【必修】第6章平面向量及其應(yīng)用

第6章平面向量及其應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中,我們會遇到很多量,其中一些量在取定單位后只用一個實(shí)數(shù)就可以表示出來,如長度、質(zhì)量等.還有一些量則不是這樣,例如下圖中小船的位移,小船由A地向東南方向航行15nmile到達(dá)B地(速度的大小為10nmile/h).這里,如果僅指出“由A地航行15nmile”,而不指明“向東南方向”航行,那么小船就不一定到達(dá)B地了.這就是說,位移是既有大小又有方向的量.力、速度、加速度等也是這樣的量.對這種既有大小又有方向的量加以抽象,就得到了我們本章將要研究的向量.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,向量理論具有豐富的物理背景、深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用.本章我們將通過實(shí)際背景引入向量的概念,類比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及其性質(zhì),建立向量的運(yùn)算體系.在此基礎(chǔ)上,用向量的語言、方法表述和解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的一些問題.南6.1平面向量的概念我們知道,力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量.本節(jié)我們將通過對這些量的抽象,形成向量概念及其表示方法;通過研究向量之間的一些特殊關(guān)系,初步認(rèn)識向量的一些特征.6.1.1向量的實(shí)際背景與概念在本章引言中,小船位移的大小是A,B兩地之間的距離15nmile,位移的方向是東南方向;小船航行速度的大小是10nmile/圖6.1-1圖6.1-2力、位移、速度等有各自的特性,而“既有大小,又有方向”是它們的共同屬性.我們知道,從一支筆、一棵樹、一本書??中,可以抽象出只有大小的數(shù)量“1”.類似地,我們可以對力、位移、速度??這些量進(jìn)行抽象,形成一種新的量.在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量(vector),而把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量.物理學(xué)中常稱向量為矢量,數(shù)量為標(biāo)量,你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎?6.1.2向量的幾何表示由于數(shù)量可以用實(shí)數(shù)表示,而實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng),所以數(shù)量可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量.那么,該如何表示向量呢?我們?nèi)砸晕灰茷槔?小船以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),我們可以用連接A,B兩點(diǎn)的線段長度代表小船行進(jìn)的距離,并在終點(diǎn)通常,在線段AB的兩個端點(diǎn)中,規(guī)定一個順序,假設(shè)A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段(directedlinesegment)(圖6.1-3).通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以A為起表示有向線段時,起點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面.點(diǎn)B為終點(diǎn)的有向線段記作AB,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度,記作|AB圖6.1-3有向線段包含三個要素:起點(diǎn)、方向、長度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.向量可以用有向線段AB來表示,我們把這個向量記作向量AB.有向線段的長度|AB向量AB的大小稱為向量AB的長度(或稱模),記作|AB|.長度為0的向量叫做零向量(zerovector),記做(1)印刷用黑體a,書寫用a.長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量(unitvector).向量也可以用字母a,例1在圖6.1-4中,分別用向量表示A地至B,C兩地的位移,并根據(jù)圖中的比例尺,求出A地至B,解:AB表示A地至B地的位移，且|ABAC表示A地至C地的位移,且|圖6.1-46.1.3相等向量與共線向量下面.我們通過向量之間的關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向(parallelvectors).如圖6.1-5,用有向線段表示的向量a與b是兩個平行向量.向量a與b平行,記作a//圖6.1-5我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0//a長度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equalvector).如圖6.1-6,用有向線段表示的向量a與b相等,記作a=任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān);同時,兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個向量,因?yàn)橄蛄客耆伤哪：头较虼_定.圖6.1-6如圖6.1-7,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線平行的直線l,在l上任取一點(diǎn)O,則可在圖6.1-7例2如圖6.1-8,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)寫出圖中的共線向量;(2)分別寫出圖中與OA,解：(1)OA,CB,DO,(2)OA=CB=DO圖6.1-8【練習(xí)】1.下列量中哪些是向量?懸掛物受到的拉力,壓強(qiáng),摩擦力,頻率,加速度.2.畫兩條有向線段,分別表示一個堅(jiān)直向下、大小為18N的力和一個水平向左、大小為28N的力.(用1cm長表示10N)3.指出圖中各向量的長度.(規(guī)定小方格的邊長為0.5)4.將向量用具有同一起點(diǎn)O的有向線段表示.(1)當(dāng)OM與ON是相等向量時,判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系;(2)當(dāng)OM與ON是平行向量,且|OM|=2|ON|=1時,求向量MN的長度,并判斷(第3題)習(xí)題6.1【復(fù)習(xí)鞏固】1在如圖所示的坐標(biāo)紙(規(guī)定小方格的邊長為1)中,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:(1)|OA|=4,點(diǎn)A在點(diǎn)(2)|OB|=22,點(diǎn)B在點(diǎn)O(3)|OC|=2,點(diǎn)C在點(diǎn)O南偏西(第1題)(第2題)2.如圖,點(diǎn)O是?ABCD的對角線的交點(diǎn),且OA=a,OB=b,【復(fù)習(xí)鞏固】3.判斷下列結(jié)論是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”),并說明理由.(1)若a與b都是單位向量,則a=(2)方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60(3)直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量.(4)若a與b是平行向量,則a=(5)若用有向線段表示的向量AM與AN不相等,則點(diǎn)M與N不重合.(6)海拔、溫度、角度都不是向量.【復(fù)習(xí)鞏固】4.如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,M,N分別為邊(第4題)【閱讀與思考】向量及向量符號的由來向量最初應(yīng)用于物理學(xué),被稱為矢量.很多物理量,如力、位移、速度、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.向量的概念萌芽于二千多年前,大約在公元前350年,古希臘著名學(xué)者亞里士多德(Aristotle,公元前384一前322)就知道了力可以表示成向量.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國科學(xué)家牛頓(IsaacNewton,1642-1727).向量是一種帶幾何性質(zhì)的量,除零向量外,總可以畫出“箭頭表示方向,線段長表示大小'”的有向線段來表示它.1806年,瑞士人阿爾岡(J.R.Argand,1768-1822)以AB表示有向線段或向量.1827年,默比烏斯(A.F.M?bius,1790-1868)以AB表示起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量,這種用法被數(shù)學(xué)家廣泛接受.另外,哈密頓(W.R.Hamilton,1805-1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839-1903)等人則以小寫希臘字母表示向量.后來,字母上加箭頭表示向量的方法逐漸流行,尤其用在手寫稿中;為了方便印刷,人們又用粗黑體小寫字母a,萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)曾經(jīng)從位置幾何學(xué)研究的視角進(jìn)行過預(yù)想:“我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些完全不同的有新特點(diǎn)的元素,即使在沒有任何圖形的情況下,它也能有利于表達(dá)思想、表達(dá)事物的本質(zhì).