第3章 基本立體的投影

第3章基本立體的投影

3.1平面立體

3.2曲面立體

常見的基本幾何體平面基本體曲面基本體

3.1平面立體

3.1.1棱柱

1.棱柱的投影如圖3-1(a)所示的正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱有六個(gè)側(cè)面，前后為正平面，其正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱的其他四個(gè)側(cè)面均為鉛垂面，水平投影積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影為類似形。

圖3-1正六棱柱

圖3-1正六棱柱

直棱柱的投影特點(diǎn)：一個(gè)投影為多邊形，反映棱柱的形狀特征，另外兩個(gè)投影是由矩形（實(shí)線和虛線）組成的矩形線框。作圖時(shí)，先畫反映棱柱形狀特征的投影——多邊形，再根據(jù)棱柱的高作出其他兩個(gè)投影。

2.棱柱表面上的點(diǎn)

在平面立體表面上的點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是平面上的點(diǎn)。正六棱柱的各個(gè)表面都處于特殊位置，因此在表面上的點(diǎn)可利用平面投影的積聚性來(lái)作圖。如已知棱柱表面上M點(diǎn)的正面投影m′，求水平、側(cè)面投影m、m″。由于正面投影m′是可見的，因此M點(diǎn)必定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD為鉛垂面，水平投影abcd具有積聚性，因此m必在abcd上。根據(jù)m′和m，由點(diǎn)的投影規(guī)律可求出m″，如圖3-1(b)所示。

3.1.2棱錐

1.棱錐的投影

如圖3-2(a)所示的正三棱錐，錐頂為S，其底面△ABC為水平面，水平投影△abc反映實(shí)形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個(gè)投影均為類似形，棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s″a″（c″）積聚為一直線。

圖3-2正三棱錐圖3-2正三棱錐

棱錐的投影特點(diǎn)：一個(gè)投影為由三角形組成的多邊形線框，外形輪廓反映底面實(shí)形，另外兩個(gè)投影為由三角形（實(shí)線和虛線）組成的三角形線框。作圖時(shí)，先畫出棱錐底面的各個(gè)投影，再作出錐頂?shù)母鱾€(gè)投影，然后連接各棱線，并判別可見性。

2.棱錐表面上的點(diǎn)

如果點(diǎn)在棱線上，則可利用點(diǎn)在直線上，其投影必定在該直線的同面投影上求得。如果點(diǎn)所在的平面具有積聚性，則可利用積聚性直接求得。如果點(diǎn)所在的平面為一般位置平面，可通過在該平面上作輔助線的方法求得。

例如，已知棱錐表面上M點(diǎn)的正面投影m′，求水平、側(cè)面投影m、m″。由于m′是可見的，因此該點(diǎn)在一般位置平面——棱面SAB上，可過錐頂S和M點(diǎn)作一輔助線SⅡ，然后，在s2上求出M點(diǎn)的水平投影m，再根據(jù)m、m′求出m″。又例如，已知N點(diǎn)的水平投影n，由于n是可見的，因此，N點(diǎn)在側(cè)垂面△SAC上，n″必定在s″a″（c″）上，由n、n″可求出（n′），如圖3-2(b)所示。

3.2曲面立體

由一母線繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)面，由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體稱為曲面立體。母線在回轉(zhuǎn)面上的任一位置稱為素線。常見的曲面立體有圓柱、圓錐和圓球等。

3.2.1圓柱

1.圓柱面的形成圓柱面是由一條直母線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱體由圓柱面和頂面、底面組成。

2.圓柱的投影圓柱的頂面、底面是水平面，正面和側(cè)面投影積聚為一直線，由于圓柱的軸線垂直于水平面，圓柱面的所有素線都垂直于水平面，故其水平投影積聚為圓，如圖3-3所示。圖3-3圓柱

圖3-3圓柱

在圓柱的正面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最左、最右素線的投影，即圓柱面前后分界線（轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影。它們把圓柱面分為前后兩半，圓柱面投影前半部可見，后半部不可見，這兩條素線是可見與不可見的分界線。在圓柱的側(cè)面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱的最前、最后素線的投影，即圓柱面左右分界線（轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影。矩形的兩條水平線，分別是圓柱頂面和底面的積聚性投影。

3.圓柱表面上的點(diǎn)

在圖3-3(b)中，圓柱面上有兩點(diǎn)M和N，已知其正投影m′和n′，求另外兩投影。由于點(diǎn)N在圓柱的轉(zhuǎn)向輪廓線上，其另外兩投影可直接求出；而點(diǎn)M可利用圓柱面有積聚性的投影，先求出點(diǎn)M的水平投影m，再由m和m′求出m″。點(diǎn)M在圓柱面的右半部分，故其側(cè)面投影m″不可見。

3.2.2圓錐

1.圓錐面的形成圓錐面是由一條直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓錐體由圓錐面和底面組成。

2.圓錐的投影圖3-4表示一直立圓錐，它的正面投影和側(cè)面投影為同樣大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圓錐面的最左和最右素線的投影，它們把圓錐面分為前、后兩半；側(cè)面投影s″c″和s″d″是圓錐面最前和最后素線的投影，它們把圓錐面分為左、右兩半。

圖3-4圓錐

圖3-4圓錐

3.圓錐表面上的點(diǎn)

轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)由于位置特殊，作圖較為簡(jiǎn)單。如圖3-4(b)所示，在最左素線SA上的一點(diǎn)M，只要已知其一個(gè)投影（如已知m′），其他兩個(gè)投影（m、m″）即可直接求出。但是在圓錐面上的點(diǎn)K，只能用間接的方法——作輔助線，才能由一已知投影求出另外兩個(gè)投影。

圖3-4(b)中，已知K點(diǎn)的正面投影k′，求點(diǎn)K的其他兩個(gè)投影?？捎幂o助圓法作圖，即過點(diǎn)K在錐面上作一水平輔助緯圓，該圓與圓錐的軸線垂直，點(diǎn)K的投影必在緯圓的同面投影上。作圖時(shí)，先過k′作平行于X軸的直線，它是緯圓的正面投影，再作出緯圓的水平投影。由k′向下作垂線與緯圓交于點(diǎn)k，再由k′及k求出k″。因點(diǎn)K在錐面的右半部，所以k″不可見。

3.2.3圓球

1.圓球面的形成圓球面是由一圓母線以它的直徑為回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的。

2.圓球的投影圓球面的三個(gè)投影是圓球上平行于相應(yīng)投影面的三個(gè)不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球面的可見與不可見的分界線；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面的可見與不可見的分界線；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右兩半球面的可見與不可見的分界線。如圖3-5所示。圖3-5圓球

圖3-5圓球

3.圓球表面上的點(diǎn)已知圓球面上點(diǎn)A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求各點(diǎn)的其他投影，如圖3-5(b)所示。因a′