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第六章 一階電路重點(diǎn)動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定； 一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解；穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；三要素法一階電路在正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。特點(diǎn)：1.
動(dòng)態(tài)電路6.1
動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。例+-usR1R2（t=0）i0ii
=
US
/
R2i
=
US
(
R1
+
R2
)t過渡期為零電阻電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)Ci=0
,
u
=
0i=0
, uC=
UsK–+uCUsRCi(t
=
0)K接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)–+uCUsRCi(t→￥)前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)t1新的穩(wěn)定狀態(tài)USuct0?iU
S
R有一過渡期電容電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0
, uC=
UsK動(dòng)作后很長(zhǎng)時(shí)間，電容放電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)前一i=0
, uC
=
0USuct態(tài)個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)
0
t1第二個(gè)穩(wěn)定狀過渡狀態(tài)iU
SR有一過渡期第三個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)–+uCUsRCi(t
<t2)K–+uCRCi(t
=
t2)K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)Li=0
,
u
=
0uL=
0,
i=Us
/RK接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路過渡狀態(tài)t1
新的穩(wěn)定狀態(tài)US/Rit0前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)?ULSU有一過渡期K–+uLUsRLi(t
=
0)–+uLUsRLi(t→￥)電感電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0
, uL
=
￥uL=
0,
i=Us
/RK斷開瞬間K–+uLUsRLi–+uLUsRLi(t→￥)注意工程實(shí)際中的過電壓過電流現(xiàn)象過渡過程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件
L
、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來(lái)完成。Dtp
=
Dw電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化p
￥Dt
0dtduRCc+
uc
=
uS
(t
)Ri
+
uc
=
uS(t
)應(yīng)用KVL和電容的VCR得：dti
=
C
duc若以電流為變量：Sidt
=
u
(t
)Ri
+
1C
–+uCus（t）RCi(t
>0)R
di
+
i
=
duS
(t
)dt
C
dt2.
動(dòng)態(tài)電路的方程–+uLus（t）RLi(t
>0)Ri
+
uL
=
uS
(t
)diRi
+
L
=
uS
(t
)dt有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路應(yīng)用KVL和電感的VCR得：dtuL=
L
di若以電感電壓為變量：RSLL=
u
(t
)u dt
+
uL
dtL
dtLLR
du
=
duS(t
)u
+–+uLRLi(t
>0)CuC＋-＋uS（t）-dudt
2
dtd
2uc
SLC c
+
RC c
+
u
=
u
(t
)Ri
+
uL
+
uc
=
uS
(t
)二階電路dtdui
=
C
c
dtdiuL
=
LdtSidt
=
u
(t
)若以電流為變量：
Ri
+
L
di
+
1C
dtRdu
(t
)dt
dt
2
Cdi
d
2i
1i
=
S
+
L
+一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。結(jié)論：描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)；01
dta
dx
+
a x
=
e(t
)
t
?
0+
a1
dt
+
a0
x
=
e(t
)
t
?
0dt
2d
2
x
dxa2二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。高階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。dxdt
n-1d
n-1
x+
an-1dt
nd
n
xan+
+
a1
dt
+
a0
x
=
e(t
)
t
?
0動(dòng)態(tài)電路的分析方法（1）根據(jù)KVl、KCL和VCR建立微分方程復(fù)頻域分析法時(shí)域分析法（2）求解微分方程經(jīng)典法狀態(tài)變量法卷積積分?jǐn)?shù)值法拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法付氏變換本章采用工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。穩(wěn)態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)恒定或周期性激勵(lì)換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間后狀態(tài)微分方程的特解任意激勵(lì)換路發(fā)生后的整個(gè)過程微分方程的一般解Sa
dx
+
a x
=
U01
dtdtdx
=
0t
￥a0
x
=
US(1)
t
=0＋與t
=0－的概念認(rèn)為換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行0－換路前一瞬間0＋換路后一瞬間3.電路的初始條件f
(0-
)
=
lim
f
(t
)t
fi
0t
<0f
(0+
)
=
lim
f
(t
)t
fi
0t
>0初始條件為t
=0＋時(shí)u
，i
及其各階導(dǎo)數(shù)的值0－0
0＋f
(0-
)
=
f
(0+
)f(t)f
(0-
)
?
f
(0+
)t圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例R-+CiuC(t=0)解ducRC
+
uc
=
0dtRi
+
uc
=
0 (t
?
