圖象變換1正交變換傅立葉變換

第三章圖像變換12023年9月2日什么是圖像變換?圖像變換是將圖像從空間域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換。簡(jiǎn)單的圖像變換通常就是一種二維的正交變換，但要求這種正交變換必須是可逆的，并且正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜。常用的變換：傅立葉變換、離散余弦變換、沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換、霍特林變換、拉東變換、小波變換等等。第三章圖像變換22023年9月2日一、正交變換第三章圖像變換32023年9月2日連續(xù)函數(shù)集合的正交性正交函數(shù)集合當(dāng)C=1時(shí)，稱集合為歸一化正交函數(shù)集合第三章圖像變換42023年9月2日正交函數(shù)集合的完備性若f(x)是定義在t0和t0+T區(qū)間的實(shí)值信號(hào)，平方可積?？梢员硎緸椋簩?duì)任意小的ε＞0，存在充分大的N，其中

，則稱函數(shù)U集合是完備的。

意味著f(x)可以由無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示第三章圖像變換52023年9月2日離散情況n個(gè)正交向量

當(dāng)C=1時(shí)，稱歸一化正交。即每一個(gè)相量為單位相量。第三章圖像變換62023年9月2日滿足上式的基相量組成矩陣：則一定滿足：第三章圖像變換72023年9月2日一維正交變換對(duì)于一向量f，用上述正交矩陣進(jìn)行運(yùn)算：g=Af若要恢復(fù)f，則:以上過(guò)程稱為正交變換。我們把原為A-1可以用AT來(lái)代替的A陣稱為正交矩陣。第三章圖像變換82023年9月2日二維正交變換

N×N二維函數(shù)可以類似于一維正變換核反變換核顯然，這兩個(gè)變換核應(yīng)該滿足正交性和完備性。第三章圖像變換92023年9月2日二、傅立葉變換第三章圖像變換102023年9月2日傅立葉變換傅立葉變換域也稱為頻域變換，它把圖像從圖像空間變換到頻率空間。將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換（正變換）到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間（反變換或逆變換）以得到所需要的效果。第三章圖像變換112023年9月2日1.連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換若把一個(gè)一維輸入信號(hào)作一維傅立葉變換，該信號(hào)就被變換到頻域上的一個(gè)信號(hào)，即得到了構(gòu)成該輸入信號(hào)的頻譜，頻譜反映了該輸入信號(hào)由哪些頻率構(gòu)成。當(dāng)一個(gè)一維信號(hào)f(x)滿足狄里赫萊條件，即f(x)

（1）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（2）具有有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）絕對(duì)可積。則其傅立葉變換對(duì)（正變換和逆變換）一定存在。第三章圖像變換122023年9月2日一維傅立葉變換的定義f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為：其反變換為：式中：，x稱為時(shí)域變量，u為頻域變量。通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式F(u)=R(u)+jI(u)幅度譜：相位譜：第三章圖像變換132023年9月2日變換分析的直觀說(shuō)明

把一個(gè)信號(hào)的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。第三章圖像變換142023年9月2日一維傅立葉變換舉例方波信號(hào)：經(jīng)過(guò)傅立葉變換后：第三章圖像變換152023年9月2日一維離散傅立葉變換(DFT)一維離散傅立葉變換公式為：逆變換為：

數(shù)學(xué)上建立傅立葉變換的f(x)是連續(xù)的模擬信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是離散的數(shù)字信號(hào)，同時(shí)數(shù)學(xué)上用無(wú)窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常就將這種受限的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DFT）。第三章圖像變換162023年9月2日由歐拉公式可知

可得可見(jiàn)，離散序列的傅立葉變換仍然是一個(gè)離散的序列，每一個(gè)u對(duì)應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和。

每個(gè)f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值。

第三章圖像變換172023年9月2日二維離散傅立葉變換對(duì)于二維傅立葉變換，由一維推廣而來(lái)，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相譜：第三章圖像變換182023年9月2日二維傅立葉變換舉例對(duì)于二維方波信號(hào)傅立葉變換為：幅度：第三章圖像變換192023年9月2日例：函數(shù)在以原點(diǎn)為中心的一個(gè)正方形內(nèi)為正值常數(shù)，而在其它地方為零。傅立葉頻譜幅度的灰度圖顯示。第三章圖像變換202023年9月2日二維傅立葉變換的性質(zhì)

