一元二次方程及二次函數(shù)提高練習試題

./一元二次方程與二次函數(shù)提高練習題一．選擇題〔共11小題1．已知關(guān)于x的方程〔m+2x2﹣3x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是〔A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．2．若△ABC的一邊a為4,另兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,則△ABC的周長為〔A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或103．〔2008?隨州如圖,要使輸入的x值與輸出的y值相等,則這樣的x值有〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．若a,b,c為三角形三邊,則關(guān)于的二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0的根的情況是〔A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定5．如果關(guān)于x的方程7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,那么二次三項式7x2+px+q可分解為〔A．〔x﹣2〔x+3 B．〔x+2〔x﹣3 C．7〔x﹣2〔x+3 D．7〔x+2〔x﹣36．在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是〔A． B． C． D．7．若拋物線y=〔x﹣m2+〔m+1的頂點在第一象限,則m的取值范圍為〔A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜08．如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象,則下列說法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當﹣1＜x＜3時,y＞0其中正確的個數(shù)為〔A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)b＞0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2﹣1的圖象為下列之一,則a的值為〔A．﹣1 B．1 C．D．10．拋物線y=2x2,y=﹣2x2,共有的性質(zhì)是〔A．開口向下 B．對稱軸是y軸C．都有最高點 D．y隨x的增大而增大11．小智將如圖兩水平線L1、L2的其中一條當成x軸,且向右為正向；兩鉛直線L3、L4的其中一條當成y軸,且向上為正向,并在此坐標平面上畫出二次函數(shù)y=ax2+2ax+1的圖形．關(guān)于他選擇x、y軸的敘述,下列何者正確？〔〔第11小題圖〔第15小題圖A．L1為x軸,L3為y軸 B．L1為x軸,L4為y軸C．L2為x軸,L3為y軸 D．L2為x軸,L4為y軸二．填空題〔共6小題12．定義：給定關(guān)于x的函數(shù)y,對于該函數(shù)圖象上任意兩點〔x1,y1,〔x2,y2,當x1＜x2時,都有y1＜y2,稱該函數(shù)為增函數(shù),根據(jù)以上定義,可以判斷下面所給的函數(shù)中,是增函數(shù)的有〔填上所有正確答案的序號①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2〔x＞0；④y=﹣．13．下列函數(shù)〔其中n為常數(shù),且n＞1①y=〔x＞0；②y=〔n﹣1x；③y=〔x＞0；④y=〔1﹣nx+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有個．14．在直角坐標系xOy中,對于點P〔x,y和Q〔x,y′,給出如下定義：若y′=,則稱點Q為點P的"可控變點"．例如：點〔1,2的"可控變點"為點〔1,2,點〔﹣1,3的"可控變點"為點〔﹣1,﹣3．〔1若點〔﹣1,﹣2是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的"可控變點",則點M的坐標為．〔2若點P在函數(shù)y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a的圖象上,其"可控變點"Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16,則實數(shù)a的取值范圍是．15．如圖,在平面直角坐標系中,點A在第二象限,以A為頂點的拋物線經(jīng)過原點,與x軸負半軸交于點B,對稱軸為直線x=﹣2,點C在拋物線上,且位于點A、B之間〔C不與A、B重合．若△ABC的周長為a,則四邊形AOBC的周長為〔用含a的式子表示．16．如圖,拋物線y=ax2+bx+c〔a＞0的對稱軸是過點〔1,0且平行于y軸的直線,若點P〔4,0在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為．17．請寫出一個開口向上,并且與y軸交于點〔0,1的拋物線的解析式,y=．三．解答題〔共13小題18．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+2=0．〔1證明：不論m為何值時,方程總有實數(shù)根；〔2m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根．19．某商場銷售一批名牌襯衣,平均每天可售出20件,每件襯衣盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衣降價10元,商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利1200元,每件襯衣降價多少元？20．閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2=0．設(shè)|x|=y,則y2﹣y﹣2=0．解得y1=2,y2=﹣1．當y=2時,|x|=2,∴x=±2；當y=﹣1時,|x|=﹣1,∴無實數(shù)解．∴原方程的解是：x1=2,x2=﹣2．在上面的解答過程中,我們把|x|看成一個整體,用字母y代替〔即換元,使得問題簡單化、明朗化,解答過程更清晰．