大學(xué)數(shù)學(xué)二向量空間

§1空間向量及其線性運(yùn)算一、向量概念向量:

既有大小,又有方向的量,稱為向量.(或矢量)2.向量的幾何表示法:

用一條有方向的線段來(lái)表示向量.以線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.記為模為1的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量，它的方向可以看作是任意的.特別3.自由向量自由向量:只有大小、方向,而無(wú)特定起點(diǎn)的向量.具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).

大小相等且方向相同,二、向量的加減法1.定義1.1.向量加法(1)平行四邊形法則設(shè)有(若起點(diǎn)不重合,可平移至重合).作以為鄰邊的平行四邊形,對(duì)角線向量,稱為的和,記作(2)三角形法則將之一平行移動(dòng),使 的起點(diǎn)與的終點(diǎn)重合,則由 的起點(diǎn)到的終點(diǎn)所引的向量為2.向量加法的運(yùn)算規(guī)律.(1)交換律:(2)結(jié)合律:例如:3.向量減法.(1)負(fù)向量:與模相同而方向相反的向量,稱為的負(fù)向量.記作(2)向量減法.規(guī)定:（a）

平行四邊形法則.將之一平移,使起點(diǎn)重合,作以為鄰邊的平行四邊形,對(duì)角線向量,為（b）三角形法則.將之一平移,使起點(diǎn)重合,由的終點(diǎn)向的終點(diǎn)作一向量,即為三、數(shù)與向量的乘法1.定義1.2:實(shí)數(shù)

與向量的為一個(gè)向量.其中:當(dāng)

>0時(shí),當(dāng)

<0時(shí),當(dāng)

=0時(shí),2.數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律:(2)分配律:(

<0)(

>0)結(jié)論:

設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.則或定理1.1:兩個(gè)非零向量平行存在唯一實(shí)數(shù)

，使得例1.1:

在平行四邊形ABCD中,設(shè)AB=,AD=試用表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=

MD

MA=

MC

DABCM四.向量在軸上的投影1.點(diǎn)在軸上投影設(shè)有空間一點(diǎn)A及軸

u,過(guò)

A作

u軸的垂直平面

π,平面

π

與

u軸的交點(diǎn)A'

叫做點(diǎn)

A在軸

u上的投影.A'Auπ2.向量在軸上的投影.設(shè)有向線段AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)A

和B

.定義1.3:B'BA'Au向量AB在軸u上的投影向量或射影向量.稱有向線段A

B

為如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，則稱

x

為向量AB

在軸u上的投影，記作則向量AB的投影向量A'B'有：B'BA'Aue3.兩向量的夾角設(shè)有非零向量(起點(diǎn)同).規(guī)定：正向間位于0到之間的那個(gè)夾角為的夾角,記為或(1)若同向，則(2)若反向，則(3)若不平行，則4.向量的投影性質(zhì).定理1.2.(投影定理)設(shè)向量AB與軸u的夾角為

則

ProjuAB=||AB||·cos

B

BA

Au

B1

定理1.3

兩個(gè)向量的和在軸u上的投影等于兩上向量在該軸上的投影的和。推論:B

BA

AuCC

即即定理1.4:實(shí)數(shù)

與向量的乘積在軸u上的投影，等于

乘以向量在該軸上的投影。一、空間直角坐標(biāo)系的建立1.空間直角坐標(biāo)系ozxyzxyx軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,又稱笛卡爾(Descartes)坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).o§2空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示2.坐標(biāo)面.由三條坐標(biāo)軸的任意兩條確定的平面,稱為坐標(biāo)面,分別叫xy面.yz面、zx面,它們將空間分成八個(gè)卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1.點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示.RQP<M>(x,y,z)記:點(diǎn)M為M(x,y,z)OxyzMxyz二、空間向量的表示(1)若點(diǎn)M在yz面上,則x=0;

在zx面上,則y=0;

在xy面上,則z=0.(2)若點(diǎn)M在

x軸上,則y=z=0在y軸上,則x=z=0在z軸上,則x=y=0特別:2.空間向量的坐標(biāo)表示(1).起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量OM設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)以i,j,k分別表示沿x,y,z軸正向的單位向量,稱為基本單位向量.

OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+

zkx,y,z,分別是OM在三坐標(biāo)軸上的投影,稱為OM的坐標(biāo).zijkMoxyCABzyxN簡(jiǎn)記為OM

=(x,y,z)稱為向量OM的坐標(biāo)表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：從而：(2.1)(2).起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量a=M1M2設(shè)點(diǎn)M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2

OM1=(x2i+

y2j+

z2k)

(x1i+y1j

+z1k)

=(x2

x1)

i+(y2

y1)

j+(z2

z1)

k即a=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)為向量a的坐標(biāo)表示式記ax=x2

x1

,ay=y2

y1,az=z2

z1分別為向量a在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影,稱為a的坐標(biāo).zxyM1M2aoa=M1M2=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)(2.2)兩點(diǎn)間距離公式：(2.3)由此得(3).運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且

為常數(shù)

a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz)

a

=(

ax,

ay,

az)證明:

a

+b=(axi

+

ayj+

azk)+(bxi

+

byj+

bzk)=(axi

+bxi

)+(ayj+byj)+(azk+

bzk)=(ax+bx)

i

+(ay+by)j+(az+

bz)

k

a

+b=(ax+

bx,ay+

by,az+

bz)(4)兩向量平行的充要條件.設(shè)非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax

=

bx,ay

=

by,az

=

bz,于是注:在(*)式中,規(guī)定若某個(gè)分母為零相應(yīng)的分子也為零.

a//b(*)

a//b

a=

b則(

為常數(shù))例如：(4,0,6)//(2,0,3)三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.1.方向角:

非零向量a與x,y,z軸正向夾角

,

,

,稱為a的方向角.2.方向余弦:

方向角的余弦

cos

,cos

,cos

,稱為方向余弦.3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式故有

ax=||a||

cos

ay=||a||

cos

az=||a||

cos

a

yzx0

設(shè)a=(ax,ay,az)又：(2.4)(2.5)由(2.5)式可得cos2

+cos2

+cos2

=1(2.6)設(shè)ao是與a同向的單位向量ao=(cos

,cos

,cos

)(2.7)例2.1.

已知兩點(diǎn)M1(2,2,)和M2(1,3,0).計(jì)算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.

解:M1M2=(1,1,)||M1M2||=例2.2:在z軸上求與兩點(diǎn)A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距離的點(diǎn).解:設(shè)該點(diǎn)為M(0,0,z)由題設(shè)|MA|=|MB|.即:解得:所求點(diǎn)為M(0,0,)例2.3:證明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解:由|M2M3|=|M3M1|,所以

M1M2M3是等腰三角形.§3向量空間一、n維向量定義3.1由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組(a1,a2,…an)稱為一個(gè)n維向量。

=(a1,a2,…an)其中第i

個(gè)數(shù)ai(i=1,2,…,n)稱為n

維向量

的第i

個(gè)分量或坐標(biāo)。零向量0=(0,0,…,0)負(fù)向量對(duì)

=(a1,a2,…an)稱

(－a1,－a2,…,－an)為

的負(fù)向量。記為－

。－

=(－a1,－a2,…,－an)行向量

=(a1,a2,…,an)列向量規(guī)定：兩個(gè)向量

=(a1,a2,…an),

=(b

1,b

2,…b

n)相等，記

=

ai=bi

(i=1,2,…,n)二、n

維向量的線性運(yùn)算定義3.2設(shè)

=(a1,a2,…,an)，

=(b

1,b

2,…,b

n)

