數(shù)學(xué)分析PPT課件第四版華東師大研制-第3章-函數(shù)極限

§1

函數(shù)極限概念一、x趨于

時的函數(shù)極限二、x趨于x0

時的函數(shù)極限三、單側(cè)極限

在本章,我們將討論函數(shù)極限的基本聯(lián)系,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理.函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的概念和重要性質(zhì).作為數(shù)列極限的推廣,返回一、x趨于

時的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)定義在極限.f(x)當(dāng)x

趨于時以A為也無限地接近A,我們就稱無限遠(yuǎn)離原點時,函數(shù)f(x)上,當(dāng)x

沿著x

軸的正向趨于例如函數(shù)當(dāng)時,10203040O0.51為極限.以記為或者定數(shù),若對于任意正數(shù)存在使得定義1A為④③①任意給定②存在④③①任意給定②存在注數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù).請大家所以(由定義1),例1證明

任給取證與不同點.比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點例2證任給這就是說定義2記為則稱或記為定義3存在當(dāng)或證對于任意正數(shù)這就是說例3求證例4求證所以結(jié)論成立.證對于任意正數(shù)

,

可取從定義1、2、3不難得到:定理3.1則由定理3.1，的充要條件是：例如二、x趨于x0

時的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)

f(x)在點

x0的某空心鄰域內(nèi)有定義.定義4為極限的定義.下面我們直接給出函數(shù)f(x)時以常數(shù)A或者記為則稱例5證明時,使分析因只要式就能成立,故取即可.證這就證明了例6證明可以先限制因為此時有故只要所以要使分析這就證明了證

有例7求證：注在例5、例6中,我們將所考慮的式子適當(dāng)放大,不是“最佳”的,但這不影響我們解題的有效性.其目的就是為了更簡潔地求出

,或許所求出的

證首先，在右圖所示的單位圓內(nèi),顯然有即故OCDBAyxx同理可證:例7證明：證因為則這就證明了所需的結(jié)論.在上面例題中,需要注意以下幾點：,我們強(qiáng)調(diào)其存在性.換句話說,對于固定1.對于的不同的方法會得出不同的

,不存在哪一個更好的問題.數(shù)都可以充當(dāng)這個角色.3.正數(shù)是任意的,一旦給出,它就是確定的常數(shù).,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了有時為了方便,需要讓

小于某個正數(shù).一旦對這為貴”.當(dāng)然也能滿足要求.所以我們有時戲稱

“

以小樣的

能找到相應(yīng)的

,

那么比它大的

,這個

平面上以y=A為中心線,寬為的窄帶,可以找到使得曲線段4.函數(shù)極限的幾何意義如圖,對于坐標(biāo)落在窄帶內(nèi).三、單側(cè)極限x既可以從

x0

但在某些時定義5A為常數(shù).若對于任意正數(shù)

,在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等.候,我們僅需(僅能)在

x0的某一側(cè)來考慮,比如函數(shù)則稱A為函數(shù)

f

當(dāng)時的右(左)右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限,為了方便起見，極限,記作有時記

例7

討論函數(shù)解因為所以由定義3.4和定義3.5，我們不難得到：注試比較定理3.1與定理3.1′.定理3.1′不存在.作為本節(jié)的結(jié)束,我們來介紹兩個特殊的函數(shù)極限.例9

證明狄利克雷函數(shù)證

處處無極限.滿足這就證明了結(jié)論.則例10

設(shè)黎曼函數(shù)證

因為在(0,1)中分母小于N的有理數(shù)至多只有個

,

故可設(shè)這些有理數(shù)為這就是說，除了這n個點外

,

其他點的函數(shù)值都對以上兩種情形都有這就證明了小于

.所以我們已經(jīng)知道，狄利克雷函數(shù)在每點都無極限.能注

有興趣的同學(xué)可以證明：復(fù)習(xí)思考題否構(gòu)造一個函數(shù)，它僅在

處有極限.

