2022“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試題

二OO七年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題一、填空題（每小題3分，滿分30分）1、函數(shù)中，自變量的取值范圍是。2、2022年底我國(guó)外匯儲(chǔ)備余額達(dá)到10663億美元，用科學(xué)記數(shù)法表示10663億美元約為美元（保留3個(gè)有效數(shù)字）。3、等腰三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1︰2，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為。4、若關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是。5甲8戊丁9丙10乙85、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，將其繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得正方形AB′C5甲8戊丁9丙10乙86、甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)手拉手圍成一個(gè)五邊形，每個(gè)人心中想一個(gè)數(shù)，相鄰的兩個(gè)人反所想兩數(shù)的平均數(shù)告訴與他們不相鄰的那個(gè)人，結(jié)果如圖所示，則乙心中所想的數(shù)是。7、一寬為1cm的刻度尺在半徑為5cm的圓上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切，另一邊與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其中一個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的讀數(shù)恰好為“8”（單位：cm），則另一個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的讀數(shù)為ABCA′ABCA′D9、如圖，梯形紙片ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC。將其沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A恰好落在DC上，記為點(diǎn)A′。若AD=7，AB=13，則A′C的長(zhǎng)為。10、觀察這樣一列數(shù)組：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），……，按照如此規(guī)律，則2022在第組。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，滿分30分）11、下列運(yùn)算正確的是（ ）A、 B、 C、 D、12、將五張分別畫有等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、等腰梯形、正六邊形的卡片任意擺放，將有圖形的一面朝下，從中任意翻開一張卡片，圖形一定是中心對(duì)稱圖形的概率是（ ）A、 B、 C、 D、13、現(xiàn)一平面內(nèi)有A、B、C三點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)相距5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有（ ）A、2個(gè) B、4個(gè) C、6個(gè) D、8個(gè)14、拋物線和與軸正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B。若點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，則與的大小關(guān)系為（ ）A、> B、< C、= D、無法確定15、張先生計(jì)劃用不超過500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁帶。根據(jù)需要，至少要買3片軟件和2盒磁帶，不同的選購(gòu)方式有（ ）A、5種 B、6種 C、7種 D、8種16、在△ABC中，∠A=30°，AB=4，BC=，則∠B的度數(shù)為（ ）A、30° B、90° C、30°或60° D、30°或90°17、平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱該點(diǎn)為整點(diǎn)。若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí)，則整數(shù)的值可取（ ）A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)ABCFDEABCFDEA、2 B、4 C、5 D、819、甲、乙二人從M地同時(shí)出發(fā)去N地，甲用一半時(shí)間以每小時(shí)千米的速度行走，另一半時(shí)間以每小時(shí)千米的速度行走；乙以每小時(shí)千米的速度行走一半路程，另一半路程以每小時(shí)千米的速度行走。若，則下列說法正確的是（ ）A、二人同時(shí)到達(dá)N地 B、甲先到達(dá)N地C、乙先到達(dá)N地 D、若>，甲先到達(dá)N地；若<，乙先到達(dá)N地20、一些完全相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體從正面和左面看所得的平面圖形均為右圖所示，小正方體的塊數(shù)可能有（ ）A、7種 B、8種 C、9種 D、10種三、解答題（滿分60分）DABC21、（本題5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中DABC22、（本題6分）如圖，有長(zhǎng)為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為11米），圍成中間有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃。（1）如果要圍成面積為45平方米的花圃，那么AD的長(zhǎng)為多少米？（2）能否圍成面積為60平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由5060708090100成績(jī)（分）0481012165060708090100成績(jī)（分）048101216頻數(shù)（學(xué)生人數(shù)）（注：每組不含最小值，含最大值）（1）求該班的學(xué)生人數(shù)；（2）若成績(jī)不少天80分為優(yōu)秀，且該班有5名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?0分，則學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是多少？（3）若該班超過82分的學(xué)生有20人，則學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)可能是多少分？（直接寫出答案即可）24、（本題7分）小宇同學(xué)在布置班級(jí)文化園地時(shí)，想從一塊長(zhǎng)為20cm，寬為8cm的長(zhǎng)方形彩色紙板上剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10cm的等腰三角形，并使其一個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，請(qǐng)你幫他計(jì)算出所剪下的等腰三角形的底邊長(zhǎng)。2468/天O180432/米2468/天O180432/米（1）求該隧道的長(zhǎng)；（2）乙工程隊(duì)工作多少天時(shí)，兩隊(duì)所挖隧道的長(zhǎng)度相差18米？