我的這個新系統(tǒng)能緊跟可見的圖形,以一種自然的、分析的方式,通過一個確定的程序同時給出解、構(gòu)造和幾何的證明."萊布尼茨所說的“有新特點(diǎn)的元素"和“新系統(tǒng)”就是逐漸形成和發(fā)展起來的向量及其理論.向量進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展,是從復(fù)數(shù)的幾何表示開始的.1797年,丹麥測量學(xué)家韋塞爾(CasparWessel,1745-1818)把復(fù)數(shù)表示為向量,并利用向量定義復(fù)數(shù)運(yùn)算.他把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來,并把向量的幾何表示用于研究幾何與三角問題.人們逐步接受了復(fù)數(shù),也學(xué)會了利用復(fù)數(shù)表示、研究平面中的向量.發(fā)展到現(xiàn)在,向量在數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等學(xué)科,以及社會生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟(jì)、金融與貿(mào)易等各領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用,成為解決這些領(lǐng)域中各種問題的有力工具.你能說一說用符號表示向量所起的重要作用嗎?6.2平面向量的運(yùn)算我們知道,數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無窮.那么,向量是否也能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算呢?人們從向量的物理背景和數(shù)的運(yùn)算中得到啟發(fā),引進(jìn)了向量的運(yùn)算.本節(jié)我們就來研究平面向量的運(yùn)算,探索其運(yùn)算性質(zhì),體會向量運(yùn)算的作用.下面先學(xué)習(xí)向量的加法.6.2.1向量的加法運(yùn)算我們知道,位移、力是向量,它們可以合成.能否從位移、力的合成中得到啟發(fā),引進(jìn)向量的加法呢?【思考】如圖6.2-1,某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)C,這個質(zhì)點(diǎn)的位移如何表示?圖6.2-1物理知識告訴我們,這個質(zhì)點(diǎn)兩次位移AB,BC的結(jié)果,與從點(diǎn)A直接到點(diǎn)C的位移AC結(jié)果相同.因此,位移AC可以看成是位移AB與BC合成的.數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,AC可以看作是如圖6.2-2,已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作AB=a,BC=b,則向量AC叫做圖6.2-2求兩個向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.我們再來看力的合成問題.【思考】如圖6.2-3,在光滑的平面上,一個物體同時受到兩個外力F1與F2的作用,你能作出這個物體所受的合力圖6.2-3我們知道,合力F在以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于這條對角線的長.從運(yùn)算的角度看,F可以看作是F1如圖6.2-4,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a,b,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,則以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC(OC是?OACB的對角線)就是向量圖6.2-4【思考】向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎?為什么?對于零向量與任意向量a,我們規(guī)定a例1如圖6.2-5,已知向量a,b,求作向量作法1：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(圖6.2-6(1)),作OA=a,作法2:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(圖6.2-6(2)),作OA=a,OB=b.以O(shè)A,圖6.2-5(1)(2)圖6.2-6【探究】(1)如果向量a,b共線,它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系?你能作出向量(2)結(jié)合例1,探索|a一般地,我們有|當(dāng)且僅當(dāng)a,根據(jù)數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),定義了一種運(yùn)算,就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律,運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算.【探究】數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢?如圖6.2-7(1),作AB=a,AD=b,以AB,AD為鄰邊作?ABCD,容易發(fā)現(xiàn)(1)(2)圖6.2-7由圖6.2-7(2),你能否驗(yàn)證a綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.例2長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖6.2-8,一艘船從長江南岸A地出發(fā),垂直于對岸航行,航行速度的大小為15km/h,同時江水的速度為向東6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際圖6.2-8航行的速度;(2)求船實(shí)際航行的速度的大小(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到1°解：(1)如圖6.2-9.AD表示船速,AB表示江水速度,以AD,AB為鄰邊作?ABCD,則AC表示船實(shí)際航行的速度.(2)在Rt△ABC中,||因?yàn)閠an?∠CAB=|圖6.2-9因此,船實(shí)際航行速度的大小約為16.2km/h,方向與江水速度間的夾角約為68°【練習(xí)】1.如圖,在下列各小題中,已知向量a,b,分別用兩種方法求作向量(1)(2)(3)(4)(第1題)2.當(dāng)向量a,b滿足什么條件時,|a3.根據(jù)圖示填空:(1)a+(2)c(3)a(4)c4.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P在CD上,判斷下列各式是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√",錯誤的打“×").(1)DA+(2)DA+(3)AB+5.有一條東西向的小河,一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河.小船航行(第3題)(第4題)速度的大小為15km/h,方向?yàn)楸逼?0°,河水的速度為向東7.5km/h6.2.2向量的減法運(yùn)算【思考】在數(shù)的運(yùn)算中,減法是加法的逆運(yùn)算,其運(yùn)算法則是“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)".類比數(shù)的減法,向量的減法與加法有什么關(guān)系?如何定義向量的減法法則?與數(shù)x的相反數(shù)是?x類似,我們規(guī)定,與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,記作?a.由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和?(?我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.由兩個向量和的定義易知a即任意向量與其相反向量的和是零向量.這樣,如果a,a向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.我們看到,向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行：減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.【探究】向量減法的幾何意義是什么?如圖6.2-10,設(shè)OA=a,a在四邊形OCAB中,OB?CA,所以BA由此,我們得到a?圖6.2-10如圖6.2-11,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則圖6.2-11【思考】(1)在圖6.2-11中,如果從a的終點(diǎn)到b的終點(diǎn)作向量,那么所得向量是什么?(2)如果改變圖6.2-11中向量a的方向,使a//b,怎樣作出例3如圖6.2-12(1),已知向量a,b,(1)(2)圖6.2-12作法:如圖6.2-12(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=BA例4如圖6.2-13,在?ABCD中,AB=a,AD=解：由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC同樣,由向量的減法,知DB圖6.2-13【練習(xí)】1.如下頁圖,在各小題中,已知a,b,分別求作(1)(2)(3)b(4)(第1題)2.填空:;BAAB?ADOD3.作圖驗(yàn)證:?(a6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算【探究】已知非零向量a,作出a+a+如圖6.2-14,OC=OA+AB+BC=a+a+a.類比數(shù)的乘法,我們把a(bǔ)+a+類似地,由圖6.2-14可知,PN=PQ+QM+MN=(?a)+(?a)+(?a),我們把(?a)+(?