高中數(shù)學(xué)《5數(shù)學(xué)探究活動(一)正方體截面探究》知識點(diǎn)+教案課件+習(xí)題

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生活中我們常常遇到幾何體的截面問題，例如我們總知道一個(gè)球體的切面總會是一個(gè)圓面，一棵樹的橫切面會是一個(gè)圓面，倘若刀子下得斜了點(diǎn)兒，我們還可以得到橢圓面。

那么作為常見的一種特殊情形，如果一塊兒豆腐（當(dāng)然你也可以想象成正方體形狀的蘿卜土豆種種），被我一刀切下去，所得的截面會是什么情形呢？

要解決這個(gè)問題，首先是要對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，我們知道了物體的形狀，在數(shù)學(xué)上可以認(rèn)為是沒有顏色、質(zhì)量、密度等物理特性的幾何體，也就是腦海中應(yīng)該出現(xiàn)這樣的正方體（顏色隨機(jī)，我們數(shù)學(xué)只研究形狀）。

其實(shí)在往下看之前，最直觀的方法還是建議你幫爸媽做做飯的同時(shí)自己動手切一切看看究竟有幾種情形，這樣更能夠直觀認(rèn)識接下來李老師要講的情形。

在確定并抽象出了數(shù)學(xué)模型——正方形之后，我們首要分析的就是截面的形狀由什么決定，你一定能想出來一些特殊的情況，

比如……直接切出個(gè)正方形，典型的懶人做法。再比如也能不費(fèi)吹灰之力切出一個(gè)長方形。當(dāng)然，如果你肯稍加多動動腦，這樣的一個(gè)三角形也不在話下，輕松躍然紙上。如果不小心切的時(shí)候沒有恰好經(jīng)過正方體的三個(gè)頂點(diǎn)呢？如果你不巧只經(jīng)過一個(gè)，或者是故意只經(jīng)過兩個(gè)，那么哈哈，等腰三角形就一定會出現(xiàn)了（當(dāng)然，在此第一種情況可以是一個(gè)任意的銳角三角形，不一定非得是等腰，至于為什么李老師可以這么說，請你先獨(dú)立思考）

其實(shí)講到這兒，估計(jì)你已經(jīng)漸漸發(fā)現(xiàn)了，直覺告訴我們，只要改變某一個(gè)或幾個(gè)面與正方體的棱的交點(diǎn)的位置，我們即可切出不同類別的圖形來。

接下來，我們試試看，還有沒有其他情況，

既然討論了三角形，我們不妨按照邊數(shù)遞增的順序，三角形的出現(xiàn)能夠得到一般的銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形（甚至我們知道等邊三角形的面積一定是我們所能得到的最大的三角形截面面積，為什么自己思考哇）

三角形大家族接下來我們增加邊數(shù)，討論四邊形。一開始說的兩種情況可以歸納為以下兩張圖，長方形和正方形其實(shí)說到底都是特殊的平行四邊形，然而它們兩兄弟未免有點(diǎn)兒太特殊了，我們不妨想想回歸到兩者還是個(gè)“寶寶”的時(shí)候，平行四邊形？能不能得到更一般化的平行四邊形呢？顯然這樣的圖形需要我們的截面擺的不那么正，那么你不妨先往下看老師的這種切法此四邊形兩點(diǎn)位于正方體頂點(diǎn)，兩點(diǎn)位于正方體邊長之中點(diǎn)，所以此四邊形四個(gè)邊都是二分之根號五的邊長（現(xiàn)在你也許看不懂這個(gè)數(shù)，不著急慢慢來我們初二會學(xué)怎么算），而四角不相等，所以此四邊形為菱形。

呀，不僅僅得到了平行四邊形，一下子還把另一個(gè)失散多年的小兄弟“菱形”也找到了。如果我想得到最最最平凡的平行四邊形，想必你能猜到了吧，繼續(xù)把兩個(gè)中點(diǎn)向頂點(diǎn)方向相反交替移動相同距離即可！

