真空中的靜電場1

真空中的靜電場+-靜電場第十章electrostaticfieldchapter10本章內(nèi)容本章內(nèi)容ContentsCoulomb'slaw庫侖定律電場電場強(qiáng)度electricfieldelectricfieldstrength高斯定理Gauss'stheorem電勢能electricpotential電勢electricpotentialenergy

本章內(nèi)容interactionofelectrostaticfieldwithconductor電容capacity靜電場與介質(zhì)的相互作用interactionofelectrostaticfieldwithdielectric

介質(zhì)中的高斯定理Gausstheoremindielectric

電場的能量energyofelectricfield

電場與導(dǎo)體的相互作用

10.1

庫侖定律

Coulomb’sLaw庫侖定律庫侖定律一、電荷電荷---組成實(shí)物的某些基本粒子（電子、質(zhì)子等）的固有屬性之一。自然界存在正、負(fù)兩種電荷，同性電荷相斥，異性相吸。電荷的量子性自然界中任何帶電體的電量（電荷的定量量度）總是以某一基本單元（）的整數(shù)倍（）出現(xiàn)。QenQne為電子或質(zhì)子帶電量的絕對值。ee271369.0173101庫侖（）C電荷守恒定律電荷守恒定律在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，任一時刻存在于系統(tǒng)中的正、負(fù)電荷的代數(shù)和始終保持不變。該定律的要點(diǎn)：電荷的代數(shù)和不變性孤立系統(tǒng)中正、負(fù)電荷各自的量可能發(fā)生變化，但其代數(shù)和恒保持不變。例如，正、負(fù)電子相遇轉(zhuǎn)化為兩個光子。高能光子經(jīng)過另一粒子附近時可能轉(zhuǎn)換為正、負(fù)電子對。電荷的相對論不變性孤立系統(tǒng)的電量，與其運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。在不同參考系內(nèi)進(jìn)行觀察，系統(tǒng)總電量保持不變。電荷守恒定律對宏觀過程和微觀過程均適用。真空庫侖定律二、真空中的庫侖定律點(diǎn)電荷相對于要研究的問題，其大小和形狀可以忽略的帶電體。q1rr2q施力點(diǎn)電荷受力點(diǎn)電荷施受單位矢量距離真空中兩靜止點(diǎn)電荷的的相互作用力（靜電力或庫侖力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2稱真空電容率0e或真空介電系數(shù)續(xù)庫侖定律這種矢量表達(dá)式不論為同號q12q或異號電荷，也不論誰是受q12q力者均可適用。例如，帶負(fù)電2q2q()0,q1帶正電()0,q1若考慮2q受力F,所得結(jié)果F0,即與反向，F(xiàn)r與定性判斷一致。真空中的庫侖定律又可寫成Frq12qr20e4p13rq12qr0e4p1q1rr2q施力點(diǎn)電荷受力點(diǎn)電荷施受單位矢量距離真空中兩靜止點(diǎn)電荷的的相互作用力（靜電力或庫侖力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2稱真空電容率0e或真空介電系數(shù)

10.2

電場電場強(qiáng)度

electricfieldelectricfieldstrength早期：電磁理論是超距作用理論后來:法拉第提出近距作用并提出力線和場的概念一、電場

(electricfield)電場：給電荷以力的作用的物理場1.電場的宏觀表現(xiàn)對放其內(nèi)的任何電荷都有作用力電場力對移動電荷作功（電場強(qiáng)度）（電勢）電場電場強(qiáng)度電場電場強(qiáng)度2.靜電場

相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場是電磁場的一種特殊形式又稱庫侖場。靜止電荷之間的作用力是通過靜電場來傳遞的

電荷電場電荷電量為Q的帶電體在空間產(chǎn)生電場描述場中各點(diǎn)電場強(qiáng)弱的物理量是電場強(qiáng)度二、電場強(qiáng)度思考試驗(yàn)電荷必須滿足兩?。弘娏砍浞值匦【€度足夠地小試驗(yàn)電荷放到場點(diǎn)P處，試驗(yàn)電荷受力為試驗(yàn)表明：確定場點(diǎn)比值與試驗(yàn)電荷無關(guān)電場強(qiáng)度定義定義方法：為什么？討論1)2)矢量場3)SI中單位4)電荷在場中受的電場力點(diǎn)電荷在外場中受的電場力或一般帶電體在外場中受力隨堂小議(1)