這是解決數(shù)學問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程,利用換元法解下列方程：〔1x2﹣2|x|=0；〔2x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．21．閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程,得．∵x為實數(shù),∴△==﹣y+4≥0,∴y≤4．因此,y的最大值為4．根據(jù)材料給你的啟示,求函數(shù)的最小值．22．如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知,這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為"勾系一元二次方程"．請解決下列問題：〔1寫出一個"勾系一元二次方程"；〔2求證：關(guān)于x的"勾系一元二次方程"必有實數(shù)根；〔3若x=﹣1是"勾系一元二次方程"的一個根,且四邊形ACDE的周長是6,求△ABC面積．23．已知點A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．〔1若b=1,c=3,求n的值；〔2若此拋物線經(jīng)過點B〔4,n,且二次函數(shù)y=x2+bx+c的最小值是﹣4,請畫出點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的圖象,并說明理由．24．如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M〔1,1,則稱此拋物線為定點拋物線．〔1張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y=2x2+3x﹣4,請你寫出一個不同于小敏的答案；〔2張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y=﹣x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式,請你解答．25．如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC、BD、CD．〔1求此拋物線的解析式．〔2求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積．26．如圖,拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點A〔1,0,交y軸于點B,對稱軸是x=2．〔1求拋物線的解析式；〔2點P是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使△PAB的周長最??？若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由．27．已知關(guān)于x的方程kx2+〔2k+1x+2=0．〔1求證：無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根；〔2當拋物線y=kx2+〔2k+1x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且k為正整數(shù)時,若P〔a,y1,Q〔1,y2是此拋物線上的兩點,且y1＞y2,請結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；〔3已知拋物線y=kx2+〔2k+1x+2恒過定點,求出定點坐標．28．如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出〔點A在y軸上,足球的飛行高度y〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時,離地面的高度為3.5m．〔1足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高？最大高度是多少？〔2若足球飛行的水平距離x〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t,已知球門的高度為2.44m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28m,他能否將球直接射入球門？29．為滿足市場需求,某超市在五月初五"端午節(jié)"來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)；當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒．〔1試求出每天的銷售量y〔盒與每盒售價x〔元之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P〔元最大？最大利潤是多少？〔3為穩(wěn)定物價,有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒？30．為了解都勻市交通擁堵情況,經(jīng)統(tǒng)計分析,都勻彩虹橋上的車流速度v〔千米/小時是車流密度x〔輛/千米的函數(shù),當橋上的車流密度達到220輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時；當車流密度為20輛/千米時,車流速度為80千米/小時．研究表明：當20≤x≤220時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．〔1求彩虹橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；〔2在交通高峰時段,為使彩虹橋上車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時,應控制彩虹橋上的車流密度在什么范圍內(nèi)？〔3當車流量〔輛/小時是單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),即：車流量=車流速度×車流密度．當20≤x≤220時,求彩虹橋上車流量y的最大值．一元二次方程與二次函數(shù)提高練習題參考答案與試題解析一．選擇題〔共11小題1．〔2010?XX區(qū)一模已知關(guān)于x的方程〔m+2x2﹣3x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是〔A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C． D．[考點]根的判別式．