一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘(multiplicationofvectorbyscalar),記作λa(1)|λa(2)當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時,由(1)可知,當(dāng)λ=0時,λ由(1)(2)可知,(-1)a=?圖6.2-14你對零向量、相反向量有什么新的認(rèn)識?【思考】如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍,方向不變得到向量b,向量b該如何表示?向量a,根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義,可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律是成立的.設(shè)λ,(特別地,我們有(?向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ例5計(jì)算:(1)(?3)×4a(2)3(a(3)(2a解：(1)原式=(?3×4)a(2)原式=3a(3)原式=2=?例6如圖6.2-15,?ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M,且AB=a,AD=b,用解:在?ABCD中,AC=DB由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得圖6.2-15MAMC【練習(xí)】1.任畫一向量e,分別求作向量a=42.點(diǎn)C在線段AB上,且ACCB=3.把下列各小題中的向量b表示為實(shí)數(shù)與向量a的積:(1)a=3(2)a=8(3)a(4)a=?【探究】引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎?可以發(fā)現(xiàn),實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線.事實(shí)上,對于向量a(a≠0),b,如果有一個實(shí)數(shù)λ,使反過來,已知向量a與b共線,且向量b的長度是向量a的長度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么當(dāng)a與b同方向時,有b=綜上,我們有如下定理:向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ根據(jù)這一定理,設(shè)非零向量a位于直線l上,那么對于直線l上的任意一個向量b,都存在唯一的一個實(shí)數(shù)λ,使b=例7如圖6.2-16,已知任意兩個非零向量a,b,試作OA=分析:判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系,主要是看這三點(diǎn)是否共線,圖6.2-16為此只要看其中一點(diǎn)是否在另兩點(diǎn)所確定的直線上.在本題中,應(yīng)用向量知識判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線,可以通過判斷向量AC,AB是否共線,即是否存在λ,使AC=λAB成立.解:分別作向量OA,OB,OC,過點(diǎn)A事實(shí)上,因?yàn)锳B所以AC=2因此,A,圖6.2-17例8已知a,b是兩個不共線的向量,向量b?解:由a,b不共線,易知向量12a?b即t由a,b不共線,必有t+12λ=由t+12因此,當(dāng)向量b?ta【練習(xí)】1.判斷下列各小題中的向量a與b是否共線:(1)a=?2(2)a=2.化簡:(1)5(3a(2)13(3)(x3.已知e1,e2是兩個不共線的向量,a=e16.2.4向量的數(shù)量積前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算.類比數(shù)的運(yùn)算,出現(xiàn)了一個自然的問題:向量能否相乘?如果能,那么向量的乘法該怎樣定義?在物理課中我們學(xué)過功的概念:如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(圖6.2-18),那么力F所做的功W圖6.2-18其中θ是F與s的夾角.功是一個標(biāo)量,它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示,能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢?受此啟發(fā),我們引人向量“數(shù)量積”的概念.因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角,所以我們先要定義向量的夾角概念.已知兩個非零向量a,b(圖6.2-19),O是平面上的任意一點(diǎn),作OA=a,OB=顯然,當(dāng)θ=0時,a與b同向;當(dāng)θ=π時,a圖6.2-19如果a與b的夾角是π2,我們說a與b垂直,記作a已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cos?θ叫做向量aa規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.對比向量的線性運(yùn)算,我們發(fā)現(xiàn),向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量,而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān).例9已知|a|=5,|b|=4,a與b解:例10設(shè)a|=12,|b∣=9,a?b=?54解：由a?cos?因?yàn)棣取蔥0,π]如圖6.2-20(1，設(shè)a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到(1)(2)圖6.2-20如圖6.2-20(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OM=a,ON=b.過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1【探究】如圖6.2-20(2),設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,那么OM顯然,OM1與O下面我們探究λ與a,θ的關(guān)系,進(jìn)而給出OM1的明確表達(dá)式.我們分當(dāng)θ為銳角(圖6.2-21(1))時,OM1與e方向相同,O當(dāng)θ為直角(圖6.2-21(2))時,λ=0O當(dāng)θ為針角(圖6.2-21(3))時,OM1與λ即(1)O(2)(3)圖6.2-21當(dāng)θ=0時,λO當(dāng)θ=π時,O從上面的討論可知,對于任意的θ∈[0,O【探究】從上面的探究我們看到,兩個非零向量a與b相互平行或垂直時,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.這時,它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性?由向量數(shù)量積的定義,可以得到向量數(shù)量積的如下重要性質(zhì).設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,如果a?b=0,是否有a(1)a?(2)a⊥(3)當(dāng)a與b同向時,a?b=|a||b|；當(dāng)a與b此外,由|cos?θ(4)|a?b|?|a||b|.1.已知2.已知△ABC中,AB=a,AC=b3.已知|a|=6,e為單位向量,當(dāng)向量a,e的夾角θ分別等于45與向量的線性運(yùn)算一樣,定義了向量的數(shù)量積后,就要研究數(shù)量積運(yùn)算是否滿足一些運(yùn)算律.【探究】類比數(shù)的乘法運(yùn)算律,結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律,你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律?你能證明嗎?由向量數(shù)量積的定義,可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立:對于向量a,b,(下面我們利用向量投影證明分配律(3).證明:如圖6.2-22,任取一點(diǎn)O,作OA=設(shè)向量a,b,a+b與c的大角分別為θ1,θO因?yàn)閍=BD,所以O(shè)即|整理,得|所以|即|所以|因此(思考設(shè)a,b,例11我們知道,對任意a,(對任意向量a,(1)(a(2)(a解：(1)(=(2)(=因此,上述結(jié)論是成立的.例12已知|a|=6,|b|=4,a與b解：(=例13已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線.當(dāng)k為何值時,向量a+kb(即a因?yàn)閍2所以9?16k解得k=±也就是說,當(dāng)k=±34時,a【練習(xí)】1.已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,向量a與b的夾角為π6(1)(a(2)a(2.已知|a|=2,|b|=1,且3.求證:(a習(xí)題6.2【復(fù)習(xí)鞏固】1.如果a表示“向東走10km,b表示“向西走5km”,c表示“向北走10km,d表示“向南走(1)a+(2)a+(3)a+(4)b+(5)b+(6)d+2.一架飛機(jī)向北飛行300km,然后改變方向向西飛行400km,求飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的合成.3.一艘船垂直于對岸航行,航行速度的大小為16km/h,同時河水流速的大小為4km/h.求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(精確到1°4.化簡:(1)AB(3)OA+(2)(AB(5)OA?(4)AB?(7)NQ+(6)AB?5.作圖驗(yàn)證:(1)12(2)12(a+b)?1(2)(1)中表示a,7.