E與q成反比，因?yàn)楣街衠0

出現(xiàn)在分母上。電場強(qiáng)度0q的物理意義表明EF0請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案隨堂小議(2)

E與q無關(guān)，因?yàn)榉肿覨中含有q因子。00結(jié)束選擇(1)

E與q成反比，因?yàn)楣街衠0

出現(xiàn)在分母上。電場強(qiáng)度0q的物理意義表明EF0請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案隨堂小議(2)

E與q無關(guān)，因?yàn)榉肿覨中含有q因子。00結(jié)束選擇小議鏈接1小議鏈接2(1)

E與q成反比，因?yàn)楣街衠0

出現(xiàn)在分母上。電場強(qiáng)度0q的物理意義表明EF0請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案隨堂小議(2)

E與q無關(guān)，因?yàn)榉肿覨中含有q因子。00結(jié)束選擇三、電場強(qiáng)度的計(jì)算1.點(diǎn)電荷Q的場強(qiáng)公式要解決的問題是：場源點(diǎn)電荷Q的場中各點(diǎn)電場強(qiáng)度。解決的辦法：根據(jù)庫侖定律和場強(qiáng)的定義。由庫侖定律有，首先，將試驗(yàn)點(diǎn)電荷q放置場點(diǎn)P處1)

球?qū)ΨQ由庫侖定律由場強(qiáng)定義討論2)場強(qiáng)方向：正電荷受力方向由上述兩式得2.場強(qiáng)疊加原理任意帶電體的場強(qiáng)1）如果帶電體由n個點(diǎn)電荷組成，如圖由電力疊加原理由場強(qiáng)定義整理后得或根據(jù)電力疊加原理和場強(qiáng)定義2）如果帶電體電荷連續(xù)分布，如圖把帶電體看作是由許多個電荷元組成，然后利用場強(qiáng)疊加原理求解。P體電荷密度面電荷密度線電荷密度電荷密度電偶極子的場

