偏微分方程數(shù)值解-雙曲線方程的有限差分法

#/10雙曲型方程的有限差分法線性雙曲型方程定解問題：—階線性雙曲型方程—階常系數(shù)線性雙曲型方程組其中，s階常數(shù)方程方陣，為未知向量函數(shù)。二階線性雙曲型方程(波動方程)為非負(fù)函數(shù)二維，三維空間變量的波動方程§1波動方程的差分逼近1.1波動方程及其特征線性雙曲型偏微方程的最簡單模型是一維波動方程：(1.1)其中是常數(shù)。(1.1)可表示為：，進(jìn)一步有由于當(dāng)時為的全導(dǎo)數(shù)(du)，故由此定出兩個方向dt(1.3)解常微分方程(1.3)得到兩族直線(1．4)和稱其為特征。特征在研究波動方程的各種定解問題時，起著非常重要的作用。比如，我們可通過特征給出(1.1)的通解。(行波法、特征線法)將(1.4)視為與之間的變量替換。由復(fù)合函數(shù)的微分法則d2udx2dC[dC11du)dCdi+

dxdC丿2du)dCQ.dC[dC21dC丿2dxd2u+dC22d2d2u+dC22++dC2dCdCdCdC11221同理可得dC,——2=a

dtd2Udt2dudC1dC丿丿d2Udt2dudC1dC丿丿dCi+

dtdu

dC2/du~dC2dudCdCJdtd2u=—a2dCdC21d2u+a2dC22d2udC22d2udCdC12d2ud2u將和代入(i.i)可得:dx2dt2即有求其對的積分得:其中是的任意可微函數(shù)。再求其對的積分得:(1.5)=f(C)+f(C)=f(x-at)+f(x+at)112212其中和均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。(1.5)為(1.1)的通解，即包含兩個任意函數(shù)的解。為了確定函數(shù)和的具體形式，給定在x軸的初值(x)-8vx<+81.5)u|

du

dt=p匕丿1將(1.5)式代入上式，則有(i)(廣(x)-/心))a=9(x)，有211注意F(x-at)C(廣(x)-/心))a=9(x)，有211(ii)并對x積分一次，得與(i)式聯(lián)立求解，得將其回代到通解中，即得(1.1)在(1.5)條件下的解：(1.6)即為法國數(shù)學(xué)家JeanLeRondd'Alembert(1717-1783)提出的著名的D'Alembert公式。由D'Alembert公式還可以導(dǎo)出解的穩(wěn)定性，即當(dāng)初始條件(1.5)僅有微小的誤差時，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件：滿足，，則+即顯然，當(dāng)有限時，解是穩(wěn)定的。此外，由D'Alembert公式可以看出，解在點(diǎn)，的值僅依賴于x軸上區(qū)間內(nèi)的初始值，，與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。故稱區(qū)間為點(diǎn)的依存域。它是過點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在x軸上截得的區(qū)間。對于初始軸上的區(qū)間，過點(diǎn)作斜率為丄的直線；過點(diǎn)作斜率為的直線。它a們和區(qū)間一起構(gòu)成一個三角區(qū)域。此三角區(qū)域中任意點(diǎn)的依存區(qū)間都落在內(nèi)部。所以解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件確定，而與區(qū)間外的初始條件無關(guān)。這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定域。在上給定初始條件，就可以在其決定域中確定初值問題的解。1.2顯格式現(xiàn)在構(gòu)造(1.1)的差分逼近。取空間步長和時間步長，用兩族平行直線，，，作矩形網(wǎng)絡(luò)。于網(wǎng)點(diǎn)處Taylor展開成代入(1.1),并略去截斷誤差，則得差分格式：/、Un+1—2Un+Un-1(1.7)jjj=T2，這里表示于網(wǎng)點(diǎn)處的近似值。初值條件(1.5)用下列差分方程近似：(1.8)(1.9)注意：(1.7)的截斷誤差階是，而(1.9)的截斷誤差階僅是。為此需要提高(1.9)的精度，可用中心差商代替，即(1.10)為了處理，在(1.7)中令，得U1—2U0+U—1—jj=T2進(jìn)一步，其中。并用(1.10)式的代入上式得r2(p(x)一2<p(x)+屮(x》

0j+10j0j—11.11)這樣，利用(1.8)(1.11)，可以由初始層的已知值，算出第一層各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。然后利用(1.7)或顯式三層格式1.12)r2(Un+Un)+2(1—r2)Un—Un—1