已知a,(1)求作向量a+(2)當(dāng)向量a,b成什么位置關(guān)系時,滿足8.化簡:(1)5(2a(2)6(a(3)12(4)(x9.如圖,AM=1310.填空:(第9題)(1)若a,b滿足|a(2)當(dāng)非零向量a,b滿足時,a+b平分11.(1)已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角(2)已知|a|=2,|b|=5,且12.求證:(【復(fù)習(xí)鞏固】13.根據(jù)下列各小題中的條件,分別判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明:(1)AD=(2)AD=(3)AB=DC,且14.在△ABC中,AD=14AB,DE//BC,且與邊AC相交于點(diǎn)E,△ABC的中線AM與15.如圖,在任意四邊形ABCD中,E,F分別為AD,16.飛機(jī)從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)乙地,再從乙地沿南偏東75°的方向飛行(第15題)圖,并說明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多遠(yuǎn)?17.(1)如下頁圖(1),在△ABC中,計(jì)算AB(2)如下頁圖(2),在四邊形ABCD中,計(jì)算AB+(3)如下頁圖(3),在n邊形A1A2(1)(2)(3)(第17題)18.已知|a|=4,|b|=3,且(2a?3b19.已知|a|=8,|b|=10,且|a+b|=16,求20.已知a是非零向量,b≠a【復(fù)習(xí)鞏固】21.已知△ABC的外接圓圓心為O,且2AO=AB+(A)1(B)3(C)?(D)?22.如圖,O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),用OA,OB,(第22題)23.已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),且向量OA,OB,(1)作出滿足條件的四邊形ABCD.(2)四邊形ABCD有什么特點(diǎn)?請證明你的猜想.24.如圖,在⊙C中,是不是只需知道⊙C的半徑或弦AB的長度,就可以求出(第24題)6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示上節(jié)我們學(xué)習(xí)了向量的運(yùn)算,知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.類似地,平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示呢?6.3.1平面向量基本定理我們知道,已知兩個力,可以求出它們的合力;反過來,一個力可以分解為兩個力.如圖6.3-1,我們可以根據(jù)解決實(shí)際問題的需要,通過作平行四邊形,將力F分解為多組大小、方向不同的分力.由力的分解得到啟發(fā),我們能否通過作平行四邊形,將向量a分解為兩個向量,使向量a是這兩個向量的和呢?圖6.3-1【探究】如圖6.3-2(1),設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,a是這一平面內(nèi)與e1,e2都不共線的向量.如圖6.3-2(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)(1)(2)圖6.3-2如圖6.3-3,過點(diǎn)C作平行于直線OB的直線,與直線OA交于點(diǎn)M;過點(diǎn)C作平行于直線OA的直線,與直線OB交于點(diǎn)N,則OC=OM+ON.由OM與e1共線,ON與e2共線可得,存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使得當(dāng)a是與e1或e2共線的非零向量時,a也可以表示成λ1e1+λ圖6.3-3利用信息技術(shù)工具,可以動態(tài)地展示a=上述討論表明,平面內(nèi)任一向量a都可以按e1,e2的方向分解,表示成λ1e1+λ2e2的形式,而且這種表示形式是唯一的.事實(shí)上,如果a還可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么λ1綜上,我們得到如下定理:平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a若e1,e由平面向量基本定理可知,任一向量都可以由同一個基底唯一表示,這為我們研究問題帶來了極大的方便.例1如圖6.3?4,OA,OB不共線,且AP=t解：因?yàn)锳P=所以O(shè)P=例2如圖6.3-5,CD是△ABC的中線,圖6.3-412AB,用向量方法證明分析：由平面向量基本定理可知,任一向量都可由同一個基底表示.本題可取{CD,DA}為基底,用它表示CA,CB.證明CA?圖6.3-5證明:如圖6.3-6,設(shè)CD=a,DA=b,則CA因?yàn)镃D=所以CD=圖6.3-6因?yàn)閍2所以CA?因此CA⊥于是△ABC向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段(或直線)是否垂直的重要方法之一.【練習(xí)】1.如圖,AD,BE,CF是△ABC的三條中線,CA(第1題)(第2題)2.如圖,平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,AB=a,AD=b,點(diǎn)E,(1)用a,b表示(2)能由(1)得出DE,3.如圖,在△ABC中,AD=14AB,點(diǎn)E(1)用a,b表示(2)如果∠A(第3題)6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示給定平面內(nèi)兩個不共線的向量e1,e2,由平面向量基本定理可知,平面上的任意向量a,均可分解為兩個向量λ1e1,λ2e不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.如圖6.3-7,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常見而實(shí)用的一種情形.圖6.3-7重力G可以分解為這樣兩個分力:平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力F1,垂直于斜面的壓力F在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,將為我們研究問題帶來方便.【思考】我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.那么,如何表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個向量呢?如圖6.3-8,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,ja這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x圖6.3-8a其中,x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),(1)叫做向量a的坐標(biāo)表示.顯然,i=(1,0),如圖6.3-9,在直角坐標(biāo)平面中,以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a,則點(diǎn)A的位置由向量設(shè)OA=xi+yj,則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo);反過來,終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x圖6.3-9聯(lián)系.例3如圖6.3-10,分別用基底{i,j}表示向量解:由圖6.3-10可知,a=A1同理,b=?2c=?2d=2圖6.3-106.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【思考】已知a=x1a即a同理可得a這就是說,兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).例4已知a=(2,1),b=(?3,4)解:a+a?【探究】如圖6.3-11,已知Ax1,圖6.3-11如圖6.3-12,作向量OA,AB因此,一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).圖6.3-12圖6.3-13圖6.3-14而OD你能比較一下兩種解法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎?所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).【練習(xí)】1.在下列各小題中,已知向量a,b的坐標(biāo),分別求(1)a=(?2,4),(2)a=(4,3),(3)a=(2,3),(4)a=(3,0),2.在下列各小題中,已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),分別求(1)A(3,5),(2)A(?3,4),(3)A(0,3),(4)A(3,0),3.若點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(1,2),6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示【思考】已知a=(x,λ即λ這就是說,實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).例6已知a=(2,1),b=(?3,4)解:3=(6,3)+(?12,16)【探究】如何用坐標(biāo)表示兩個向量共線的條件?設(shè)a=x1,y1,a如果用坐標(biāo)表示,可寫為x即x消去λ,得x這就是說,向量a,x例7已知a=(4,2),b=(6,y)解:因?yàn)閍//所以4y?2×6=0.解得例8已知A(?1,?1),B(1,3),C(2,5)解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A,B,因?yàn)锳B=(1?(?1),3?