2021年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊教學(xué)生（全冊）

11.1與三角形有關(guān)的線段

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解三角形的概念，認(rèn)識(shí)三角形的頂點(diǎn)、邊、角，會(huì)數(shù)三角形的個(gè)數(shù).（重點(diǎn)）

2.能利用三角形的三邊關(guān)系判斷三條線段能否構(gòu)成三角形.（重點(diǎn)）

3.三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

出示金字塔、戰(zhàn)機(jī)、大橋等圖片，讓學(xué)生感受生活中的三角形，體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué).

教師利用多媒體演示三角形的形成過程，讓學(xué)生觀察.

問：你能不能給三角形下一個(gè)完整的定義？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：三角形的概念

硒1圖中的銳角三角形有（)

A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)

解析：（1）以/為頂點(diǎn)的銳角三角形有共2個(gè)；（2）以￡為頂點(diǎn)的銳角三角

形有△曲。共1個(gè).所以圖中銳角三角形的個(gè)數(shù)有2+1=3（個(gè)）.故選B.

方法總結(jié)：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，可以按照數(shù)線段條數(shù)的方法，如果一條線段上有〃個(gè)點(diǎn)，那

么就有乙誓D-條線段，也可以與線段外的一點(diǎn)組成f112-個(gè)三角形.

乙乙

探究點(diǎn)二：三角形的三邊關(guān)系

［類型一］判定三條線段能否組成三角形

加以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cm

B.5cm,6cm,10cm

C.1cm,1cm,3cm

D.3cm,4cm,9cm

解析：選項(xiàng)A中2+3=5,不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中5+6>10,能組成

三角形，故此選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C中1+1V3,不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中3+4

<9,不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.

方法總結(jié)：判定三條線段能否組成三角形，只要判定兩條較短的線段長度之和大于第三條

線段的長度即可.

［類型二］判斷三角形邊的取值范圍

加一個(gè)三角形的三邊長分別為4,7,x,那么x的取值范圍是（）

A.3<^<11B.4<x<7

C.-3<%<11D.%>3

解析：1?三角形的三邊長分別為4,7,x,...7—4Vx<7+4,即3<xVlL故選A.

方法總結(jié)：判斷三角形邊的取值范圍要同時(shí)運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

邊.有時(shí)還要結(jié)合不等式的知識(shí)進(jìn)行解決.

［類型三］等腰三角形的三邊關(guān)系

?已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為4和9,求這個(gè)三角形的周長.

解析：先根據(jù)等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)可得出第三邊長的兩種情況，再根據(jù)兩邊和大于

第三邊來判斷能否構(gòu)成三角形，從而求解.

解：根據(jù)題意可知等腰三角形的三邊可能是4,4,9或4,9,9,：4+4<9,故4,4,9

不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去；4+9>9,故4,9,9能構(gòu)成三角形，，它的周長是4+9+9=22.

方法總結(jié)：在求三角形的邊長時(shí)，要注意利用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證所求出的邊長能否組

成三角形.

［類型四］三角形三邊關(guān)系與絕對值的綜合

（例?若a,b,c是。的三邊長，化簡—b—c\+b—c—a+|c+a—b\.

解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對值

里的式子的正負(fù)，然后去絕對值符號(hào)進(jìn)行計(jì)算即可.

解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，得a-b-c<0,b—c—a<0,c+a

-b>Q.a—b-c+）b—c-a\+c+a-6=6+c—a+c+a-b+c+a-Z7=3c+a-b.

方法總結(jié)：絕對值的化簡首先要判斷絕對值符號(hào)里面的式子的正負(fù)，然后根據(jù)絕對值的性

質(zhì)將絕對值的符號(hào)去掉，最后進(jìn)行化簡.此類問題就是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷絕對值符

號(hào)里面式子的正負(fù)，然后進(jìn)行化簡.

三、板書設(shè)計(jì)

三角形的邊

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形.

兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

教學(xué)目標(biāo):

i.掌握三角形的高、中線和角平分線的定義，并能夠?qū)ζ溥M(jìn)行簡單的應(yīng)用.（重點(diǎn)）

2.能夠準(zhǔn)確的畫出三角形的高、中線和角平分線.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

這里有一塊三角形的蛋糕，如果兄弟兩個(gè)想要平分的話，你該怎么辦呢？本節(jié)我們一起來

解決這個(gè)問題.一

［類型一］三角形高的畫法

頤1畫△4%的邊上的高，下列畫法中，正確的是（）

AC

C

解析：三角形的高即從三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段.根據(jù)概念可知.

解：過點(diǎn)。作邊4?的垂線段，即畫4?邊上的高必，所以畫法正確的是D.故選D.

方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：（1）過該邊所對的頂點(diǎn)；（2）垂足必須在該邊

或在該邊的延長線上.

［類型二］根據(jù)三角形的面積求高

BDC

m如圖所示，在△/比中，AB=AC=5,BC=6,ADLBC于點(diǎn)D,且47=4,若點(diǎn)〃在邊

ZC上移動(dòng)，則郎的最小值為

解析：根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)出讓力。時(shí)，彼有最小值.由的面積公式可知?比

乙

124

=-BP-AC,解得價(jià)=工.

zo

方法總結(jié)：解答此題可利用面積相等作橋梁（但不求面積）求三角形的高，這種解題方法通

常稱為“面積法

探究點(diǎn)二：三角形的中線

［類型_］應(yīng)用三角形的中線求線段的長

m在△466'中，47=5cm,49是的中線，若的周長比的周長大2cm,

貝|]BA=

解析：如圖，:49是△力aI的中線，.?.加=修，，△生隊(duì)的周長一△四C的周長=（%+如

+AD)-(AC+A/)+CD)=BA~AC,二的一5=2,二為=7cm.

方法總結(jié)：通過本題要理解三角形的中線的定義，解決問題的關(guān)鍵是將△/如與△4%的

周長之差轉(zhuǎn)化為邊長的差.

［類型二］利用中線解決三角形的面積問題

m如圖，在△力比中，￡是加上的一點(diǎn)，紀(jì)=2%點(diǎn)〃是”的中點(diǎn)，設(shè)△/EC,XADF

和的面積分別為S2ABC,五力〃”和啊?，且見彼=12,則5kd〃尸一S&BEF=

解析：???點(diǎn)〃是力。的中點(diǎn)，???/〃=%CV5k^=12,A5k^=^,^；=1xi2=6.\EC=2BEy

==

S/\ABC12,??124..S^ABO—S^AB￡=（乂陰■+SAAB）—（8腑+S&BQ=5kw—S^BEFI

即S&ADF—S&BEF=S&ABD-S&ABE=6—4=2.故答案為2.

方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊

的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比.

探究點(diǎn)三：三角形的角平分線

就3如圖，已知：49是△49C的角平分線，6F是△45C的高，ZBAC=60°,/BCE=40°,

求//龐的度數(shù).

解析：根據(jù)/〃是△力比的角平分線，乙以"60°,得出/物/7=30°,再利用CE是叢ABC

的高，/BCE=40°,得出N8的度數(shù)，進(jìn)而得出NZ如的度數(shù).

解：是加1的角平分線，/物。=60°，:?/DAC=/BAD=3G°.'：CE是AABC的高,

N66F=40°,：.Z5=50°,：.ZADB=18Q°—N3—/胡〃=180°-50°-30°=100°.

方法總結(jié)：通過本題要靈活掌握三角形的角平分線的表示方法，同時(shí)此類問題往往和三角

形的高綜合考查.

三、板書設(shè)計(jì)

三角形的高、中線與角平分線

1.三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角

形的高.

2.三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

3.三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，連接這個(gè)角的頂

點(diǎn)與交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線.

11.1.3三角形的穩(wěn)定性1

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過觀察、感悟三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.（重點(diǎn)）

2.三角形的穩(wěn)定性在生活、生產(chǎn)中的實(shí)際應(yīng)用.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

一天數(shù)學(xué)小博士聽到三角形和四邊形在一起爭論“有穩(wěn)定性好還是沒有穩(wěn)定性好？”先聽

它們是怎么說的.

三角形：“具有穩(wěn)定性的我最好，因?yàn)槲依喂蹋灰鬃冃?，所以我最受歡迎，不像你四邊

形，你沒有堅(jiān)定的立場！”

四邊形：''靈活性強(qiáng)，可伸可縮，我的這些優(yōu)點(diǎn)比起你三角形那呆板、簡單、一成不變的

形式不知有多優(yōu)越！”

三角形：“我廣泛應(yīng)用于人類的生產(chǎn)生活中，如三角尺、鋼架橋、起重機(jī)、屋頂?shù)匿摷埽?/p>

我的用途大！”

四邊形：“我的用途廣，像活動(dòng)衣架、縮放尺、活動(dòng)鐵門等，人類的生活因?yàn)槲叶S富多

彩！”

假如你是數(shù)學(xué)小博士，你會(huì)如何來調(diào)解它們的爭論？

二、合作探究

探究點(diǎn)：三角形的穩(wěn)定性

［類型一］三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用

頤1要使四邊形木架（用4根木條釘成）不變形，至少需要加釘1根木條固定，要使五邊

形木架不變形，至少需要加2根木條固定，要使六邊形木架不變形，至少需要加3根木條固定，…,

那么要使一個(gè)〃邊形木架不變形，至少需要幾根木條固定？

解析：由于多邊形（三邊以上的）不具有穩(wěn)定性，將其轉(zhuǎn)化為三角形后木架的形狀就不變

了.根據(jù)具體多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的經(jīng)驗(yàn)及題中所加木條可找到一般規(guī)律.

解：過〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作5—3）條對角線，把多邊形分成（〃一2）個(gè)三角形，所以，

要使一個(gè)A邊形木架不變形，至少需要（〃一3）根木條固定.

方法總結(jié)：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形時(shí)，所需要的木條根數(shù)，可從具體到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

然后驗(yàn)證求解.

［類型二］四邊形的不穩(wěn)定性

大家經(jīng)常看到有些學(xué)校、小區(qū)的大門都使用了伸縮門，它常常做成四邊形的形狀,

你知道這是為什么嗎？

解析：從四邊形特性的角度考慮.

解：伸縮門做成四邊形的形狀，是利用四邊形易變形這一特性.

方法總結(jié)：四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形，我們生活中的很多實(shí)例都利用了這一性質(zhì),

注意在日常生活中積累這方面的經(jīng)驗(yàn).

三、板書設(shè)計(jì)

三角形的穩(wěn)定性

1.三角形具有穩(wěn)定性

2.四邊形沒有穩(wěn)定性

3.三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用

4.四邊形的不穩(wěn)定性的應(yīng)用

11.2.1三角形的內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo):

i.理解三角形內(nèi)角和定理及其證明方法.（難點(diǎn)）

2.能用三角形的內(nèi)角和定理解決一些簡單問題.（重點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

多媒體展示：（三兄弟之爭）在一個(gè)直角三角形村莊里，住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)它們非常團(tuán)結(jié)，

有一天，老三不高興了，對老大說：''憑什么你的度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”老大說：“這

是不可能的，否則我們這個(gè)家就要被拆散，圍不起來了！為什么呢？“老二、老三納悶起來……

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：三角形的內(nèi)角和

［類型一］求三角形內(nèi)角的度數(shù)

頹I已知，如圖，。是△力比1中/邊延長線上一點(diǎn)，DFLAB交AB于F,交4C于其若N

4=46°,=50。.求的度數(shù).

解析：在Rt△力乃中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得N8的度數(shù)，再在中求

的度數(shù)即可.

解：在△板中，'：DFVAB,：.ADFB=^°.VZZ?=50°,/板+N〃+N6=180°,

.?.N6=40°.在中，：/4=46°,Z5=40°,/.Z/JC^=180°—N4—N8=94°.

方法總結(jié)：求三角形的內(nèi)角，必然和三角形內(nèi)角和定理有關(guān)，解決問題時(shí)要根據(jù)圖形特點(diǎn)，

在不同的三角形中，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解.

［類型二］判斷三角形的形狀

阿a一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3,這個(gè)三角形一定是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.無法判定

解析：設(shè)這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是x,2x,3x,根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,

得x+2x+3x=180°,解得x=30°,.?.這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是30°,60°,

90°,即這個(gè)三角形是直角三角形.故選A.

方法總結(jié)：在解決有關(guān)比例問題時(shí)，通常先設(shè)比例系數(shù)，然后列方程求解.

［類型三］三角形的內(nèi)角與角平分線、高的綜合運(yùn)用

M在中，切是△?!%的高，支是乙4%的角平分線，求/

乙O

必方的度數(shù).

解析：根據(jù)已知條件用N4表示出N6和N4”,利用三角形的內(nèi)角和求出N4再求出/

ACB,ZACD,最后根據(jù)角平分線的定義求出/力位即可求得/〃龍的度數(shù).

解：力=；/6=：/力"，設(shè)，N6=2x,NO=3x.?.?/4+/6+//%=180°,

乙O

，x+2x+3x=180°,解得x=30°,力=30°,Nd%=90°.?切是△/%的高，/.Z

ADC=90°,：.ZACD=180°—90°-30°=60°.*"是的角平分線，.?.乙億F=：X90°

乙

=45°,?.ADCE=AACD-ZACE=6Q0-45°=15°.

方法總結(jié)：本題是常見的幾何計(jì)算題，解題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線

的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系并結(jié)合圖形解答.

探究點(diǎn)二：直角三角形的性質(zhì)

［類型一］直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用

AHC

畫U如圖，CELAF,垂足為￡,B與郎相交于點(diǎn)。，ZF=40°,ZC=30°,東4EDF、

N版的度數(shù).

解析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可求出/反況再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

束出NC+4DBC=/F+4DEF,然后求解即可.

解：,:CELAF,：./DEF=9G°,：.AEDF=^°~ZF=90°-40°=50°.由三角形的內(nèi)

角和定理得NC+N〃?C+N切?=/尸+/加尸+/呼二30°+/DBC=4G°+90°,：.ZDBC

=100°.

方法總結(jié)：本題主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟記性

質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計(jì)

三角形的內(nèi)角

1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°

2.三角形內(nèi)角和定理的證明

3.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角互余

三角形的外角第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握三角形外角的定義和三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論.（重點(diǎn)）

2.能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算和證明，并體會(huì)幾何圖形中的不

等關(guān)系.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

足球比賽中的數(shù)學(xué)知識(shí)

在綠茵場上，某球員在/處受到阻擋需要傳球，請幫助他做出選擇，應(yīng)傳給在8處的球員

還是。處的球員，使其射門不易射偏.（不考慮其他因素）

請同學(xué)們幫助他做出選擇.

二、合作探究

探究點(diǎn)：三角形的外角

［類型_］應(yīng)用三角形的外角求角的度數(shù)

頤I如圖所示，P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)、,2BPC=150：N4昭=20°,,求//

的度數(shù).

A

解析：延長社交火「于￡或連接力尸并延長，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可

求出NZ的度數(shù).

解：延長〃7交力。于點(diǎn)￡,則/郎aN&f分別為△川瓦4ABE的外角，：.4BPC=/PEC

+APCE,4PEC=NABE+/A,：2PEC=4BPC—4PCE=\3c-30°=120°.：./A=/PEC

—NA8E=T20°-20°=100°.

方法總結(jié)：利用三角形的外角的性質(zhì)將已知與未知的角聯(lián)系起來是計(jì)算角的度數(shù)的方法.

【類型二】用三角形外角的性質(zhì)把幾個(gè)角的和分別轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角和

m已知：如圖為一五角星，求證：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

解析：根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出N"%=N8+N〃，ZEGF=ZA+ZC,根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理得出尸+N￡FG=180°,代入即可得證.

證明：,?/EFG、4EGF分別是叢BDF、AACG的外角，,4EFG=N6+乙D,4EGF=//

+NC又：在△如。中，AE+ZEGF+AEFG=\^°,：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用三角形外角的性質(zhì)將分散的角集

中到某個(gè)三角形中，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行解決.

［類型三］三角形外角的性質(zhì)和角平分線的綜合應(yīng)用

m如圖①，/力切是△45C的外角，BE平分/ABC,CE平分/ACD,且應(yīng)1、以交于點(diǎn)2

(1)如果N4=60。，ZABC=5Q°,求/￡'的度數(shù)；

(2)猜想：與N/有什么數(shù)量關(guān)系(寫出結(jié)論即可)；

(3)如圖②，點(diǎn)后是△/比兩外角平分線應(yīng)'、CE的交點(diǎn)、,探索N￡與//之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

解析：先計(jì)算特殊角的情況，再綜合運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合三角形的角平

分線概念解決.

解：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得N47?=NZ+N4?C=60°+50°=110°,,:BE平分/ABC,

CE平分4ACD,.,.Zl=1z^CZ?=55°,N2=）N43C=25°.VZ￡,+Z2=Z1,，N￡=N1一

乙CJ

Z2=30°；

(2)猜想：N￡=g/小

(3)'：BE,*是兩外角的平分線，二/2：1/。切，N4=，BCF,而NCBD=NA+NACB,

乙乙

ABCF=Z.A+Z.ABC,.*.Z2=1(Z^+Z/1C^,Z4=1(Z/J+ZJ^6).VZ￡'+Z2+Z4=180°,

乙乙

：.ZE+^(ZA+ZAC&+|(Z^+Z^6)=180°,即N￡+，4+；(N4+NZ%+N480=

乙乙乙乙

180°.ZA+ZACB+ZABC=18Q°,，/￡+：/力=90°.

乙

方法總結(jié)：對于本題發(fā)現(xiàn)的結(jié)論要予以重視：圖①中，ZE=^ZA；圖②中，N?=90。-

乙

三、板書設(shè)計(jì)

三角形的外角

1.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角.

2.三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角

大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.1多邊形

目標(biāo)

1.掌握多邊形的定義及其有關(guān)概念，理解正多邊形及其相關(guān)概念.（重點(diǎn)）

2.正確區(qū)分凹多邊形和凸多邊形.（重點(diǎn)）

3.理解多邊形的對角線的概念，探索一個(gè)多邊形能畫幾條對角線.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

利用多媒體展示生活、建筑方面等的圖片（包含一個(gè)或多個(gè)明顯的多邊形）.

問題：請學(xué)生觀察圖片，在圖中能找出哪些多邊形？

長方形、正方形、平行四邊形等都是四邊形，還有邊數(shù)很多的圖形，它們在日常生活、工

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都有應(yīng)用，引出本節(jié)課課題：多邊形.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：多邊形的概念

［類型—］多邊形及其概念

項(xiàng)I下列圖形不是凸多邊形的是（

解析：根據(jù)凸多邊形的概念，如果多邊形的邊都在任意一條邊所在的直線的同旁，該多邊

形即是凸多邊形，否則即是凹多邊形.由此可得選項(xiàng)D的圖形不是凸多邊形.故選D.