是數(shù)規(guī)定：(1)加法：

+

=(a1+b1,a2+b2,…,an

+bn)(2)數(shù)與向量的乘法：

=(

a1,

a2,…,

an)向量的加法及數(shù)與向量的乘法兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。2.向量的線性運(yùn)算滿足八條運(yùn)算律(1)

+＝+(2)(+)

+

＝+(+

)(3)

+0＝(4)

+(－)＝0設(shè)

、

、

是n

維向量，0

是n維零向量，k、l

是任意實(shí)數(shù)。(5)k(+)

＝k+k(6)(k+l)=k+l(7)(kl)=k(l)(8)

1·=三、向量空間與子空間定義3.3設(shè)V

是n維向量的集合，如果V

對(duì)向量的兩種運(yùn)算封閉，即V

滿足:(1)

,V，

有

+V(2)

V，kR，

有

kV則稱V

是一個(gè)向量空間。例如(3)

V1={(0,a2,…,an)|ai

R,i=2,3,…n}是一個(gè)向量空間，且V1

Rn，稱為Rn

的一個(gè)子空間。(2)

V={0}，由于0+0=0，k·0=0，

V={0}構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為零空間。(1) 全體n

維向量構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為

n維向量空間：記作Rn;定義3.4設(shè)V是一個(gè)向量空間，V1

V，若V1也是一個(gè)向量空間(即對(duì)向量的兩種運(yùn)算封閉)，則稱V1是V

的一個(gè)子空間。注：一個(gè)向量空間V

至少有兩個(gè)子空間：

V

及零子空間{0}，稱為平凡子空間。例5.1：設(shè)證明：L構(gòu)成一個(gè)向量空間。證：

,

L，

R

L是一個(gè)向量空間注意：稱為由

1,

2,…,

m

生成的向量空間，記為L(zhǎng)

(

1,

2,…,

m

)對(duì)于向量則1.2.對(duì)于m×n矩陣A的列向量組

1,

2,…,

n

Rm。稱L(

1,

2,…,

n)為A的列空間，記為

N(A)。A的行向量組

1,

2,…,

m

Rn，稱L(

1,

2,…,

m)為A的行空間，記為N(AT)?！?向量組的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念比較兩組向量：(1)

1=(1,0,－1),

2=(0,3,4)考察k1

1+k2

2=(k1,3k2,－k1+4k2)當(dāng)k1

＝k2=0時(shí)k1

1+k2

2=0(2)

1=(1,0,－1),

2=(2,0,－2)當(dāng)k1

＝k2=0時(shí)k1

1+k2

2=0當(dāng)k1=－2,k2=1時(shí)k1

1+k2

2=0定義4.1設(shè)

1

，

2，…，

m

是m個(gè)n維向量，若存在m個(gè)不全為0的數(shù)

1，

2，…，

m，使得

1

1+

2

2+…+

m

m=0(4.1)則稱向量組

1

，

2，…，

m

線性相關(guān)，否則，稱它們線性無(wú)關(guān)。注：

1

，

2，…，

m線性無(wú)關(guān)

1

1+

2

2+…+

m

m=0

1=

2=…=

m=0例4.1：考察n維向量組解：設(shè)有一組數(shù)

1，

2，…，

n。使得

1e1+

2e2+…+

nen=0即：(

1,0,…,0)+(0,

2,…,0)+…+(0,0,…,

n)=(

1，

2，…，

n)=0

1=

2=…=

n=0所以e1，e2，…，en線性無(wú)關(guān)稱e1，e2，…，en為n維單位向量組e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)的線性相關(guān)性。例4.2

設(shè)

1=(1,1,1)，

2=(1,2,3)，

3=(1,3,6)討論其線性相關(guān)性。解：

1

1+

2

2+

3

3=0設(shè)有一組數(shù)

1，

2，

3

使即：(

1+

2+

3,

1+2

2+3

3,

1+3

2+6

3)=(0,0,0)有:

