醫(yī)學物理講義-波動

第五章波動

基本概念：簡諧振動、振幅、頻率、相位、簡諧振動方程、旋轉矢量、振動能量、同方向同頻率諧振動的合成二主要內容1、簡諧振動及其特征——彈性回復力簡諧運動的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反2、描述諧振動的物理量

（1）振幅圖（2）周期、頻率彈簧振子周期

周期

頻率

圓頻率

周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質有關

相位的意義:

表征任意時刻（t）物體振動狀態(tài).物體經(jīng)一周期的振動，相位改變.（3）相位相位初相位（4）相位差討論

相位差：表示兩個相位之差

1）對同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間．

2）對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們間步調上的差異（解決振動合成問題）.同步為其它超前落后反相（5）常數(shù)A和

的確定3、旋轉矢量用旋轉矢量求相位用旋轉矢量畫振動曲線初始條件幾種常見的簡諧振動1）彈簧振子：2）單擺：3）復擺：4、諧振動的能量5、同方向同頻率諧振動的合成合振動為

線性回復力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒.

兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為同頻率的簡諧運動（1）當（2）當——合振動加強——合振動減弱（3）一般情況，兩分振動既不同相也不反相，則合振動振幅在A1+A2和|A1-A2|之間取值。振動和波動的關系：機械波、電磁波、物質波振動——波動的成因波動——振動的傳播波動的種類：概念：機械波、橫波、縱波、振幅、頻率、波長、波速、波函數(shù)、波的能量、衍射、干涉、多普勒效應二主要內容1、機械波的產生條件能傳播機械振動的媒質（空氣、水、鋼鐵等）（2）介質作機械振動的物體（聲帶、樂器等）

（1）波源

波是運動狀態(tài)的傳播，介質的質點并不隨波傳播.注意3、波長波的周期和頻率波速波長：同一波線上，兩個相鄰的、相位差為2

的振動質點間的距離。即一個完整波形的長度。用表示。2、橫波與縱波（1）橫波特點：波傳播方向上各點的振動方向與波傳播方向垂直（2）縱波（又稱疏密波）

特點：質點的振動方向與波傳播方向一致OyAA

-周期T

波傳過一波長所需的時間，或一完整波通過波線上某點所需的時間.

頻率

單位時間內波向前傳播的完整波的數(shù)目.（1

內向前傳播了幾個波長）決定于介質的性質（彈性模量和密度）波在介質中傳播的速度波速四個物理量的聯(lián)系4、波線波面波前振動相位相同的點組成的面稱為波陣面（1）波線（2）波陣面波的傳播方向任一時刻波源最初振動狀態(tài)在各方向上傳到的點的軌跡.波前是最前面的波陣面性質（3）各向同性介質中，波線垂直于波陣面.

（2）波陣面的推進即為波的傳播.（1）同一波陣面上各點振動狀態(tài)相同.5、波函數(shù)及其物理意義（1）平面簡諧波的波函數(shù)（2）波函數(shù)的物理含義（波具有時間的周期性）

則令1）一定，

變化

表示點處質點的振動方程（的關系）令（定值）則

y

o

x

2）

一定

變化

該方程表示時刻波傳播方向上各質點的位移,即時刻的波形（的關系）

方程表示在不同時刻各質點的位移，即不同時刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播.O3）、都變從形式上看：波動是波形的傳播.從實質上看：波動是振動的傳播.

對波動方程的各種形式，應著重從物理意義上去理解和把握.

（3）已知振動方程寫波動方程（4）已知波形曲線寫波函數(shù)6、平面簡諧波的能量動能勢能總能量

體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大.體積元的位移最大時，三者均為零.

(1)在波動傳播的介質中，任一體積元的動能、勢能、總機械能均隨作周期性變化，且變化是同相位的.

(2)

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機械能不守恒.波動是能量傳遞的一種方式.能量密度：單位體積介質中的波動能量

平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值

能流：單位時間內垂直通過某一面積的能量.平均能流：udtS

能流密度

(波的強度)I:

通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流.

SuwP=udtS7、波的干涉（1)波的迭加原理

波傳播的獨立性：兩列波在某區(qū)域相遇后再分開，傳播情況與未相遇時相同，互不干擾.

波的疊加性：在相遇區(qū)，任一質點的振動為二波單獨在該點引起的振動的合成.

頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象.相干條件：頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。(2)波的干涉(3)干涉加強和減弱的條件——合振幅最大(相長干涉)——合振幅最小(相消干涉)當相位差不滿足上述條件時，合振幅介于最大和最小之間。若，則上述條件變?yōu)椤险穹畲?相長干涉)——合振幅最小(相消干涉)或或稱為波程差（波走過的路程之差）1.將單擺拉到與鉛直方向成角時，放手任其自由擺動。則角是否為初位相？為什么？又單擺的角速度是否為諧振動的圓頻率？解：不是初位相，而是初始角位移。不是圓頻率，單擺的圓頻率為2.什么是波速？什么是振動速度？有何不同？二、思考題？4.有人認為頻率不同、振動方向不同、相位差不恒定的兩列波不是相干波，所以不能迭加。這種看法對不對？為什么？3.機械波通過不同介質時,波長λ、頻率ν、波速u,

哪些要改變？哪些不改變？

例

一簡諧波沿軸正向傳播，已知振幅、頻率和速度分別為，設時的波形曲線如圖，求1）處質點振動方程；2）該波的波函數(shù).

波函數(shù)解：

例一簡諧波沿軸正向傳播，已知點振動曲線如圖，求1）點振動方程、2）波函數(shù)。波函數(shù)

1

一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為0.32N/m，重物的質量為0.02kg，則這個系統(tǒng)的固有頻率為________，相應的振動周期為_________．0.64Hz解2：14：12：1解

2

兩個簡諧振動曲線如圖所示，兩個簡諧振動的頻率之比_____，加速度最大值之比a1m：a2m=______，初始速率之比

______.x1xx2to

3一質點作周期為T的簡諧運動，質點由平衡位置正方向運動到最大位移一半處所需的最短時間為（）(A）T/2

（B）T/4

(C)T/8

（D）T/12解用矢量圖法求解A/2AoMNx

4一彈簧振子作簡諧振動，當其偏離平衡位置的位移的大小為振幅的1/4時，其動能為振動總能量的（）

(A）7/16

(B）9/16

(C）11/16(D）13/16

(E）15/16

解

7

一質點作簡諧振動，速度的最大值

，振幅A=2cm．若令速度具有正最大值的那一時刻為t=0，求振動表達式．解t=0ox/cm

9

一質點作簡諧運動，其振動方程為試用旋轉矢量法求出質點由初始狀態(tài)運動到x=-0.12m，v<0的狀態(tài)所經(jīng)過的最短時間

．

o0.24解x/m-0.12

10

已知某簡諧運動的運動曲線如圖所示，位移的單位為厘米，時間的單位為秒，求此簡諧運動的方程．x/cmt/s1-1-20

解用矢量圖法求解設運動方程為(1)

的確定(2)

的確定x/cmt/s1-1-202-2ox/cmt=1-1t=0

11

用余弦函數(shù)描述一諧振子的運動，若其速度-時間關系曲線如圖所示，求運動的初相位．解t/s-vm-0.5vmo由矢量圖得ot=0t/s-vm-0.5vmo

14

一質點同時參與兩個同方向的簡諧運動，其運動方程分別為：

畫出兩運動的旋轉矢量圖，并求合運動的運動方程．x/cmo53解

1

一個質點作簡諧運動，振幅為A，在起始時刻質點的位移為，且向x軸正方向運動，代表此簡諧運動的旋轉矢量為（）(A)(B)(C)(D)oxoxoxox在時刻，

與兩處質點速度之比是

(A)1(B)-1(C)3(D)1/3

1

一平面簡諧波的波動方程為解

2

如圖,

一平面簡諧波從無限遠處向右傳播，波速，波線上一點P的振動方程為，點Q位于P左端0.5m處，分別以P、Q為坐標原點，寫出波動方程.

0.5mQ

P

x/m解(1)

以點P為坐標原點建立坐標如圖波動方程為OQ

P

x/m波動方程為,點Q振動在時間上超前點P(2)

若以點Q為坐標原點(如圖)則點P的坐標O0.5mQ

P

x/m3

已知波動方程，求波長、周期和波速.解法一（比較系數(shù)法）把題中波動方程改寫成比較得解法二（由各物理量的定義解之）

波長是指同一時刻t

，波線上相位差為的兩點間的距離.

4

一平面簡諧機械波在彈性介質中傳播,下述各結論哪個正確？選擇（）D(A)介質質元的振動動能增大時，其彈性勢能減小，總機械能守恒.(B)介質質元的振動動能和彈性勢能都作周期性變化，但兩者相位不相同.(D)介質質元在其平衡位置處彈性勢能最大.(C)介質質元的振動動能和彈性勢能的相位在任一時刻都相同，但兩者數(shù)值不同.5、勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質量為m的小球按下圖所示的兩種方式連接，試分別討論它們作諧振動的振動周期．解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對于輕彈簧在任一時刻應有：設串聯(lián)彈簧的等效倔強系數(shù)為，等效位移為x，則有：其振動周期為：

設并聯(lián)彈簧的倔強系數(shù)為，則有：其振動周期為：

(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，應有：8.用旋轉矢量討論下列各題：（1）右圖為某諧振動x-t曲線，則初位相，P時刻的位相為＿＿＿＿＿，振動方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿。xP5.5x(m)t(s)--.P5.5x(m)t(s)--.P5.50.1x(2)某振動振幅為A，周期為T，設t＝T/4時，質點位移為x=，且向正方向運動。則振動的初位相為t=0因為設t＝T/4時，質點位移為

且向正方向運動，則此時質點必在第三象限由此可推出t=0時質點必在第二象限。例2.沿X軸負向傳播的平面簡諧波在t＝2秒時的波形曲線如圖所示，波速u＝0.5m/s，則原點O點的振動方程為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。y(m)x(m)-.P123、一列沿x正向傳播的簡諧波，已知t1=0時和t2=0.25s時的波形如圖所示。試求：

(1)P點的振動表式;(2)此波的波動表式;(3)畫出o點的振動曲線。x/cmoy/cm0.20.45ut1=0t2=0.25sP.A=0.2m

解:T=1s=4×0.25×0.4534=l=0.6mx/cmoy/cm0.20.45ut1=0t2=0.25sP.從圖可知：o點的振動表式由波形圖可判斷此波是右行波π2+π0.2tcos=2yOπ2+π0.2tcos=2yO或：實際上,因為p點向上運動,所以(2)求此波的波動表式(3)o點的振動曲線（圖略）(1)P點的振動表式例6.圖示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖求（1）波動方程（2)P處質點的振動方程。X.Pu=0.08m/s-0.040.02Y解：設原點處質點的振動方程為P點的振動方程取x=0.02代入波動方程4.一聲波振幅為0.1m,頻率為v=300Hz,在空氣中聲速為

u空

=300ms-1,水中聲速為

u水

=1500ms-1,聲波自水面