(?1))=(2,4),AC又2×6?4×3=0,所以AB//又直線AB,直線AC有公共點(diǎn)A,所以A,圖6.3-15例9設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn),點(diǎn)P(1)當(dāng)P是線段P1P2(2)當(dāng)P是線段P1P2解:(1)如圖6.3-16,由向量的線性運(yùn)算可知所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是x1若點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別為x1,y1,x此公式為線段P1圖6.3-16(2)如圖6.3-17,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時,有兩種情況,即P如果P(圖6.3-17(1))，那么OP=即點(diǎn)P的坐標(biāo)是2x(1)(2)圖6.3-17同理,如果P1P=2PP【探究】如圖6.3-18,線段P1P2的端點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別是x1,圖6.3-18【練習(xí)】1.已知a=(3,2),b=(0,?1)2.當(dāng)x為何值時,a=(2,3)與b3.若點(diǎn)A(?2,?3),B(2,2),C(?1,3),4.求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo):(1)A(2,1),(2)A(?1,2),(3)A(5,?4),5.已知點(diǎn)O(0,0),向量OA=(2,3),OB=(6,?3),點(diǎn)P是線段6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【探究】已知a=x1,y1,因?yàn)閍=所以a?又i?所以a?這就是說,兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.由此可得(1)若a=(x,y)如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1a(2)設(shè)a=a例10若點(diǎn)A(1,2),B(2,3),解:如圖6.3-19,在平面直角坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A,B,因?yàn)锳B=(2?1,3?2)=(1,1)AC所以AB?圖6.3-19于是AB⊥因此,△ABC設(shè)a,b都是非零向量,a=x1cos?例11設(shè)a=(5,?7),b=(?6,?4),求a?b及a解:因?yàn)閨acos?利用計(jì)算器中的“cos?1”鍵,得θ例12用向量方法證明兩角差的余弦公式cos?(證明:如圖6.3-20,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角α,β,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為OA(1)(2)圖6.3-20由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有OA設(shè)OA與OB的夾角為θ,則OA所以cos?另一方面,由圖6.3-20(1)可知,α=2kπ+β+cos?(于是cos?(運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索,過程多么簡潔啊!1.已知a=(?3,4),b=(5,2)2.已知a=(2,3),b=(?2,4),c=(?1,?2)3.已知a=(3,2),b=(5,?7),利用計(jì)算工具,求a與b的夾角θ習(xí)題6.3【復(fù)習(xí)鞏固】1.如圖,在△ABC中,AD=13AB,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)AB2.已知作用在坐標(biāo)原點(diǎn)的三個力分別為F1=(3,4),F2=(2,?5)3.在下列各小題中,已知向量a的坐標(biāo),以及表示a的有向線段AB的起點(diǎn)A的坐標(biāo),求終點(diǎn)B的坐標(biāo):(第1題)(1)a=(?2,1),(2)a=(1,3),(3)a=(?2,?5),4.已知?ABCD的頂點(diǎn)A(?1,?2),B(3,?1),5.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(?1,3),且O6.已知點(diǎn)A(1,1),B(?1,5),且AC7.你認(rèn)為下列各組點(diǎn)具有什么樣的位置關(guān)系?證明你的猜想.(1)A(1,2),(2)P(?1,2),(3)E(9,1),8.分別在平面直角坐標(biāo)系中作出下列各組點(diǎn),猜想以A,(1)A(?1,?4),(2)A(?2,?3),(3)A(2,5),9.已知|a|=3,b=(1,2),且10.已知a=(4,2),求與a【復(fù)習(xí)鞏固】11.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別是AD,BC(1)用a,b表示(2)如果|b(第11題)法證明你的結(jié)論.12.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5),13.已知A(2,3),B(4,?3),點(diǎn)P在線段AB的延長線上,且|14.求證:以A(1,0),【復(fù)習(xí)鞏固】15.如圖,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量OP=xe1(1)計(jì)算|OP(2)根據(jù)平面向量基本定理判斷,本題中對向量坐標(biāo)的規(guī)(第15題)定是否合理.16.用向量方法證明:對于任意的a,b,6.4平面向量的應(yīng)用前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運(yùn)算,并通過平面向量基本定理,把向量的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.本節(jié)我們將學(xué)習(xí)運(yùn)用向量方法解決平面幾何、物理中的問題,感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.同時我們還將借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題.6.4.1平面幾何中的向量方法由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來,因此平面幾何中的許多問題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.下面通過兩個具體實(shí)例,說明向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.有了運(yùn)算,向量的力量無限;沒有運(yùn)算,向量就只是一個路標(biāo).例1如圖6.4-1,DE是△ABC的中位線,用向量方法證明:DE分析:我們在初中證明過這個結(jié)論,證明中要加輔助線,有一定難度.如果用向量方法證明這個結(jié)論,可以取{AB,AC}為基底,用AB,圖6.4-1證明:如圖6.4-2,因?yàn)镈E是△ABCAD從而DE=又BC=所以DE=圖6.4-2于是DE//用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.例2如圖6.4-3,已知平行四邊形ABCD,你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎?分析:平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個向量的和與差,我們可以通過向量運(yùn)算來探索圖6.4-3它們的模之間的關(guān)系.解:第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題:如圖6.4-4,取{AB,ADAC第二步,通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系:AC上面兩式相加,得AC2第三步,把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:圖6.4-4A你能用自然語言敘述這個關(guān)系式的意義嗎?【練習(xí)】1.證明:等腰三角形的兩個底角相等.2.如下頁圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點(diǎn),F是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)M,求3.如下頁圖,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N(第2題)(第3題)6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例下面,我們再來感受一下向量在物理中的應(yīng)用.例3在日常生活中,我們有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個人共提一個旅行包,兩個拉力夾角越大越費(fèi)力;在單杜上做引體向上運(yùn)動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?分析:不妨以兩人共提旅行包為例,只要研究清楚兩個拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個拉力的夾角三者之間的關(guān)系,就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.解:先來看共提旅行包的情況.如圖6.4-5,設(shè)作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1,F2,為方便起見,我們不妨設(shè)F1=F由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識,可以知道F這里,|G|為定值.分析上面的式子,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)θ由0逐漸變大到π時,θ2由0逐漸變大到π圖6.4-5逐漸變大;反之,當(dāng)θ由π逐漸變小到0時,θ2由π2逐漸變小到0,cos?θ2的值由小逐漸變大,此時【探究】(1)當(dāng)θ為何值時,F1(2)F1能等于|事實(shí)上,要使F1最小,只需cos?θ2最大,此時cos?θ2=1,可得θ=0.于是F1的最小值為|G例4如圖6.4-6,一條河兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的A地出發(fā),向河對岸航行.已知船的速度v1的大小為v1=10km/h,水流速度v2分析:如果水是靜止的,那么船只要取垂直于河岸的方向行駛,就能使航程最短,此時所用時間也是最短的.考慮到水的流速,要使航程最短,船的圖6.4-6速度與水流速度的合速度v必須垂直于河岸.解:設(shè)點(diǎn)B是河對岸一點(diǎn),AB與河岸垂直,那么當(dāng)這艘船實(shí)際沿著AB方向行駛時,船的航程最短.如圖6.4-7,設(shè)v=|此時,船的航行時間t所以,當(dāng)航程最短時,這艘船行駛完全程需要3.1min.圖6.4-7練習(xí)1.一物體在力F的作用下,由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0).已知F=(4,?5)2.如圖,一滑輪組中有兩個定滑輪A,B,在從連接點(diǎn)O出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處,掛著3個重物,它們所受的重力分別為4N,4N和433.若平面上的三個力F1,F2,F3(第2題)(1)F3(2)F3與F6.4.3余弦定理、正弦定理一個三角形含有各種各樣的幾何量,例如三邊邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積等,它們之間存在著確定的關(guān)系.例如,在初中,我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù),這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.對于一般三角形,我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關(guān)系,得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明,給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素,這個三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系?下面我們利用向量方法研究這個問題.1.余弦定理我們知道,兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.這說明,給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說,三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么,表示的公式是什么?【探究】在△ABC中,三個角A,B,C所對的邊分別是a,因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇呴L和它們的夾角,所以我們考慮用向量的數(shù)量積來探究.如圖6.4-8,設(shè)CB=c我們的研究目標(biāo)是用|a|,|b|和C表示|c|,聯(lián)想到數(shù)量積的性質(zhì)圖6.4-8由(1)得|所以c同理可得a從這里的推導(dǎo)過程,你感受到向量運(yùn)算的力量了嗎?于是,我們得到了三角形中邊角關(guān)系的一個重要定理:余弦定理(lawofcosines)三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即a利用余弦定理,我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角你能用其他方法證明余弦定理嗎?直接求出第三邊.【思考】余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系.應(yīng)用余弦定理,我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題,怎么確定呢?由余弦定理,可以得到如下推論：cos?利用推論,可以由三角形的三邊直接計(jì)算出三角形的三個角.從余弦定理及其推論可以看出,三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計(jì)算的公式.【思考】勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系.你能說說這兩個定理之間的關(guān)系嗎?如果△ABC中有一個角是直角,例如,C=90°,這時一般地,三角形的三個角A,B,例5在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm,Aa所以a由余弦定理的推論,得cos?利用計(jì)算器,可得B≈所以C=例6在△ABC中,a=7,b=8,銳角C滿足sin?C分析:由條件可求cos?C,再利用余弦定理及其推論可求出B解:因?yàn)閟in?C=3所以cos?C由余弦定理,得c所以c=3進(jìn)而cos?B利用計(jì)算器,可得B【練習(xí)】1.(1)在△ABC中,已知b=12.9cm,c=15.4cm,A(2)在△ABC中,已知a=5,b2.在△ABC中,已知a3.在△ABC中,已知b=5,c=2,銳角A滿足sin?A2.正弦定理【探究】余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式.如果已知兩角和一邊,是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢?在初中,我們得到了三角形中等邊對等角的結(jié)論.實(shí)際上,三角形中還有大邊對大角,小邊對小角的邊角關(guān)系.從量化的角度看,可以將這個邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為:在△ABC中,設(shè)A的對邊為a,B的對邊為b如果得出了這個定量關(guān)系,那么就可以直接解決“在△ABC中,已知A,B,a我們從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系的分析人手.根據(jù)銳角三角函數(shù),在Rt△ABCsin?顯然,上述兩個關(guān)系式在一般三角形中不成立.觀察發(fā)現(xiàn),它們有一個共同元素c,利用它把兩個式子聯(lián)系起來,可得a圖6.4-9又因?yàn)閟in?Ca對于銳角三角形和鈍角三角形,以上關(guān)系式是否仍然成立?因?yàn)樯婕叭切蔚倪?、角關(guān)系,所以仍然采用向量方法來研究.我們希望獲得△ABC中的邊a,b【思考】向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦,而我們需要的是角的正弦.如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化?由誘導(dǎo)公式cos?π下面先研究銳角三角形的情形.如圖6.4-10,在銳角△ABC中,過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j,則j與AB的夾角為π2?A,因?yàn)锳C+j圖6.4-10由分配律,得j即|也即a所以a同理,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量m,可得b因此a當(dāng)△ABC是針角三角形時,不妨設(shè)A為鈍角(如圖6.4-11).過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j,則j與AB的夾角為A?π2,a圖6.4-11綜上,我們得到下面的定理:正弦定理(lawofsines)在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即a正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個定量關(guān)系.利用正弦定理,不僅可以解決“已知兩角和一邊,解三角形”的問題,還可以解決“已這個公式表達(dá)形式的統(tǒng)一性、對稱性,不僅使結(jié)果更和諧優(yōu)美,而且更突顯了三角形邊角關(guān)系的本質(zhì).知兩邊和其中一邊的對角,解三角形”的問題.以上我們利用向量方法獲得了正弦定理、余弦定理.事實(shí)上,探索和證明這兩個定理的方法很多,有些方法甚至比上述方法更加簡潔.你還能想到其他方法嗎?例7在△ABC中,已知A解:由三角形內(nèi)角和定理,得C由正弦定理,得a例8在△ABC中,已知B分析:這是已知三角形兩邊及其一邊的對角求解三角形的問題,可以利用正弦定理.解:由正弦定理,得sin?因?yàn)閏>所以30°為什么角C有兩個值?于是C=45°(1)當(dāng)C=45°此時a=(2)當(dāng)C=135°此時a由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,在區(qū)間(0,π)內(nèi),余弦函數(shù)單調(diào)遞減,所以利用余弦定理求角,只有一解;正弦函數(shù)在區(qū)間0,π【練習(xí)】1.完成下列解三角形問題(角度精確到1°,邊長精確到1cm(1)在△ABC中,已知A(2)在△ABC中,已知a2.(1)在△ABC中,已知a=2,c=2(2)在△ABC中,已知b=2,A3.在△ABC中,已知cos?A=3.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例在實(shí)踐中,我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實(shí)際問題.解決這類問題,通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量.