離散型隨機變量及其分布

1.離散型隨機變量的分布律定義1.

2.

則稱為隨機變量X的概率分布律，簡稱分布律.XX的分布律也可用如下的表格形式來表示：解例1

X所有可能取的值為0，1，2.于是分布律為以A記事件第一次罰球時罰中,以B記事件第二次罰球時罰中,則有或?qū)⒎植悸蓪懗?.60.0750.325012X

線條圖概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX2.三種重要的離散型隨機變量的概率分布

(1)兩點分布

設(shè)隨機變量X只可能取a與b兩個值,它的分布律為則稱X服從兩點分布(其中0<p<1)

當(dāng)a=0，b=1時兩點分布稱為(0—1)分布即：設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或伯努利分布.(其中0<p<1)實例1“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.

隨機變量X服從(0—1)分布.其分布律為實例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從(0—1)分布.

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明（2）二項分布1)重復(fù)獨立試驗

將試驗E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗的結(jié)果互不影響,即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是相互獨立的,或稱為

n次重復(fù)獨立試驗.2)n重伯努利試驗

伯努利資料實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,就是

n重伯努利試驗.3)二項概率公式且兩兩互不相容.稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布注意:

貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或

，

且P(A)=p

，

；

（3）各次試驗相互獨立.例如在相同條件下相互獨立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項分布.解因此例2分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例3解圖示概率分布

例4

經(jīng)驗表明人們患了某種疾病，有30%的人不治自愈.醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨機選10個患此病的病人服用新藥，已知其中9人很快就痊愈了.設(shè)各人自行痊愈與否相互獨立.試推斷這些病人是自愈的，還是新藥起了作用.解

假設(shè)新藥毫無作用，則一個病人痊愈的概率為p=0.3.以X記10個病人中自愈的病人數(shù)，則X~B(10,0.3)（3）泊松分布

泊松資料泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.（4）泊松定理設(shè)隨機變量X服從二項分布，其分布律為，k=0,1,2,…,n.又設(shè)np=,(是常數(shù))，則有二項分布與泊松分布有以下的關(guān)系.該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項分布

泊松分布

可見，當(dāng)n充分大,p又很小時,可用泊松分布來近似二項分布！

由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例５

某一地區(qū)，一個人患某種疾病的概率為0.01，設(shè)各人患病與否相互獨立.現(xiàn)隨機抽取200人，求其中至少4人患這種病的概率.解

以X記200人中患此病的人數(shù)，所求概率為查泊松分布表（附表３）則X~B(200，0.01).利用泊松定理，例6

為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費,配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8例8（課堂討論）設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障故有即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為離散型隨機變量的分布兩點分布二項分布泊松分布二項分布泊松分布兩點分布３．小結(jié)

解：分析思考一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達(dá)式表示.當(dāng)0.15X<1000×0.1時，報童賠錢故{報童賠錢}{X666}{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}解例13.例題講解JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBase