和值,然后x+1、簡(jiǎn),然后求值即可;(1)分別對(duì)x、y進(jìn)行化(2)分別求出代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】xacab,ybcab,zbcac,ab1()bcac當(dāng)a1,b1,c2時(shí),x112111=1;122y112111=1122111111x1y1=422x1acab1acabbc2(),bcbcy1bcab1bcabac,acacz1bcac1bcacab,abab∵abbc+ac0,111x1y1z1∴bcabbc+acabbc+acabbc+acacab;abbc+acabbc+ac=1.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值問題,解題的關(guān)鍵是仔細(xì)認(rèn)真的進(jìn)行整式的化簡(jiǎn).20.京廣高速鐵路工程指揮部,要對(duì)某路段工程進(jìn)行招標(biāo),接到了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書.從投標(biāo)書中得知:甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天2數(shù)的;若由甲隊(duì)先做10天,剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作30天完成.3(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天?(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.4萬元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5.6萬元.工程預(yù)算的施工費(fèi)用為500萬元.為縮短工期并高效完成工程,擬安排預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用?若不夠用,需追加預(yù)算多少萬元?請(qǐng)給出你的判斷并說明理由.【答案】(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成需60天,乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天;(2)工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠,需追加預(yù)算4萬元.【解析】【分析】(1)設(shè)甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù),表示出乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)及各自的工作=×效率.根據(jù)工作量工作效率工作時(shí)間列方程求解;(2)根據(jù)題意,甲乙合作工期最短,所以須求合作的時(shí)間,然后計(jì)算費(fèi)用,作出判斷.【詳解】2天,則甲隊(duì)單獨(dú)完成需要填(1:x)解設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x;34030123xxx90解得:x=90經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的根.22則x9060(天)336090答:甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需天和天.(2)設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需要天,y11y(6090)=1.+則有y=36.解得36×(8.4+5.6)=504(需要施工費(fèi)用:).萬元504>500.∵4∴工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用,需追加預(yù)算萬元.五、八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題(難)11ABC∠B=60°∠DAC21.()如圖.在△中,,和∠的角平分線交于點(diǎn),則ACEO∠°,O=22B=α1()如圖,若∠,其他條件與()相同,請(qǐng)用含的代數(shù)式表示∠的大??;αOPAC1DAC,PCA1ACE33B=α()如圖,若∠,P=,則∠(用nnα含的代數(shù)式表示).1P(11)1801【答案】()∠;()290°-;()1O=60°32nn【解析】【分析】1()由題意利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行分析求解;()根據(jù)題意設(shè)∠BAC=β,∠ACB=γ,則α+β+γ=180°,利用角平分線性質(zhì)和外角定義找等2量關(guān)系,用含α的代數(shù)式表示∠O的大小;∠P=(1-1)1801,再將2替換成n即可分析2()利用()的條件可知n=2時(shí),322求解.【詳解】解:()因?yàn)椤螪AC和的角平分線∠ACE交于點(diǎn)O,且∠B=60°,1所以O(shè)ACOCA180有∠O=18012060°.60120,2∠BAC=β,∠ACB=γ,則α+β+γ=180°()設(shè)∵∠ACE是△ABC的外角,∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β∵CO∠ACE平分ACO1ACE()1221同理可得:CAO()2∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°,)()1(1∴O180ACOCAO180221111;90180()180()180902222PAC1DAC,PCA1ACE,()3∵∠B=α,nn∠P=18090=(1-1)18011,將2替換成n即可,2由()可知n=2時(shí),有222P(1)18011.n∴n【點(diǎn)睛】本題考查用代數(shù)式表示角,熟練掌握并綜合利用角平分線定義和三角形內(nèi)角和為180°以及等量替換技巧與數(shù)形結(jié)合思維分析是解題的關(guān)鍵.22.探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,()觀察規(guī)形圖,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,1“”并說明理由;2()請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個(gè)問題:2把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)①如圖,B、C,∠A=40°,則∠ABX+∠ACX等于多少度;②如圖,3DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);③如圖,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、、9,若∠BDC=133°,4G…G2∠BG1C=70°,求∠A的度數(shù).【答案】(1)詳見解析;(2);①50°②85°;③63°.【解析】【分析】(1)連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)①根據(jù)(1)得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,再根據(jù)∠A=40°,∠BXC=90°,即可求出∠ABX+∠ACX的度數(shù);②先根據(jù)()得出∠ADB+∠AEB=90°,再利用DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,即可求出1∠DCE的度數(shù);11③由②得∠BG1C=(∠ABD+∠ACD+∠A133-x+x=70),設(shè)∠A為x°,即可列得(),1010求出x的值即可.【詳解】1()如圖(),1連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,根據(jù)外角的性質(zhì),可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;2()①由(),1可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,∵∠A=40°,∠BXC=90°,ABX+∠ACX=90°-40°=50°;∴∠②由(1),可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°,1∴(∠∠)ADB+AEB=90°÷2=45°,2∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴ADC1ADB,AEC1AEB,22DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,∴∠1=2(∠ADB+∠AEB)+∠DAE,=45°+40°,=85°;1③由②得∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,10∵∠BG1C=70°,∴設(shè)∠A為x°,∵∠ABD+∠ACD=133°-x°1∴(133-x)+x=70,10113.3-∴x+x=70,10解得x=63,即∠A的度數(shù)為63°.【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角的性質(zhì)定理,三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角的和,,根據(jù)此定理得到角度的規(guī)律,由此解決問題,此題中得到平分角的變化規(guī)律是解題的難點(diǎn).23.如圖,四邊形ABCD,BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β(1)如圖,若α+β=120°,求∠MBC+∠NDC的度數(shù);(2)如圖,若BE與DF相交于點(diǎn)G,∠BGD=30°,請(qǐng)寫出α、β所滿足的等量關(guān)系式;(3)如圖,若α=β,判斷BE、DF的位置關(guān)系,并說明理由.2βα=60°
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