[專題]壓軸題．[分析]在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中,必須滿足下列條件：〔1二次項系數(shù)不為零；〔2在有不相等的實數(shù)根下必須滿足△=b2﹣4ac＞0．[解答]解：根據(jù)題意列出方程組：,解得m且m≠﹣2,故選A．[點評]總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：〔1△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；〔2△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；〔3△＜0?方程沒有實數(shù)根．2．〔2010?濱湖區(qū)一模若△ABC的一邊a為4,另兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,則△ABC的周長為〔A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10[考點]根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．[專題]壓軸題．[分析]由于兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,可求出b,c的值,而△ABC的一邊a為4,由此即可求出△ABC的一邊a為4周長．[解答]解：∵兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,解得：b=3或2,c=2或3,△ABC的一邊a為4,①若b=c,則b=c=3或b=c=2,但2+2=4,所以三角形不成立,故b=c=3．∴△ABC的周長為4+3+3=10②若b≠c,∴△ABC的周長為4+5=9．故選C．[點評]此題主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周長結(jié)合起來,利用三角形三邊關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．3．〔2008?隨州如圖,要使輸入的x值與輸出的y值相等,則這樣的x值有〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個[考點]一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．[專題]計算題；壓軸題．[分析]本題實際是分為兩種情況：〔1當x≤2時,有方程x2﹣2=x,分別解得x的值；〔2當x＞2時,由=x,解得x的值；看看究竟有幾個符合題意的x的值．[解答]解：〔1當x≤2時,由方程x2﹣2=x,解得：x=2或x=﹣1；〔2當x＞2時,由=x,解得：x=±,x=﹣應舍去,因而這樣的x的值有3個,分別是2,﹣1和．故選B．[點評]正確理解題意,把圖表問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解決本題的關(guān)鍵．4．〔1999?XX若a,b,c為三角形三邊,則關(guān)于的二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0的根的情況是〔A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定[考點]根的判別式；三角形三邊關(guān)系．[專題]壓軸題．[分析]先求出△=b2﹣4ac,再結(jié)合a,b,c為三角形的三邊,即可判斷根的情況．[解答]解：∵x2+〔a﹣bx+c2=0,∴△=b2﹣4ac==〔a﹣b2﹣c2=〔a﹣b﹣c〔a﹣b+c∵a,b,c為三角形三邊,∴b+c＞a,a+c＞b∴a﹣b﹣c＜0,a﹣b+c＞0∴〔a﹣b﹣c〔a﹣b+c＜0,即二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0無實數(shù)根．故選C．[點評]本題考查了一元二次方程根的判別式的應用及三角形三邊的關(guān)系．5．〔1998?XX如果關(guān)于x的方程7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,那么二次三項式7x2+px+q可分解為〔A．〔x﹣2〔x+3 B．〔x+2〔x﹣3 C．7〔x﹣2〔x+3 D．7〔x+2〔x﹣3[考點]解一元二次方程-因式分解法．[專題]計算題；壓軸題．[分析]根據(jù)方程的兩根,即可將多項式分解因式．[解答]解：∵7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,∴二次三項式7x2+px+q=7〔x﹣2〔x+3．故選C[點評]此題考查了解一元二次方程﹣因式分解,弄清題意是解本題的關(guān)鍵．6．〔2015?XX在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是〔A． B． C． D．[考點]二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．[專題]壓軸題．[分析]首先根據(jù)圖形中給出的一次函數(shù)圖象確定a、b的符號,進而運用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意,根據(jù)選項逐一討論解析,即可解決問題．[解答]解：A、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＞0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,對稱軸x=﹣＜0,應在y軸的左側(cè),故不合題意,圖形錯誤．B、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＜0,b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象應開口向下,故不合題意,圖形錯誤．C、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＜0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象開口向下,對稱軸x=﹣位于y軸的右側(cè),故符合題意,D、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＞0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象開口向下,a＜0,故不合題意,圖形錯誤．