具體測量時,我們常常遇到“不能到達(dá)”的困難,這就需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下面我們通過幾道例題來說明這種情況.需要注意的是,題中為什么要給出這些已知條件,而不是其他的條件.事實(shí)上,這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案,而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.例9如圖6.4-12,A,B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá)),設(shè)計(jì)一種測量A,B兩點(diǎn)間距離的方法,并求出分析:若測量者在A,B兩點(diǎn)的對岸取定一點(diǎn)C(稱作測量基點(diǎn)),則在點(diǎn)C處只能測出∠ACB的大小,因而無法解決問題.為此,可以再取一點(diǎn)D,測出線段CD解:如圖6.4-13,在A,B兩點(diǎn)的對岸選定兩點(diǎn)C,D,測得CD=a,并且在在△ADC和△AC圖6.4-12圖6.4-13于是,在△ABC中,由余弦定理可得AAB【思考】在上述測量方案下,還有其他計(jì)算A,在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線,如例9中的CD.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.如圖6.4-14,早在1671年,兩位法國天文學(xué)家為了測量地球與月球之間的距離,利用幾乎位于同一經(jīng)線上的柏林(點(diǎn)A)與好望角(點(diǎn)B)為基點(diǎn),測量出α,β的大小,并計(jì)算出兩地之間的距離AB,進(jìn)而算出了地球與月球之間的距離約為長的基線是地球橢圓軌道的長軸.當(dāng)然,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,人們會不斷發(fā)現(xiàn)更加先進(jìn)的測量距離的方法.圖6.4-14下面看一個測量高度的問題.例10如圖6.4-15,AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物,A為建筑物的最高點(diǎn).設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.分析:由銳角三角函數(shù)知識可知,只要獲得一點(diǎn)C(點(diǎn)C到地面的距離可求)到建筑物的頂部A的距離CA,并測出由點(diǎn)C觀察A的仰角,就可以計(jì)算出建筑物的高度.為此,應(yīng)再選取點(diǎn)D,構(gòu)造另一個含有CA的△ACD圖6.4-15法計(jì)算出CA.解：如圖6.4-15,選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上.在G,H兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是AC在實(shí)際操作時,使H,所以,這座建筑物的高度為AB下面再來看一個測量角度的問題.例11位于某海域A處的甲船獲悉,在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋針等待營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知位于甲船南偏西30°,且與甲船相距7nmile的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時的目標(biāo)方向線(由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)?需要航行的距離是多少海里(精確到分析:首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30°圖6.4-16由于題目中沒有給出圖形,因此正確理解題意、畫出示意圖,是解決問題的重要環(huán)節(jié).B于是BC由正弦定理,得sin?于是sin?由于0°所以C≈因此,乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時的方向約是北偏東46°+30【練習(xí)】1.如圖,一艘船向正北航行,航行速度的大小為32.2nmile/h,在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向上.30min后,船航行到B處,在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向上.已知距離此燈塔2.如下頁圖,在山腳A測得山頂P的仰角為α,沿傾斜角為β的斜坡向上走am到達(dá)B處,在B處測得山頂P的仰角為γ.求證:山高?3.如下頁圖,一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54nmile后到達(dá)海島(第1題)次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,那么這艘船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行的距離是多少?(角度精確到0.1°,距離精確到0.01n(第2題)(第3題)習(xí)題6.4【復(fù)習(xí)鞏固】1.若非零向量AB與AC滿足AB|AB|+AC(A)三邊均不相等的三角形(B)直角三角形(C)底邊和腰不相等的等腰三角形(D)等邊三角形2.已知O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),滿足|OA|=|(A)重心,外心,垂心(B)重心,外心,內(nèi)心(C)外心,重心,垂心(D)外心,重心,內(nèi)心所在直線的交點(diǎn).3.用向量法證明:直徑所對的圓周角是直角.4.兩個粒子A,B從同一發(fā)射源發(fā)射出來,在某一時刻,它們的位移分別為(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在sA5.一個人在靜水中游泳時,速度的大小為23km/h.當(dāng)他在水流速度的大小為(1)如果他垂直游向河對岸,那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)(角度精確到1°(2)他必須朝哪個方向游,才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(角度精確到1°6.在△ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到(1)a=49cm,(2)a=9cm,7.在△ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到(1)A=(2)b=26cm,8.如圖,測量河對岸的塔高AB時,可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D.現(xiàn)測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s9.在氣象臺A正西方向300km處有一臺風(fēng)中心,它正向東北方向移動,移動速度的大小為40km/h,距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變,氣象臺所在地是否會受到臺風(fēng)的影響?如果會,大約多長時間后受到影響?持續(xù)時間有多長(精確到1min)?10.你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎?(第8題)【復(fù)習(xí)鞏固】11.已知對任意平面向量AB=(x,y),把AB繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcos?θ?ysin?θ,xsin?θ+ycos?θ),叫做把點(diǎn)12.如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,13.一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對岸.已知船在靜水中的速度v1的大小為v1=10km/h,水流速度(第12題)的時間最短,那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論:(1)當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時;(2)當(dāng)船順流行駛,與水流成銳角時;(3)當(dāng)船垂直于對岸行駛,與水流成直角時.請同學(xué)們計(jì)算上面三種情況下船行駛的時間,判斷是否當(dāng)船垂直于對岸行駛,與水流成直角時所用時間最短.14.一條東西方向的河流兩岸平行,河寬250m,河水的速度為向東23km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備～從河的這一邊的碼頭A處出發(fā),航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距250315.△ABC的三邊分別為a,b,cm16.在△ABC中,求證:c17.證明:設(shè)三角形的外接圓的半徑是R,則a=218.利用第10題的結(jié)論,證明三角形的面積公式S【復(fù)習(xí)鞏固】19.如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AD,DC邊的中點(diǎn),BE,BF分別與AC交于20.已知△ABC的三個角A,B,C(第19題)(1)三角形的面積S=(2)若r為三角形的內(nèi)切圓半徑,則r(3)把邊BC,AC,?21.如圖,為了測量兩山頂M,N間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A,B,(1)指出要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并標(biāo)示在圖中);(2)用文字和公式寫出計(jì)算M,(第21題)的步驟.22.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A(2)若a=2,則△ABC的面積為3,求23.根據(jù)實(shí)際需要,利用本節(jié)所學(xué)的知識完成一次有關(guān)測量的實(shí)習(xí)作業(yè),并寫出實(shí)習(xí)報(bào)告(包括測量問題、測量工具、測得數(shù)據(jù)和計(jì)算過程及結(jié)論).【閱讀與思考】海倫和秦九韶古希臘的數(shù)學(xué)發(fā)展到亞歷山大里亞時期,數(shù)學(xué)的應(yīng)用性得到了很大的發(fā)展,其突出的一點(diǎn)就是三角術(shù)的發(fā)展.三角術(shù)是人們?yōu)榱私⒍康奶煳膶W(xué),以便用來預(yù)報(bào)天體的運(yùn)行路線和位置以幫助報(bào)時,計(jì)算日歷、航海和研究地理而產(chǎn)生的.在解三角形的問題中,一個比較困難的問題是如何由三角形的三邊a,S這里p=但現(xiàn)在人們常常以古希臘的數(shù)學(xué)家海倫(Heron,約1世紀(jì))的名字命名這個公式,因?yàn)檫@個公式最早出現(xiàn)在海倫的著作《測地術(shù)》中,公式的證明在海倫的著作《測量儀器》和《度量術(shù)》中可以找到.海倫公式解決了由三角形的三邊直接求出三角形面積的問題,它具有輪換對稱的特點(diǎn),形式很美,大家很容易記住它.海倫是古希臘的數(shù)學(xué)家,他還是一位優(yōu)秀的測繪工程師.他的代表作是《度量術(shù)》,此書討論平面圖形的面積、立體圖形的體積,以及把圖形分成幾部分,使所分成的各部分的面積或體積的比等于給定的比.《測量儀器》是他的另一本代表作,其中描述的一種儀器,功能相當(dāng)于現(xiàn)代的經(jīng)緯儀.在此書中他還討論了許多測量問題,如怎樣挖隧道,從山的兩側(cè)開始,找準(zhǔn)方向,使隧道準(zhǔn)確會合;確定兩點(diǎn)間高度的差；測量可望不可即的兩點(diǎn)之間的距離；還有各種高度和距離的測量問題.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202-1261)也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的從三角形三邊求面積的公式,他把這種方法稱為“三斜求積".在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段,有三斜.其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題實(shí)際上就是已知三角形的三邊長,求三角形的面積.《數(shù)書九章》中的求法是:"以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之，為實(shí).一為從隅,開平方得積."如果把以上這段文字寫成公式,就是S秦九韶獨(dú)立推出了“三斜求積”公式.它雖然與海倫公式形式上不一樣,但兩者完全等價(jià),從中可以充分說明我國古代學(xué)者已具有很高的數(shù)學(xué)水平.秦九韶是我國古代數(shù)學(xué)家的杰出代表之一,他的《數(shù)書九章》概括了宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就,尤其是系統(tǒng)總結(jié)和發(fā)展了高次方程的數(shù)值解法與一次同余問題的解法,提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開方術(shù)”和“大衍求一術(shù)”,對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響.秦九韶是一位既重視理論又重視實(shí)踐,既善于繼承又勇于創(chuàng)新的數(shù)學(xué)家,他被國外科學(xué)史家贊興為“他那個民族,那個時代,并且確實(shí)也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.【小結(jié)】一、本章知識結(jié)構(gòu)二、回顧與思考向量是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中“既有大小又有方向的量”的數(shù)學(xué)工具.本章我們類比數(shù)及其運(yùn)算,學(xué)習(xí)了向量及其運(yùn)算,以及向量運(yùn)算的幾何意義,并用向量方法解決了一些幾何問題、物理問題,特別是用向量方法研究了任意三角形的邊角關(guān)系,得到了正弦定理、余弦定理.其研究的內(nèi)容、過程是:向量現(xiàn)實(shí)背景、幾何背景一向量的概念一向量的運(yùn)算和運(yùn)算律一相關(guān)知識的聯(lián)系一實(shí)際應(yīng)用.我們通過分析位移、力、速度等了解了向量的實(shí)際背景,引入了向量概念.其中,位移是向量的最佳現(xiàn)實(shí)模型.定義向量概念時,我們首先明確了向量的內(nèi)涵(大小、方向),并用有向線段表示向量,然后認(rèn)識了單位向量、零向量等“特殊”向量,明確了兩個向量的平行、相等、共線等“特殊關(guān)系”.這里,明確數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵及表示是定義一個數(shù)學(xué)對象的基本要求.向量的運(yùn)算,是“帶方向的量的運(yùn)算”.這里,如何對方向進(jìn)行運(yùn)算是核心問題.“位移的合成”很好地解釋了“兩個方向之和”,以此為背景我們定義了向量加法的三角形法則;而以“力的合成”為背景定義了向量加法的平行四邊形法則.“定義了-種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律”,向量加法滿足交換律、結(jié)合律,而交換律就是“平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等”的向量表達(dá)式.類比數(shù)a的整數(shù)倍na是n個a相加的總和,可以把n個向量a相加的總和寫為na.一般地,實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa是一個向量,它所滿足的運(yùn)算律(1)λa+μa=(λ+μ)a,(2)λ(μa)=(λμ)a,(3)λ(a以物理中力做功為背景,我們定義了兩個向量的數(shù)量積,并研究了它的運(yùn)算律,其中分配律是非常重要的.向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算,因?yàn)樗倪\(yùn)算結(jié)果是數(shù)量,不是向量.向量數(shù)量積與距離、夾羊等緊密相聯(lián),用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.為了徹底實(shí)現(xiàn)幾何的代數(shù)化,需要進(jìn)一步研究平面上點(diǎn)的向量表示問題.對千平面α上任意一點(diǎn)P,可以利用向量的加法和數(shù)乘向量,把平面α上的向量OP表示為k1a+k2b(其中向量a,b不共線),從而使它成為可運(yùn)算的對象.在解決幾何問題時,這種表示發(fā)揮了基礎(chǔ)性作用,因此我們把它叫做平面向量基本定理.特別地,我們以通過本章的學(xué)習(xí)我們發(fā)現(xiàn),與集合是一種特殊的運(yùn)算對象類似,向量也是一種不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算對象,而向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算既有差別又有共性.在定義向量的運(yùn)算法則,探索其相應(yīng)的運(yùn)算律時,我們總是類比數(shù)及其運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)和提出問題.因此,本章的學(xué)習(xí)對于提高我們對數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識水平,理解數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的關(guān)系等,都有很大的幫助.用向量方法解決平面幾何問題,其特色是僅用向量加法法則(稱為“向量回路”)、向量數(shù)乘的意義及其運(yùn)算律、向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律(特別是相互垂直的向量數(shù)量積為0),以及平面向量基本定理等4條基本法則、定理.與平面幾何有大量基本事實(shí)、定理比較,向量法在解決某些幾何問題時簡捷得多.例如,利用“三角形回路”AB+平面向量及其運(yùn)算與空間向量及其運(yùn)算緊密聯(lián)系,與數(shù)及其運(yùn)算也直接相關(guān),在其他學(xué)科(特別是物理)中也有廣泛應(yīng)用.這種聯(lián)系我們可以用下面的框圖表示.請你帶著下面的問題,復(fù)習(xí)一下全章的內(nèi)容吧!1.向量的概念是什么?用有向線段如何表示一個向量?2.你能說說向量的加法、減法、向量的數(shù)乘運(yùn)算、向量的數(shù)量積是如何定義的嗎?3.運(yùn)算律是運(yùn)算的靈魂.你能通過實(shí)例,說明向量的加法、向量的數(shù)乘運(yùn)算、向量的數(shù)量積有哪些運(yùn)算律嗎?這些運(yùn)算律的幾何意義是什么?這些運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別是什么?4.平面向量基本定理是什么?這個定理的意義是什么?你能說說什么是向量的坐標(biāo)表示嗎?5.你能用向量的坐標(biāo)表示描述向量共線的條件嗎?你能用向量的坐標(biāo)表示描述向量的長度及兩個向量的夾角嗎?6.用向量方法解決平面幾何問題要經(jīng)過哪些步驟?要注意哪些問題?你能通過實(shí)例說明如何選擇基底嗎?7.你能通過實(shí)例,說明向量在物理中的應(yīng)用嗎?8.回顧用向量方法推導(dǎo)正弦定理、余弦定理的過程,你能總結(jié)一下其中的思想方法嗎?復(fù)習(xí)參考題6【復(fù)習(xí)鞏固】1.判斷下列命題是否正確(正確的在括號內(nèi)打“?",錯誤的打“×”).(1)AB+(2)AB+(3)AB