經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理課件

第三章微分中值定理第一節(jié)中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小結(jié)思考題第三章微分中值定理1一、羅爾(Rolle)定理例如,一、羅爾(Rolle)定理例如,2點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.幾何解釋:點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬3證證4經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件5注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.6例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,7二、拉格朗日(Lagrange)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理8幾何解釋:證分析:弦AB方程為幾何解釋:證分析:弦AB方程為9作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一10拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增11例2證例2證12例3證由上式得例3證由上式得13三、柯西(Cauchy)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理14幾何解釋:證作輔助函數(shù)幾何解釋:證作輔助函數(shù)15經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件16例4證分析:結(jié)論可變形為例4證分析:結(jié)論可變形為17四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.四、小結(jié)RolleLagrangeCauchy羅爾定理、拉格18思考題試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.思考題試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不19思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；以上兩個(gè)都可說明問題.思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微20練習(xí)題練習(xí)題21經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件22經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件23練習(xí)題答案練習(xí)題答案24第二節(jié)洛必達(dá)法則三、小結(jié)第二節(jié)洛必達(dá)法則三、小結(jié)25定義例如,定義例如,26定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確27證定義輔助函數(shù)則有證定義輔助函數(shù)則有28經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件29例1解例2解例1解例2解30例3解例4解例3解例4解31例5解例5解32注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6解注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法33例7解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.步驟:例7解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型34例8解步驟:例8解步驟:35步驟:例9解步驟:例9解36例10解例11解例10解例11解37例12解極限不存在洛必達(dá)法則失效。注意：洛必達(dá)法則的使用條件．例12解極限不存在洛必達(dá)法則失效。注意：洛必達(dá)法則的使用條件38三、小結(jié)洛必達(dá)法則三、小結(jié)洛必達(dá)法則39思考題思考題40思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．41練習(xí)題練習(xí)題42經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件43經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件44練習(xí)題答案練習(xí)題答案45

第三節(jié)

泰勒(Taylor)定理一、問題的提出二、Pn和Rn的確定三、泰勒中值定理四、簡單應(yīng)用五、小結(jié)思考題第三節(jié)泰勒(Taylor)定理46一、問題的提出（如下圖）一、問題的提出（如下圖）47經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件48不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).49分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好150經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件51三、泰勒(Taylor)中值定理三、泰勒(Taylor)中值定理52證明:證明:53經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件54經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件55拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)56注意:注意:57麥克勞林(Maclaurin)公式麥克勞林(Maclaurin)公式58四、簡單的應(yīng)用解代入公式,得四、簡單的應(yīng)用解代入公式,得59由公式可知估計(jì)誤差其誤差由公式可知估計(jì)誤差其誤差60常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式61解解62播放五、小結(jié)播放五、小結(jié)63播放播放64思考題利用泰勒公式求極限思考題利用泰勒公式求極限65思考題解答思考題解答66練習(xí)題練習(xí)題67練習(xí)題答案練習(xí)題答案68五、小結(jié)五、小結(jié)69五、小結(jié)五、小結(jié)70五、小結(jié)五、小結(jié)71五、小結(jié)五、小結(jié)72五、小結(jié)五、小結(jié)73經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件74經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件75經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件76經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件77經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件78經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件79經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件80經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件81經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件82經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件83經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件84經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件85經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件86經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件87經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件88經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件89第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定法一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間求法三、小結(jié)思考題第四節(jié)90一、單調(diào)性的判別法定理一、單調(diào)性的判別法定理91證應(yīng)用拉氏定理,得證應(yīng)用拉氏定理,得92例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)93二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但94例2解單調(diào)區(qū)間為例2解單調(diào)區(qū)間為95例3解單調(diào)區(qū)間為例3解單調(diào)區(qū)間為96例4證注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4證注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,97三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)98思考題思考題99思考題解答不能斷定.例但思考題解答不能斷定.例但100當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意可以任意大，故在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，當(dāng)101練習(xí)題練習(xí)題102經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件103練習(xí)題答案練習(xí)題答案104經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件105第五節(jié)函數(shù)極值及其求法一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法三、小結(jié)思考題第五節(jié)106一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義107定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極108二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,109定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)110求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)111例1解列表討論極大值極小值例1解列表討論極大值極小值112圖形如下圖形如下113定理3(第二充分條件)證同理可證(2).定理3(第二充分條件)證同理可證(2).114例2解圖形如下例2解圖形如下115注意:注意:116例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).117三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值118思考題下命題正確嗎？思考題下命題正確嗎？119思考題解答不正確．例思考題解答不正確．例120在–1和1之間振蕩故命題不成立．在–1和1之間振蕩故命題不成立．121練習(xí)題練習(xí)題122經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件123練習(xí)題答案練習(xí)題答案124第六節(jié)最大值、最小值問題

一、最值的求法二、應(yīng)用舉例三、小結(jié)思考題第六節(jié)125一、最值的求法一、最值的求法126步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的127二、應(yīng)用舉例例1解計(jì)算二、應(yīng)用舉例例1解計(jì)算128比較得比較得129點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河的北岸A處以1130解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)131實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;132例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)133（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為134點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例4點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例4135解如圖,解如圖,136解得解得137三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟.三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念138思考題思考題139思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在有最小值，但思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在140練習(xí)題練習(xí)題141經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件142經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件143練習(xí)題答案練習(xí)題答案144第七節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn)一、曲線凹凸的定義二、曲線凹凸的判定三、曲線的拐點(diǎn)及其求法四、小結(jié)思考題第七節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn)145一、曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方一、曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧146定義定義147二、曲線凹凸的判定定理1二、曲線凹凸的判定定理1148例1解注意到,例1解注意到,149三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1、定義注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.2、拐點(diǎn)的求法證三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1、定義注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿150方法1:方法1:151例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)152經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分中值定理ppt課件153方法2:例3解方法2:例3解154注意:注意:155例4解例4解156四、小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法1,2.四、小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);157思考題思考題158思考題解答例思考題解答例159練習(xí)題