故選：C．[點評]此主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應用問題；解題的方法是首先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定a、b的符號,進而判斷另一個函數(shù)的圖象是否符合題意；解題的關(guān)鍵是靈活運用一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來分析、判斷、解答．7．〔2015?XX若拋物線y=〔x﹣m2+〔m+1的頂點在第一象限,則m的取值范圍為〔A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)．[專題]壓軸題．[分析]利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式表示出其頂點坐標,根據(jù)頂點在第一象限,所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．[解答]解：由y=〔x﹣m2+〔m+1=x2﹣2mx+〔m2+m+1,根據(jù)題意,,解不等式〔1,得m＞0,解不等式〔2,得m＞﹣1；所以不等式組的解集為m＞0．故選B．[點評]本題考查頂點坐標的公式和點所在象限的取值范圍,同時考查了不等式組的解法,難度較大．8．〔2015?XX如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象,則下列說法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當﹣1＜x＜3時,y＞0其中正確的個數(shù)為〔A．1 B．2 C．3 D．4[考點]二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．[專題]壓軸題．[分析]由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由x=1時的函數(shù)值判斷a+b+c＞0,然后根據(jù)對稱軸推出2a+b與0的關(guān)系,根據(jù)圖象判斷﹣1＜x＜3時,y的符號．[解答]解：①圖象開口向下,能得到a＜0；②對稱軸在y軸右側(cè),x==1,則有﹣=1,即2a+b=0；③當x=1時,y＞0,則a+b+c＞0；④由圖可知,當﹣1＜x＜3時,y＞0．故選C．[點評]本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系,以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換,根的判別式的熟練運用．9．〔2014?XX設(shè)b＞0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2﹣1的圖象為下列之一,則a的值為〔A．﹣1 B．1 C． D．[考點]二次函數(shù)的圖象．[分析]由拋物線的開口方向與對稱軸的位置選擇選擇函數(shù)的正確圖象,再根據(jù)圖象性質(zhì)計算a的值即可．[解答]解：由圖①和②得,b=0,與b＞0矛盾,所以此兩圖錯誤；由圖③得,a＜0,∵對稱軸為x=﹣＞0,∴a、b異號,即b＞0,符合條件；∵過原點,由a2﹣1=0,得a=±1,∴a=﹣1；由圖④得,a＞0,∵對稱軸為x=﹣＞0,∴a、b異號,即b＜0,與已知矛盾．故選A．[點評]此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．10．〔2014?XX市拋物線y=2x2,y=﹣2x2,共有的性質(zhì)是〔A．開口向下 B．對稱軸是y軸C．都有最高點 D．y隨x的增大而增大[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)．[分析]根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．[解答]解：〔1y=2x2開口向上,對稱軸為y軸,有最低點,頂點為原點；〔2y=﹣2x2開口向下,對稱軸為y軸,有最高點,頂點為原點；〔3y=x2開口向上,對稱軸為y軸,有最低點,頂點為原點．故選：B．[點評]考查二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a〔x﹣h2+k的性質(zhì)．二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向上,x＜﹣時,y隨x的增大而減??；x＞﹣時,y隨x的增大而增大；x=﹣時,y取得最小值,即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向下,x＜﹣時,y隨x的增大而增大；x＞﹣時,y隨x的增大而減?。粁=﹣時,y取得最大值,即頂點是拋物線的最高點．11．〔2014?XX小智將如圖兩水平線L1、L2的其中一條當成x軸,且向右為正向；兩鉛直線L3、L4的其中一條當成y軸,且向上為正向,并在此坐標平面上畫出二次函數(shù)y=ax2+2ax+1的圖形．關(guān)于他選擇x、y軸的敘述,下列何者正確？〔A．L1為x軸,L3為y軸 B．L1為x軸,L4為y軸C．L2為x軸,L3為y軸 D．L2為x軸,L4為y軸[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)．[分析]根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+2ax+1,得到與y軸交點坐標為〔0,1,確定L2為x軸；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,確定L4為y軸．[解答]解：∵y=ax2+2ax+1,∴x=0時,y=1,∴拋物線與y軸交點坐標為〔0,1,即拋物線與y軸的交點在x軸的上方,∴L2為x軸；∵對稱軸為直線x=﹣=﹣1,即對稱軸在y軸的左側(cè),∴L4為y軸．故選D．[點評]本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),難度適中．根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出與y軸交點坐標及對稱軸是解題的關(guān)鍵．二．填空題〔共6小題12．