首先看一對相距為l的等量異號點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度：根據(jù)場強(qiáng)疊加原理：若從電荷連線的中點(diǎn)向場點(diǎn)P畫一位矢且滿足：r>>l的條件，則這一對等量異號點(diǎn)電荷叫做電偶極子(electricdipole)描述的物理量是電偶極矩(electricmoment)，定義式：方向：從負(fù)點(diǎn)電荷指向正點(diǎn)電荷電偶極子場強(qiáng)偶極電荷連線的延長線上某點(diǎn)B處的場強(qiáng)偶極電荷連線的中垂線上某點(diǎn)A處的場強(qiáng)例電偶極子的場強(qiáng)+EAEA+EA()+EAEA+EAcosq2q0e4pl2r2l2()2+r2l2()2+q0e4pl32r2l2()2+EB++EBEBEBq0e4p1rl2()2+rl2()21lq0e4p2rr2l2()22q+EAqEAEAqqlq++qB+EBEBEBrOrArl若則q10e4p3rlEA遠(yuǎn)rl若則10e4p2ql3rEB遠(yuǎn)定義偶極矩為l+方向由指向并規(guī)定10e4p3r2EB遠(yuǎn)則EA遠(yuǎn)10e4p3r，qlp電矩或pp帶電直線場強(qiáng)例均勻帶電直線的場強(qiáng)ydysinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld線元帶電dydy在點(diǎn)產(chǎn)生元場強(qiáng)為P換元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得E？YXOa1q2q電荷線密度lABLdEydExdErqpqP續(xù)16YXO例均勻帶電直線的場強(qiáng)rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld線元帶電dydy在點(diǎn)產(chǎn)生元場強(qiáng)為P電荷線密度l換元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsin續(xù)17YXO例均勻帶電直線的場強(qiáng)rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld線元帶電dydy在點(diǎn)產(chǎn)生元場強(qiáng)為P電荷線密度l換元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsinxEcos0e4pal1q2q()cosyE0e4pal1q2q()sinsinjixE+EyEE2xE+yE2若L為無限長01q2qpExE0epal2E？帶電平面場強(qiáng)例無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)sq電荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy帶電線元場強(qiáng)的積分P帶電平面的場強(qiáng)線元的電荷線密度ldys對應(yīng)于本題Eddysr2pe0運(yùn)用無限長直電荷場強(qiáng)公式Ela2pe0各線元的對稱相消EdyExEdEdcosq續(xù)19E？帶電平的場強(qiáng)例無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)sq電荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy帶電線元場強(qiáng)的積分P帶電平面的場強(qiáng)線元的電荷線密度ldys對應(yīng)于本題Eddysr2pe0運(yùn)用無限長直電荷場強(qiáng)公式Ela2pe0各線元的對稱相消EdyExEdEdcosqdysEdr2pe0ExEdEdcosqdysr2pe0cosq2+by2rb得Edysr2pe02bdys2pe0b2+by288s2pe0()ybarctg88s2pe0(2p2p)s2e0兩個常用公式注意前述兩個推導(dǎo)結(jié)果*“無限長”均勻帶電直線的場強(qiáng)El0epa2電荷線密度laPE為負(fù)時lE反向*EEs電荷面密度s“無限大”均勻帶電平面的場強(qiáng)s2e0E為負(fù)時E反向s帶電圓環(huán)場強(qiáng)XqaOXxE？例均勻帶電圓環(huán)軸上點(diǎn)的場強(qiáng)圓環(huán)軸上點(diǎn)的場強(qiáng)P各線元的成對相消Ed線元的電量為dldq2paqdl對應(yīng)的元場強(qiáng)為Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圓周上各線元在點(diǎn)的元場強(qiáng)的矢量和PE則xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdP續(xù)22XqaOXxE？帶電圓環(huán)場強(qiáng)例均勻帶電圓環(huán)軸上點(diǎn)的場強(qiáng)圓環(huán)軸上點(diǎn)的場強(qiáng)P各線元的成對相消Ed線元的電量為dldq2paqdl對應(yīng)的元場強(qiáng)為Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圓周上各線元在點(diǎn)的元場強(qiáng)的矢量和PE則xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPXqaOxrEPE0e4pqx()xa2+232結(jié)果：又因()xa2+221r故又可表成3E0e4pqxr若xa（遠(yuǎn)場）x()xa2+232xx312x則0e4pq遠(yuǎn)E(2x)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)帶電圓盤場強(qiáng)E？ss例均勻帶電薄圓盤軸上點(diǎn)的場強(qiáng)圓盤在點(diǎn)的場強(qiáng)P各同心環(huán)帶元在點(diǎn)的元場強(qiáng)的矢量和PRROOXxrEdadadaaP電荷面密度sada某圓環(huán)半徑，環(huán)帶寬dq該環(huán)帶電為2psaadEx()423pe0q+2ax2運(yùn)用帶電圓環(huán)軸上場強(qiáng)公式Edx()423pe0+2ax2dq對應(yīng)于本題為4pe0()23+2ax2x2psaadE則Ed2e0sxR0a()23+2ax2ad2e0sx1()2+2ax210R2e0s(1x)+2x2R若x（超近場）則相當(dāng)于無窮大帶電平面的場強(qiáng)Rx+2x2R以至0超近E2e0s帶電球面場強(qiáng)E？R電荷面密度sOr例均勻帶電球面的場強(qiáng)球面在點(diǎn)的場強(qiáng)P球面上各環(huán)帶元在點(diǎn)的元場強(qiáng)的矢量和PEx()423pe0q+2ax2運(yùn)用帶電圓環(huán)軸上場強(qiáng)公式a某環(huán)帶半徑sinq環(huán)帶寬dq環(huán)帶面積為2pdsaadq2sinqdq2pRRRR對應(yīng)于本題為Ed()234pe0+2ax2dqx總電量q4p2Rs環(huán)帶帶電量sdqdss2sinqdq2pR21qsinqdq2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23dqRldqqOaaxEdP續(xù)25帶電球面場強(qiáng)E？R電荷面密度sOr例均勻帶電球面的場強(qiáng)球面在點(diǎn)的場強(qiáng)P球面上各環(huán)帶元在點(diǎn)的元場強(qiáng)的矢量和PEx()423pe0q+2ax2運(yùn)用帶電圓環(huán)軸上場強(qiáng)公式a某環(huán)帶半徑sinq環(huán)帶寬dq環(huán)帶面積為2pdsaadq2sinqdq2pRRRR環(huán)帶帶電量sdqds對應(yīng)于本題為Ed()234pe0+2ax2dqxqdqOaaxEdP總電量q4p2Rss2sinqdq2pR21qsinqdqldqR2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR232pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23Ed為積分方便換元dqldQ2R+2r2cosq()rRpe08cosq()rRqsinqdq23由POQl2R+2r2cosq()rR12ld得2R+2r2cosq()rRrRsinqdqEdE22()pe08qRrrR++rr1rR2l2lrRl2dl16pe0Rr2qRrrR++2rR2l2l2dl16pe0Rr2ql2rR2lRrrR+qpe0r24P點(diǎn)在球面外：若P點(diǎn)在球面內(nèi)積分限為RrrR+到，結(jié)果得0E點(diǎn)電荷電偶極子無限長帶電線(柱面柱體）無限大帶電面（板）r>>dr>>lr<<Lr<<dPPPP理想模型條件帶電體P場點(diǎn)結(jié)束