平行四邊形我們就解決了如果你認(rèn)為這就完了，那顯然你又漏了一位四邊形大家族的兄弟，梯形：“……”“我不服，我不服！”李老師：“不服無效，誰讓你丑呢，你忍忍就這樣吧”。好了，這下我們已經(jīng)集齊全體四邊形，可以召喚大家族啦！四邊形大家族三角形——四邊形——五……不，我就是要先畫六邊形！嗯，六邊各邊取中點(diǎn)，連接，大功告成！還是正六邊形呢?。ㄈ绻幌胧钦哪兀坑蟹N你別都取中點(diǎn)呀?。┻祝孟?，把，六邊形，的，兩個(gè)角，拖得遠(yuǎn)一點(diǎn)兒……額……五邊形完美解決由此我們得到了三角形大家族四邊形大家族五邊形大家族六邊形大家族視頻教學(xué)：練習(xí)：課件：教案：正方體截面的形狀一、課題設(shè)計(jì)意圖：

1.按課標(biāo)要求，在高中階段至少要有一次數(shù)學(xué)探究活動和數(shù)學(xué)建?；顒?，而活動的開展要有一個(gè)漸近的過程的，學(xué)生需要一個(gè)逐步適應(yīng)、了解和認(rèn)識的過程，所以在本模塊設(shè)計(jì)該課題，是為了今后做更為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模活動所做的準(zhǔn)備。

2．“正方體截面的形狀”,是北師大版新教材配合立體幾何學(xué)習(xí)而設(shè)定的一個(gè)”課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容.它以立體幾何的核心模型之一----正方體為載體,通過試驗(yàn)、探究，尋求截面的可能的形狀。它通過“問題串”的形式，推進(jìn)學(xué)生的思考和試驗(yàn)。對實(shí)驗(yàn)中每一個(gè)結(jié)果，讓學(xué)生自己確認(rèn)其過程，又是一個(gè)理性思考、用心求證的過程。這些環(huán)節(jié)可以幫助學(xué)生理解、應(yīng)用本章所學(xué)知識，體驗(yàn)分類討論、合情推理、大膽猜想、小心求證等數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)做這個(gè)課題所采用的探究方法---結(jié)合實(shí)際問題設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、動手操作、合作交流、合作探究、撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告等，都是重要的學(xué)習(xí)和研究的方式，可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)。加上“*”的問題給優(yōu)秀學(xué)生留出了創(chuàng)新的空間。

3.本課題涉及內(nèi)容：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及直觀圖畫法。涵蓋了立體幾何中的相當(dāng)多的概念、定理。通過正方體不同截面的生成和變化，可以認(rèn)識空間圖形及其關(guān)系，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力和幾何直觀的洞察力。做課題的過程是對立體幾何知識的一次綜合應(yīng)用的過程。

4．該課題學(xué)習(xí)很好地體現(xiàn)了立體幾何初步一章的基本要求，有助于認(rèn)識空間圖形、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力及幾何直觀能力。

5．在章末安排該課題學(xué)習(xí)，一方面給學(xué)生提供一個(gè)學(xué)、用知識解決問題的舞臺，能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識和問題意識，加深對所學(xué)知識的理解。另一方面，課題學(xué)習(xí)的形式有助于發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的能力，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，認(rèn)識數(shù)學(xué)研究中直觀和嚴(yán)謹(jǐn)、感性猜想和理性推力的關(guān)系，積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造力。二、課題設(shè)計(jì)方案：【教學(xué)目標(biāo)】

1、知識與技能目標(biāo)：經(jīng)歷切截正方體的活動過程，探索發(fā)現(xiàn)正方體的截面形狀，體會幾何體在切截過程中面與體的變化。

2、過程與方法目標(biāo)：通過對幾何的切截活動，經(jīng)歷、觀察、操作、想像、交流等過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過學(xué)生自主探索與合作交流，培養(yǎng)學(xué)生與人合作，與人交流的良好品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對知識需求的欲望和探索創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】探索截面形狀的過程【教學(xué)難點(diǎn)】

從切截活動中發(fā)現(xiàn)對同一幾何體不同角度切截所得截面的不同形狀的想象與如何截。【學(xué)習(xí)方法】

從認(rèn)知特點(diǎn)來看，學(xué)生愛問好動、求知欲強(qiáng)，想象力豐富，對實(shí)際操作活動有著濃厚的興趣，對直觀的事物感知較強(qiáng)，是形象思維向抽象思維逐步過渡的階段，他們希望得到的充分的展示和表現(xiàn)，因此，在學(xué)習(xí)充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生自已觀察、大膽動手操作、進(jìn)行小組間的討論和交流、利用課件自主探索等方式，讓學(xué)生主動地學(xué)習(xí)?！緦?shí)施過程】（一）問題情境與任務(wù)

用一個(gè)平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的?