〔2015?XX定義：給定關(guān)于x的函數(shù)y,對于該函數(shù)圖象上任意兩點〔x1,y1,〔x2,y2,當x1＜x2時,都有y1＜y2,稱該函數(shù)為增函數(shù),根據(jù)以上定義,可以判斷下面所給的函數(shù)中,是增函數(shù)的有①③〔填上所有正確答案的序號①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2〔x＞0；④y=﹣．[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．[專題]壓軸題；新定義．[分析]根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)進行分析即可得到答案．[解答]解：y=2x,2＞0,∴①是增函數(shù)；y=﹣x+1,﹣1＜0,∴②不是增函數(shù)；y=x2,當x＞0時,是增函數(shù),∴③是增函數(shù)；y=﹣,在每個象限是增函數(shù),因為缺少條件,∴④不是增函數(shù)．故答案為：①③．[點評]本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì),掌握各種函數(shù)的性質(zhì)以及條件是解題的關(guān)鍵．13．〔2015?XX下列函數(shù)〔其中n為常數(shù),且n＞1①y=〔x＞0；②y=〔n﹣1x；③y=〔x＞0；④y=〔1﹣nx+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有3個．[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．[分析]分別根據(jù)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行分析即可．[解答]解：①y=〔x＞0,n＞1,y的值隨x的值增大而減小；②y=〔n﹣1x,n＞1,y的值隨x的值增大而增大；③y=〔x＞0n＞1,y的值隨x的值增大而增大；④y=〔1﹣nx+1,n＞1,y的值隨x的值增大而減??；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,n＞1,y的值隨x的值增大而增大；y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有3個,故答案為：3．[點評]此題主要考查了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)y=kx〔k≠0,k＞0時,y的值隨x的值增大而增大；一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0,y隨x的增大而增大,函數(shù)從左到右上升；k＜0,y隨x的增大而減小,函數(shù)從左到右下降；二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0當a＜0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向下,x＜﹣時,y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)的性質(zhì),當k＜0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．14．〔2015?XX在直角坐標系xOy中,對于點P〔x,y和Q〔x,y′,給出如下定義：若y′=,則稱點Q為點P的"可控變點"．例如：點〔1,2的"可控變點"為點〔1,2,點〔﹣1,3的"可控變點"為點〔﹣1,﹣3．〔1若點〔﹣1,﹣2是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的"可控變點",則點M的坐標為〔﹣1,2．〔2若點P在函數(shù)y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a的圖象上,其"可控變點"Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16,則實數(shù)a的取值范圍是≤a＜4．[考點]二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．[專題]壓軸題；新定義．[分析]〔1直接根據(jù)"可控變點"的定義直接得出答案；〔2根據(jù)題意可知y=﹣x2+16圖象上的點P的"可控變點"必在函數(shù)y=的圖象上,結(jié)合圖象即可得到答案．[解答]解：〔1根據(jù)"可控變點"的定義可知點M的坐標為〔﹣1,2；〔2依題意,y=﹣x2+16圖象上的點P的"可控變點"必在函數(shù)y′=的圖象上〔如圖．∵﹣16＜y′≤16,∴﹣16=﹣x2+16．∴x=4．當x=﹣5時,x2﹣16=9,當y′=9時,9=﹣x2+16〔x≥0．∴x=．∴a的取值范圍是≤a＜4．故答案為〔﹣1,2,≤a＜4．[點評]本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義"可控變點",解答此題還需要掌握二次函數(shù)的性質(zhì),此題有一定的難度．15．〔2014?XX如圖,在平面直角坐標系中,點A在第二象限,以A為頂點的拋物線經(jīng)過原點,與x軸負半軸交于點B,對稱軸為直線x=﹣2,點C在拋物線上,且位于點A、B之間〔C不與A、B重合．若△ABC的周長為a,則四邊形AOBC的周長為a+4〔用含a的式子表示．[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)．[專題]計算題．[分析]根據(jù)拋物線的對稱性得到：OB=4,AB=AO,則四邊形AOBC的周長為AO+AC+BC+OB=△ABC的周長+OB．[解答]解：如圖,∵對稱軸為直線x=﹣2,拋物線經(jīng)過原點、x軸負半軸交于點B,∴OB=4,∵由拋物線的對稱性知AB=AO,∴四邊形AOBC的周長為AO+AC+BC+OB=△ABC的周長+OB=a+4．故答案為：a+4．[點評]本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．此題利用了拋物線的對稱性,解題的技巧性在于把求四邊形AOBC的周長轉(zhuǎn)化為求〔△ABC的周長+OB是值．16．〔2014?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+c〔a＞0的對稱軸是過點〔1,0且平行于y軸的直線,若點P〔4,0在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為0．[考點]拋物線與x軸的交點．[專題]數(shù)形結(jié)合．[分析]依據(jù)拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點,代入解析式即可．[解答]解：設(shè)拋物線與x軸的另一個交點是Q,∵拋物線的對稱軸是過點〔1,0,與x軸的一個交點是P〔4,0,∴與x軸的另一個交點Q〔﹣2,0,把〔﹣2,0代入解析式得：0=4a﹣2b+c,∴4a﹣2b+c=0,故答案為：0．[點評]本題考查了拋物線的對稱性,知道與x軸的一個交點和對稱軸,能夠表示出與x軸的另一個交點,求得另一個交點坐標是本題的關(guān)鍵．17．〔2013?北京請寫出一個開口向上,并且與y軸交于點〔0,1的拋物線的解析式,y=x2+1〔答案不唯一．[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)．[專題]開放型．[分析]根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),開口向上,要求a值大于0即可．[解答]解：拋物線y=x2+1開口向上,且與y軸的交點為〔0,1．故答案為：x2+1〔答案不唯一．[點評]本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),開放型題目,答案不唯一,所寫拋物線的a值必須大于0．三．解答題〔共13小題18．〔2015?XX已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+2=0．〔1證明：不論m為何值時,方程總有實數(shù)根；〔2m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根．[考點]根的判別式；解一元二次方程-公式法．[專題]證明題．[分析]〔1求出方程根的判別式,利用配方法進行變形,根據(jù)平方的非負性證明即可；〔2利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根,根據(jù)題意求出m的值．[解答]〔1證明：△=〔m+22﹣8m=m2﹣4m+4=〔m﹣22,∵不論m為何值時,〔m﹣22≥0,∴△≥0,∴方程總有實數(shù)根；〔2解：解方程得,x=,x1=,x2=1,∵方程有兩個不相等的正整數(shù)根,∴m=1或2,m=2不合題意,∴m=1．[點評]本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應用,掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．19．〔2015?詔安縣校級模擬某商場銷售一批名牌襯衣,平均每天可售出20件,每件襯衣盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衣降價10元,商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利1200元,每件襯衣降價多少元？[考點]一元二次方程的應用．[專題]銷售問題．[分析]利用襯衣平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可．[解答]解：設(shè)每件襯衫應降價x元．根據(jù)題意,得〔40﹣x〔20+2x=1200整理,得x2﹣30x+200=0解得x1=10,x2=20．∵"擴大銷售量,減少庫存",∴x1=10應略去,∴x=20．答：每件襯衫應降價20元．[點評]此題主要考查了一元二次方程的應用,利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵．20．〔2015春?沙坪壩區(qū)期末閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2=0．設(shè)|x|=y,則y2﹣y﹣2=0．解得y1=2,y2=﹣1．當y=2時,|x|=2,∴x=±2；當y=﹣1時,|x|=﹣1,∴無實數(shù)解．∴原方程的解是：x1=2,x2=﹣2．在上面的解答過程中,我們把|x|看成一個整體,用字母y代替〔即換元,使得問題簡單化、明朗化,解答過程更清晰．這是解決數(shù)學問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程,利用換元法解下列方程：〔1x2﹣2|x|=0；〔2x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．[考點]換元法解一元二次方程．[專題]閱讀型；換元法．[分析]〔1結(jié)合例題,利用換元法求解即可．〔2結(jié)合例題,利用換元法求解即可．[解答]解：〔1原方程可化為|x|2﹣2|x|=0,設(shè)|x|=y,則y2﹣2y=0．解得y1=0,y2=2．當y=0時,|x|=0,∴x=0；當y=2時,∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0,x2=﹣2,x3=2．〔2原方程可化為|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．設(shè)|x﹣1|=y,則y2﹣4y+4=0,解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2,∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1,x2=3．[點評]本題主要考查了換元法解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是理解換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化．21．〔2014?XX模擬閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程,得．∵x為實數(shù),∴△==﹣y+4≥0,∴y≤4．因此,y的最大值為4．根據(jù)材料給你的啟示,求函數(shù)的最小值．[考點]一元二次方程的應用．[專題]壓軸題．[分析]根據(jù)材料內(nèi)容,可將原函數(shù)轉(zhuǎn)換為〔y﹣3x2+〔2y﹣1x+y﹣2=0,繼而根據(jù)△≥0,可得出y的最小值．[解答]解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程,得〔y﹣3x2+〔2y﹣1x+y﹣2=0,∵x為實數(shù),∴△=〔2y﹣12﹣4〔y﹣3〔y﹣2=16y﹣23≥0,∴y≥,因此y的最小值為．