方法總結(jié)：多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可有兩種方法：（1）畫多邊

形任何一邊所在的直線，整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)；（2）每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180。.

通常所說的多邊形指凸多邊形.

［類型二］確定多邊形的邊數(shù)

例煙若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（）

A.14或15或16B.15或16

C.14或16D.15或16或17

解析：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一

條，則多邊形的邊數(shù)是14,15或16.故選A.

方法總結(jié)：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少

了一條，解決此類問題可以親自動(dòng)手畫一下.

探究點(diǎn)二：多邊形的對角線

［類型—］確定多邊形的對角線的條數(shù)

?從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫條對角線，從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫

條對角線，從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫條對角線，請猜想從七邊形的一個(gè)

頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，從而推導(dǎo)出〃

邊形共有條對角線.

解析：根據(jù)〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出5—3）條對角線.從A個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出〃（/r-3）

條對角線，而每條重復(fù)一次，可得答案.

解：從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫1條對角線，從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫2條對角線，

從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫3條對角線，從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有4條對角線，從〃邊形

的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（n-3）條對角線，從而推導(dǎo)出〃邊形共有“條對角線.

方法總結(jié)：（1）多邊形有〃條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有5—3）條；（2）多邊

形有A條邊，對角線的條數(shù)為""J'.

【類型二】根據(jù)對角線條數(shù)確定多邊形的邊數(shù)

畫I!從一個(gè)多邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都只有5條對角線，則它的邊數(shù)是（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：設(shè)這個(gè)多邊形是〃邊形.依題意，得77—3=5,解得〃=8.故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

8.故選C.

［類型三］根據(jù)分成三角形的個(gè)數(shù)，確定多邊形的邊數(shù)

M連接多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)的線段把這個(gè)多邊形分成了6個(gè)三角形，則原多

邊形是（）

A.五邊形B.六邊形

C.七邊形D.八邊形

解析：設(shè)原多邊形是〃邊形，則2=6,解得A=8.故選D.

方法總結(jié)：從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對角線，這（〃一3）條對角線把〃邊形

分成（〃一2）個(gè)三角形.

探究點(diǎn)三：正多邊形的有關(guān)概念

阿。下列圖形中，是正多邊形的是（）

A.等腰三角形

B.長方形

C.正方形

D.五邊都相等的五邊形

解析：根據(jù)正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形進(jìn)行解

答.正方形四個(gè)角相等，四條邊都相等，故選C.

方法總結(jié)：解答此類問題的關(guān)鍵是要搞清楚正多邊形的定義，各個(gè)角相等、各條邊相等的

多邊形是正多邊形，這兩個(gè)條件缺一不可.

三、板書設(shè)計(jì)

多邊形

1.定義：在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形.

2.相關(guān)概念：頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對角線.

3.多邊形的對角線：A邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線條數(shù)為5—3）條；〃邊形共有對角線

n(7?—3)

條(〃23).

2

4.正多邊形：如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱為正多邊形.

11.3.2多邊形的內(nèi)角和

教第

1.理解多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程，并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（重點(diǎn)）

2.靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決有關(guān)問題.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

多媒體演示：清晨，小明沿一個(gè)多邊形廣場周圍的小路按逆時(shí)針方向跑步.

提出問題:

(1)小明是沿著幾邊形的廣場在跑步？

(2)你知道這個(gè)多邊形的各部分的名稱嗎？

(3)你會(huì)求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和嗎？

導(dǎo)入：小明每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，身體總要轉(zhuǎn)過一個(gè)角，你知道是哪些角嗎？

你知道它們的和嗎？就讓我們帶著這些問題同小明一起走進(jìn)今天的課堂.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：多邊形的內(nèi)角和

［類型—］利用內(nèi)角和求邊數(shù)

硒I一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540。，則它是()

A.四邊形B.五邊形

C.六邊形D.七邊形

解析：熟記多邊形的內(nèi)角和公式(〃-2)?180°.設(shè)它是〃邊形，根據(jù)題意得(A—2)?180

=540,解得〃=5.故選B.

方法總結(jié)：熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

［類型二］求多邊形的內(nèi)角和

而一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°,截去一個(gè)角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為()

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

解析：1800?180=10,...原多邊形邊數(shù)為10+2=12...?一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊

數(shù)可能減1,可能不變，也可能加1,...新多邊形的邊數(shù)可能是11,12,13,...新多邊形的內(nèi)

角和可能是1620°,1800°,1980°.故選D.

方法總結(jié)：一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1,可能不變，也可能加1.根據(jù)多邊

形的內(nèi)角和公式求出原多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.

［類型三］復(fù)雜圖形中的角度計(jì)算

M如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.450°B.540°

C.630°D.720°

I

解析：如圖，：N3+N4=N8+N9,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1+Z

2+/8+/9+/5+/6+/7=五邊形的內(nèi)角和=540°,故選B.