j+1j—11.12)可以逐層求出任意網(wǎng)點(diǎn)值。以上顯式三層格式也可用于求解混合問題：

d2Ud2U1.13)uI,0)=申(x)uG,t)=p(1.13)uI,0)=申(x)uG,t)=p(t)取，。除(1.7)?(1.9)外。再補(bǔ)充邊值條件(1.14)，1．3穩(wěn)定性分析下面我們要討論(1.7)的穩(wěn)定性。為引用Fourier方法，我們把波動方程(1.1)化成一階偏微分方程組，相應(yīng)地把顯式三層格式(1.7)化成二層格式。一種簡單的做法是引進(jìn)變量，于是(1.1)化為du=v，dt這樣會使得初值與不適定(不唯一)，更合理的方法是再引進(jìn)一個變量，將(1.1)化為(1.15)，，注意到：若令，，則(1.5)若令，，則(1.5)可寫成(1.16)dUdU-A-dtdxCDn—CDn2CDn—CDn2Vn+1—Vn-4j(1.17)T(1.17)Dn+1—Dn_Vn+1—Vn+1tt'_2="Jhi其中，。可直接驗(yàn)證之。記為網(wǎng)比。用Fourier方法可以證明，差分方程(1.17)穩(wěn)定的必要條件是網(wǎng)比1.19)充分條件是網(wǎng)比（1.19）。Courant等證明，時，差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑的初值。習(xí)慣上也稱為Courant條件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）條件。穩(wěn)定性條件（1.19）有直觀的幾何解釋。從方程（1.12）r2Cn+UnL2（—r2^n—Un-1j+1j-1jj可看出，依賴于前兩層的值：，，，Un-2，而這四個值由依賴于，Un-2依賴于：，，，jjUn-4j依賴于，，，，Un-2j依賴于，，Un-2，，j依賴于，Un-2，，j以此類推，可知，最終依賴于初始層上的下列值，??????因此，稱x軸上含于區(qū)間的網(wǎng)點(diǎn)為差分解的依存域，它是x軸上被過和以及和的兩條直線所切割下來的區(qū)間所覆蓋的網(wǎng)域。而過的兩條特征線為，。差分格式穩(wěn)定的必要條件為：或-<-，并且進(jìn)而。ha可見差分格式穩(wěn)定的必要條件是，差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域，否則差分格式不穩(wěn)定。用依存域的概念容易證明，當(dāng)時，差分解不收斂。1.4隱式為了得到絕對穩(wěn)定的差分格式，用第層、層、層的中心差商的加權(quán)平均去逼近得到下列差分格式，Un+1-2Un+Un-1jjj—=T2或其中是參數(shù)。可以證明，對于時，差分格式絕對穩(wěn)定；時，差分格式的充要條件是，

TOC\o"1-5"\h\zaT1r=<—hxi-49當(dāng)就是顯格式（1.7），一個常用的隱式格式是取此時，差分格式為：Un十1—2Un+Un-1jjj—=T2或高維波動方程！§3一階雙曲方程雙曲方程與橢圓方程和拋物方程的一個重要區(qū)別是，雙曲方程具有特征和特征關(guān)系，其解對初值有局部依賴性質(zhì)。初值的函數(shù)性質(zhì)（如間斷、弱間斷等）也沿著特征傳播，因而其解一般沒有光滑性質(zhì)。我們在構(gòu)造雙曲方程的差分逼近時，應(yīng)充分注意這些特性。下面對于一階雙曲方程，介紹幾種常見的差分格式3.1迎風(fēng)格式首先考慮一階線性常系數(shù)雙曲方程（3.1）此方程雖簡單，但是對我們構(gòu)造差分格式很有啟發(fā)。我們的主要的目的是構(gòu)造差分格式，因此只限于考慮純初值問題。設(shè),定義特征線:dx或=adt則在每一條這樣的特征線上,因此,在特征線上,等于常數(shù).對于（3.1）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三種格式：Un+1—UnUn—Unjj+a-jj-1=0（左偏心格式）Th右偏心格式）Un+1—UnUn—Un右偏心格式）jj+a^M1j=0th

中心格式）Un+1—UnUn—Un中心格式）jj+a—j+ij—1=0t2h其中和的截斷誤差的階為，的截斷誤差的階為。記（3.3）將?式改寫為：用Fourier方法分析穩(wěn)定性可知，絕對不穩(wěn)定。時，不穩(wěn)定，而當(dāng)穩(wěn)定，；時，不穩(wěn)定，而當(dāng)穩(wěn)定。這兩個穩(wěn)定條件意味著差分方程的依存域必須包含微分方程的依存域。同樣的思想可用于構(gòu)造變系數(shù)方程的差分格式。此時可能變號，因此相應(yīng)的格式為：3.6)3.6)<Un+1—UnUn—UnTj+aT4=0,當(dāng)a>0t<jhjUn+1—UnUn—Un-4j+aj+i—j=0,當(dāng)a<0Itjhj其中。穩(wěn)定性條件為（3.7）由（3.7），并取，則知和右端的系數(shù)非負(fù)。當(dāng)時，當(dāng)時，其中是以為分量的的向量?？傊?。這說明（3.6）穩(wěn)定，按氣體力學(xué)的含義（表示氣流速度），稱（3.6）為迎風(fēng)格式。初邊值問題：邊值條件應(yīng)該在迎風(fēng)方向給出!

3.2積分守恒的差分格式迎風(fēng)格式是根據(jù)特征走向構(gòu)造出來的向前或向后差分格式?，F(xiàn)在以積分守恒方程出發(fā)構(gòu)造差分格式。dx所謂守恒方程是指如下散度型偏微分方程dx3.13)du3.13)+dt設(shè)G是平面中任意有界域，由Green公式其中。于是可將（3.13）寫成積分守恒方程（3.14）01.Lax格式首先，我們從（3.14）出發(fā)構(gòu)造所謂Lax格式。取G為，，和為頂點(diǎn)的開矩形。為其邊界，則（3.15）+++右端第一積分用梯形公式，第二積分用中矩形公式即J第三、第四積分用如下矩形公式計算：從而有兩端同除以得Lax格式3.16)Un+13.