[點評]本題考查了一元二次方程的應用,這樣的信息題,一定要熟讀材料,套用材料的解題模式進行解答．22．〔2012?民勤縣校級模擬如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知,這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為"勾系一元二次方程"．請解決下列問題：〔1寫出一個"勾系一元二次方程"；〔2求證：關(guān)于x的"勾系一元二次方程"必有實數(shù)根；〔3若x=﹣1是"勾系一元二次方程"的一個根,且四邊形ACDE的周長是6,求△ABC面積．[考點]一元二次方程的應用；勾股定理的證明．[專題]幾何圖形問題；壓軸題．[分析]〔1直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；〔2通過判斷根的判別式△的正負來證明結(jié)論；〔3利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得c的值,根據(jù)完全平方公式求得ab的值,從而可求得面積．[解答]〔1解：當a=3,b=4,c=5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4=0；〔2證明：根據(jù)題意,得△=〔c2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2〔a2+b2﹣4ab=2〔a﹣b2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有實數(shù)根；〔3解：當x=﹣1時,有a﹣c+b=0,即a+b=c∵2a+2b+c=6,即2〔a+b+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4,a+b=2∵〔a+b2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．[點評]此類題目要讀懂題意,根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．23．〔2015?XX已知點A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．〔1若b=1,c=3,求n的值；〔2若此拋物線經(jīng)過點B〔4,n,且二次函數(shù)y=x2+bx+c的最小值是﹣4,請畫出點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的圖象,并說明理由．[考點]二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值．[專題]壓軸題．[分析]〔1代入b=1,c=3,以及A點的坐標即可求得n的值；〔2根據(jù)題意求得拋物線的解析式為y=〔x﹣12﹣4,從而求得點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的關(guān)系式為y=x′2﹣4,然后利用5點式畫出函數(shù)的圖象即可．[解答]解：〔1∵b=1,c=3,A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．∴n=4+〔﹣2×1+3=5．〔2∵此拋物線經(jīng)過點A〔﹣2,n,B〔4,n,∴拋物線的對稱軸x==1,∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的最小值是﹣4,∴拋物線的解析式為y=〔x﹣12﹣4,令x﹣1=x′,∴點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的關(guān)系式為y=x′2﹣4,點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的如圖：[點評]本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的最值等,根據(jù)題意求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．24．〔2015?義烏市如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M〔1,1,則稱此拋物線為定點拋物線．〔1張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y=2x2+3x﹣4,請你寫出一個不同于小敏的答案；〔2張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y=﹣x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式,請你解答．[考點]二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的性質(zhì)．[分析]〔1根據(jù)頂點式的表示方法,結(jié)合題意寫一個符合條件的表達式則可；〔2根據(jù)頂點縱坐標得出b=1,再利用最小值得出c=﹣1,進而得出拋物線的解析式．[解答]解：〔1依題意,選擇點〔1,1作為拋物線的頂點,二次項系數(shù)是1,根據(jù)頂點式得：y=x2﹣2x+2；〔2∵定點拋物線的頂點坐標為〔b,c+b2+1,且﹣1+2b+c+1=1,∴c=1﹣2b,∵頂點縱坐標c+b2+1=2﹣2b+b2=〔b﹣12+1,∴當b=1時,c+b2+1最小,拋物線頂點縱坐標的值最小,此時c=﹣1,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x．[點評]本題考查拋物線的形狀與拋物線表達式系數(shù)的關(guān)系,首先利用頂點坐標式寫出來,再化為一般形式．25．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC、BD、CD．〔1求此拋物線的解析式．〔2求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積．[考點]待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．[專題]計算題．[分析]〔1根據(jù)題意確定出B與C的坐標,代入拋物線解析式求出b與c的值,即可確定出解析式；〔2把拋物線解析式化為頂點形式,找出頂點坐標,四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積,求出即可．[解答]解：〔1由已知得：C〔0,4,B〔4,4,把B與C坐標代入y=﹣x2+bx+c得：,解得：b=2,c=4,則解析式為y=﹣x2+2x+4；〔2∵y=﹣x2+2x+4=﹣〔x﹣22+6,∴拋物線頂點坐標為〔2,6,則S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．[點評]此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點A〔1,0,交y軸于點B,對稱軸是x=2．〔1求拋物線的解析式；〔2點P是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使△PAB的周長最小？若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；軸對稱-最短路線問題．[分析]〔1根據(jù)拋物線經(jīng)過點A〔1,0,對稱軸是x=2列出方程組,解方程組求出b、c的值即可；〔2因為點A與點C關(guān)于x=2對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),連接BC與x=2交于點P,則點P即為所求,求出直線BC與x=2的交點即可．[解答]解：〔1由題意得,,解得b=4,c=3,∴拋物線的解析式為．y=x2﹣4x+3；〔2∵點A與點C關(guān)于x=2對稱,∴連接BC與x=2交于點P,則點P即為所求,根據(jù)拋物線的對稱性可知,點C的坐標為〔3,0,y=x2﹣4x+3與y軸的交點為〔0,3,∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,,解得,k=﹣1,b=3,∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3,則直線BC與x=2的交點坐標為：〔2,1∴點P的坐標為：〔2,1．[點評]本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和最短路徑問題,掌握待定系數(shù)法求解析式的一般步驟和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．〔2015?荊州已知關(guān)于x的方程kx2+〔2k+1x+2=0．〔1求證：無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根；〔2當拋物線y=kx2+〔2k+1x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且k為正整數(shù)時,若P〔a,y1,Q〔1,y2是此拋物線上的兩點,且y1＞y2,請結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；〔3已知拋物線y=kx2+〔2k+1x+2恒過定點,求出定點坐標．[考點]拋物線與x軸的交點；根的判別式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．[分析]〔1分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時,根的判別式△≥0,方程總有實數(shù)根；〔2通過解kx2+〔2k+1x+2=0得到k=1,由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2,結(jié)合圖象回答問題．〔3根據(jù)題意得到kx2+〔2k+1x+2﹣y=0恒成立,由此列出關(guān)于x、y的方程組,通過解方程組求得該定點坐標．[解答]〔1證明：①當k=0時,方程為x+2=0,所以x=﹣2,方程有實數(shù)根,②當k≠0時,∵△=〔2k+12﹣4k×2=〔2k﹣12≥0,即△≥0,∴無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根；〔2解：令y=0,則kx2+〔2k+1x+2=0,解關(guān)于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣,∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且k為正整數(shù),∴k=1．∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2,由圖象得到：當y1＞y2時,a＞1或a＜﹣4．〔3依題意得kx2+〔2k+1x+2﹣y=0恒成立,即k〔x2+2x+x﹣y+2=0恒成立,則,解得或．所以該拋物線恒過定點〔0,2、〔﹣2,0．[點評]本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,解答〔1題時要注意分類討論．28．〔2015?隨州如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出〔點A在y軸上,足球的飛行高度y〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時,離地面的高度為3.5m．〔1足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高？最大高度是多少？〔2若足球飛行的水平距離x〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t,已知球門的高度為2.44m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28m,他能否將球直接射入球門？[考點]二次函數(shù)的應用．[分析]〔1由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過〔0,0.5〔0.8,3.5,于是得到,求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+,當t=時,y最大=4.5；〔2把x=28代入x=10t得t=2.8,當t=2.8時,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44,于是得到他能將球直接射入球門．[解答]解：〔1由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過〔0,0.5〔0.8,3.5,∴,解得：,∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+,∴當t=時,y最大=4.5；〔2把