0)特征根方程：
RCp
+
1
=
0p
=
-1
RC得通解：RC-
t
u
(t
)
=
ke
pt
=
kec代入初始條件得：k
=UoRCt-uc(t
)
=
Uoe說明在動(dòng)態(tài)電路的分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。-￥tCi(x)dxC
u
(t
)
=
1110
0-=-￥ti(x)dx
+
C
-
i(x)dxC10
--tCi(x)dxC=
u
(0 )
+t
=0+時(shí)刻10+i(x)dxC
0-u
(0+
)
=
u
(0-
)
+C
Ciu+c-
CuC
(0+)
=uC
(0－)q
(0+)
=
q
(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。(2)電容的初始條件0當(dāng)i(x)為有限值時(shí)q
=C
uC電荷守恒結(jié)論-￥tLu(x)dxL
i
(t
)
=
1110
-0-=-￥tu(x))dxu(x)dx
+LLu(x)dx10
0+-+
-iL
(0 )
=
iL
(0 )
+yL
(0＋)=
yL
(0－)iL(0＋)=
iL(0－)L+u-iL(3)電感的初始條件t
=0+時(shí)刻0LtLu(x)dx10
-=
iL
(0 )
+-當(dāng)u為有限值時(shí)y
=
LiL磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結(jié)論iL(0+)=
iL(0－)qc
(0+)
=qc
(0－)（4）換路定律注意:則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，uC
(0+)=uC
(0－)則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。yL
(0+)=yL
(0－)換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路定律反映了能量不能躍變。5.電路初始值的確定+-10ViiC+8V-10k0+等效電路=
0.2mA10
-
810+Ci
(0 )
=(1)
由0－電路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kCu
(0－)=8V由換路定律uC
(0+)
=
uC
(0－)=8V由0+等效電路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViC+uC-ki
10k40k電容開路電容用電壓源替代=
0LL-
)
=
0
\
u
(0
)
u
(0·+Lu
(0+
)
=
-2
·
4
=
-8V例2t
=0時(shí)閉合開關(guān)k
,求uL(0+)iL+uL-L10VK1W
4W+uL-10V1W
4W0+電路2A先求L10=
1
+
4
=
2
Ai
(0-
)由換路定律:iL(0+)=
iL(0－)
=2A電感用電流源替代i
(0-
)10V1W
4W解L電感短路求初始值的步驟:由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；由換路定律得uC(0+)和iL(0+)。畫0+等效電路。換路后的電路電容（電感）用電壓源（電流源）替代。（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。由0+電路求所需各變量的0+值。iL(0+)
=
iL(0－)
=
ISuL(0+)=
-
RIS求
iC(0+)
,
uL(0+)=
0-+RRIi
(0 )
=
ISC
s例3K(t=0)+
u
–LiLC+–uCLRISiC解0+電路L+
u–iCRISRIS+–0－電路RIS由0－電路得：uC(0+)
=
uC(0－)
=
RIS由0＋電路得：u
(0-
)
=
u
(0+
)
=
2
·12
=
24VC
C+
-iL
(0 )
=
iL
(0 )
=
48
/
4
=
12
A例3iL+uL-LK2W-+48V2W3WC求K閉合瞬間各支路電流和電感電壓解由0－電路得：12A+-48V2W3W+24V-iiC+-uL由0+電路得：Ci
(0+
)
=
(48
-
24)
/
3
=
8
Ai(0+
)
=
12
+
8
=
20
ALu
(0+
)
=
48
-
2
·12
=
24ViL+
2W-48V3W2W+-uC例4求K閉合瞬間流過它的電流值。iL+200V-LK100W+uC100W100WC—解（1）確定0－值L
L200200=
1Ai
(0 )
=
i
(0 )
=+
-u
(0+
)
=
u
(0-
)
=
100VC
C（2）給出0＋等效電路k100
100200
100+
-1
=
2
Ai
(0 )
=+1A+200V-100W100W100W+100V
－ik+uL—iCu
(0+
)
=
-i
(0+
)·100
=
100VL
Li
(0+
)
=
-u
(0+
)
/
100
=
-1AC
C6.2
一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能所產(chǎn)生的電壓和電流。1.
RC電路的零輸入響應(yīng)0du
RCCCCdt+
u
=
0u
(0+
)
=
URC1p
=
-特征根特征方程RCp+1=01-
t=
Ae
RCCu
=
Ae
pt則已知uC
(0－)=U0-
uR
+
uC
=
0dti
=
-C
duCuR=
Ri零輸入響應(yīng)iK(t=0)–+uRC+–uCR代入初始值uC
(0+)=uC(0－)=U0A=U00=
I
e t
?
0R
Ru
URCRC-
t
-
t
i
=
C
=
0
e-RCtuc
=
U0e t
?
0RC1
t-uc
=
AeRCRC
R-
t
0)=
0
e1
U-
t
RC
(-dtdu或
i
=
-C
C
=
-CU
etU00I0tuC
i0（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；從以上各式可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；令
t=RC
,
稱t為一階電路的時(shí)間常數(shù)[t]=[RC
]=[歐][法]=[歐]
庫(kù)
=[歐]
安秒
=[秒]
伏
伏
時(shí)間常數(shù)t
的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長(zhǎng)短t
=
R
Ct大
→
過渡過程時(shí)間長(zhǎng)t小
→
過渡過程時(shí)間短電壓初值一定：R
大（
C一定）i=u/R放電電流小放電時(shí)間長(zhǎng)U0tuc0t小t大C
大（R一定）W=Cu2/2
儲(chǔ)能大RC
tp
=
-
1
=
-
1物理含義t：電容電壓衰減到原來(lái)電壓36.8%所需的時(shí)間。t＝
t2－t1工程上認(rèn)為,經(jīng)過3t－5t,過渡過程結(jié)束
。t1時(shí)刻曲線的斜率等于1
2du
UC
1t1t1
C
dtt
-
tu
(t
)
-
0u
(t
)=
C
1
-
t1t=
-
0
e
=
-ttI0tuct0
t1t2U0
0.368
U0
0.135
U0
0.05
U0
0.007
U0t0
t2t3t5t-
tuc
=
U0e
tU0
U0
e
-1U0
e
-2U0
e
-3U0
e
-5uC
(t2
)
=
0.368uC
(t1
)次切距的長(zhǎng)度（3）能量關(guān)系i
Rdt
￥WR
=02電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量：2021CU電阻吸收（消耗）能量：RU00
etRC
)2
Rdt(-￥
=21=
2
CU0uCR+—Ce
2
t
0U
2
0
R-￥
=02RC
)
|￥-
2
t
RC
dt
=
0
(-
eRCRU
2例已知圖示電路中的電容原本充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：i3K3WuC2W6W5F
+—i2i1+uC4W5F—i1t
>0等效電路-RCtuc
=
U0e t
?
0代入
U0
=
24
V
t
=
RC
=
5
·4
=
20
s-
20t
?
0u
=
24e
Vtc分流得：20
A-
ti123i1
=
uC
4
=
6
e2-
t20=
i
=
4e
AAt201313-i
=
2ei
=2.
RL電路的零輸入響應(yīng)Rp
=
-L特征根代入初始值i(0+)=I00US=
IR1
+
Ri
(0+
)
=
i
(0-
)
=L
Ldt特征方程
Lp+R=0L
di
+
Ri
=
0
t
?
0K(t=0)US+–L
uLR
iR1pti(t
)
=
Ae00t
?
0-
tLA=
i(0+)=
I0R得
i(t
)
=
I
e
pt
=
I
et
>0i+–L
uLRdtdiL
/
R-
t
uL
(t
)=
L
L
=
-RI0e-L
/
RtiL
(t
)
=
I0e t
?