1．給出分類的原則(例如：按截面圖形的邊數(shù)分類)．按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面?設(shè)計(jì)一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫出示意圖．

2．如果截面是三角形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的三角形?

3．如果截面是四邊形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的四邊形?

*4．證明上面的結(jié)果．

*5．截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條?請說明理由．

*6．截面可能是正多邊形嗎?可能有幾種?畫出示意圖．

*7．如果截面是三角形，其面積最大是多少?畫出示意圖．

*8．你還能提出哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題?（二）準(zhǔn)備階段

在正式上課前一周給學(xué)生安排布置任務(wù)。根據(jù)課本必修（2）56頁課題學(xué)習(xí)內(nèi)容：用一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀是什么樣的？要求學(xué)生通過自己具體實(shí)驗(yàn)操作，組內(nèi)討論探究等形式，逐一解決課本上提出的問題，最后形成結(jié)論，完成課題學(xué)習(xí)報(bào)告。首先由課代表將全班學(xué)生６-８人分成若干組，指定組長，提出課下討論、研究的要求和建議。發(fā)給各小組課題學(xué)習(xí)報(bào)告表格。讓學(xué)生課后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究，最后形成小組的研究成果的報(bào)告。老師在這個(gè)階段要不斷的通過課代表了解各組實(shí)驗(yàn)及研究進(jìn)程，及時(shí)予以指導(dǎo)。對一些錯(cuò)誤的做法要及時(shí)給予糾正。

正式上課前一天，教師要對各組的討論情況有大致的了解，做到心中有數(shù)。并根據(jù)各組的討論情況提前大概確定要由那些組進(jìn)行展示，要留有余地。并要求每組確定一名表達(dá)力強(qiáng)的成員代表本組進(jìn)行展示。（三）課堂交流在課堂上讓部分小組報(bào)告他們所得到的結(jié)果，并闡述理由，必須有理有據(jù)，要輔以必要的實(shí)物模型或者作圖，或者可用計(jì)算機(jī)演示，并回答教師或其他學(xué)生提出的問題，共同研究討論、賞析質(zhì)疑，再共同給出評價(jià)意見。上課時(shí)共交流了６組，有６名同學(xué)代表所在組進(jìn)行了交流展示，并回答了老師同學(xué)的提問。（過程略）。

至此，同學(xué)們對正方體截面形狀問題已經(jīng)基本清楚，最后，由老師進(jìn)行總結(jié)如下：本課題研究的部分參考結(jié)論

（1）截面多邊形的種類：三角形，四邊形，五邊形，六邊形。

（2）截面三角形只能是銳角三角形（可以是等腰，等邊）.如圖1-21，

（3）因?yàn)檎襟w的六個(gè)面中，有三對平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平行面相交，所以四邊形中至少有一對邊平行。截面多邊形可以是正方形，矩形，菱形，平行四邊形，等腰梯形，其它梯形。五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內(nèi)角相等。六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內(nèi)角。

（4）截面多邊形可以是正三角形，正四邊形和正六邊形。

（5）最大的三角形的截面的面積是，其中a是正方體的邊長。這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的頂點(diǎn)。

（6）截面一定不會是以下幾種多邊形．

?不可能是直角三角形和鈍角三角形．(證略)

?不可能是直角梯形．

證明：如圖1-23，若∠HEF=90°，又由正方體性質(zhì)可得AB⊥HE，所以HE⊥面ABD，所以HE∥AA′，所以AA′∥面EFGH，所以AA′∥GF，所以HE∥GF，與是梯形矛盾．

?不可能是正五邊形．

證明：因?yàn)檎襟w有三對平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面的兩交線互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形．

【課后反思】

1．這節(jié)課是學(xué)生在高中新課程的第一節(jié)探究課，學(xué)生能做到這樣我認(rèn)為很不錯(cuò)，及時(shí)予以鼓勵(lì)。這樣為以后展開更復(fù)雜的研究性課題提供了很好的基礎(chǔ)。

2．課上完后，我認(rèn)為基本達(dá)到了預(yù)期的目的。但總感覺意猶未盡，不是很完美。學(xué)生也認(rèn)為好像也有些話沒說完，沒有表達(dá)的很盡善盡美，這樣也好，促使他們下去好好思考思考，以后遇到這種機(jī)會，怎樣才能很流很完整很清晰的表達(dá)自己的思想。