方法總結(jié)：本題考查了靈活運(yùn)用五邊形的內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)外角關(guān)系.根據(jù)圖形特點(diǎn),

將問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)越性.

［類型四］利用方程和不等式確定多邊形的邊數(shù)

硒！一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為1125°,當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了以后，

重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個(gè)內(nèi)角，問這個(gè)內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？

解析：本題首先由題意找出不等關(guān)系列出不等式，進(jìn)而求出這一內(nèi)角的取值范圍；然后可

確定這一內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)一步得出這個(gè)多邊形的邊數(shù).

解：設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為X,則有1125°<x<1125°+180°,即180°X6+45°Vx

<180°X7+45°,因?yàn)閤為多邊形的內(nèi)角和，所以它是180°的倍數(shù)，所以x=180°X7=

1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此，漏加的這個(gè)內(nèi)角是135°,這個(gè)多邊形

是九邊形.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是由題意列出不等式求出這個(gè)多邊形的邊數(shù).

探究點(diǎn)二：多邊形的外角和

［類型—］已知各相等外角的度數(shù)，求多邊形的邊數(shù)

碉正多邊形的一個(gè)外角等于36。，則該多邊形是正（）

A.八邊形B.九邊形

C.十邊形D.十一邊形

解析：正多邊形的邊數(shù)為360。+36°=10,則這個(gè)多邊形是正十邊形.故選C.

方法總結(jié)：如果已知正多邊形的一個(gè)外角，求邊數(shù)可直接利用外角和除以這個(gè)角即可.

［類型二］多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用

砸I一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540。，則它是（）

A.五邊形B.四邊形

C.三角形D.不能確定

解析：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,則依題意可得(〃-2)X180°+360°=540°,解得n

=3,...這個(gè)多邊形是三角形.故選C.

方法總結(jié)：熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理，解題的關(guān)鍵是由已知等量關(guān)系列

出方程從而解決問題.

三、板書設(shè)計(jì)

多邊形的內(nèi)角和與外角和

1.性質(zhì)：多邊形的內(nèi)角和等于(A—2)?180°；多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

(1)〃邊形的內(nèi)角和等于(A—2)?180°(〃23,〃是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)〃

有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.

(2)多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān).

(3).正〃邊形：正〃邊形的內(nèi)角的度數(shù)為一(“二2)一?18°二,外角的度數(shù)為幽-

nn

12.1全等三角形

教學(xué)目標(biāo)：

i.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的對應(yīng)元素.(重點(diǎn))

2.理解并掌握全等三角形的性質(zhì)，能用符號(hào)正確地表示兩個(gè)三角形全等.(重點(diǎn))

3.能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊.(難點(diǎn))

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

在我們的周圍，經(jīng)?？梢钥吹叫螤?、大小完全相同的圖形，這類圖形在幾何學(xué)中具有特殊

的意義.觀察下列圖案，指出這些圖案中形狀與大小相同的圖形.

你能再舉出一些例子嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：全等形和全等三角形的概念及對應(yīng)元素

［類型一］全等形的認(rèn)識(shí)

項(xiàng)12013年第十二屆全運(yùn)會(huì)在遼寧舉行，下圖中的圖形是全運(yùn)會(huì)的會(huì)徽，其中是全等形

的是()

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)B.(2)(3)

C.(1)(3)D.(1)(4)

解析：根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形進(jìn)行判斷.由此可以判斷選項(xiàng)D是正確的.

方法總結(jié)：判斷兩個(gè)圖形是不是全等形，可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，將兩個(gè)圖形

疊合起來觀察，看其是否能完全重合，有時(shí)還可以借助網(wǎng)格背景來觀察比較.

［類型二］全等三角形的對應(yīng)元素

IW1如圖，若△%且△4%,/B=/C,指出這兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)邊；蘢XAD哈X

AEO,指出這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角.

解析：結(jié)合圖形進(jìn)行分析，分別寫出對應(yīng)邊與對應(yīng)角即可.

解：如與△砒'的對應(yīng)邊為：B0與CO,0D與OE,BD與CE；△490與△/以9的對應(yīng)角

為：/DAO與/EAO,/ADO與/AEO,/AOD與/AOE.

方法總結(jié)：找全等三角形的對應(yīng)元素的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析圖形，另外記全等三角形時(shí)，對應(yīng)

頂點(diǎn)要寫在對應(yīng)的位置上，這樣就可以比較容易地寫出對應(yīng)角和對應(yīng)邊了.

探究點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì)

［類型—］應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)求三角形的角或邊

m如圖，△頌，ZA=70°,Z2?=50°,BF=4,EF=1,求/頌的度數(shù)和

鶴的長.

解析：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等求N/F的度數(shù)和成的長.

