《概率論》第03章-多維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)二維隨機(jī)變量的條件分布第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題第一節(jié)

二維隨機(jī)變量及其

分布函數(shù)

在實(shí)際問題中,對(duì)于某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述.某一地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況,對(duì)于每個(gè)兒童都能觀察到他的身高H和體重W.在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置由兩個(gè)坐標(biāo)來確定的飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo))來確定例如:一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向量叫做維隨機(jī)向量或

維隨機(jī)變量.SeX(e)Y(e)X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在如下圖中所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋(x,y)xyO隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為xyy1y2x1x2分布函數(shù)F(x,y)的基本性質(zhì)F(x,y)是變量x和y的不減函數(shù),即對(duì)于任意固定的y,當(dāng)x2>x1時(shí)F(x2,y)

F(x1,y);對(duì)于任意固定的x,當(dāng)y2>y1時(shí)F(x,y2)F(x,y1).0F(x,y)1,且對(duì)于任意固定的y,F(-,y)=0,

對(duì)于任意固定的x,F(x,-)=0,

F(-,-)=0,F(+,+)=1.F(x,y)關(guān)于x和關(guān)于y都右連續(xù).任給(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2,

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…一維離散型隨機(jī)變量X的分布律

k=1,2,…定義2的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,二、二維離散型隨機(jī)變量也可用表格來表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律：二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)例1設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值,另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1~X中等可能地取一整數(shù)值.試求(X,Y)的分布律.解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律,易知{X=i,Y=j}的取值情況是:i=1,2,3,4,j取不大于i的正整數(shù),且于是(X,Y)的分布律為Y

X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16將(X,Y)看成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為其中和式是對(duì)一切滿足xi

x,yj

y的i,j來求和的.一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)X的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量

,函數(shù)稱為二維（X,Y)的概率密度

,隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或（X,Y）的概率密度的性質(zhì):在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率P{Y

X}.解

(1)xyOG(2)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有

{Y

X}={(X,Y)G},

其中G為xOy平面上直線y=x及其下方的部分,于是設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)變量,它的樣本空間是S={e},設(shè)X1=X1(e),X2=X2(e),...,Xn=Xn(e)是定義在S上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)n維隨機(jī)向量(X1,X2,...,Xn)叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.任給n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,...,xn,n元函數(shù)

F(x1,x2,...,xn)=P{X1

x1,X2

x2,...,Xn

xn}

稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)或X1,X2,...,Xn的聯(lián)合分布函數(shù).它具有類似于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì).推廣第二節(jié)

邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量(X,Y)，則X的分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律同樣，Y的分布律為記分別稱pi

(i=1,2,...)和p

j(j=1,2,...)為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律.理解：記號(hào)中的“”表示對(duì)下標(biāo)的求和。例1一整數(shù)N等可能地在1,2,3,...,10十個(gè)值中取一個(gè)值.設(shè)D=D(N)是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù),F=F(N)是能整除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)(注意1不是素?cái)?shù)),試寫出D和F的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.樣本點(diǎn)12345678910D1223242434F0111121112解先將試驗(yàn)的樣本空間及D,F取值的情況列表如下:D和F的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示:F

D1234P{F=j}01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P{D=i}1/104/102/103/101我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y),設(shè)概率密度為f(x,y),由于由定義，X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,且其概率密度為同樣,Y也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為稱fX(x),fY(y)為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故(2)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),因此因此例3設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,其面積為A.若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.現(xiàn)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在圓域x2+y21上服從均勻分布,求邊緣概率密度.解由假設(shè)知隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度xy0yY的邊緣概率密度為:同理可得X的邊緣概率密度。例4二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為其中m1,m2,s1,s2,r都是常數(shù),且s1>0,s2>0,|r|<1.稱(X,Y)為服從參數(shù)m1,m2,s1,s2,r的二維正態(tài)分布,記為(X,Y)~N(m1,m2,s12,s22,r).試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解于是例題說明:二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)r.對(duì)于給定的m1,m2,s1,s2,不同的r對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布都是一樣的.單由關(guān)于X和Y的邊緣分布,一般來說是不能確定隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布的.第三節(jié)

二維隨機(jī)變量的

條件分布在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量

X,Y，在Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布。這種分布就是條件分布.設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,....