10.3

高斯定理

Gauss’stheorem真空中靜電場的高斯定理一、電場線（電力線或線）E靜電場的虛擬形象描述電場線+-垂直的面元dsENd條通過E約定：某點(diǎn)處電場線的方向是該點(diǎn)處NddsE的方向。電場線的密度定為E定量規(guī)定：

通過單位垂直面積的電力線條數(shù)等于該區(qū)域的電場強(qiáng)度值電場線的性質(zhì)1)電場線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，終止于負(fù)電荷，不會在沒有電荷處中斷；2)兩條電場線不會相交；3)電場線不會形成閉合曲線。由靜電場的基本性質(zhì)和場的單值性決定的。可用靜電場的基本性質(zhì)方程加以證明。++-++++----電通量二、電通量（通量）E電通量電通量：通過電場中某一個面的電場線數(shù)。ef勻強(qiáng)電場中通過某一平面的通量sEEEsnnsefEsEEsnnsqqqqqcossqcossefEsqcos續(xù)28sqEnds非勻強(qiáng)電場中通過任一曲面的通量sEE通過面元的元通量dsefdefdqcosdsE定義面元矢量dsndsefd則的定義式為efdqcosdsEEds通過曲面的通量為sEefdefsqcosdsEEdsss若為封閉曲面，應(yīng)規(guī)定n各個面元的均指向曲面外，sefEds并作封閉面積分凡例例EEnnRqqqq圓面非封閉半球面ef2pREef2pREef2pRE勻強(qiáng)efqcosdsEsEdss封閉半球面封閉球面任意封閉曲面nnnnnEnnnn勻強(qiáng)E非勻強(qiáng)sefEds0ef0ef0即進(jìn)、出同一封閉面的線數(shù)目相等，總通量均為零。E特例引入下節(jié)例封閉球面中心有點(diǎn)電荷E+qqrrnqe04pr24pr2he0qefEdssEef-qqrrn同理可得qe0e0qq用負(fù)值帶入+qqs12sss12ss對球面對球面對包圍的任意封閉曲面q：：必有efqe0efqe0efqe0高斯定理e0qefef0+qsEef通過任意封閉曲面的通量sE回顧前例內(nèi)q在sq在外s+Eqs高斯定理將給出更普遍的表述三、高斯定理續(xù)32外sEds0efsEds0qs在2ef112內(nèi)efsEdsefsEefsEe0dse0dse0qs在i13ii2i1i23iqi1qi2qi3efsEEdse0sEdse0()+()E1+)總E2+Ei1+i2+3iqi1+qi2+qi31qiS通過任意封閉曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01+-++-s任意封閉曲面（簡稱高斯面）q1q1iq3iq2iq2在真空中通過任一封閉曲面的電通量該曲面內(nèi)電荷電量的代數(shù)和除以e0注意EqiS及在面ss內(nèi)、外ds的合場強(qiáng)一切電荷的面元處s內(nèi)的電荷電量的代數(shù)和三、高斯定理續(xù)33續(xù)28++-+-q1q1iq3iq2iq2s任意封閉曲面通過任意封閉曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01s內(nèi)的電荷電量的代數(shù)和在面ss內(nèi)、外ds的合場強(qiáng)一切電荷的面元處（簡稱高斯面）三、高斯定理Q任意帶電體s內(nèi)的電荷電量的代數(shù)和dqQ積分隨堂小議（1）為零，也可能不為零；（2）處處為零。請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案

