2022-2023學(xué)年福建省漳州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省漳州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，得，即．故選：A2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由兩角和的正弦公式，可知.故選：A.3．如圖，菱形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相等向量的定義、向量的加、減法法則和向量的幾何意義，結(jié)合菱形依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由圖形可知，，故A錯(cuò)誤；B：由平面向量的減法法則可知，，故B錯(cuò)誤；C：由平面向量的加、減法法則可知，，，又菱形的對(duì)角線互相垂直，所以，即，故C正確；D：根據(jù)選項(xiàng)C的分析可知，，，在菱形中，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，將的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)已知條件求解出的值，然后根據(jù)之間的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：三角函數(shù)定義有如下推廣：設(shè)點(diǎn)為角終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，，則.5．在中，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】根據(jù)已知條件計(jì)算出的值，然后根據(jù)兩角差的正切公式結(jié)合的值計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)特殊角的余弦值求出其正切值以及兩角差的正切公式的熟練運(yùn)用.6．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，若，，，則的面積（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：，，由正弦定理可得，，，的面積．故選：A．7．黃金分割蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和美學(xué)價(jià)值，被廣泛運(yùn)用于藝術(shù)創(chuàng)作、工藝設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，黃金分割的比值為無(wú)理數(shù)該值恰好等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，利用二倍角的余弦公式，計(jì)算的值．【詳解】由題意，，，故選：C．8．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)量積的定義與正弦定理可得，再利用兩角和與差的正弦公式以及三角函數(shù)的有界性求解即可.【詳解】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，由正弦定理可得，所以，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：D.二、多選題9．將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)系式可以為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換以及誘導(dǎo)公式可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到函數(shù)的圖象，且，故選：BD.10．以下說(shuō)法正確的是（

）A．若，則或B．若，則向量，的夾角為鈍角C．已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D．設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則，可作為該平面的一個(gè)基底【答案】CD【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)判斷AB，根據(jù)投影向量公式判斷C；判斷是否共線，即可判斷D.【詳解】A.若，則或或，故A錯(cuò)誤；B.若，則向量，的夾角為鈍角或，故B錯(cuò)誤；C.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C正確；D.不存在使，所以向量不共線，那么可作為該平面的一個(gè)基底，故D正確.故選：CD11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．△ABC是鈍角三角形C．若，則△ABC內(nèi)切圓半徑為4 D．若，則△ABC外接圓半徑為13【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由正弦定理判斷，對(duì)于B，利用余弦定理判斷，對(duì)于C，利用等面積法求解，對(duì)于D，利用正弦定理求解【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以A正確，對(duì)于B，由，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以△ABC為直角三角形，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)B可知△ABC為直角三角形，設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為，則，所以，解得，所以△ABC內(nèi)切圓半徑為4，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)B可知△ABC為直角三角形，設(shè)△ABC外接圓半徑為，則由正弦定理得，，解得，所以△ABC外接圓半徑為13，所以D正確，故選：ACD12．氣候變化是人類面臨的全球性問(wèn)題，隨著各國(guó)二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對(duì)生命系統(tǒng)形成威脅，我國(guó)積極參與全球氣候治理，加速全社會(huì)綠色低碳轉(zhuǎn)型，力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和目標(biāo)，某校高一數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)研究課題是“碳排放與氣候變化問(wèn)題”，研究小組觀察記錄某天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數(shù)，，以下說(shuō)法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的最小正周期為C．，D．若是偶函數(shù)，則的最小值為2【答案】ACD【分析】根據(jù)圖象的最大值和最小值求，再根據(jù)對(duì)稱軸間的距離求周期和，再將點(diǎn)代入解析式中可求出的值，從而可求得函數(shù)解析式，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】根據(jù)題圖可知得所以．根據(jù)題圖可知，，B錯(cuò)誤．，，，即．又，所以，所以，解得，A正確．，，所以，C正確．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，，得，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，為2，D正確．故選：ACD．三、填空題13．若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，解得.故答案為：.14．若，是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，，則.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋菉A角為60°的兩個(gè)單位向量，所以，，所以.故答案為：四、雙空題15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且外接圓的面積為，請(qǐng)寫(xiě)出一組滿足上述條件的邊和角：，．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，求出的外接圓半徑，再利用正弦定理求出即可求解作答.【詳解】依題意，的外接圓半徑，由正弦定理得，即，又，取，則.故答案為：；16．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為；若的最大值為2，則的值為.【答案】【分析】第一空換元法即可求出函數(shù)的最值；第二空換元后根據(jù)動(dòng)軸定區(qū)間進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，由于開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，若，即，此時(shí)，則；若，即，此時(shí)，則；綜上：，故答案為：；.五、解答題17．當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件(1)位于第二象限；(2)位于直線上，并求.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在第二象限可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，可得出的值，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，解得.（2）解：由題意可知點(diǎn)在直線上，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.18．記△ABC得內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.(1)求a；(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理得出；（2）由正弦定理得出.【詳解】（1）因?yàn)閟inA=3sinB，所以，由余弦定理可得，所以（2）由可得，19．如圖，，，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N.(1)用，表示向量；(2)若，，且點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）（1）根據(jù)連接AB，根據(jù)AB是△SMN的中位線，結(jié)合向量的運(yùn)算求解即可;（2）以，為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可（2）如圖，連接AB，由對(duì)稱性，可知AB是△SMN的中位線，∴，∴，∴.（2）由（1）知，，當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，，又，，∴..20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求不等式在上的解集.【答案】(1)最小正周期為(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)解析式，由求得的最小正周期.（2）由得，解三角不等式求得不等式在上的解集.【詳解】（1）.所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）可知，，即，可得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，不等式在上的解集為.21．如圖1魚(yú)牙齒呈三角形，牙根處有凹陷.為測(cè)鯊魚(yú)牙齒面積，把鯊魚(yú)牙齒視為如圖2模型，測(cè)得，，.(1)若，，求平面凹四邊形ABCD面積；(2)若，求平面凹四邊形ABCD面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接AC，在ABC中，利用余弦定理求得AC，在ACD中，求得，再利用面積公式，由求解.（2）在ACD中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，得到，再由求解.【詳解】（1）解：如圖，連接AC，ABC中，，，，由余弦定理可得，.ACD中，，，，由余弦定理可得，，∴，∴，又，∴.（2）由（1）知.ACD中，，，即，∴，，平面凹四邊形ABCD面積的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.22．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面100，最低點(diǎn)距離地面10，摩天輪上均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1~36號(hào)的36個(gè)座艙.開(kāi)啟后摩天輪按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t后距離地面的高度為H，轉(zhuǎn)一周需要30.(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在1號(hào)和7號(hào)座艙里，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值.【答案】(1)(2)最大高度差45m.【分析】(1)利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解；(2)利用三角恒等變換公