(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為設(shè)pij>0,考慮在事件{Y=yj}條件下事件{X=xi}發(fā)生的概率,也就是求條件概率

P{X=xi|Y=yj},i=1,2,...一、離散型隨機(jī)變量的條件分布由條件概率公式,可得易知上述條件概率具有分布律的性質(zhì):定義設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱為在Y=yj條件下的隨機(jī)變量X的條件分布律.同樣,對(duì)于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.例1在一汽車工廠中,一輛汽車有兩道工序是由機(jī)器人完成的.其一是緊固3只螺栓,其二是焊接2處焊點(diǎn).以X表示螺栓緊固得不良的數(shù)目,Y表示焊接點(diǎn)不良數(shù)目.已知(X,Y)的分布律:Y

X0123P{Y=j}00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.0010.020P{X=i}0.9100.0450.0320.0131.000(1)求在X=1的條件下,Y的條件分布律;(2)求在Y=0的條件下,X的條件分布律.解：Y=k012P{Y=k|X=1}6/92/91/9X=k0123P{X=k|Y=0}84/903/902/901/90……例2一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊直至擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律.解按題意Y=n表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在第1次,第2次,...,第n-1次射擊中恰有一次擊中目標(biāo).已知各次射擊是相互獨(dú)立的,于是不管m(m<n)是多少,概率P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于即得X和Y的聯(lián)合分布律為

P{X=m,Y=n}=p2qn-2,n=2,3,...;m=1,2,...,n-1.于是，所求的條件分布律為

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為關(guān)于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下的條件概率密度.記為稱為在的條件下,的條件分布函數(shù).記為定義2若對(duì)于固定的,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布即類似地,可以定義定義的理解：以為例解由假設(shè)知隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度因?yàn)閤y0y而Y的邊緣概率密度為:例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在圓域x2+y21上服從均勻分布,求條件概率密度fX|Y(x|y).于是當(dāng)-1<y<1時(shí)有例4設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí),數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值.求Y的概率密度fY(y).對(duì)任意給定的值x(0<x<1),在X=x條件下,Y的條件概率密度為解按題意X具有概率密度得X和Y的聯(lián)合概率密度為于是得關(guān)于Y的邊緣概率密度為第四節(jié)

隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義

設(shè)F(x,y)及FX(x),FY(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有

P{X

x,Y

y}=P{X

x}P{Y

y},

即 F(x,y)=FX(x)FY(y),

則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的.兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),f(x,y),fX(x),fY(y)分別為(X,Y)的概率密度和邊緣概率密度,則X和Y相互獨(dú)立的條件等價(jià)于

f(x,y)=fX(x)fY(y)

幾乎處處成立(在平面上除去"面積"為零的集合以外,處處成立).當(dāng)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量時(shí),X和Y相互獨(dú)立的條件等價(jià)于:對(duì)于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有

P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}例1、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的概率密度為故有f(x,y)=fX(x)fY(y),因而X,Y是相互獨(dú)立的.例2若X,Y具有聯(lián)合分布律Y

X01P{Y=j}11/62/61/221/62/61/2P{X=i}1/32/31求證:X、Y是相互獨(dú)立的.證明：驗(yàn)證對(duì)所有的(xi,yj)有：P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}例3隨機(jī)變量D和F的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下:D

F1234P{F=j}01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P{D=i}1/104/102/103/101求證:隨機(jī)變量F和D不相互獨(dú)立證:由于P{D=1,F=0}=1/10

P{D=1}P{F=0}=(1/10)(1/10).