1.分離性

二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次運(yùn)用一維傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。

第三章圖像變換212023年9月2日

由可分離性可知，一個(gè)二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行，其中每一步都是一個(gè)一維傅立葉變換。先對(duì)f(x,y)按列進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對(duì)F(x,v)按行進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果，如圖所示。顯然對(duì)f(x,y)先按行進(jìn)行離散傅立葉變換，再按列進(jìn)行離散傅立葉變換也是可行的。

第三章圖像變換222023年9月2日2.平移性

將f(x,y)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動(dòng)到新的位置。

F(u,v)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動(dòng)到新的位置。

對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅立葉變換的幅值。第三章圖像變換232023年9月2日3.周期性和共扼對(duì)稱性

如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，則它的傅立葉變換具有共扼對(duì)稱性：F*(u,v)為F(u,v)的復(fù)共扼。

假定傅立葉變換和反變換均以N為周期。第三章圖像變換242023年9月2日

由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ0角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度θ0

。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖3-3所示。

圖3-3離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜(a)(b)(d)(c)4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

借助極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，u=wcosφ，v=wsinφ，將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為f(r,θ)和F(w,φ)。

第三章圖像變換252023年9月2日傅立葉變換和反變換對(duì)加法滿足分配律，但對(duì)乘法則不滿足。

5.分配律

6.尺度變換(縮放)／比例性質(zhì)第三章圖像變換262023年9月2日將u=v=0代入正變換式，可以得到：7.平均值

2個(gè)函數(shù)的卷積定義為：8.卷積平均值計(jì)算計(jì)算步驟:折疊位移相乘積分（求和）圖像變換(二)快速傅立葉變換、離散余弦變換第三章圖像變換282023年9月2日普通傅立葉變換：

完成全部DFT運(yùn)算的計(jì)算量與N2成正比。特別是當(dāng)N較大時(shí)，其運(yùn)算時(shí)間將迅速增長(zhǎng)，以至于無(wú)法容忍。

為此，研究離散傅立葉變換的快速算法（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）非常必要。研究快速傅立葉變換的必要性

快速離散傅立葉變換一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。算法時(shí)間復(fù)雜度為Nlog2N。當(dāng)N很大時(shí)計(jì)算量可以大大減少。第三章圖像變換302023年9月2日記稱為旋轉(zhuǎn)因子。則有：?jiǎn)挝粓A表示：快速傅立葉變換(3-1)第三章圖像變換312023年9月2日式中，由Wux構(gòu)成的矩陣稱為W陣或系數(shù)矩陣。

一維離散傅立葉變換（DFT）用矩陣的形式表示為：第三章圖像變換322023年9月2日W的定義表達(dá)式W=e-j2π／N，由歐拉公式知系數(shù)W是以N為周期的。這樣，W陣中很多系數(shù)就是相同的，且由于W的對(duì)稱性，即因此可進(jìn)一步減少計(jì)算工作量。例如，對(duì)于N=4，W陣為W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；W3＝－W1，W2＝－W0第三章圖像變換332023年9月2日

可見(jiàn)N=4的W陣中只需計(jì)算W0和W1兩個(gè)系數(shù)即可。說(shuō)明W陣的系數(shù)有許多計(jì)算工作是重復(fù)的，如果把一個(gè)離散序列分解成若干短序列，并充分利用旋轉(zhuǎn)因子W的周期性和對(duì)稱性來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換，便可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，這就是FFT的基本思想。

設(shè)N為2的正整數(shù)次冪，即如令M為正整數(shù)，且N=2M第三章圖像變換342023年9月2日將式N=2M代入式（3-1），離散傅立葉變換可改寫成如下形式：由旋轉(zhuǎn)因子W的定義可知

，因此式(3-2)變?yōu)?/p>

現(xiàn)定義

(3-2)(3-3)(3-4)(3-5)第三章圖像變換352023年9月2日于是式(3-3)變?yōu)?3-6)

進(jìn)一步考慮W的對(duì)稱性和周期性可知 和 ，于是(3-7)

由此，可將一個(gè)N點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個(gè)N／2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換Fe(u)和Fo(u)。第三章圖像變換362023年9月2日

