四川省自貢市榮縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

榮縣2023年上期高一年級(jí)半期考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.已知向量，，則（）A. B.2 C. D.50【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示即可得答案.【詳解】由題意向量，，則向量，故，故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到答案.【詳解】.故選：B.3.角的終邊過點(diǎn)，若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，直接計(jì)算.【詳解】由條件可知，由三角函數(shù)的定義可知，，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略這個(gè)條件.4.已知向量是不共線的向量，，，若三點(diǎn)共線，則滿足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線列方程組，由此求得的關(guān)系式，從而確定正確答案.【詳解】由于三點(diǎn)共線，所以，即，所以，將代入得.故選：D5.在中，,BC=1,AC=5，則AB=A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因?yàn)樗?，選A.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.6.已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．7.點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在圓上，令，得到，利用判別式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值為2，故選：C8.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，解?故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.9.已知，下述結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用條件及數(shù)量積與模、夾角的關(guān)系得出夾角，一一計(jì)算判定即可.【詳解】∵，∴，對(duì)于A項(xiàng)，，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.【答案】ACD【解析】【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A，由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式判斷B，由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式判斷C，根據(jù)正弦定理判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，且是的?nèi)角，所以，所以，所以都是銳角，所以是銳角三角形，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由及正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由即正弦定理可得，即，因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以根據(jù)正弦定理可得，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD11.關(guān)于函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（）A.的最小值為－1B.上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)D.曲線關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】討論和，分別寫出函數(shù)的解析式，畫出在上的圖象，結(jié)合的圖象和周期性，即可判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù).畫出在上的圖象，如圖所示，根據(jù)函數(shù)的圖象，以及函數(shù)是周期為的函數(shù)知，對(duì)于A，的最小值為-1，所以A正確；對(duì)于B，在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，分別是，所以C正確；對(duì)于D，曲線關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確.故選：ACD.12.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為.游客乙所在座艙與甲所在座艙間隔7個(gè)座艙.在運(yùn)行一周的過程中，甲、乙倆人距離地面的高度差.下述結(jié)論正確的是（）A. B.C.在運(yùn)行一周的過程中，的時(shí)間超過10min D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，先得出解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可得是關(guān)于的三角函數(shù)，如圖所示，以摩天輪軸心為原點(diǎn)，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪距地面最近點(diǎn)為P，則當(dāng)時(shí)，游客甲位于，以O(shè)P為終邊的角為，而轉(zhuǎn)一圈需要大約30min，可知角速度大約為，由題意可得：，即A正確；當(dāng)時(shí)，，即B錯(cuò)誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：，故，即高度超過90+2.5米時(shí)時(shí)間長20-10=10min，顯然高度超過90米的時(shí)間長超過10min，故C正確；甲乙所在位置分別設(shè)為A、B兩點(diǎn)，甲乙座艙差7個(gè)，則，故t分鐘后甲乙的高度分別為：，，其高度差為：，即D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，．若向量與垂直，則________．【答案】7【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，即可求得實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得，故答案為：7．14.已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，結(jié)合向量坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，可得，設(shè)，則，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案：.15.已知，則___________.【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、降冪公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】..故答案為：16.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求得，再得出，邊化角化簡未知式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正弦定理化簡可得，即或，∵，∴，即，∴，∴.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，17題10分，其余題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知平行四邊形（按A、B、C、D的順序）的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是.（1）求D的坐標(biāo)；（2）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；（2）根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.【小問1詳解】易知，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，，即，解得，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由上可得，設(shè)向量在向量上的投影向量，故.18.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，所以周長的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題；方法一：求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.19.已知.（1）求證：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩角和與差的正弦公式，聯(lián)立方程，即可求解；（2）因?yàn)?，根?jù)題意求得，由（1）和兩角差的正切公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，?lián)立方程組，可得，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以，所以，即，解?20.在扇形中，半徑，扇形的面積為，點(diǎn)是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形.（點(diǎn)在半徑上，點(diǎn)在半徑上），（1）求圓心角的大?。唬?）求矩形的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形面積公式求得.（2）設(shè)，利用表示出矩形的面積，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)求得矩形的面積的最大值.【小問1詳解】設(shè)，由于扇形半徑，所以，即.【小問2詳解】設(shè)，，在中，，，在中，，所以，設(shè)矩形的面積為，則，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，矩形的面積，最大面積為.21.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求A；（2）點(diǎn)D在AB邊上，，且，求sin∠BCD.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的性質(zhì)，化簡得到，進(jìn)而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意求得，得到為等邊三角形，所以，在中，求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ?，可得，因?yàn)椋傻?，所以，整理的，又因?yàn)?，可得，所以，可得，即，因?yàn)?，所以，解?【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可得，解得，因?yàn)?，且，為等邊三角形，所以，在中，可得，所以，在中，由正弦定理?22.已知函數(shù)最小值為；①的一條對(duì)稱軸；②的一個(gè)對(duì)稱中心且在單調(diào)遞減；③向左平移單位達(dá)到圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且；從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面空白橫線中，作為已知條件.（1）求函數(shù)的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象，先向右平移個(gè)單位長度，再將所得點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得圖象，令.若總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間：（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后根據(jù)所選條件，由三角函數(shù)的對(duì)稱性、三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得的解析式，利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，進(jìn)而求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，由此由不等式分離參數(shù)，結(jié)合對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意可知，，.選①，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，則，不合乎題意；若，則，則，合乎題意.所以，；令解得，，所以，的單調(diào)增區(qū)間為.選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；若，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；所以，；令解得，，所以，的單調(diào)增區(qū)間為.選③，將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，解得，，所以，的可能取值