二項(xiàng)式定理課件

二項(xiàng)式定理課件1.3.1二項(xiàng)式定理1.3.1二項(xiàng)式定理

1.在n=1,2,3時(shí)，寫出并研究(a+b)n的展開式.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,

a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3結(jié)合左邊的次數(shù)分析：展開式中的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)(a、b各自次數(shù)）每一項(xiàng)的系數(shù)規(guī)律提出問題：次數(shù):各項(xiàng)的次數(shù)等于二項(xiàng)式的次數(shù)項(xiàng)數(shù):次數(shù)+11.在n=1,2,3時(shí)，寫出并研究(a+b)n的展開式(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開后其項(xiàng)的形式為：a2，ab，b2這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b對(a+b)2展開式的分析每個(gè)都不取b的情況有1種，即,則a2前的系數(shù)為恰有1個(gè)取b的情況有

種，則ab前的系數(shù)為恰有2個(gè)取b的情況有種，則b2前的系數(shù)為(a+b)2=a2+2ab+b2

＝a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b3(a+b)2＝(a+b)(a+b)展開后其項(xiàng)的形式為：2.在n=4時(shí)，猜測(a+b)的展開式.4(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？問題：1)．(a+b)4展開后各項(xiàng)形式分別是什么？2)．各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？3)．你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4各項(xiàng)前的系數(shù)代表著這些項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)2.在n=4時(shí)，猜測(a+b)的展開式.4(a+b)4＝3)．你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4每個(gè)都不取b的情況有1種，即則a4前的系數(shù)為恰有1個(gè)取b的情況有種，則a3b前的系數(shù)為恰有2個(gè)取b的情況有種，則a2b2前的系數(shù)為恰有3個(gè)取b的情況有種，則ab3前的系數(shù)為恰有4個(gè)取b的情況有種，則b4前的系數(shù)為則(a+b)4＝a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b43)．你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4a3ba4a3ba2b2ab3b4都不取b取一個(gè)b

取兩個(gè)b

取三個(gè)b

取四個(gè)b

項(xiàng)系數(shù)C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234結(jié)果：a4a3ba2b2發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于(a+b)n=的展開式中an-rbr的系數(shù)是在n個(gè)括號中，恰有r個(gè)括號中取b(其余括號中取a)的組合數(shù).那么，我們能不能寫出(a+b)n的展開式？

將(a+b)n展開的結(jié)果又是怎樣呢？

歸納提高

(a+b)n=發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于(a+b)n=的展開式中an-rbr的系數(shù)是在一般地，對于nN*有二項(xiàng)式定理這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1

表示，該項(xiàng)是指展開式的第

項(xiàng)，展開式共有_____個(gè)項(xiàng).展開式二項(xiàng)式系數(shù)r+1n+1一般地，對于nN*有二項(xiàng)式定理2.系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：展開式共有n+1個(gè)項(xiàng)二項(xiàng)式定理

2.系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；1.項(xiàng)數(shù)二項(xiàng)式定理

4.二項(xiàng)式系數(shù)可寫成組合數(shù)的形式,組合數(shù)的下標(biāo)為二項(xiàng)式的次數(shù),組合數(shù)的上標(biāo)由0遞增到n5.展開式中的第r+1項(xiàng)，即通項(xiàng)Tr+1=__________；6.二項(xiàng)式系數(shù)為______；項(xiàng)的系數(shù)為

二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項(xiàng)式定理4.二項(xiàng)式系數(shù)可寫成組合數(shù)的形式,組合數(shù)的下標(biāo)為課堂練習(xí)課堂練習(xí)解:（1）例1.

用二項(xiàng)式定理展開下列各式：解:（1）例1.用二項(xiàng)式定理展開下列各式：例2、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解:解:第四項(xiàng)系數(shù)為280.例2、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解:解:第四項(xiàng)系課堂小結(jié)1.二項(xiàng)式定理2.二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積3.通項(xiàng)公式課堂小結(jié)1.二項(xiàng)式定理例4.求近似值（精確到0.001）（1）(1.002)6；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再過22001天是星幾？分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6（2）(0.997)3=(1-0.003)3（3）22001=（7+1）667類似這樣的近似計(jì)算轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理求展開式，按精確度展開到一定項(xiàng).例4.求近似值（精確到0.001）（1）(1.002)6課堂練習(xí)課堂練習(xí)4.(1)求的展開式常數(shù)項(xiàng)解:(2)求展開式的中間兩項(xiàng)

解:展開式共有10項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。4.(1)求的展開式常數(shù)項(xiàng)解:(2)思考：1、化簡：1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn123n1-2Cn+4Cn-8Cn+…+（-2)nCn123n2、(a+2b+3c)7的展開式中a2b3c2項(xiàng)的系數(shù)是多少？思考：1、化簡：123n123n2、(a+2b+3c)7的例5求展開式中的有理項(xiàng)解:令原式的有理項(xiàng)為:例5求展開式中的有理項(xiàng)解:令原式的112x112x例7計(jì)算并求值解(1):將原式變形例7計(jì)算并求值解(1):將原式變形例7計(jì)算并求值解:(2)原式例7計(jì)算并求值解:(2)原式例8:求

的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是例8:求由題意知解得所以的系數(shù)為:

注意：對于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算由題意知解得所以的系數(shù)為:注意：例99192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿＿由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100整除所以9192除以100的余數(shù)是81例99192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿＿由此可見，除整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng),再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)，整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減1、已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4、已知(1+)n展開式中含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為12，求n.5、已知（10+xlgx）5的展開式中第4項(xiàng)為106，求x的值.1、已知6、若展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；（2）展開式中所有x的有理項(xiàng)；6、若