在前面一節(jié)中引進(jìn)的六種類型的函數(shù)§2

函數(shù)極限的性質(zhì)二、范例一、

的基本性質(zhì)為代表敘述性質(zhì).這里僅以質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可.并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性極限，它們都有類似于數(shù)列極限的一些返回定理3.2(惟一性

)證

不妨設(shè)以及由極限的定義，對于任意的正數(shù)(1)存在,則此極限惟一.若的基本性質(zhì)一、(2)式均成立，所以由

的任意性，推得A=B.這就證明了極限是惟(1)式與一的.(2)定理3.3（局部有界性）

證由此得有界.這就證明了在某個空心鄰域上有界.注：

試與數(shù)列極限的有界性定理（定理2.3）作一(2)

有界函數(shù)不一定存在極限；說明定理中“局部”這兩個字是關(guān)鍵性的.比較；定理3.4（局部保號性）若則對任何正數(shù)由此證得證不妨設(shè).對于任何取定理3.5（保不等式性）

證分別存在正數(shù)使當(dāng)時,有定理3.6（迫斂性）證

因為再由定理的條件，又得這就證明了的極限存在，并且就是A.在點x0的極限也存在,且都存在,則在點x0的極限也存在,定理3.7（四則運算法則）若并有這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理,這就可以知道這些定理是顯然的.里將證明留給讀者.在下一節(jié)學(xué)過歸結(jié)原則之后,二、范例例1例2因此由迫斂性得解由取整函數(shù)的性質(zhì)，時,有同理得于是求得例3求極限解因為所以例4特別又有證所以復(fù)習(xí)思考題

在這一節(jié)中,我們?nèi)砸詾榇?、歸結(jié)原則§3

函數(shù)極限存在的條件三、柯西收斂準(zhǔn)則二、單調(diào)有界定理他類型的極限,也有類似的結(jié)論.表,介紹函數(shù)極限存在的條件.對于其返回一、歸結(jié)原則的充要條件是:對于在以x0為極限的都存在,并且相等.證(必要性)

設(shè)則對任給定理3.8存在那么對上述存在所以這就證明了(充分性)（下面的證法很有典型性，大家必須學(xué)恒有時,不以A為極限,則存在正數(shù)設(shè)任給會這種方法.）現(xiàn)分別取存在相應(yīng)的使得對于任意正數(shù)使得

另一方面,所以這與矛盾.注

歸結(jié)原則有一個重要應(yīng)用：若存在但是不存在.例1都不存在.解故不存在.故不存在.密集的等幅振蕩,當(dāng)然不會趨于一個固定的值.為了讓讀者更好地掌握其他五類極限的歸結(jié)原則,我們寫出時的歸結(jié)原則如下：-1-0.50.511-1的圖象在x=

0附近作無比從幾何上看，義,則定理3.9的某空心右鄰域有定作為一個例題,下面給出定理3.9的另一種形式.義.的充要條件是任給嚴(yán)格遞減的例2的某空心右鄰域上有定證必要性應(yīng)該是顯然的.下面我們證明充分性.f(x)不以A為極限.

則存在正數(shù)這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列這與條件矛盾.二、單調(diào)有界定理定理3.10設(shè)f為定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限（相信讀者也能夠?qū)懗鲫P(guān)于證不妨設(shè)f在因為f(x)有界,故的單調(diào)有界定理.）存在,設(shè)為A.由確界定義,對于由

f(x)

的遞減性,這就證明了對于單調(diào)函數(shù),歸結(jié)原則的條件就要簡單得多.例3存在的充要條件是存在一個數(shù)列證

必要性可直接由歸結(jié)原則得出,下面證明充分對于任意當(dāng)

時,有假設(shè)遞減．性.

三、柯西收斂準(zhǔn)則

的柯西收斂準(zhǔn)則,請讀者自這里僅給出有定義,則極限存在的充要條件是:任定理3.11設(shè)f(x)在的某個鄰域上明之.行寫出其他五種極限類型的柯西收斂準(zhǔn)則，并證對一切x>X，證（必要性）則對于任意(充分性)這樣就證明了對于任意的存在且相等.由歸結(jié)原則,存在.但是注由柯西準(zhǔn)則可知,不存在的充要條件例如,定理3.8中的條件“并且相等”這幾個字是否可以省復(fù)習(xí)思考題存在．略?§4

