高考數學一輪復習專題12函數模型及其應用教學案理

專題12函數模型及其應用1.綜合考查函數的性質；2.考查一次函數、二次函數、分段函數及基本初等函數的建模問題；3.考查函數的最值．1．幾類函數模型及其增長差異(1)幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)對數函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)冪函數模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)(2)三種函數模型的性質eq\o(\s\up7(函數),\s\do5(性質))y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax2.解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：【疑點清源】1．要注意實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．2．解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，把握其中的數學本質．(2)建模：由題設中的數量關系，建立相應的數學模型，將實際問題轉化為數學問題．(3)解模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題．(4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論．高頻考點一、用函數圖象刻畫變化過程例1、(1)設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x的函數圖象為()(2)物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()【感悟提升】判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象．(2)驗證法：當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．【變式探究】已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數S＝f(x)的圖象是()答案D解析依題意知當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4<x≤8時，f(x)＝8；當8<x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知，選D.高頻考點二已知函數模型的實際問題例2、候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a、b是實數)．據統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個單位？解(1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s，此時耗氧量為30個單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；當耗氧量為90個單位時，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個單位．【感悟提升】求解所給函數模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該模型求解實際問題．【變式探究】某般空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的質量(kg)與其運費(元)由如圖的一次函數圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的質量最大為kg.答案19解析由圖象可求得一次函數的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.高頻考點三構造函數模型的實際問題例3、某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元 B．11萬元C．43萬元 D．43.025萬元答案C【變式探究】(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數據lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A．略有盈利B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損D．無法判斷盈虧情況答案(1)C(2)B解析(1)設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.(2)設該股民購進這支股票的價格為a元，則經歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損．【舉一反三】某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了km.答案9【變式探究】(1)一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，此人至少經過小時才能開車．(精確到1小時)(2)某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數為()A．10B．11C．13D．21答案(1)5(2)A解析(1)設經過x小時才能開車．由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小為5.(2)設該企業(yè)需要更新設備的年數為x，設備年平均費用為y，則x年后的設備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號，所以選A.高頻考點四、函數應用問題例4、已知美國某手機品牌公司生產某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產1萬部還需另投入16萬美元．設公司一年內共生產該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產量x(萬部)的函數解析式；(2)當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．解(1)當0<x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，當x>40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x>40.))(2)①當0<x≤40時，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②當x>40時，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，當且僅當eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時，取等號，所以W取最大值為5760.綜合①②知，當x＝32時，W取得最大值6104萬元?！咎貏e提醒】(1)此類問題的關鍵是正確理解題意，建立適當的函數模型．(2)分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．【方法技巧】1．認真分析題意，合理選擇數學模型是解決應用問題的基礎．2．實際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數的最值、函數的單調性、基本不等式等求得最值．3．解函數應用題的五個步驟：①審題；②建模；③解模；④還原；⑤反思．高頻考點五、構建函數模型解決實際問題例5、(1)(2016·四川卷)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2018年B．2019年 C．2020年 D．2021年(2)為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10，k為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．①求k的值及f(x)的表達式；②隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值．(1)解析設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元，則y＝130(1＋12%)n.依題意130(1＋12%)n>200，得1.12n>eq\f(20,13).兩邊取對數，得n·lg1.12>lg2－lg1.3∴n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝eq\f(19,5)，∴n≥4，∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．答案B(2)解①當x＝0時，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝eq\f(40,3x＋5)(0≤x≤10)，∴f(x)＝6x＋eq\f(20×40,3x＋5)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．∴隔熱層修建5cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元.【方法規(guī)律】(1)構建函數模型解決實際問題的常見類型與求解方法：①構建二次函數模型，常用配方法、數形結合、分類討論思想求解．②構建分段函數模型，應用分段函數分段求解的方法．③構建f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)模型，常用均值不等式、導數等知識求解．(2)解函數應用題的程序是：①審題；②建模；③解模；④還原．【變式探究】(1)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數)．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是________小時．(2)某旅游景點預計2017年1月份起前x個月的旅游人數的和p(x)(單位：萬人)與x的關系近似地滿足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(35－2x（x∈N＋，且1≤x≤6），,\f(160,x)（x∈N＋，且7≤x≤12）.))①寫出2017年第x個月的旅游人數f(x)(單位：萬人)與x的函數關系式；②試問2017年第幾個月旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？(1)解析由已知條件，得192＝eb又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2∴e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，設該食品在33℃的保鮮時間是t小時，則t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝24.答案24(2)解①當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，當2≤x≤12，且x∈N＋時，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，驗證x＝1也滿足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．②第x個月旅游消費總額為g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－3x2＋40x）（35－2x）（x∈N＋，且1≤x≤6），,（－3x2＋40x）·\f(160,x)（x∈N＋，且7≤x≤12），))即g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x3－185x2＋1400x（x∈N＋，且1≤x≤6），,－480x＋6400（x∈N＋，且7≤x≤12）.))(ⅰ)當1≤x≤6，且x∈N＋時，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq\f(140,9)(舍去)．當1≤x<5時，g′(x)>0，當5<x≤6時，g′(x)<0，∴當x＝5時，g(x)max＝g(5)＝3125(萬元)．(ⅱ)當7≤x≤12，且x∈N＋時，g(x)＝－480x＋6400是減函數，∴當x＝7時，g(x)max＝g(7)＝3040(萬元)．綜上，2017年5月份的旅游消費總額最大，最大旅游消費總額為3125萬元．1．(2016·浙江卷)設函數f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，則實數a＝________，b＝________．2.【2016高考上海理數】已知，函數.（1）當時，解不等式；（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；（3）設，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）．（2）．（3）．【解析】（1）由，得，解得．（2），，當時，，經檢驗，滿足題意．當時，，經檢驗，滿足題意．當且時，，，．是原方程的解當且僅當，即；是原方程的解當且僅當，即．于是滿足題意的．綜上，的取值范圍為．（3）當時，，，所以在上單調遞減．函數在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．即，對任意成立．因為，所以函數在區(qū)間上單調遞增，時，有最小值，由，得．故的取值范圍為．3.【2016年高考北京理數】設函數.①若，則的最大值為______________；②若無最大值，則實數的取值范圍是________.【答案】，.【解析】如圖，作出函數與直線的圖象，它們的交點是，由，知是函數的極小值點，①當時，，由圖象可知的最大值是；②由圖象知當時，有最大值；只有當時，，無最大值，所以所求的取值范圍是．【2015高考天津，理8】已知函數函數，其中，若函數恰有4個零點，則的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數與函數的圖象的4個公共點，由圖象可知.【2015高考浙江，理10】已知函數，則，的最小值是．【答案】，.【2015高考四川，理13】某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數關系（為自然對數的底數，k、b為常數）。若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是小時?！敬鸢浮?4【解析】由題意得：，所以時，.【2015高考上海，理10】設為，的反函數，則的最大值為．【答案】4【解析】由題意得：在上單調遞增，值域為，所以在上單調遞增，因此在上單調遞增，其最大值為【2015高考北京，理14】設函數 ①若，則的最小值為 ；②若恰有2個零點，則實數的取值范圍是 ．【答案】(1)1，(2)或.②若函數與軸有無交點，則函數與軸有兩個交點，當時與軸有無交點，在與軸有無交點，不合題意；當時，，與軸有兩個交點，和，由于，兩交點橫坐標均滿足；綜上所述的取值范圍或.【2015高考浙江，理18】已知函數，記是在區(qū)間上的最大值.證明：當時，；（2）當，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）3.【解析】（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調，∴，當時，由，得，即，當時，由，得，即，綜上，當時，；（2）由得，，故，，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為3.（2014·湖南卷）某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為()A.eq\f(p＋q,2)B.eq\f(（p＋1）（q＋1）－1,2)C.eq\r(pq)D.eq\r(（p＋1）（q＋1）)－1【答案】D【解析】設年平均增長率為x，則有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(（1＋p）（1＋q）)－1.（2014·陜西卷）如圖1-2，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數圖像的一部分，則該函數的解析式為()圖1-2A．y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)xB．y＝eq\f(2,125)x3－eq\f(4,5)xC．y＝eq\f(3,125)x3－xD．y＝－eq\f(3,125)x3＋eq\f(1,5)x【答案】A【解析】設該三次函數的解析式為y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因為函數的圖像經過點(0，0)，所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函數過點(－5，2)，(5，－2)，則該函數是奇函數，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入點(－5，2)得－125a－5c＝2.又由該函數的圖像在點(－5，2)處的切線平行于x軸，y′＝3ax2＋c，得當x＝－5時，y′＝75a＋c＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－125a－5c＝2，,75a＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,125)，,c＝－\f(3,5).))故該三次函數的解析式為y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)x.（2013·陜西卷）設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y，有()A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]【答案】D【解析】可取特值x＝3.5，則[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A錯．[2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故B錯．再取y＝3.8，則[x＋y]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C錯．只有D正確．（2013·重慶卷）若a＜b＜c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內B．(－∞，a)和(a，b)內C．(b，c)和(c，＋∞)內D．(－∞，a)和(c，＋∞)內【答案】A【解析】因為f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函數的兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內，故選A.1．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析：選D設進貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.2．某商店已按每件80元的成本購進某商品1000件，根據市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件()A．100元 B．110元C．150元 D．190元解析：選D設售價提高x元，利潤為y元，則依題意得y＝(1000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20000＝－5(x－90)2＋60500.故當x＝90時，ymax＝60500，此時售價為每件190元．3．設某公司原有員工100人從事產品A的生產，平均每人每年創(chuàng)造產值t萬元(t為正常數)．公司決定從原有員工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去進行新開發(fā)的產品B的生產．分流后，繼續(xù)從事產品A生產的員工平均每人每年創(chuàng)造產值在原有的基礎上增長了1.2x%.若要保證產品A的年產值不減少，則最多能分流的人數是()A．15 B．16C．17 D．18解析：選B由題意，分流前每年創(chuàng)造的產值為100t(萬元)，分流x人后，每年創(chuàng)造的產值為(100－x)(1＋1.2x%)t，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<100，x∈N*，,100－x1＋1.2x%t≥100t，))解得0<x≤eq\f(50,3).因為x∈N*，所以x的最大值為16.4．世界人口在過去40年內翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數據lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%5．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數衰減曲線y＝aent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有eq\f(a,8)，則m的值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選D根據題意知eq\f(1,2)＝e5n，令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，因為eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10.6．將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指數衰減曲線y＝aent.假設過5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，則m的值為()A．5B．8 C．9 D．10解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函數y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，∴f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(t,5))，因此，當kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L時，f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(k,5))＝eq\f(1,4)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(k,5))＝eq\f(1,4)，∴k＝10，由題可知m＝k－5＝5.答案A7．某化工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不超過0.1%，若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少eq\f(1,3)，至少應過濾________次才能達到市場要求(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．解析設過濾n次才能達到市場要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(n)≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.答案88．某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是______．9.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．(1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數，求該函數的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．(2)設矩形BNPM的面積為S平方米，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是關于x的二次函數，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調遞增．所以當x＝8米時，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米．10．一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？解：(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)．則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).即每年砍伐面積的百分比為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)設經過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc