湖南省婁底市鈴山中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文測試題含解析

湖南省婁底市鈴山中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)f(x)=在[0，1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為(

)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.01 D.02參考答案：C【分析】根據(jù)隨機數(shù)表，依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論．【詳解】從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為16，08，02，14，07，02，01，04，其中第三個和第六個都是02，重復(fù)．可知對應(yīng)的數(shù)值為．16，08，02，14，07，01則第6個個體的編號為01．故選：C．【點睛】本題主要考查簡單隨機抽樣的應(yīng)用，正確理解隨機數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．3.已知，m、n是方程的兩個根，則的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.下列四個函數(shù)中，在(－∞,0]上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．參考答案：A對于選項A，函數(shù)的圖像的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以選項A是正確的．對于選項B，在上為增函數(shù)，所以選項B是錯誤的．對于選項C，在上為增函數(shù)，所以選項C是錯誤的．對于選項D，，當(dāng)時，沒有意義，所以選項D是錯誤的．故選A．5.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①f（x）=sinxcosx；②f（x）=2sin（x+）；③f（x）=sinx+cosx；

④f（x）=sin2x+1．其中“同簇函數(shù)”的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④參考答案：C【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】計算題；新定義；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，能構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)的圖象形狀和大小都相同，可得它們的周期和振幅必定相同．因此將各項中函數(shù)的周期與振幅求出并加以比較，即可得到本題的答案．【解答】解：∵構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能夠重合，∴能構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)的圖象形狀和大小都相同，可得它們的周期和振幅必定相同因此，將各個函數(shù)化簡整理，得①f（x）=sinxcosx=sin2x，周期為π，振幅是；②f（x）=2sin（x+）的周期為2π，振幅為2；③f（x）=sinx+cosx=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+），周期為2π，振幅為2；④f（x）=sin2x+1的周期為π，振幅為．由此可得，②③的兩個函數(shù)的周期和振幅都相同，它們是“同簇函數(shù)”故選：C【點評】本題給出“同簇函數(shù)”的定義，要我們從幾個函數(shù)中找出符合題意的函數(shù)，著重考查了三角函數(shù)的恒等變形，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值為（）A.5 B. C.3 D.參考答案：D分析】化簡函數(shù)f（x）＝acosx+sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關(guān)于直線對稱，就是時，函數(shù)取得最值，求出a即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其圖象關(guān)于直線對稱，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案為：D7.經(jīng)過點，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有（

）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條參考答案：C【分析】若直線過原點，可知滿足題意；直線不過原點時，利用直線截距式，代入點的坐標(biāo)求得方程，從而得到結(jié)果.【詳解】若直線過原點，則過的直線方程為：，滿足題意若直線不過原點，設(shè)直線為：代入，解得：

直線方程為：滿足題意的直線有條本題正確選項：【點睛】本題考查在坐標(biāo)軸截距相等的直線的求解，易錯點是忽略直線過原點的情況.8.已知圓柱的軸截面為正方形，且該圓柱的側(cè)面積為36π，則該圓柱的體積為A.27π B.36π C.54π D.81π參考答案：C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑，該圓柱的高為，利用側(cè)面積得到半徑，再計算體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑.因為圓柱的軸截面為正方形，所以該圓柱的高為因為該圓柱的側(cè)面積為，所以，解得，故該圓柱的體積為.故答案選C【點睛】本題考查了圓柱的體積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.9.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，若將f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短來原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）A．y=sin（4x+） B．y=sin（4x+） C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）參考答案：A【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】首先根據(jù)函數(shù)的圖象確定確定A，ω，?的值，進(jìn)一步利用函數(shù)圖象的平移變換求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象：A=1，則：T=π利用解得：?=k（k∈Z）由于|?|＜所以：?=求得：f（x）=將f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短來原來的倍（縱標(biāo)不變）g（x）=故選：A10.已知logx16=2，則x等于（）A．±4 B．4 C．256 D．2參考答案：B【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化，由logx16=2得，x2=16，解出即可．【解答】解：由logx16=2得，x2=16，又x＞0，所以x=4．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l方程為_______________.參考答案：或【分析】分類討論直線是否過原點確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為：或．【點睛】本題主要考查直線方程的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.已知函數(shù)f（x）＝ax﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，則A的坐標(biāo)為_____．參考答案：(2,－3)【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像恒過點(0,1)，令可得,可得,從而得恒過點的坐標(biāo).【詳解】∵函數(shù)，其中，

令可得,

∴,

∴點的坐標(biāo)為，

故答案為:．【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)：圖像恒過定點，運用整體代換值的方法是本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13.若關(guān)于x的不等式有解，則實數(shù)a的取值范圍為________.參考答案：【分析】利用判別式可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解等價于有解，所以，故或，填.【點睛】本題考查一元二次不等式有解問題，屬于基礎(chǔ)題.14.若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是

.參考答案：略15.某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的重量(kg)與其運費(元)由圖所示的函數(shù)圖象確定，那么乘客免費可攜帶行李的最大重量為

參考答案：略16.已知數(shù)列{an}的圖像是函數(shù)圖像上，當(dāng)x取正整數(shù)時的點列，則其通項公式為

。參考答案：略17.在△ABC中，若b2=ac，則cos（A﹣C）+cosB+cos2B的值是

．參考答案：1【考點】HP：正弦定理；GP：兩角和與差的余弦函數(shù)；GT：二倍角的余弦．【分析】由正弦定理可知，sin2B=sinAsinC，利用三角形的內(nèi)角和，兩角和與差的三角函數(shù)化簡cos（A﹣C）+cosB+cos2B，然后利用二倍角公式化簡即可．【解答】解：∵b2=ac，利用正弦定理可得sin2B=sinAsinC．∴cos（A﹣C）+cosB+cos2B=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）+cos2B=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+（1﹣2sin2B）=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，在△ABC中，，，點D是BC的中點．（I）求證：；（II）直線l過點D且垂直于BC，E為l上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；（III）如圖2，若，F(xiàn)為線段AD上的任意一點，求的范圍．參考答案：【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】（I）延長AD到A1使得AD=DA1，連接CA1，A1B，證明四邊形ACA1B是平行四邊形，即可證明：；（II）證明?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，即可得出：為常數(shù)，并求該常數(shù)；（III）確定?（+）=2x（﹣x），利用基本不等式，求的范圍．【解答】（I）證明：延長AD到A1使得AD=DA1，連接CA1，A1B，∵D是BC的中點，∴四邊形ACA1B是平行四邊形，∴=+，∵；（II）證明：∵=+，∴?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，∵DE⊥BC，∴?=0，∵?=（）=，∴?（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，∴||==，同理+=2，∴?（+）=?2=||?||，設(shè)||=x，則||=﹣x（0），∴?（+）=2x（﹣x）≤2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號，∴?（+）∈（0，1]．19.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度.（1）求函數(shù)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；（2）已知關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解、.（i）求實數(shù)m的取值范圍；（ii）證明：.參考答案：(1),的對稱軸方程為.(2)（i）,（ii）證明見解析.解法一：（1）將的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為（2）1）（其中）依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.2）因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，所以，.當(dāng)時，當(dāng)時,所以解法二：（1）同解法一.（2）1）同解法一.2）因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，所以，.當(dāng)時，當(dāng)時,所以于是考點：1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式．20.已知函數(shù)f（x）=+x，x∈[3，5]．（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義證明；（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性來求特定區(qū)間上的最值問題；【解答】解：（1）證明：設(shè)任意變量x1，x2且3＜x1＜x2＜5f（x1）﹣f（x2）===；∵3＜x1＜x2＜5∴x1x2＞0，x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴函數(shù)f（x）為x∈[3，5]增函數(shù)．（2）由（1）知函數(shù)f（x）為x∈[3，5]增函數(shù)；∴21.已知圓心為的圓經(jīng)過原點O．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點，求△ABC的面積．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）12.【分析】（Ⅰ）由已知可求出圓的半徑，把圓心的坐標(biāo)和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中即可；（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，可以求出弦心距，再利用垂徑定理、勾股定理，可以求出弦的長，最后求出的面積．【詳解】（Ⅰ）解：圓的半徑為，從而圓的方程為．（Ⅱ）解：作于，則平分線段．在直角三角形中，由點到直線的距離公式，得，所以．所以．所以△的面積．【點睛】本題考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線距離公式、垂徑定理、勾股定理，考查了數(shù)學(xué)運算能力.22.