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湖南省婁底市鈴山中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)f(x)=在[0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略2.總體由編號為01,02,…,19,20的20個個體組成,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為(
)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.01 D.02參考答案:C【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表,依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為16,08,02,14,07,02,01,04,其中第三個和第六個都是02,重復(fù).可知對應(yīng)的數(shù)值為.16,08,02,14,07,01則第6個個體的編號為01.故選:C.【點睛】本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用,正確理解隨機(jī)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).3.已知,m、n是方程的兩個根,則的大小關(guān)系是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C4.下列四個函數(shù)中,在(-∞,0]上為減函數(shù)的是(
)A. B.C. D.參考答案:A對于選項A,函數(shù)的圖像的對稱軸為,開口向上,所以函數(shù)在上為減函數(shù),所以選項A是正確的.對于選項B,在上為增函數(shù),所以選項B是錯誤的.對于選項C,在上為增函數(shù),所以選項C是錯誤的.對于選項D,,當(dāng)時,沒有意義,所以選項D是錯誤的.故選A.5.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合,則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”.給出下列函數(shù):①f(x)=sinxcosx;②f(x)=2sin(x+);③f(x)=sinx+cosx;
④f(x)=sin2x+1.其中“同簇函數(shù)”的是()A.①② B.①④ C.②③ D.③④參考答案:C【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;函數(shù)的圖象與圖象變化.【專題】計算題;新定義;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,能構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)的圖象形狀和大小都相同,可得它們的周期和振幅必定相同.因此將各項中函數(shù)的周期與振幅求出并加以比較,即可得到本題的答案.【解答】解:∵構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能夠重合,∴能構(gòu)成“同簇函數(shù)”的兩個函數(shù)的圖象形狀和大小都相同,可得它們的周期和振幅必定相同因此,將各個函數(shù)化簡整理,得①f(x)=sinxcosx=sin2x,周期為π,振幅是;②f(x)=2sin(x+)的周期為2π,振幅為2;③f(x)=sinx+cosx=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),周期為2π,振幅為2;④f(x)=sin2x+1的周期為π,振幅為.由此可得,②③的兩個函數(shù)的周期和振幅都相同,它們是“同簇函數(shù)”故選:C【點評】本題給出“同簇函數(shù)”的定義,要我們從幾個函數(shù)中找出符合題意的函數(shù),著重考查了三角函數(shù)的恒等變形,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是,則的值為()A.5 B. C.3 D.參考答案:D分析】化簡函數(shù)f(x)=acosx+sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式,利用圖象關(guān)于直線對稱,就是時,函數(shù)取得最值,求出a即可.【詳解】函數(shù)f(x)=acosx+sinxsin(x+θ),其中tanθ=a,,其圖象關(guān)于直線對稱,所以θ,θ,所以tanθ=a,故答案為:D7.經(jīng)過點,并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有(
)A.0條 B.1條 C.2條 D.3條參考答案:C【分析】若直線過原點,可知滿足題意;直線不過原點時,利用直線截距式,代入點的坐標(biāo)求得方程,從而得到結(jié)果.【詳解】若直線過原點,則過的直線方程為:,滿足題意若直線不過原點,設(shè)直線為:代入,解得:
直線方程為:滿足題意的直線有條本題正確選項:【點睛】本題考查在坐標(biāo)軸截距相等的直線的求解,易錯點是忽略直線過原點的情況.8.已知圓柱的軸截面為正方形,且該圓柱的側(cè)面積為36π,則該圓柱的體積為A.27π B.36π C.54π D.81π參考答案:C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑,該圓柱的高為,利用側(cè)面積得到半徑,再計算體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑.因為圓柱的軸截面為正方形,所以該圓柱的高為因為該圓柱的側(cè)面積為,所以,解得,故該圓柱的體積為.故答案選C【點睛】本題考查了圓柱的體積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,若將f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短來原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)的解析式為()A.y=sin(4x+) B.y=sin(4x+) C.y=sin(x+) D.y=sin(x+)參考答案:A【考點】正弦函數(shù)的圖象.【分析】首先根據(jù)函數(shù)的圖象確定確定A,ω,?的值,進(jìn)一步利用函數(shù)圖象的平移變換求出結(jié)果.【解答】解:根據(jù)函數(shù)的圖象:A=1,則:T=π利用解得:?=k(k∈Z)由于|?|<所以:?=求得:f(x)=將f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短來原來的倍(縱標(biāo)不變)g(x)=故選:A10.已知logx16=2,則x等于()A.±4 B.4 C.256 D.2參考答案:B【考點】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【分析】利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化,由logx16=2得,x2=16,解出即可.【解答】解:由logx16=2得,x2=16,又x>0,所以x=4.故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l方程為_______________.參考答案:或【分析】分類討論直線是否過原點確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點時,設(shè)直線方程為,則,直線方程為,即,當(dāng)直線不經(jīng)過原點時,直線的斜率為,直線方程為,整理可得:.故答案為:或.【點睛】本題主要考查直線方程的求解,分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.已知函數(shù)f(x)=ax﹣2﹣4(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A,則A的坐標(biāo)為_____.參考答案:(2,-3)【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像恒過點(0,1),令可得,可得,從而得恒過點的坐標(biāo).【詳解】∵函數(shù),其中,
令可得,
∴,
∴點的坐標(biāo)為,
故答案為:.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì):圖像恒過定點,運(yùn)用整體代換值的方法是本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.13.若關(guān)于x的不等式有解,則實數(shù)a的取值范圍為________.參考答案:【分析】利用判別式可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解等價于有解,所以,故或,填.【點睛】本題考查一元二次不等式有解問題,屬于基礎(chǔ)題.14.若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是
.參考答案:略15.某航空公司規(guī)定,乘客所攜帶行李的重量(kg)與其運(yùn)費(元)由圖所示的函數(shù)圖象確定,那么乘客免費可攜帶行李的最大重量為
參考答案:略16.已知數(shù)列{an}的圖像是函數(shù)圖像上,當(dāng)x取正整數(shù)時的點列,則其通項公式為
。參考答案:略17.在△ABC中,若b2=ac,則cos(A﹣C)+cosB+cos2B的值是
.參考答案:1【考點】HP:正弦定理;GP:兩角和與差的余弦函數(shù);GT:二倍角的余弦.【分析】由正弦定理可知,sin2B=sinAsinC,利用三角形的內(nèi)角和,兩角和與差的三角函數(shù)化簡cos(A﹣C)+cosB+cos2B,然后利用二倍角公式化簡即可.【解答】解:∵b2=ac,利用正弦定理可得sin2B=sinAsinC.∴cos(A﹣C)+cosB+cos2B=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)+cos2B=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+(1﹣2sin2B)=1.故答案為:1.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖1,在△ABC中,,,點D是BC的中點.(I)求證:;(II)直線l過點D且垂直于BC,E為l上任意一點,求證:為常數(shù),并求該常數(shù);(III)如圖2,若,F(xiàn)為線段AD上的任意一點,求的范圍.參考答案:【考點】向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】(I)延長AD到A1使得AD=DA1,連接CA1,A1B,證明四邊形ACA1B是平行四邊形,即可證明:;(II)證明?(﹣)=(+)?(﹣)=?+?,即可得出:為常數(shù),并求該常數(shù);(III)確定?(+)=2x(﹣x),利用基本不等式,求的范圍.【解答】(I)證明:延長AD到A1使得AD=DA1,連接CA1,A1B,∵D是BC的中點,∴四邊形ACA1B是平行四邊形,∴=+,∵;(II)證明:∵=+,∴?(﹣)=(+)?(﹣)=?+?,∵DE⊥BC,∴?=0,∵?=()=,∴?(﹣)=(III)解:△ABC中,||=2,||=1,cosA=,,∴||==,同理+=2,∴?(+)=?2=||?||,設(shè)||=x,則||=﹣x(0),∴?(+)=2x(﹣x)≤2=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號,∴?(+)∈(0,1].19.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到:先將圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度.(1)求函數(shù)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解、.(i)求實數(shù)m的取值范圍;(ii)證明:.參考答案:(1),的對稱軸方程為.(2)(i),(ii)證明見解析.解法一:(1)將的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到的圖像,再將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像,故,從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為(2)1)(其中)依題意,在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解當(dāng)且僅當(dāng),故m的取值范圍是.2)因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解,所以,.當(dāng)時,當(dāng)時,所以解法二:(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解,所以,.當(dāng)時,當(dāng)時,所以于是考點:1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì);2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式.20.已知函數(shù)f(x)=+x,x∈[3,5].(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f(x)的單調(diào)性;(2)根據(jù)函數(shù)的增減性來求特定區(qū)間上的最值問題;【解答】解:(1)證明:設(shè)任意變量x1,x2且3<x1<x2<5f(x1)﹣f(x2)===;∵3<x1<x2<5∴x1x2>0,x2﹣x1>0,1﹣x1x2<0;∴f(x1)<f(x2);∴函數(shù)f(x)為x∈[3,5]增函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)f(x)為x∈[3,5]增函數(shù);∴21.已知圓心為的圓經(jīng)過原點O.(Ⅰ)求圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線與圓C交于A,B兩點,求△ABC的面積.參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)12.【分析】(Ⅰ)由已知可求出圓的半徑,把圓心的坐標(biāo)和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(Ⅱ)利用點到直線的距離公式,可以求出弦心距,再利用垂徑定理、勾股定理,可以求出弦的長,最后求出的面積.【詳解】(Ⅰ)解:圓的半徑為,從而圓的方程為.(Ⅱ)解:作于,則平分線段.在直角三角形中,由點到直線的距離公式,得,所以.所以.所以△的面積.【點睛】本題考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點到直線距離公式、垂徑定理、勾股定理,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22.
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