26、（本題8分）已知，點(diǎn)O為等邊△ABC的內(nèi)心，直線過點(diǎn)O，過A、B、C三點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F。當(dāng)直線與BC平行時(shí)（如圖1），易證：BE+CF=AD。當(dāng)直線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。ABCABCFEmO圖3ABCFEODm圖2ABCFEO（D）m圖127、（本題10分）甲、乙兩家公司共有150名工人，甲公司每名工人月工資為1200元，乙公司每名工人月工資為1500元，兩家公司每月需付給工人工資共計(jì)萬元。（1）求甲、乙公司分別有多少名工人；（2）經(jīng)營(yíng)一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，乙公司工人人均月產(chǎn)值是甲公司工人的倍，于是甲公司決定內(nèi)部調(diào)整，選拔了本公司部分工人到新崗位工作。調(diào)整后，原崗位工人和新崗位工人的人均月產(chǎn)值分別為調(diào)整前的倍和4倍，且甲公司新崗位工人的月生產(chǎn)總值不超過乙公司月生產(chǎn)總值的40%，甲公司的月生產(chǎn)總值不少于乙公司的月生產(chǎn)總值，求甲公司選拔到新崗位有多少人？（3）在（2）的條件下，甲公司決定拿出10萬元全部用于獎(jiǎng)勵(lì)本公司工人，每人的獎(jiǎng)金不低于500元且每名新崗位工人的獎(jiǎng)金高于原崗位工人的獎(jiǎng)金。若以整百元為單位發(fā)放，請(qǐng)直接寫出獎(jiǎng)金發(fā)放方案。28、（本題10分）在△ABC中，∠AOB=90°，OA=OB=10，分別以邊OA、OB所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），點(diǎn)P自點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，同時(shí)點(diǎn)D自原點(diǎn)O出發(fā)沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P、D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終滿足PO=PD，過點(diǎn)O、D向AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)C、E，設(shè)OD的長(zhǎng)為。（1）求AP的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）在點(diǎn)P、D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段PC與BE是否相等？若相等，請(qǐng)給予證明；若不相等請(qǐng)說明理由；ABOPCDE（3）設(shè)以點(diǎn)P、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出與ABOPCDE二〇〇七年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題3分，滿分30分）1.x≥-2且x≠22.1.07×3.45°或72°4.b≤3且b≠5.6.107.2或148.769.510.45二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，滿分30分）三、解答題（滿分60分）21．（本題5分）解：原式 ………1分 ………………………2分當(dāng)時(shí) ………1分原式 ………1分22．（本題6分）解：（1）設(shè)AD的長(zhǎng)為米，于是有（243）·45 ……………1分解得3，5 ……………1分當(dāng)3時(shí)，AB24324915＞11，不符合題意，舍去 ……………1分當(dāng)5時(shí)，AB24324159＜11，故AD的長(zhǎng)為5米 ……………1分（2）不能圍成面積為60平方米的花圃．理由：假設(shè)存在符合條件的長(zhǎng)方形，設(shè)AD的長(zhǎng)為米，于是有（243）·60，整理得．∵＜0，∴這個(gè)方程無實(shí)數(shù)根 ……………1分∴不能圍成面積為60平方米的花圃 …………23．（本題6分）解：（1）∵4+8+10+12+1650，∴該班有50名學(xué)生 …………………1分（2）∵，∴該班學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率為66%……………2分（3）81分或分或82分……………3分24．（本題7分）ABCE圖1ABCE圖2(a)AABCE圖1ABCE圖2(a)ABCE圖2(b)BE6cm，BC2BE12cm …2分（2）當(dāng)腰在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊上時(shí)，如圖2（a），BCAB10cm，CEBCBE1064cm，ACcm …2分如圖2（b），BCAC10cm，BEBC＋CE10＋616cm，ABcm …2分故等腰三角形的底邊長(zhǎng)為cm或cm或cm ……1分25．（本題8分）解：（1）設(shè)kx（0≤x≤6），∵4326k，∴k72．∴72x …1分當(dāng)x4時(shí)，288．設(shè)mx+n（2≤x≤8），∵∴∴54x+72 ……………1分當(dāng)x8時(shí)，504．∴432+504936．∴該隧道的長(zhǎng)為936米 ………1分（2）設(shè)ax（0≤x≤2），∵1802a，∴a90．∴90x …1分①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，18，90x72x18，x1 ………1分②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，18，54x+7272x18，x3 …1分③當(dāng)4＜x≤6時(shí)，18，72x(54x+72)18，x5 ……………1分乙工程隊(duì)工作1天或3天或5天時(shí)，兩隊(duì)所挖隧道的長(zhǎng)度相差18米 ………26．（本題8分）解：圖2結(jié)論：BE+CFAD ……………2分證明：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，作GH⊥EF于點(diǎn)H，由圖1可得AO2·OG ………1分∵AD∥GH，∴△ADO∽△GHO．∴AD2·GH ………1分連接FG并延長(zhǎng)交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M ，△BMG≌△CFG，BMCF，MGFG ………1分∵GH∥EM，∴△FHG∽△FEM．∴BE+BM2·GH ………1分∴BE+CFAD．圖3結(jié)論：CFBEAD ……………2分27．（本題10分）解：（1）設(shè)甲公司有名工人，乙公司有名工人，于是有 …………………2分解得 …………………1分甲公司有名工人，乙公司有名工人 …………………1分（2）設(shè)甲公司選拔人到新崗位工作，甲公司調(diào)整前人均月產(chǎn)值為元， ………2分解得，又為整數(shù)，或 ……………1分甲公司選拔人或人到新崗位工作 ………1分（3）方案一：原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)元和元………………1分方案二：原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)元和元 ……………1分28．（本題10分）解：（1）作PG⊥軸于點(diǎn)G，PF⊥軸于點(diǎn)F，在Rt△APF中，∠PAF45°，PFAP·sin45°AP ………1分