在此，以計(jì)算N=8的DFT為例，此時(shí)n=3，M=4。由式(3-6)和式(3-7)可得(3-8)第三章圖像變換372023年9月2日

式（3-8）中，u取0～7時(shí)的F(u)、Fe(u)和Fo(u)的關(guān)系可用圖3.1描述。左方的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為輸入節(jié)點(diǎn)，代表輸入數(shù)值；右方兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為輸出節(jié)點(diǎn)，表示輸入數(shù)值的疊加，運(yùn)算由左向右進(jìn)行。線旁的W18和－W18為加權(quán)系數(shù)，定義由F(1)、F(5)、Fe(1)和Fo(1)所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)為蝶形運(yùn)算單元,其表示的運(yùn)算為(3-9)圖3.1蝶形運(yùn)算單元第三章圖像變換382023年9月2日

由于Fe(u)和Fo(u)都是4點(diǎn)的DFT，因此，如果對(duì)它們?cè)侔凑掌媾歼M(jìn)行分組，則有第三章圖像變換392023年9月2日?qǐng)D3.24點(diǎn)DFT分解為2點(diǎn)DFT的蝶形流程圖

第三章圖像變換402023年9月2日二維快速傅立葉變換的Matlab實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單圖像及其傅立葉變換Eg3.4d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,'notruesize');D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],'notruesize');

第三章圖像變換412023年9月2日第三章圖像變換422023年9月2日二維快速傅立葉變換的Matlab實(shí)現(xiàn)eg3.3figure(1);loadimdemossaturn2;imshow(saturn2);figure(2);S=fftshift(fft2(saturn2));imshow(log(abs(S)),[]);

第三章圖像變換432023年9月2日頻域變換的一般表達(dá)式1、可分離變換

二維傅立葉變換可用通用的關(guān)系式來(lái)表示：(3-10)(3-11)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱為正向變換核和反向變換核。

第三章圖像變換442023年9月2日如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2（y,v） (3-12)h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v) (3-13)

則稱正、反變換核是可分離的。如果g1和g2，h1和h2在函數(shù)形式上一樣，則稱該變換核是對(duì)稱的。二維傅立葉變換對(duì)是一個(gè)特殊情況，它們的核為可分離對(duì)稱第三章圖像變換452023年9月2日

對(duì)于圖像變換，只要其變換核是可分離的，就可用兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。

如果先對(duì)f(x,y)的每一列進(jìn)行一維變換得到F(y,u)，再沿F(y,u)每一行取一維變換得到F(u,v)，和先對(duì)f(x,y)的每一行進(jìn)行一維變換得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一維變換得到F(u,v)其最終結(jié)果是一樣的。

該結(jié)論對(duì)反變換核也適用。第三章圖像變換462023年9月2日3.4離散余弦變換第三章圖像變換472023年9月2日3.4.1一維離散余弦變換一維DCT的變換核定義為式中，x,u=0,1,2,…,N－1；(3-47)(3-48)

一維DCT定義如下：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號(hào)列。(3-49)式中，u,x=0,1,2,…,N－1。第三章圖像變換482023年9月2日將變換式展開(kāi)整理后，可以寫成矩陣的形式，即F=Gf（3-50）其中(3-51)第三章圖像變換492023年9月2日

一維DCT的逆變換IDCT定義為(3-52)

式中，

x,u=0,1,2,…,N－1?？梢?jiàn)一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。第三章圖像變換502023年9月2日3.4.2二維離散余弦變換將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為(3-53)式中，C(u)和C(v)的定義同式（3-48）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。第三章圖像變換512023年9月2日3.4.2二維離散余弦變換二維DCT定義如下：設(shè)f(x,y)為M×N的數(shù)字圖像矩陣，則(3-54)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。第三章圖像變換522023年9月2日

二維DCT逆變換定義如下：(3-55)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；

y,v=0,1,2,…,N－1。類似一維矩陣形式的DCT，可以寫出二維DCT的矩陣形式如下：F=GfGT

(3-56)第三章圖像變換532023年9月2日

同時(shí)，由式(3-55)和式(3-54)可知二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即(3-57)式中：C(u)和C(v)的定義同式（3-48）；

x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,