第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量

第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量第1頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.特征值與特征向量的定義定義1:注：設(shè)是階方陣，若數(shù)和維非零列向量，使得成立，則稱(chēng)

是方陣的一個(gè)特征值，為方陣的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量。1.定義2.求法3.性質(zhì)（2）特征向量是非零列向量（4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（3）方陣的與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一是方陣一.方陣的特征值與特征向量第2頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題：?jiǎn)挝痪仃嚨奶卣髦岛吞卣飨蛄?？?頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月或已知所以齊次線(xiàn)性方程組有非零解或定義2：數(shù)是關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣的特征多項(xiàng)式。2.特征值與特征向量的求法第4頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月稱(chēng)為矩陣的特征方程。求特征值、特征向量：把得到的特征值代入上式，求齊次線(xiàn)性方程組的非零解即為所求特征向量。求出即為特征值;第5頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值.第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線(xiàn)性方程組求非零解。第6頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第7頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值.第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線(xiàn)性方程組求非零解。例：求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次線(xiàn)性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣自由未知量:令得基礎(chǔ)解系:常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。第10頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：求矩陣的特征值和全部特征向量.第11頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第12頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第13頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值.例：求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線(xiàn)性方程組求非零解。第14頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次線(xiàn)性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣自由未知量:令得基礎(chǔ)解系:常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。第15頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次線(xiàn)性方程組為當(dāng)時(shí)，得基礎(chǔ)解系常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。

特征值λ的重?cái)?shù)kλ對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)≥？第16頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1：若的特征值是，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則的特征值是是任意常數(shù))的特征值是是正整數(shù))若可逆，則的特征值是的特征值是且仍然是矩陣分別對(duì)應(yīng)于的特征向量。為x的多項(xiàng)式，則的特征值為3.特征值和特征向量的性質(zhì)的特征值是是正整數(shù))的特征值是第18頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2：矩陣和的特征值相同。定理2：設(shè)階方陣的個(gè)特征值為則稱(chēng)為矩陣A的跡。（主對(duì)角元素之和）性質(zhì)3：冪等矩陣的特征值只有0或1。第19頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

：例：設(shè)解：（1）設(shè)為矩陣的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。求：（1）的特征值和特征向量。（2）求可逆矩陣，使得為對(duì)角陣。例：設(shè)矩陣的特征值為1,2,3，求的特征值和第20頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自由未知量:得基礎(chǔ)解系得第21頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自由未知量:得基礎(chǔ)解系第22頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月取第23頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月存在本題啟示:

問(wèn)題：矩陣是否唯一？矩陣是否唯一？2.提供了一種求的方法.其中為對(duì)角陣。1.通過(guò)求A的特征值,特征向量,有可能把A寫(xiě)成第24頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第25頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則定理：設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。如果各不相等，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)。即，方陣的屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)常數(shù)使得第26頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類(lèi)推之，有把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為Vandermonde行列式，當(dāng)各不相同時(shí)，該行列式的值不等于零，所以存在逆矩陣。第27頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等號(hào)兩邊同時(shí)右乘它的逆矩陣，有即又因?yàn)闉樘卣飨蛄?，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第28頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推廣線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第29頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例證由題知反證同一特征值的特征向量的線(xiàn)性組合仍是這一特征值的特征向量分屬不同特征值的特征向量的線(xiàn)性組合不是特征向量第30頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義：矩陣的主對(duì)角線(xiàn)元素之和