若通過一閉合曲面的通量為零，則此閉合曲面上的一定是EE隨堂小議結(jié)束選擇小議鏈接1（1）為零，也可能不為零；（2）處處為零。請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案

若通過一閉合曲面的通量為零，則此閉合曲面上的一定是EE隨堂小議結(jié)束選擇小議鏈接2（1）為零，也可能不為零；（2）處處為零。請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案

若通過一閉合曲面的通量為零，則此閉合曲面上的一定是EE隨堂小議結(jié)束選擇1)閉合面內(nèi)、外電荷的貢獻(xiàn)2)靜電場性質(zhì)的基本方程

e>0,表明面內(nèi)凈電荷為正，正電荷為源頭，

e<0,表明面內(nèi)凈電荷為負(fù)，負(fù)電荷為源尾。3)微分形式討論都有貢獻(xiàn)對對電通量的貢獻(xiàn)有差別只有閉合面內(nèi)的電量對電通量有貢獻(xiàn)有源場4)源于庫侖定律高于庫侖定律庫侖定律只適用于靜止的點(diǎn)電荷,高斯定理適用于任何帶電體;高斯定理不僅適用于靜電場，也適用于變化的電場；當(dāng)帶電體的電荷分布具有一定的對稱性時，可以用高斯定理方便地求場強(qiáng)分布。常見的電量分布的對稱性：

球?qū)ΨQ柱對稱面對稱均勻帶電的球體球面(點(diǎn)電荷)無限長柱體柱面帶電線無限大平板平面利用高斯定律求靜電場的分布★★★1.步驟（1）根據(jù)電荷分布對稱性分析電場分布對稱性；（2）應(yīng)用高斯定律求場強(qiáng)。2.關(guān)鍵選擇合適的高斯面，使E能以標(biāo)量形式方便地從積分號中提出。四、應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)某些帶電體的電場具有某種特殊的對稱性分布，應(yīng)用高斯定理，恰當(dāng)選取高斯面，能方便地求出場強(qiáng)。sefEdsqiSe01sqcosdsEs(1)根據(jù)電荷(電場)分布的對稱性，選取適當(dāng)高斯面；(2)某一高斯面上或高斯面的某一部分上場強(qiáng)大小不變；(3)高斯面上場強(qiáng)與面元法線方向夾角恒定,便于計(jì)算。高斯面的選取3.舉例目的：1)清晰用高斯定理解題的步驟2)通過解題明確用高斯定理解題的條件3)簡單的解作為基本結(jié)論記住并且能熟練使用。

理論是建立在理想模型之上的RPrORErr

例求電量為Q半徑為R的均勻帶電球面的電場強(qiáng)度分布對稱性分析第1步：根據(jù)電荷分布的對稱性選取合適的高斯面(閉合面)解:取過場點(diǎn)P的以球心o為心的球面第2步：從高斯定理等式的左方入手計(jì)算高斯面的電通量第3步：根據(jù)高斯定