3．個(gè)別結(jié)論的證明，限于高一學(xué)生水平和能力還不能理性地去思考，只能直觀的作出判斷就可以了，但也有一部分學(xué)生探討得很深。

4．第一次上這種課，課前雖考慮再三，但有些問題仍不可預(yù)測，比如，一節(jié)課，到底能有幾組可以展示？沒辦法預(yù)測，只能根據(jù)課堂情況隨機(jī)來確定；學(xué)生如果得出的錯(cuò)誤結(jié)論過多，必須一一予以糾正，找到錯(cuò)之所在，會不會影響課堂進(jìn)度，能否順利解決重點(diǎn)問題；學(xué)生之間的差異，所以各組之間在展示時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間也不可預(yù)測；在展示過程中，學(xué)生提出的問題必須解決，問題的深度也影響著進(jìn)度等等。這樣都會造成這節(jié)課不好控制。這就要求老師一定要準(zhǔn)備充分，考慮到可能出現(xiàn)的各種可能情況。只有這樣，才能自如地控制課堂。

5．考慮到以上各種可能情況，所以在展示時(shí)，我臨時(shí)決定按照預(yù)先提出的八個(gè)問題，一個(gè)小組只解決一個(gè)問題，不全面其他組可以補(bǔ)充，一個(gè)問題一個(gè)問題解決，并馬上予以總結(jié)，這樣就可以避免不必要的重復(fù)。

6．根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置數(shù)學(xué)課程的基本目的，不再只是讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識、技能，它還包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面的發(fā)展。通過學(xué)生自主探究的過程增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勇氣，增強(qiáng)探究的好奇心，加深對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識。當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家M·阿蒂亞先生指出：幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位……，幾何直覺是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)，有人說，幾何作為一種直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，它在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神方面的價(jià)值，卻是獨(dú)特的、難以替代的?！皬默F(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，通過一個(gè)充滿探索、思考和合作的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲取知識，收獲的將是自信心、責(zé)任感、求實(shí)態(tài)度、科學(xué)精神、創(chuàng)新意識……實(shí)踐能力等這些遠(yuǎn)比升學(xué)重要的公民素質(zhì)?！碧骄恳粋€(gè)正方體的截面形狀作為教學(xué)內(nèi)容是一個(gè)源于教材的很有意義的課程資源。

7．有待繼續(xù)探討的問題：關(guān)于正方體的截面問題的研究，還有一些值得探討的問題。學(xué)生動手實(shí)踐時(shí)，基本上都是用橡皮泥、豆腐、蘿卜、土豆等實(shí)際物品切割，但好像都有些問題。可以設(shè)計(jì)一個(gè)正方體水槽（帶孔），用水面代替刀切截正方體的構(gòu)想，然而，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，由于水的流動性，液面難于穩(wěn)定，因此，教師給學(xué)生展示時(shí)存在不便。我在反思，如用沙代水、或制成正方體鐵絲框架座等等，這些方法都是可行的。但是否有更好的處理方法呢？還望能得到專家、同行們的指教。另外，值得一提的是，正方體玻璃瓶需到玻璃店特制，在設(shè)計(jì)時(shí)需在其中一面留一小孔，以便于控制水的多少；有關(guān)部門若能聯(lián)系廠家，統(tǒng)一制成塑料模具，將使教育一線教師減輕許多不必要的工作負(fù)擔(dān)；裝水時(shí)，為便于觀察，宜將水染色。

8．“用教材”而不是“教教材”，教材是我國學(xué)校教育的主要課程資源，但不是唯一的課程資源。教師應(yīng)根據(jù)自身實(shí)際，創(chuàng)造性地使用教材。創(chuàng)新所帶給人的精神愉悅是任何物質(zhì)享受和感官享樂所無法比擬的，那是燦爛的生命之花最深沉、最輝煌、最恣意的綻放，從某種意義上說，創(chuàng)新是自我實(shí)現(xiàn)的最高表現(xiàn)形式，教育作為人道主義的事業(yè)，理所當(dāng)然應(yīng)該關(guān)注個(gè)人生命質(zhì)量的提升。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該與學(xué)生建立一種新型的民主平等的師生關(guān)系，從獨(dú)奏者的角色過渡到伴奏者的角色，從此不再主要是傳授知識，而是幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、組織和管理知識，引導(dǎo)他們而非塑造他們。