因而F和D不是相互獨(dú)立的.例4:問二維正態(tài)隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立？

解：(X,Y)的概率密度為其邊緣概率密度的乘積為:對(duì)比得出結(jié)論：二維正態(tài)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立的充要條件是例5一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12時(shí),他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7~9時(shí),設(shè)他們到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)時(shí)間相差不超過5分鐘(1/12小時(shí))的概率.因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立,故(X,Y)的概率密度為解：設(shè)X和Y分別是負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間,由假設(shè)X和Y的概率密度分別為而G的面積=

ABC的面積-

AB'C'的面積即負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率為1/48.按題意需要求概率P{|X-Y|1/12}.畫出區(qū)域:|x-y|1/12,以及長(zhǎng)方形[8<x<12;7<y<9],它們的公共部分是四邊形BCC'B',記為G.所求的概率為y=xy-x=1/12y-x=-1/1278910111289BB'CC'AG第五節(jié)

二維隨機(jī)變量

函數(shù)的分布例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak

,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk

,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數(shù).解

=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布解依題意

例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ

(z)又可寫成

以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

卷積公式例1設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從N(0,1)分布,其概率密度為求Z=X+Y的概率密度.解由公式即Z服從N(0,2)分布.一般,設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~N(m1,s12),Y~N(m2,s22).利用公式經(jīng)過計(jì)算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布,且有Z~N(m1+m2,s12+s22).這個(gè)結(jié)論還能推廣到n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況.即若Xi~N(mi,si2)(i=1,2,...,n),且它們相互獨(dú)立,則它們的和Z=X1+X2+...+Xn仍然服從正態(tài)分布,且有Z~N(m1+m2+...+mn,s12+s22+...+sn2).更一般地,可以證明有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.例2在一簡(jiǎn)單電路中,兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接,設(shè)R1,R2相互獨(dú)立,它們的概率密度均為求總電阻R=R1+R2的概率密度.解由公式,R的概率密度為易知僅當(dāng)時(shí)上述積分的被積函數(shù)不等于零.zxO1020x=10x=zx=z-10因此將f(z)的表達(dá)式代入上式得例3設(shè)X1,X2相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為a1,b;a2,b的G分布(分別記成X1~G(a1,b),X2~G(a2,b),X1,X2的概率密度分別為試證明X1+X2服從參數(shù)為a1+a2,b的G分布.證：由公式知,當(dāng)x0時(shí),Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0.而當(dāng)z>0時(shí),Z=X1+X2的概率密度為現(xiàn)計(jì)算A,由概率密度的性質(zhì)得到:于是亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為a1+a2,b的G分布,即X1+X2~G(a1+a2,b). 上述結(jié)論還能推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的G分布變量之和的情況.

即若X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立,且Xi服從參數(shù)為ai,b(i=1,2,...,n)的G分布,則X1+X2+...+Xn服從參數(shù)為a1+...+an,b的G分布.二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)設(shè)X1,…,Xn

是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

(i=1,…,n)N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是則M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:推廣特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有

例5設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXYXY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以此時(shí)L的壽命為因?yàn)閄的概率密度為所以X的分布函數(shù)為當(dāng)

x>0時(shí),當(dāng)

x0時(shí),故類似地,

可求得Y的分布函數(shù)為于是

的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以此時(shí)L的壽命為故

的分布函數(shù)為XY于是

的概率密度為(iii)備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命為由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)才開始工作,當(dāng)

z0時(shí),當(dāng)

z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),上述積分的被積函數(shù)不等于零.故于是

的概率密度為習(xí)題一、填空題設(shè)則解因?yàn)樗杂忠驗(yàn)楣室阎姆植悸蔀榍遗c獨(dú)立,則解因?yàn)榕c獨(dú)立,所以即聯(lián)立得到二、選擇題已知相互獨(dú)立,且分布律為那么下列結(jié)論正確的是_____.以上都不正確解因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以故設(shè)離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為且相互獨(dú)立,則_______.解所以即因?yàn)橄嗷オ?dú)立,又因?yàn)楣式獾没蛘咴O(shè)那么的聯(lián)合分布為_____.二維正態(tài)分布,且二維正態(tài)分布,且不定未必是二維正態(tài)分布以上都不對(duì)當(dāng)相互獨(dú)立時(shí),則的聯(lián)合分布為.三、解答題

1.把一枚均勻硬幣拋擲三次,設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù),而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律與邊緣分布.

(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8解P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P