解：'：/\ABC^/\DEF,ZA=70°,Z5=50°,BF=\,EF=1,:./DEF=NB=5G,BC

=EF=7,:.CF=BC—BF=L4=3.

方法總結(jié)：本題主要是考查運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)和線段的長，解決問題的關(guān)

鍵是準(zhǔn)確識(shí)別圖形.

［類型二］全等三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和的綜合運(yùn)用

m如圖，AABC^AADE,/勿〃=10°,N8=N〃=25°,Z￡4^=120°,求/4%的

度數(shù).

D

Ah

解析：根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可知/用8=/￡4〃+/勿什/。6=2/勿6+10°=

120°,即NC48=55°.然后在中利用三角形內(nèi)角和定理來求N4?的度數(shù).

解：?:XABC會(huì)XADE,：.ACAB=AEAD.'：AEAB=120°,ZCAD=10a,:./EAB=/EAD

+ZCAD+ZCAB=2ZCAB+10°=120°，,NO3=55°.：N6=NZ?=25°,，N4==180°

-ZCAB-ZB=18Q°-55°-25°=100°,即的度數(shù)是100°.

方法總結(jié)：本題將三角形內(nèi)角和與全等三角形的性質(zhì)綜合考查，解答問題時(shí)要將所求的角

與已知角通過全等及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系聯(lián)系起來.

三、板書設(shè)計(jì)

全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形；能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等.

12.2三角形全等的判定

第1課時(shí)“邊邊邊”

教學(xué)目標(biāo)：

i.了解三角形的穩(wěn)定性，會(huì)應(yīng)用“邊邊邊”判定兩個(gè)三角形全等.（重點(diǎn)）

2.經(jīng)歷探索“邊邊邊'’判定全等三角形的過程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.（重

點(diǎn)）

3.在復(fù)雜的圖形中進(jìn)行三角形全等條件的分析和探索.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖①所示的殘片，你對圖中的殘片作哪些

測量，就可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴交流.

學(xué)生活動(dòng)：觀察，思考，回答教師的問題.

方法如下：可以將圖①的玻璃碎片放在一塊紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆畫出一塊完

整的三角形.如圖②，剪下模板就可去割玻璃了.

如果AU庭△/B'C,那么它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.反之，如果△力比1與△

A'B'C'滿足三條邊對應(yīng)相等，三個(gè)角對應(yīng)相等，即4?=/B',BC=B'C,CA=CA',

ZA=ZA',/B=NB',這六個(gè)條件，就能保證/B'C'.從剛才的

實(shí)踐我們可以發(fā)現(xiàn)：只要兩個(gè)三角形三條對應(yīng)邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等.這種說

法對嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：三角形全等的判定方法一一“邊邊邊”

【類型一】利用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等

頤1如圖，AB=DE,AC=DF,點(diǎn)、E、。在直線跖上，且比'=*求證：△ABgXDEF.

解析：已知△力比與△〃須有兩邊對應(yīng)相等，通過E￡=CF可得外=即即可判定隹

△DEF,

BC=EF,

證明：'：BE=CF,：.BE+EC=EC+CF,即優(yōu)=牙:在△/EC和△頌中，：AB=DE,二△

AC=DF,

彥△/?利SSS).

方法總結(jié)：判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)

三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

［類型二］“SSS”與全等三角形的性質(zhì)結(jié)合進(jìn)行證明或計(jì)算

而如圖所示，△/優(yōu)1是一個(gè)風(fēng)箏架，AB=AC,49是連接點(diǎn)力與優(yōu)1中點(diǎn)。的支架，求證:

ADLBC.

解析：要證4ase根據(jù)垂直定義，需證N1=N2,N1=N2可由44%徑△〃力證得.

（AB=AC,

證明：?"是a'的中點(diǎn)，，9=必在△相〃和△/切中，BD=CD,「.△/應(yīng)/△/切（SSS）,

VAD=AD,

：.N1=N2（全等三角形的對應(yīng)角相等）.：/1+/2=180°,.\Z1=Z2=9O°,。（垂

直定義）.

方法總結(jié)：將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證兩角相等，利用全等三角形證明兩角相等是全等三角形的

間接應(yīng)用.

［類型三］利用“邊邊邊”進(jìn)行尺規(guī)作圖

?已知：如圖，線段a、b、c.求作：XABC,使得6S=a,AC=b,16=c.（保留作圖痕

跡，不寫作法）

h

解析：首先畫Z6=c,再以8為圓心，a為半徑畫弧，以/為圓心，6為半徑畫弧，兩弧

交于一點(diǎn)G連接6C,AC,即可得到△力笈

解：如圖所示，△/回就是所求的三角形.

方法總結(jié)：關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本

作圖，逐步操作.