兩個重要的極限一、二、返回不等式中的三個表達(dá)式均是偶函數(shù),故當(dāng)證所以命題1一、解所以即例1求例2解例3解命題2證我們只需證明：設(shè)兩個分段函數(shù)分別為:二、因為所以由函數(shù)極限的迫斂性，得到注由此可得在實際應(yīng)用中，公式(2)與(3)具有相同作用.解例5解因為例4再由迫斂性,求得二、無窮小量階的比較§5

無窮大量與無窮小量

由于等同于因分析”.相同的.所以有人把“數(shù)學(xué)分析”也稱為“無窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是四、漸近線三、無窮大量一、無窮小量返回一、無窮小量定義1則稱

f為顯然，無窮小量是有界量.而有界量不一定是無窮例如:對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：小量.1.兩個(類型相同的)無窮小量的和，差，積仍是2.無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量.性質(zhì)1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到.無窮小量.下面對性質(zhì)２加以證明.例如:應(yīng)當(dāng)注意,下面運算的寫法是錯誤的：在近旁發(fā)生無限密集的振動，其振幅被兩條直線所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1二、無窮小量階的比較兩個相同類型的無窮小量，它們的和、差、積仍出如下定義.兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的.例如：2.若存在正數(shù)K和L，使得在x0的某一空心鄰域內(nèi)，有根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當(dāng)時，這兩個無窮小量一定是同階的.例如:與是同階無窮小量;則稱

與

是時的同階無窮小量.3.若兩個無窮小量在內(nèi)滿足:則記當(dāng)時，x與是同階無窮小量.我們記應(yīng)當(dāng)注意，若為時的同階無窮小量，當(dāng)然有反之不一定成立,例如但是這兩個無窮小量不是同階的.注意：這里的和通常的等式是不同的，這兩個式子的右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如表示的所有高階無窮小量的集合．等價無窮小量，記作也就是說，這里的“=”類似于根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：前面討論了無窮小量階的比較,值得注意的是,并這是因為不是任何兩個無窮小量都可作階的比較.例如與均為時的無窮小量,卻不能按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較.這是因為是一個無界量，并且下面介紹一個非常有用的定理：定理3.12設(shè)函數(shù)f,g,h在內(nèi)有定義,且證所以定理3.12告訴我們，在求極限時，乘積中的因子例1解所以(2)可以類似地證明.可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法.例2解有定義,若對于任給定義2設(shè)函數(shù)f在G>0,存在

>0，使得當(dāng)則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時為無窮大量,記作時,有三、無窮大量記作請讀者自行寫出它們的定義.無窮大量和負(fù)無類似地可以定義如下的無窮大量:窮大量.例3證例4當(dāng)a

>1時，求證這就證明了的嚴(yán)格遞增性，當(dāng)x>M

時，證

G

>0(不妨設(shè)G

>1),由對數(shù)例6設(shè)遞增，無上界.證明證因為無上界，所以任給G>0，存在又因遞增，使故當(dāng)時，有例5證從無窮大量的定義與例3、例4和例5可以看出：無窮大量不是很大的一個數(shù)，而是具有非正常的極限.很明顯，若那么f(x)在x0的任何一個鄰域內(nèi)無界.但值得注意的是:若f(x)例如：

在的任何鄰域內(nèi)無界，但卻不是x

時的無窮大量.事實上,對無界量),并不能保證f(x)是x

x0

的無窮大量.在x0

的任何鄰域內(nèi)無界(稱f(x)是x

x0

時的因而f(x)不是x

時的無窮大量.兩個無窮大量也可以定義階的比較.設(shè)無窮大量.則稱f(x)與g(x)是當(dāng)x

x0時的一個同階無窮大量.當(dāng)x

x0時的等價無窮大量，下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.定理3.13(1)若f為x

x0時的無窮小量,且不等于零,則證這里僅證明定理的(1).對于任意正數(shù)G,因為這就證明了的無窮小量.f為x

x0

時的無窮小量，所以存在使得又因為所以對于任意正數(shù)G，存在證由極限的保號性,因為例7求證注對于函數(shù)這就說明了當(dāng)b=0時結(jié)論不一定成立.即例8證所以由此得到一列，滿足