【附：部分學(xué)生小組研究報(bào)告】

課題研究報(bào)告高一年級2班完成時(shí)間2007、11、20課題名稱：正方體所有可能的截面類型小組成員姓名李嘉偉、于浩然、曹越、王昱人、王燁、朱世昱、徐本述、張澤群研究的簡要過程和方法畫圖找特例猜想試著證明初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）可能出現(xiàn)的：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、（已證）（已構(gòu)造出）（已構(gòu)造出）非矩形的平行四邊形、非等腰梯形等腰梯形、（已證）（已構(gòu)造出）五邊形、六邊形、正六邊形（已構(gòu)造出）（已構(gòu)造出）不可能出現(xiàn)：鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、（已證）（已證）（已證）（已證）七邊形或更多邊形（已證）課題的延伸或拓廣截面五邊形、六邊形性質(zhì)，最大面積的截面三角形、最大面積的截面四邊形、最大面積的截面形狀初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）截面五邊形：有兩組邊互相平行截面六邊形：三組對邊平行的六邊形（已證）最大面積的截面三角形：由三角面對角線構(gòu)成的三角形（已證）最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對角線和兩對平行棱構(gòu)成的四邊形（猜想）最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）課題研究報(bào)告

高一年級3班

完成時(shí)間

2007年11月20日課題名稱：正方體截面分析小組成員姓名洪艷紅、王小茹、賀鑫、孔瑞、王照倫、徐杰研究的簡要過程和方法找實(shí)例，證明不存在情況初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）1．最大面積的截面三角形是怎樣的？2．最大面積的截面四邊形是怎樣的？3．最大面積的截面形狀是怎樣的？4．……最大截面六邊形（猜想）課題的延伸或拓廣初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）四邊形、五邊形、六邊形至少有分別一、二、三組對邊平行（已證）最大面積為對角面（猜想）截面三角形必為銳角三角形（已證）

三、課題實(shí)施建議與說明：1.

突出實(shí)驗(yàn)、操作的環(huán)節(jié)這個(gè)素材包含了一個(gè)典型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，因此一定要突出實(shí)驗(yàn)、操作的環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生用自己找到的材料或軟件做實(shí)驗(yàn)。最后形成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。下面是一個(gè)課題學(xué)習(xí)報(bào)告的參考格式：“正方體截面形狀問題”課題學(xué)習(xí)報(bào)告