0-RI0uLtt0I
iL0從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān)；令
t=
L/R
,
稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)L大
W=Li2/2
起始能量大R小
P=Ri2
放電過程消耗能量小放電慢t大韋]=[伏秒]=[秒]R
歐 安
歐 安
歐[t
]=[L
]=[亨]=[t大
→
過渡過程時(shí)間長(zhǎng)t小
→
過渡過程時(shí)間短物理含義時(shí)間常數(shù)t
的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長(zhǎng)短t
=
L/RL
/R
tp
=
-1
=
-1電流初值i(0)一定：（3）能量關(guān)系￥WR
=
i
Rdt02電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)iL(0+)=I0電感放出能量：2021LI電阻吸收（消耗）能量：00(
I
e
L
/
R
)2
Rdt-
t
￥
=21=
2
LI0e
dtL
/
R020-
2
t
￥
=
I
R0202RC
)
|￥-
2
t
L
/
RR(-
e=
Ii+–L
uLRiL
(0+)
=
iL(0－)
=
1
AuV
(0+)=－10000V
造成V損壞。例1現(xiàn)象：電壓表壞了i=
e-
t
/
tt=0時(shí),打開開關(guān)K，求uv。電壓表量程：50VLL100004t
?
0=
4
·10-4
s=R
+
RVt
==
-R
iu=
-10000e-2500t
t
?
0V
V
L解iLLR10ViLK(t=0)+–L=4HR=10WuV
VRV10kW10VRV
=
10kW例2t=0時(shí),開關(guān)K由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。dt=
-12e-t
V
t
?
0=
L
diLLi
=
2e-
t
A
uLR
6t
=
L
=
6
=
1s解iLK(t=0)24V6H3W4W6W—– 4W
u+L2W+
12L
L624·
=
2
A4
+
2
+
3
//
6
3
+
6=i
(0+
)
=
i
(0-
)t
>0i+–L
uLRR
=
3
+
(2
+
4)
//
6
=
6Wi2u
=
24
+
4
·
L
=
24
+
4e-tV12小結(jié)小結(jié)1.一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)tRC電路RL電路t=
RC
,
t=
L/RR為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。t-
ty(t
)
=
y(0+
)eiL(0+)=
iL(0－)uC
(0+)
=
uC
(0－)RC電路
RL電路動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加輸入激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。+
uC
=
USdtRC
duC列方程：iK(t=0)US+
u
–RC–+uCR6.3
一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次線性常微分方程uC
(0－)=0解答形式為：u
=
u'
+
u"c
c
c1.
RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解RC-
t uC￠
=
Ae變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解由初始條件
uC
(0+)=0
定積分常數(shù)
AuC
(0+)=A+US=
0 A=
－
US=0
的通解CdtduRC C
+
uuC￠
=
USRCt-uC
(t
)
=
uC￠
+
uC￠
=
US
+
Ae通解（自由分量，暫態(tài)分量）uC￠特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)分量）uC￠+
uC
=
USdtRC
duC的特解-(t
?
0)-
tRC
)RCtuc
=
US
-
US
e
=
US
(1
-
eRC-
t
dt
Rdu
Ui=
C C
=
S
euC‘uC“UStiU
SR0uc0-US（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：從以上式子可以得出：t連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）+（2）響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)t＝RC決定；t大，充電慢，t小充電就快。響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；能量關(guān)系122S電容儲(chǔ)存：電源提供能量：0U idt
=
U q
=
CU
2S
S
S
CU￥212S=
CU電阻消耗RU( S
eRC
)2
R
d
t0
0-
t
￥￥i
2
R
d
t
=
RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。例t=0時(shí),開關(guān)K閉合，已知uC（0－）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t
。解500W10mF-+100VK—+uC(1)
這是一個(gè)RC電路零狀
i態(tài)響應(yīng)問題，有：-(t
?
0)u
=
U
(1
-
e
RC
)
=
100(1
-
e-200t
)Vtc
St
=
RC
=
500
·10-5
=
5
·10-3
sRCdt
Rdu
U-
t
=
0.2e-200t
Ai
=
C C
=
S
e（2）設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V80
=
100(1
-
e-200t1
)
fi
t
=
8.045ms12.
RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)d
iLL
+
RiL
=
U
SLRUS-
R
t(1
-
e
)iL
=LL
S-
R
tu
=
L L
=
U
edtdiK(t=0)US+
u
–
+–RL
uLR
iL已知iL(0－)=0，電路方程為：L
L
Li￠
i￠d
ti
=
+tuLUStiLRUS00RULA=
-
S
i
(0+
)
=
0
fiLRU-
R
t=
S
+
Ae例1t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響iLK+–uL2HR
80W應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：10A200W300WiL+–uL2H10AReqeqR
=
80
+
200
//
300=
200Wt
=
L
/
Req
=
2
/
200
=
0.01siL
(￥
)
=
10A-100tiL
(t
)
=
10(1
-
e
)
Au
(t
)
=
10
·
R
e-100t
=
2000e-100tVL
eqt>0例2t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的及電流源的端解電壓。這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：K+–uL2HiL2A10W5W
10W–+ut>0–+uL2HiLSReq+U—Req
=
10
+
10
=
20WUS
=
2
·10
=
20Veq=
2
/
20
=
0.1st
=
L
/
RLi
(t
)
=
(1
-
e-10t
)
AiL
(￥
)
=
US
/
Req
=
1Au
(t
)
=
U e
-10t
=
20e
-10tVL
Su
=
5I
+
10i
+
u
=
20
+
10e
-10tVS
L
L6.4
一階電路的全響應(yīng)i電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。K(t=0)US+
u
–RC–+uCRC SRC
C
+
u
=
Udt解答為
uC(t)
=
u
'
+
uC
C"u
(0－)=UC
0以RC電路為例，電路微分方程：dut=RC1.全響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解
uC'
=
US暫態(tài)解t-
tuC￠
=
AeuC
(0+)=A+US=U00\
A=U -
US由起始值定A2.全響應(yīng)的兩種分解方式=
U
S
+
(U0
-U
S
)e t
?
0-
tt-tuC
=
U
S
+
Ae
t強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"U0
-US暫態(tài)解uC'穩(wěn)態(tài)解USU0uc全解tuc0全響應(yīng)=強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)（1）著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰iUS+u
–R+–C
uCK(t=0)RuC
(0－)=U0iUS+u
–RC+–uCK(t=0)R=Cu
(0—)=0+uC
(0－)=U0+–C
uCi+u
–RK(t=0)R零狀態(tài)響應(yīng)
零輸入響應(yīng)全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)-(t
?
0)tt-tuC
=
U
S
(1
-
e
t
)
+
U
0
e(2).著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算--(t
?
0)tttuC
=
U
S
(1
-
e
t
)
+
U
0
e零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)t0零狀態(tài)響應(yīng)uc全響應(yīng)US零輸入響應(yīng)U0例1t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后的iL、uL解這是一個(gè)RL電路全響應(yīng)問題，有：iLK(t=0)–+24V0.6H4W—+uL8Wi
(0-
)
=
i
(0+
)
=
U
/
R
=
6
AL
L
S
1t
=
L
/
R
=
0.6
/
12
=
1
/
20sLi￠(t
)
=
6e-20t
AiL)A1224-20t(t
)
=
(1
-
e?零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：Li
(t
)
=
6e-20t
+
2(1
-
e-20t
)
=
2
+
4e-20t
A全響應(yīng)：或求出穩(wěn)態(tài)分量：iL
(￥
)
=
24
/
12
=
2A全響應(yīng)：代入初值有：-20tiL
(t
)
=
2
+
Ae
A6＝2＋AA=4例2t=0時(shí),開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端解這是一個(gè)RC電路全響應(yīng)問題，有：–+10V1A+—uC1W+—u1W
1WC穩(wěn)態(tài)分量：
u (￥
)
=
10
+
1
=
11VC的電壓。(u
(0-
)
=
1V
,
C
=
1F
)C全響應(yīng)：
u
(t
)
=
11
+
Ae-0.5tVt
=
RC
=
(1
+
1)·1
=
2sA=－10Cu
(t
)
=
11
-
10e-0.5tVdtduCC=
5e-0.5t
Ai
(t
)
=–+24V1A+—uC1W+—u1W
1WCC+
u
=
12
-
5e-0.5tVu(t
)
=
1·1
+
1·
i3.三要素法分析一階電路t-f
(t
)
=
f
(￥
)
+[
f
(0+
)
-
f
(￥
)
]e
t0+
+穩(wěn)態(tài)解初始值時(shí)間常數(shù)三要素
tf
(0
)
f
(￥
)一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：tt-f
(t
)
=
f
(￥
)
+
Ae令t
=0+0+f
(0+
)
=
f
(￥
)
+
AA
=
f
(0
)
-
f
(￥
)
0+dtd
fa+
bf
=
c其解答一般形式為：分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題用t→￥的穩(wěn)態(tài)電路求解用0+等效電路求解直流激+勵(lì)時(shí)：0+=
f
(￥
)f
(￥
)u
(0+
)
=
u
(0-
)
=
2VC
CCu
(￥
)
=
(2
//
1)·1
=
0.667V2eqt
=
R C
=
3
·3
=
2
su
=
0.667
+
(2
-
0.667)e-0.5t
=
0.667
+
1.33e-0.5t
t
?
