數(shù)學(xué)史視域下的證明問題研究

數(shù)學(xué)史視域下的證明問題研究

一、．“哲學(xué)的意義上的證明”一些科學(xué)家長期以來一直將數(shù)學(xué)史乃至數(shù)學(xué)哲學(xué)融入數(shù)學(xué)教育。在義務(wù)教育教科書八年級上冊《數(shù)學(xué)》中有一節(jié)的題目是“為什么要證明”為什么要證明？這其實(shí)是一個(gè)開放性的課題，但是教材卻沒有給予開放性回答，而是僅僅從觀察、實(shí)驗(yàn)與歸納的局限性引入證明的重要性。事實(shí)上，“為什么要證明”這個(gè)問題從哲學(xué)的角度來說答案是開放的，不是一兩句話就能說清楚。“證明”這一概念在人類數(shù)學(xué)發(fā)展史中很早就出現(xiàn)了，要真正理解人類在數(shù)學(xué)上為什么需要證明，就需要回到數(shù)學(xué)史中尋找答案。本文主要以泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖與亞里士多德等幾位哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家為例，通過對他們在關(guān)于數(shù)學(xué)證明方面工作的梳理研究來回答“為什么要證明”這個(gè)問題。實(shí)際上，本文列舉的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家都對推動(dòng)證明的發(fā)展做出了積極的貢獻(xiàn)，可以說，“數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)”是在這些哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家不斷探索中得到的，后來的數(shù)學(xué)家也繼承與發(fā)展了這一數(shù)學(xué)思想?！盀槭裁匆C明”的發(fā)展史就是由這些哲學(xué)家的貢獻(xiàn)組成的。因此，認(rèn)識理解了以下哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)證明上的研究，基本上就認(rèn)識和理解了“為什么要證明”的數(shù)學(xué)發(fā)展史。二、數(shù)學(xué)史的視角1.泰勒斯的貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)史上，“為什么要證明”這個(gè)問題可以追溯到古希臘。泰勒斯（Thales，約公元前640年—約公元前546年）是愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人，是古希臘第一位哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。泰勒斯最偉大的貢獻(xiàn)是把古埃及丈量土地的學(xué)問改造成演繹推理的學(xué)問，這一貢獻(xiàn)標(biāo)志著人類開始從經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向演繹數(shù)學(xué)。王樹禾高度評價(jià)了泰勒斯的這一貢獻(xiàn)：“在泰勒斯的示范之下，希臘數(shù)學(xué)開始由直觀感性的經(jīng)驗(yàn)階段向抽象的理論證明階段過渡，這是數(shù)學(xué)史上里程碑式的突破，對數(shù)學(xué)的成長與發(fā)展具有極其重大的意義?！?.泰勒斯和阿那克西曼德的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—約公元前500年）是古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，早年曾求學(xué)于泰勒斯和阿那克西曼德，40歲后創(chuàng)立所謂的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。3.“演繹法”的概念柏拉圖（Plato，公元前427年—公元前347年）是古希臘哲學(xué)家，但是他也熱衷于數(shù)學(xué)事業(yè)，對古希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)了極大的關(guān)注與重視。流傳十分廣泛的一個(gè)故事可能是柏拉圖在雅典學(xué)院的大門上寫了幾個(gè)字：“不懂幾何者，不得入內(nèi)”。克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想》中有這樣一段文字：“為什么希臘人堅(jiān)持要作演繹證明呢？既然歸納、觀察和實(shí)驗(yàn)一直是獲得知識的重要來源，并且被各門科學(xué)用得很多很好，那為什么希臘人喜歡在數(shù)學(xué)里用演繹推理而排斥其他一切方法呢？我們知道希臘人（人們稱之為有哲學(xué)思想的幾何學(xué)家）喜歡推理和設(shè)想，這從他們對哲學(xué)、邏輯和理論科學(xué)作出的巨大貢獻(xiàn)可以得到證明。另外，哲學(xué)家是關(guān)心獲得真理的，而歸納、實(shí)驗(yàn)以及根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出的一般結(jié)論只能給出可能正確的知識，而演繹法在前提正確的條件下則給出絕對肯定的結(jié)果。在古希臘社會中，數(shù)學(xué)是哲學(xué)家所追求的真理總體的一部分，因而認(rèn)為必須是演繹的?！?.古希臘哲學(xué)家與數(shù)學(xué)亞里士多德（Aristotle，公元前384年—公元前322年）是古希臘偉大的哲學(xué)家，是古希臘哲學(xué)的集大成者，他對數(shù)學(xué)也是有貢獻(xiàn)的?？巳R因說：“亞里士多德雖在發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)果上沒有重要貢獻(xiàn)（歐幾里得《原本》中有幾個(gè)定理屬于亞里士多德），但他對數(shù)學(xué)的本性及其與物理世界的關(guān)系所發(fā)表的看法卻影響很多?！?.