1+

2+

3=0

1+2

2+3

3=0

1+3

2+6

3=0因?yàn)橄禂?shù)行列式所以方程組只有唯一的一組零解，

1=

2=

3=0，故

1,

2,

3

線性無(wú)關(guān)。例4.3

討論向量組

1=(1,－1,1),

2=(2,0,－2),

3=(2,－1,0)的線性相關(guān)性。解：設(shè)有一組數(shù)

1，

2，

3,使

1

1+

2

2+

3

3=0即(

1+2

2+2

3,－

1－

3,

1－2

2)=(0,0,0)有

1+2

2+2

3=0－

1－

3=0

1－2

2=0解得：

3=－

1取

1=2,得非零解

1=2，

2=1,

3=－2所以，向量組

1,

2,

3

線性相關(guān)。定義4.2對(duì)于m+1個(gè)n維向量

1

，

2，…，

m和

，若存在m個(gè)數(shù)

1，

2，…，

m

，使得：

=

1

1+

2

2+…+

m

m或稱

是

1

，

2，…，

m的線性組合，

1，

2，…，

m

稱為組合系數(shù)。則稱向量

能用向量組

1

，

2，…，

m線性表示

，例如：Rn

中的任一個(gè)向量

=(x1,x2,…,xn)都是單位向量組的一個(gè)線性組合。

=x1e1+x2e2+…+xnen定理4.1向量組

1

，

2，…，

m(m2)線性相關(guān)該向量組中至少有一個(gè)向量是其余m－1個(gè)向量的線性組合。證：必要性設(shè)

1

，

2，…，

m線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)

1，

2，…，

m

，使得

1

1+

2

2+…+

m

m=0不妨設(shè)

m0，則即：

m是

1

，

2，…，

m－1的線性組合。充分性：設(shè)

m是其余向量的線性組合，即存在數(shù)

1，

2，…，

m－1

，使得

m=

1

1+

2

2+…+

m－1

m－1有

1

1+

2

2+…+

m–1

m－1+(－1)

m

＝0

1

，

2，…，

m線性相關(guān)故推論：兩個(gè)非零向量

1

，

2線性相關(guān)

定理4.2：若m個(gè)向量

1

，

2，…，

m中有一部分向量線性相關(guān)，則這m個(gè)向量也線性相關(guān)。即

1

，

2對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例

1=k

2，(其中k0)(部分相關(guān)整體相關(guān))證：不妨設(shè)前r

個(gè)向量

1

，

2，…，

r線性相關(guān)，即存在不全為0的數(shù)

1，

2，…，

r

，使得

1

1+

2

2+…+

r

r=0也有

1

1+

2

2+…+

r

r+0·

r+1+…+0·

m=0

1，

2，…，

r,0,…,0不全為0故

1

，

2，…，

m線性相關(guān)推論1：包含零向量的向量組一定線性相關(guān)推論2：若m個(gè)向量

1

，

2，…，

m線性無(wú)關(guān)，則其中任一部分也線性無(wú)關(guān)。(整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān))二、向量組線性相關(guān)性的矩陣判定法則稱：為由向量組

1

，

2，…，

m構(gòu)成的矩陣定義4.3

2=(a21

a22…a2n),…,

m=(am1

am2…amn)設(shè)有m個(gè)n維向量

1=(a11

a12…a1n),A定理4.3設(shè)有m個(gè)n維向量

1=(a11

a12…a1n),

2=(a21

a22…a2n),…,

m=(am1

am2…amn)則

1

，

2，…，

m線性相關(guān)r(A)<m推論1：推論2：若m>n

，則m個(gè)n維向量必線性相關(guān)。(因?yàn)閞(A)min(m,n)=n<m

)推論3：n個(gè)n維向量

1

，

2，…，

n線性相關(guān)n個(gè)n維向量

1

，

2，…，

n

線性無(wú)關(guān)m個(gè)n維向量

1

，

2，…，

m線性無(wú)關(guān)r(A)=m|A|=0，即A降秩|A|0，即A滿秩例4.4

判定下列向量組是否線性相關(guān)(1)

1=(1,－2,1

),

2=(2,1,－1),

3=(7,－4,0)解：由于而|A|=－50所以

1,

2

,

3

線性無(wú)關(guān)(2)

1=(1,－3,7

),

2=(2,0,6),

3=(3,－1,－1)，

4=(2,4,5)解：由于向量組的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，所以

1,

2

,

3

,

4

線性相關(guān)。解：r1

r2(3)

1=(2,－1,7,3

),

2=(1,4,11,－2),

3=(3,－6,3,8)r2

－2r1r3

－3r1r3

－2r2r(A)=2<3所以

1,

2,

3

線性相關(guān)三、向量組的最大無(wú)關(guān)組定義4.4設(shè)

1

，

2，…，

r是某向量組T中的r個(gè)向量，若

(1)

1

，

2，…，

r線性無(wú)關(guān)；(2)任取

T，總有

1,

2,…,

r,

線性相關(guān)則稱

1,

2,…,

r為向量組T的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組。例如：對(duì)于向量組T：

1=(1,2,－1),

2=(2,－3,1),

3=(4,1,－1)

1,

2

為T

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;

2,

3;

1,

2,

3線性相關(guān)，因?yàn)?

1+

2－

3=0

1,

3也是T

的最大無(wú)關(guān)組。定理4.4

一個(gè)向量組的所有最大無(wú)關(guān)組含有的向量個(gè)數(shù)都相等。定義4.5向量組T的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組T的秩。設(shè)

1,

2,

…,

r為向量組T一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，則任取

T，

能用

1,

2,…,

r線性表示。證：任取

T，由

1,

2,…,

r是T的最大無(wú)關(guān)組，則

1

，

2，…，

r、

線性相關(guān)。存在不全為0的一組數(shù)

1，

2，…，

r

、

使得：

1

1+

2

2+…+

r

r+

=0則

0定理4.5事實(shí)上：若

=0有不全為0的

1，

2，…，

r

使

1

1+

2

2+…+

r

r=0成立

1

，

2，…，

r線性相關(guān)，矛盾所以即

能用

1

，

2，…，

r線性表示。定義4.6將每一行看成一個(gè)向量

i=(ai1

ai2…ain)(i=1,2,…,m)稱為A的行向量，行向量組的秩稱為A的行秩。對(duì)于矩陣將A的每一列也可看成一個(gè)向量(j=1,2,…,n)稱為A的列向量，列向量組的秩稱為A的列秩定理4.6

設(shè)A是m×n矩陣r(A)

=r

A的行秩(或列秩)為r§5向量空間的基與向量的坐標(biāo)一、向量空間的基與維數(shù)定義5.1且滿足：(1)

1,

2,…,

r

線性無(wú)關(guān)；(2)V

中任一向量都可以由

1,

2,…,

r

線性表示；則稱

1,

2,…,

r

為V的一組基底，簡(jiǎn)稱基，r

為V的維數(shù)，并稱V

為r

維向量空間。設(shè)V為向量空間，若存在

1,

2,…,

r

V.注1：若將向量空間V看成向量組，其基底就是其最大無(wú)關(guān)組，其維數(shù)就是其秩。注2：零空間{0}沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。例如：對(duì)于Rn(1)基本單位向量組e1,e2,…,en

是一組基，稱為標(biāo)準(zhǔn)基。(2)

1=(1,0,0,…,0),

2=(1,1,0,…,0),…，

n=(1,1,…,1)也是基。二、向量在給定基下的坐標(biāo)定義5.2設(shè)

1,

2,…,

n

是向量空間V的一組基，任取

V,都有

=

x1

1+

x2

2+…+xn

n且組合系數(shù)x1,x2,…,xn唯一，稱為向量

在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)，記為(x1,x2,…,xn)例如：在R3中，

=(2,－3,1)=2e1－3e2+1e