0C1A2W例11W+3F-uC已知：t=0時(shí)合開關(guān)，求換路后的uC(t)。解t2uc
(V)0.6670-+
ttc
c
c
cu
(t
)
=
u
(￥
)
+[u
(0
)
-
u
(￥
)]e例2t=0時(shí),開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解i
(0-
)
=
i
(0+
)
=
10
/
5
=
2
AL
LiL–0.5H三要素為：
5W5W+20V–+10Vi2i1Lt
=
L
/
R
=
0.6
/(5
//
5)
=
1
/
5si
(￥
)
=
10
/
5
+
20
/
5
=
6AL
L
L-
tti
(t
)
=
i
(￥
)
+[i
(0+
)
-
i
(￥
)]e應(yīng)用三要素公式Li
(t
)
=
6
+
(2
-
6)e-5t
=
6
-
4e-5t
t
?
0LdtdiLL=
0.5
·(-4e-5t
)·(-5)
=
10e-5tVu
(t
)
=
L1
Li
(t
)
=
(10
-
u
)
/
5
=
2
-
2e-5t
A-5ti2
(t
)
=
(20
-
uL
)
/
5
=
4
-
2e
A三要素為：i
(0-
)
=
i
(0+
)
=
10
/
5
=
2
AL
LLt
=
L
/
R
=
0.6
/(5
//
5)
=
1
/
5si
(￥
)
=
10
/
5
+
20
/
5
=
6A-5t
-5tiL
(t
)
=
6
+
(2
-
6)e
=
6
-
4e t
?
0i
(t
)
=
2
+
(0
-
2)e-5t
=
2
-
2e-5t
A=
4
-
2e-5t
A1-5ti2
(t
)
=
4
+
(2
-
4)e–2A5W5W+20V–+10Vi2i1101(10
-
20)i
(0
)
=+2+
1
=
0
A+
1
=
2
A(20
-10)10i
(0
)
=+0＋等效電路i1
(￥
)
=
10
/
5
=
2A2i (￥
)
=
20
/
5
=
4A例3已知：t=0時(shí)開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)。2A4W1W++uC—0.1F4Wi12i1
－—8V+12解三要素為：1R
=
u
/
i =
10Wu
=
10i
fieq
14W+4Wi12i1
－+u—u (0+
)
=
u (0-
)
=
-8VC
CuC
(￥
)
=
4i1
+
2i1
=
6i1
=
12Veqt
=
R C
=
10
·0.1
=
1s-+
ttcc
c
cu
(￥
)]eu
(t
)
=
u
(￥
)
+[u
(0
)
-c=
12
-
20e-tVu
(t
)
=
12
+[-8
-12]e-t例4已知：t=0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)。解三要素為：–1H0.25F5W2WS+10Viu
(0+
)
=
u
(0-
)
=
10VC
Ct1
=
ReqC
=
2
·0.25
=
0.5suC
(￥
)
=
0c
c
cc-=
10e-2tVu
(t
)
=
u
(￥
)
+[u
(0
)
-
u
(￥
)]e
tt+
-iL
(0 )
=
iL
(0 )
=
0iL
(￥
)
=
10
/
5
=
2
At2
=
L
/
Req
=
1
/
5
=
0.2s+tL
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