歐幾里得幾何公理化的重要性亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人的基礎(chǔ)上用公理化的演繹體系方式建立了幾何學(xué)的大廈，具體的表現(xiàn)為《原本》的問世。當(dāng)然，人類的數(shù)學(xué)公理化體系的發(fā)展在這個(gè)時(shí)期還沒有終結(jié)。一方面，歐幾里得的幾何公理化還不太徹底，這項(xiàng)工作留給皮亞諾與希爾伯特等二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家去做；另一方面，針對歐幾里得《原本》中的“第五公設(shè)問題”也給以后數(shù)學(xué)家?guī)砹诵碌难芯款I(lǐng)域，給非歐幾何的誕生創(chuàng)造了條件。另一位偉大的幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonlius，公元前262—公元前190）也是繼承與發(fā)揚(yáng)古典時(shí)期的關(guān)于圓錐曲線方面研究成果的學(xué)者，當(dāng)然他本人在這個(gè)領(lǐng)域也是有創(chuàng)新的在古希臘數(shù)學(xué)史上，還有不少數(shù)學(xué)家或哲學(xué)家在自覺或不自覺地推動(dòng)演繹證明的數(shù)學(xué)發(fā)展，在此不再列舉。6.歐幾里得《原理》和《倫理學(xué)》文藝復(fù)興以來，古希臘的理性精神又一次在人類的舞臺上發(fā)揮出重要的作用。數(shù)學(xué)的演繹證明被推廣到更為廣泛的領(lǐng)域。例如，數(shù)學(xué)家、科學(xué)家牛頓（Newton,1642—1727）的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》就是按照歐幾里得《原本》的公理化的模式寫成的。著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家、人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus,1766—1834）提倡人口論的思想也有兩個(gè)假設(shè)，實(shí)際上這就是公理化最為顯著的一個(gè)例子是17世紀(jì)的哲學(xué)家斯賓諾莎（B.Spinoza,1632—1677）的名著《倫理學(xué)》，這本書就是一板一眼地按照歐幾里得《原本》的方式寫成的。1776年，美國的《獨(dú)立宣言》也同樣是以《原本》為效仿對象的三、．西方馬克思主義數(shù)學(xué)是演繹證明的科學(xué)通過以上內(nèi)容可知，數(shù)學(xué)證明其實(shí)與哲學(xué)家的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想有著千絲萬縷的聯(lián)系。泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖與亞里士多德等偉大的古希臘哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家，他們的目的其實(shí)是統(tǒng)一的，目標(biāo)是一致的，都是為了更好地追求數(shù)學(xué)知識真理而對數(shù)學(xué)知識強(qiáng)調(diào)用演繹證明的方式。這種對數(shù)學(xué)學(xué)科的高標(biāo)準(zhǔn)要求，對后世的影響是巨大的。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)界，要想讓一個(gè)數(shù)學(xué)命題得到數(shù)學(xué)界共同體的承認(rèn)，必須訴諸于演繹證明。另一方面，這幾位哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家都強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)中需要演繹證明，說明了他們的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)，這就涉及一個(gè)數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，或者說這是一個(gè)認(rèn)識論的問題但是，如果你不認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)，而認(rèn)為它是一門經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)，同樣可以說“數(shù)學(xué)不需要證明，只需要進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)就能產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識”。這樣的例子也是存在的。例如，古埃及數(shù)學(xué)、古巴比倫數(shù)學(xué)、古印度數(shù)學(xué)，甚至中國古代數(shù)學(xué)中都存在經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)，這些文明古國的數(shù)學(xué)家很少像古希臘數(shù)學(xué)家那樣對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行證明，雖然在這些文明古國中的數(shù)學(xué)命題很多沒有經(jīng)過演繹證明，但是經(jīng)受了實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的考驗(yàn)，幾乎也都是正確的。這些文明古國的數(shù)學(xué)很少有證明，因?yàn)樗麄儧]有像古希臘哲學(xué)家或數(shù)學(xué)家那樣特別強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)是演繹的科學(xué)”這一數(shù)學(xué)觀念。以上從古希臘數(shù)學(xué)史的視角論證了為什么要證明，也可以說是古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家為了追求一般的