［類型四］利用“SSS”解決探究性問題

如圖，AD=CB,E、夕是4C上兩動(dòng)點(diǎn)，且有?！?筋

⑴若反尸運(yùn)動(dòng)至圖①所示的位置，且有"、=應(yīng)，求證：△力比絲△煙：

⑵若反夕運(yùn)動(dòng)至圖②所示的位置，仍有AF=CE,那么△在回△戚還成立嗎？為什么？

（3）若￡/不重合，49和⑦平行嗎？說明理由.

解析：⑴因?yàn)?^陽可推出力￡=5所以可利用SSS來證明三角形全等；⑵同樣利

用三邊來證明三角形全等；（3）因?yàn)槿?，所以對?yīng)角相等，可推出4?！?.

（AD=CB,

解：⑴?.?44龍，：.AF+EF=CE+EF,.,.〃=）在△/龐和△斯中，,:、DE=BF,：.

VAE=CF,

△ADE^XCBF.

(AD=CB,

(2)成立.,:AF=CE,：.AF-EF=CE-EF,:.AE=CF.在AADE和ACBF中,VSDE=BF,

VAE=CF,

:■△ADE^XCBF.

⑶平行.二△ADE^XCBF,：.AA=AC,：.AD//BC.

方法總結(jié)：解決本題要明確無論旦夕如何運(yùn)動(dòng)，總有兩個(gè)三角形全等，這個(gè)在圖形中要

分清.

三、板書設(shè)計(jì)

邊邊邊

1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡記為“邊邊邊”或“SSS”.

2.“邊邊邊”判定方法可用幾何語言表示為:

(AB=A^,

在XABC和△48G中，V5BC=BC,二XABM△ABC(SSS).

第2課時(shí)“邊角邊”

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握三角形全等的判定方法一一“邊角邊（重點(diǎn)）

2.能運(yùn)用“邊角邊”判定方法解決有關(guān)問題.（重點(diǎn)）

3.“邊角邊”判定方法的探究以及適合“邊角邊”判定方法的條件的尋找.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

小偉作業(yè)本上畫的三角形被墨跡污染了，他想畫一個(gè)與原來完全一樣的三角形，他該怎么

辦？請你幫助小偉想一個(gè)辦法，并說明你的理由.

想一想：要畫一個(gè)三角形與小偉畫的三角形全等，需要幾個(gè)與邊或角的大小有關(guān)的條件？

只知道一個(gè)條件（一角或一邊）行嗎？兩個(gè)條件呢？三個(gè)條件呢？

讓我們一起來探索三角形全等的條件吧！

二、合作探究

探究點(diǎn)一：應(yīng)用“邊角邊”判定兩三角形全等

［類型—］利用“SAS”判定三角形全等

的II如圖，4〃、F、8在同一直線上，AD=BF,AE=BC,且4?〃比:求證：XAEF^XBCD.

E

c

解析：也AE〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得N4=N6,由AO=BF可得AF=BO,又AE=

BC,根據(jù)SAS,即可證得△/牙絲△比〃

（AE=BC,

證明：?：AE〃BC,：./A=/B「：AD=BF,：.AF=BD在AAEF和ABCD中，?:

VAF=BD,

.,.△/￡壯△版(SAS).

方法總結(jié)：判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

［類型二］“邊邊角”不能證明三角形全等

m下列條件中，不能證明隹△外尸的是()

A.AB=DE,/8=4E,BC=EF

B.AB=DE,乙4=N〃，AC=DF

C.BC=EF,4B=4E,AC=DF

D.BC=EF,AC=AF,AC=DF

解析：要判斷能不能使△4?陛△頗；應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只

有選項(xiàng)C的條件不符合，故選C.

方法總結(jié)：判斷三角形全等時(shí)，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個(gè)三角形不一定全

等.解題時(shí)要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時(shí)是不能判定三角形全等的.

探究點(diǎn)二：全等三角形判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用

［類型—］利用全等三角形進(jìn)行證明或計(jì)算

睡I已知：如圖，BC//EF,BC=BE,AB=FB,Z1=Z2,若/1=45°,求NC的度數(shù).

解析：利用已知條件易證N4?C=/領(lǐng)再根據(jù)全等三角形的判定方法可證明比絲△

FBE,由全等三角形的性質(zhì)即可得到NUN頗再根據(jù)平行，可得出/頗的度數(shù)，從而可知

NC的度數(shù).

'BC=BE,

解：VZ1=Z2,:./ABC=/FBE.在4ABe和AFBE中,VSAABC=AFBE,:.XABg

.AB=FB,

△加(SAS),:./C=2BEF”又?：BC〃EF,二/"/^=/1=45°.

方法總結(jié)：全等三角形是證明線段和角相等的重要工具.

［類型二］全等三角形與其他圖形的綜合

睡1如圖，四邊形力犯久比尸G都是正方形，連接/￡、CG.求證：(1