高數(shù)課件導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用舉例

§4.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一.邊際分析與彈性分析二.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用9/5/2023作者：郭健§4.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一.邊際分析與彈性分析8/3/1§4.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在工程、技術(shù)、科研、國(guó)防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用.下面介紹導(dǎo)數(shù)(或微分)在經(jīng)濟(jì)中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

邊際和彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要概念.用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際與彈性的方法,稱之為邊際分析與彈性分析.一.邊際分析與彈性分析9/5/2023作者：郭健§4.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在工程、技術(shù)、科研、21.邊際函數(shù)

定義1

經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把函數(shù)?(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為?(x)的邊際函數(shù).在點(diǎn)x0的值稱為?(x)在x0處的邊際值(或變化率、變化速度等).9/5/2023作者：郭健1.邊際函數(shù)定義1經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把函數(shù)?(x)的3

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常取Δx=1,就認(rèn)為Δx達(dá)到很小(再小無(wú)意義).故有

實(shí)際問(wèn)題中,略去“近似”二字,就得?(x)在x0處的邊際值.

經(jīng)濟(jì)意義:

即當(dāng)自變量x

在x0的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位時(shí),函數(shù)f(x)

的改變量.例1

某機(jī)械廠,生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件,假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)為9/5/2023作者：郭健在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常取Δx=1,就認(rèn)為Δx達(dá)到很小4求:(1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本;解

(1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí),總成本的平均改變量C(75)/75=106.08(元/件)(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí),總成本的平均改變量;(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本.C(75)=7956.25(元)9/5/2023作者：郭健求:(1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本;解(1)5(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本注當(dāng)銷售量為x,總利潤(rùn)為L(zhǎng)=L(x)時(shí),稱為銷售量為x時(shí)的邊際利潤(rùn),它近似等于銷售量為x時(shí)再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤(rùn).例2

某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是

求邊際利潤(rùn)函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是200公斤,250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤(rùn).并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.9/5/2023作者：郭健(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本注當(dāng)銷6解

(1)總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)–C(x)邊際利潤(rùn)函數(shù)為

(2)當(dāng)日產(chǎn)量分別是200公斤、250公斤和300公斤時(shí)的

其經(jīng)濟(jì)意義:

當(dāng)日產(chǎn)量為200公斤時(shí),再增加1公斤,則總利潤(rùn)可增加1元.當(dāng)日產(chǎn)量為250公斤時(shí),再增加1邊際利潤(rùn)分別是公斤,則總利潤(rùn)無(wú)增加.當(dāng)日產(chǎn)量為300公斤時(shí),再增加1公斤,則反而虧損1元.9/5/2023作者：郭健解(1)總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)–C(x)7結(jié)論:

當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超越了邊際利潤(rùn)的2.彈性

彈性是用來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化時(shí),所作出反映的強(qiáng)弱程度.即彈性是用來(lái)描述一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的相對(duì)變化率的一個(gè)量.,反而使企業(yè)無(wú)利可圖.零點(diǎn)時(shí)9/5/2023作者：郭健結(jié)論:當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超越了邊際利潤(rùn)的2.彈性8定義2

若函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0≠0的某鄰域內(nèi)有定義,分別為自變量x與?(x)在點(diǎn)x0處的相對(duì)增量.則稱Δx和Δy分別是x和y在點(diǎn)x0處的絕對(duì)增量,并稱定義3

設(shè)y=?(x)當(dāng)時(shí),極限則稱極限值為函數(shù)f(x)在

x0點(diǎn)處的彈性,記為9/5/2023作者：郭健定義2若函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0≠09

由彈性定義可知(1)若y=?(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).則它在x0處的彈性為(3)彈性是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)值,這一數(shù)值與計(jì)量單位無(wú)關(guān).的經(jīng)濟(jì)意義是：在x0處,當(dāng)x發(fā)生1％的改變,(4)彈性函數(shù)為則?(x)就會(huì)產(chǎn)生的改變.時(shí)，x與y的變化方向相同(相反).9/5/2023作者：郭健由彈性定義可知(1)若y=?(x)在點(diǎn)x010例3

當(dāng)a、b、k為常數(shù)時(shí),求下列函數(shù)的彈性函數(shù)及在點(diǎn)x=1處的點(diǎn)彈性,并闡述其經(jīng)濟(jì)意義.η(1)的經(jīng)濟(jì)意義是:函數(shù)?(x)在x=1處,

當(dāng)b>0時(shí),x

增加(或減少)1%,

當(dāng)b<0時(shí),x增加(或減少)1%,

解?(x)就增加(或減少)b%;?(x)就減少(或增加)–b%.9/5/2023作者：郭健例3當(dāng)a、b、k為常數(shù)時(shí),求下列函數(shù)的彈性函數(shù)及在點(diǎn)11例4

某日用消費(fèi)品需求量Q(件)與單價(jià)p(元)的關(guān)系為(2)當(dāng)單價(jià)分別是4元、4.35元、5元時(shí)的需求彈性.注任何需求函數(shù)對(duì)價(jià)格之彈性,均滿足(a是常數(shù)),求：(1)需求彈性函數(shù)(通常記作

);解9/5/2023作者：郭健例4某日用消費(fèi)品需求量Q(件)與單價(jià)p(元)的關(guān)系為(212

在商品經(jīng)濟(jì)中,商品經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的的是提價(jià)(Δp>

0)或降價(jià)(Δp<0)對(duì)總收益的影響.下面利用需求彈性的概念,可以得出價(jià)格變動(dòng)如何影響銷售收入的結(jié)論.9/5/2023作者：郭健在商品經(jīng)濟(jì)中,商品經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的的是提價(jià)(Δp13

(1)若(稱為高彈性)時(shí),則ΔR與Δp異號(hào).此時(shí),降價(jià)(Δp<0)將使收益增加;提價(jià)(Δp>0)將使收益減少;

(2)若(稱為低彈性)時(shí),則ΔR與Δp同號(hào).此時(shí),降價(jià)(Δp<0)將使收益減少;提價(jià)(Δp>0)將使收益增加;從而有結(jié)論:

(3)若(稱為單位彈性)時(shí),則.此時(shí),無(wú)論是降價(jià)還是提價(jià)均對(duì)收益沒(méi)有明顯的影響.9/5/2023作者：郭健(1)若(稱為高彈性)時(shí),則14

由此對(duì)例4而言:當(dāng)p=4時(shí),(低彈性),

當(dāng)p=4.35時(shí),(單位彈性),此時(shí),降價(jià)、提價(jià)對(duì)收益沒(méi)有明顯的影響;

當(dāng)p=5時(shí),

(高彈性),此時(shí)降價(jià)使收益增加;提價(jià)使收益減少.此時(shí)降價(jià)使收益減少;提價(jià)使收益增加;9/5/2023作者：郭健由此對(duì)例4而言:當(dāng)p=4時(shí),15例5

某商品的需求量為2660單位,需求價(jià)格彈性為–1.4.若該商品價(jià)格計(jì)劃上漲8%(假設(shè)其他條件不變),問(wèn)該商品的需求量會(huì)降低多少?解

設(shè)該商品的需求量為Q,在價(jià)格上漲時(shí)的改變量為

課后考慮:

用類似方法,對(duì)供給函數(shù)、成本函數(shù)等常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行彈性分析,以預(yù)測(cè)市場(chǎng)的飽和狀態(tài)及商品的價(jià)格變動(dòng)等.且ΔQ=Q–26609/5/2023作者：郭健例5某商品的需求量為2660單位,需求價(jià)格彈性為–16二.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)管理中,需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定獲得利潤(rùn)最大的一系列價(jià)格策略等.這些問(wèn)題都可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用.1.平均成本最小例6某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為x

(件)時(shí),生產(chǎn)成本函數(shù)(元)為

求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí),平均成本達(dá)到最小?并求出其最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本.9/5/2023作者：郭健二.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)管理中,需要尋17解且駐點(diǎn)唯一.唯一的極小值點(diǎn).平均成本達(dá)到最小，且最小平均成本為.9/5/2023作者：郭健解且駐點(diǎn)唯一.唯一的極小值點(diǎn).平均成本達(dá)到最小，且最小平均成182.最大利潤(rùn)

設(shè)總成本函數(shù)為C(x),總收益函數(shù)為R(x),其中x為產(chǎn)量,則在假設(shè)產(chǎn)量和銷量一致的情況下,總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)–C(x)而邊際成本函數(shù)為時(shí),相應(yīng)的邊際成本為顯然最小平均成本等于其相應(yīng)的邊際成本.9/5/2023作者：郭健2.最大利潤(rùn)設(shè)總成本函數(shù)為C(x),總收益函數(shù)19

假設(shè)產(chǎn)量為x0時(shí),利潤(rùn)達(dá)到最大,則由極值的必要條件和極值的第二充分條件,L(x0)必定滿足:

可見(jiàn),當(dāng)產(chǎn)量水平x=x0使得邊際收益等于邊際成本時(shí),可獲得最大利潤(rùn).9/5/2023作者：郭健假設(shè)產(chǎn)量為x0時(shí),利潤(rùn)達(dá)到最大,則由極值20

例7

某商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系p=7–0.2x(萬(wàn)元/噸),且x為銷售量(單位:噸)、商品的成本函數(shù)為

(1)若每銷售一噸商品,政府要征稅t(萬(wàn)元),求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量;(2)

t

為何值時(shí),政府稅收總額最大.解

(1)當(dāng)該商品的銷售量為x時(shí),商品銷售總收入為設(shè)政府征的總稅額為T,則有T=tx,且利潤(rùn)函數(shù)為C(x)=3x+1(萬(wàn)元)9/5/2023作者：郭健例7某商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系p=721(2)由(1)的結(jié)果知,政府稅收總額為顯然當(dāng)t=2時(shí),政府稅收總額最大.但須指出的是:為了使商家在納稅的情況下仍能獲得最大利潤(rùn),就應(yīng)使x=5/2(4–t)>0即

t滿足限制0<t<4.顯然t=2并未超出t的限制范圍.是使商家獲得最大利潤(rùn)的銷售量.且駐點(diǎn)唯一.得駐點(diǎn)9/5/2023作者：郭健(2)由(1)的結(jié)果知,政府稅收總額為顯然當(dāng)t=222

例8某家銀行,準(zhǔn)備新設(shè)某種定期存款業(yè)務(wù).假設(shè)存款量與利率成正比,經(jīng)預(yù)測(cè)貸款投資的收益率為16%,

那么存款利息定為多少時(shí),才能收到最大的貸款純收益?3.最佳存款利息解設(shè)存款利率為x,存款總額為M,M

=kx(k是正常數(shù))則由題意M與x成正比,得9/5/2023作者：郭健例8某家銀行,準(zhǔn)備新設(shè)某種定期存款業(yè)務(wù).23

若貸款總額為M,則銀行的貸款收益為故當(dāng)存款利率為8%時(shí),可創(chuàng)最高投資純收益.而這筆貸款M要付給存戶的利息為從而銀行的投資純收益為0.16M=0.16kx

9/5/2023作者：郭健若貸款總額為M,則銀行的貸款收益為故當(dāng)存款利率為824解設(shè)每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)為C,進(jìn)貨的批為x,則批量為個(gè),且4.最佳批量和批數(shù)

例9某廠年需某種零件8000個(gè),現(xiàn)分期分批外購(gòu),然后均勻投入使用(此時(shí)平均庫(kù)存量為批量的一半).若每次定貨的手續(xù)費(fèi)為40元,每個(gè)零件的庫(kù)存費(fèi)為4元.試求最經(jīng)濟(jì)的定貨批量和進(jìn)貨批數(shù).駐點(diǎn)x=209/5/2023作者：郭健解設(shè)每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)為C,進(jìn)貨的批4.最25

因而當(dāng)進(jìn)貨的批數(shù)為20批,即定貨批量為400個(gè)時(shí),每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)最少——最經(jīng)濟(jì).

企業(yè)在正常生產(chǎn)的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中,庫(kù)存是必要的,但庫(kù)存太多使資金積壓、商品陳舊變質(zhì)造成浪費(fèi).因此確定最適當(dāng)?shù)膸?kù)存量是很重要的.故駐點(diǎn)為極小值點(diǎn).9/5/2023作者：郭健因而當(dāng)進(jìn)貨的批數(shù)為20批,即定貨批量為4026

欲求的現(xiàn)在值的問(wèn)題稱為貼現(xiàn)(率)問(wèn)題.則一年結(jié)算m次,t年末的貼現(xiàn)凈額為5.最優(yōu)決策時(shí)間

準(zhǔn)備知識(shí):設(shè)A0

為初始本金(稱現(xiàn)值),r為年利率,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算,t年末的本利和記作At(稱總收入).則當(dāng)年