年級

班

完成時(shí)間

課題名稱：正方體截面形狀問題研究的簡要過程和方法，相關(guān)信息及參考文獻(xiàn)的來源和出處等初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）發(fā)現(xiàn)的新問題、可拓展的、相關(guān)的問題初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）課題探究的自我評價(jià)課題學(xué)習(xí)的反思和體會若上表填寫時(shí)地域不夠，可以自己增加副頁，也可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)研究報(bào)告的報(bào)表。2.我采用教學(xué)形式一----分組課下探究，課上報(bào)告結(jié)果，現(xiàn)場交流此教學(xué)形式相對節(jié)省課時(shí)，但要求學(xué)生具備一定的自主探索的經(jīng)驗(yàn)和能力。首先將學(xué)生2-3人分成一組，提出課下討論、研究的要求和建議。發(fā)給學(xué)生上面的表格，以三角形為例，做一個(gè)簡單示范，使學(xué)生能明確探究任務(wù)和操作的大致過程。讓學(xué)生課后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究，最后形成小組的研究成果的報(bào)告。然后，根據(jù)學(xué)生的報(bào)告完成情況，在課上讓部分小組報(bào)告他們所得到的結(jié)果，闡述理由，并回答教師或其他學(xué)生提出的問題，共同研究討論、賞析質(zhì)疑，再共同給出評價(jià)意見。3.也可以采用教學(xué)形式二----教師引導(dǎo)，課下做模型，課上現(xiàn)場觀察、探究、猜想、形成結(jié)果，再交流確認(rèn)。此教學(xué)形式需占用一定的課內(nèi)時(shí)間，適合于沒有自主探究經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，有利于他們了解課題學(xué)習(xí)的過程，在老師帶領(lǐng)下有步驟地推進(jìn)問題的解決。首先，讓學(xué)生課前準(zhǔn)備幾個(gè)便于切割的正方體模型，帶入課堂。課上可以讓學(xué)生前后桌四人一組，在教師帶領(lǐng)下逐一進(jìn)行問題的觀察、猜想、討論，分組形成結(jié)果，闡述理由，并接受教師和學(xué)生的質(zhì)疑。對課上未能很好解決的問題，或是由此而引發(fā)的新的問題，可以布置給學(xué)生課下進(jìn)一步去探索、研究，并完成研究報(bào)告。根據(jù)情況，可以適當(dāng)安排時(shí)間讓部分學(xué)生報(bào)告他們的結(jié)果。教師注意發(fā)掘?qū)W生在探究過程中的“閃光點(diǎn)”，并給予積極的評價(jià)。教師要特別注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動探究、學(xué)習(xí)，而不是取而代之，變成自己給學(xué)生講題。對課上未能很好解決的問題，或是由此而引發(fā)的新的問題，可以布置給學(xué)生課下去探索、研究，并完成研究報(bào)告．根據(jù)情況，可以適當(dāng)安排時(shí)間讓學(xué)生報(bào)告。4．對于優(yōu)秀學(xué)生，可以在解決了這個(gè)課題后，加大探究范圍，培養(yǎng)問題意識。對于優(yōu)秀學(xué)生，可以在布置的課下任務(wù)中，適當(dāng)拓寬該課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容。如：（1）怎樣根據(jù)條件畫正方體的截面圖？（2）研究滿足某些特定條件的截面形狀及性質(zhì)：與棱平行的截面；與體對角線垂直的截面；等分正方體的截面等。（3）一個(gè)裝有定量液體（不滿）的封閉中空的正方體隨著位置的某種規(guī)則（如：以一棱為軸旋轉(zhuǎn)）變化，液體與正方體各接觸面的面積有怎樣的性質(zhì)，各接觸面之間有怎樣的關(guān)系？處于何位置時(shí)接觸面最??？何位置時(shí)液面面積最小？（4）研究其它幾何體截面形狀。（最直接的是正三棱錐）。（5）從反面提問題：截面不可能是什么形狀？（最直接的結(jié)果有：不可能是直角三角形和鈍角三角形。不可能是直角梯形。不可能是正五邊形。問學(xué)生能證明嗎？）……5.幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成好課題學(xué)習(xí)報(bào)告這個(gè)環(huán)節(jié)是為學(xué)生將來學(xué)習(xí)做數(shù)學(xué)建模打基礎(chǔ)，和理化生中的實(shí)驗(yàn)報(bào)告類似。但常常有以下幾個(gè)方面容易被忽視：（1）課題學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的新問題，可拓展的或與其相關(guān)的問題；（2）課題研究的自我評價(jià)，包括探究方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點(diǎn)、不足之處等；（3）課題學(xué)習(xí)的反思和體會，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你學(xué)習(xí)借鑒的，某種特別的感受等。（4）課題研究中的參考文獻(xiàn)、合作經(jīng)歷、每個(gè)成員的貢獻(xiàn)等。教師在引導(dǎo)學(xué)生交流時(shí)，要注意講評這些環(huán)節(jié)學(xué)生的進(jìn)步和問題。6.通過實(shí)驗(yàn)過程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)無論是課下指導(dǎo)，還是課上教學(xué)實(shí)施過程中，教師都要注意引導(dǎo)學(xué)生從直觀、感性的猜測出發(fā)，逐漸推進(jìn)到嚴(yán)密、理性的思考和推理論證上來，幫助學(xué)生認(rèn)識到兩者在數(shù)學(xué)研究中的關(guān)系；注意引導(dǎo)學(xué)生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會欣賞別人，并從中吸取友誼經(jīng)驗(yàn)；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對自己的思維活動進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動．要把實(shí)驗(yàn)過程與學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)結(jié)合起來，可以試行“想象引路、猜想在先、實(shí)驗(yàn)在后、證明壓陣”的探究策略。如：教師問：截面有四邊形嗎？學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例。教師追問：截面有正四邊形嗎？學(xué)生再實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例并說明理由。教師再問：截面有六邊形嗎？學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例。教師再問：截面有正六邊形嗎？學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例并說明理由。教師再問：截面有五邊形嗎？先不要找模型，直觀想一想？能猜一個(gè)結(jié)果嗎？（鼓勵(lì)學(xué)生合情推理）學(xué)生多數(shù)回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例并說明理由。學(xué)生容易把六邊形截面的兩個(gè)在正方體側(cè)棱上頂點(diǎn)“合二為一”到正方體的頂點(diǎn)，從而生成五邊形截面。教師再問：截面有正五邊形嗎？先不要找模型，直觀想一想？能猜一個(gè)結(jié)果嗎？（鼓勵(lì)學(xué)生合情推理）學(xué)生仍有多數(shù)回答“有”----，教師要求學(xué)生給出具體實(shí)例并說明理由。學(xué)生容易借助生成五邊形截面，改變兩個(gè)在正方體側(cè)棱上的頂點(diǎn)的位置，認(rèn)為可以找到一個(gè)“時(shí)刻”，讓五個(gè)邊長相等。這個(gè)結(jié)果出來后，一些學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)果破壞了“截面上的五點(diǎn)應(yīng)該共面”的要求。教師追問：“為什么不共面了？”----（生成了一道很好的立體幾何習(xí)題，可以讓學(xué)生課上或課下進(jìn)一步給出理由或證明）。教師可以讓學(xué)生表態(tài)，公布認(rèn)為“有正五邊形截面”的、和認(rèn)為“沒有正五邊形截面”的各占多少？，為雙方明確任務(wù)：認(rèn)為“有”，就要真作出一個(gè)來；認(rèn)為沒有的就要證明“做不出來”，鼓勵(lì)大家進(jìn)一步探究。提示“有”派要抓“正五邊形”的判定，而“無”派就要通過“正五邊形”的性質(zhì)找破綻。（加深對判定、性質(zhì)；充分，必要的體會）最后鼓勵(lì)學(xué)生給出“無”的證明：證明：因?yàn)檎襟w有三對平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線，其中至少有兩組平行面，由面面平行的性質(zhì)定理：“一平面與兩個(gè)平行平面相交，兩交線互相平行”知，這個(gè)截面至少有一對平行邊，而正五邊形不可能有任何兩條邊是平行的，所以正方體的五邊形截面不可能是正五邊形。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會欣賞別人，并從討論中積累經(jīng)驗(yàn)；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對自己的思維活動進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動。

7．本課題研究的部分參考結(jié)論（1）截面多邊形的種類：三角形，四邊形，五邊形，六邊形。（2）截面三角形只能是銳角三角形（可以是等腰，等邊）.如圖1-21，（3）因?yàn)檎襟w的六個(gè)面中，有三對平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平行面相交，所以四邊形中至少有一對邊平行。截面多邊形可以是正方形，矩形，菱形，平行四邊形，等腰梯形，其它梯形。五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內(nèi)角相等。六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內(nèi)角。（4）截面多邊形可以是正三角形，正四邊形和正六邊形。（5）最大的三角形的截面的面積是，其中a是正方體的邊長。這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的頂點(diǎn)。（6）截面一定不會是以下幾種多邊形．?不可能是直角三角形和鈍角三角形．(證略)?不可能是直角梯形．證明：如圖1-23，若∠HEF=90°，又由正方體性質(zhì)可得AB⊥HE，所以HE⊥面ABD，所以HE∥AA′，所以AA′∥面EFGH，所以AA′∥GF，所以HE∥GF，與是梯形矛盾．?不可能是正五邊形．證明：因?yàn)檎襟w有三對平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面的兩交線互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形．

四、拓展資源：

1.

相似的拓展問題：

①正四面體的截面形狀有三角形（銳角或直角），四邊形；

②四邊形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，無平行邊的四邊形。

③當(dāng)截面與一對棱平行時(shí)，四邊形截面面積的最大值問題

設(shè)正四面體棱長為a，截面一邊長為m，則由比例關(guān)系可得另一邊為a－m，所以截面面積＝m(a－m)＝，此時(shí)截面為正方形。④與不在同一平面內(nèi)的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的截面有7個(gè)。分類：三個(gè)頂點(diǎn)在截面的同一側(cè)，另一頂點(diǎn)在平面另一側(cè)時(shí)有4個(gè)平面；

?截面兩側(cè)各兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有3個(gè)平面．2．正方體水槽中的問題．

側(cè)面：

(1)側(cè)面多邊形的種類：三角形、四邊形、五邊形．

(2)側(cè)面多邊形性質(zhì)：三角形只能是直角三角形；四邊形是直角梯形或矩形；五邊形必有且僅有相鄰三內(nèi)角為直角．

(3)正方體位置與側(cè)面形狀