2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

山東卷(文科)

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共15()分，考試時間120分鐘.

參考公式：如果事件A,6互斥，那么尸(A+B)=P(4)+P(5).

第I卷

一'選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

(2—i)2

1.復數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位),則團=()

A.25B.M

C.5D.A/5

2.已知集合4,3均為全集。={1,2,3,4}的子集，且CU(AU5)={4},8={1,2},貝IjACI

CuB=()

A.{3}B.{4}

C.{3,4}D.0

3.已知函數(shù)./U)為奇函數(shù)，且當x>0時，/lx)=x2+p則八-1)=()

A.2B.1

C.0D.-2

4.一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如右圖所示，則該四棱錐側(cè)面

積和體積分別是()

8

:-

A.4低8B.3

8

-88

C.4(小+1),3，

5.函數(shù),八*)=亞二于的定義域為()

A.(一3,0]B.(—3,1]

C.(-8,-3)U(—3,0]D.(-8,—3)u(—3,1]

6.執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的〃的值為一1.2,第二次輸入的a的值為

1.2,則第一次，第二次輸出的a的值分別為()

/1?X77

7.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若3=24,a=l,b=小,貝!Ic=（）

A.2^3B.2

C.A/2D.1

8.給定兩個命題p,g.若是〃的必要而不充分條件，則p是^4的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

9.函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為（）

10.將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91,

現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示:

877

94010X91

則7個剩余分數(shù)的方差為（）

「36

c.9B.y

C.36D呼

11.拋物線Cl：y=彳2(p>0)的焦點與雙曲線。2：3一儼=1的右焦點的連線交Cl于第一象

限的點M.若G在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=()

A.卷B.坐

D4

3口,3

12,設(shè)正實數(shù)”,y,z滿足好-3xy+4y2—z=0,則當高取得最小值時，x+2y—z的最大值

為()

A.0B8

D.?

C.2

第n卷

二'填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上)

13.過點(3,1)作圓(*-2)2+3-2)2=4的弦，其中最短弦的長為.

‘2x+3y—6近0,

14.在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則

10Ml的最小值是.

15.在平面直角坐標系xOy中，已知近=(一1,t),0B=(2,2).若NA5O=90°,則實數(shù)

t的值為.

0,0<x<l,

16.定義“正對數(shù)”：ln+x=、，現(xiàn)有四個命題：

Inx9x^l.

①若a>0,Z?0,貝！|加+(d)=力加+〃；

②若〃>0,Z?0,則1-+(")=加+°+111+比

③若〃>0,6>0,貝！JIn*整)21n+a一加+力；

④若Q>0,力>0,貝！Iln+(a+6)^ln+a+ln+Z>+ln2.

三、解答題(本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)某小組共有A,B,C,D,E五位同學，他們的身高(單位：米汲體

重指標(單位：千克/米與如下表所示：

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

體重指標19.225.118.523320.9

⑴從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率;

(2)從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在“8.5,

23.9)中的概率.

18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)於)=｝一方sin2Gx—sinGXCOSSr(s>0),且尸女)圖象

的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為:.

(1)求3的值；

(2)求/U)在區(qū)間n,嗡上的最大值和最小值.

19.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，ABLAC,ABA.PA,AB//CD,AB=2CD,

E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.

⑴求證：CE〃平面PAD；人

(2)求證：平面EfG_L平面EMN.喇就'

20.(本小題滿分12分)設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前"項和為S,”且&=4S2,a2n紇爐

oc

=2a?+l.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛瓦｝滿足-----.=1-"GN*,求(瓦)的前“項和7".

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)人*)=0^+6%—Inx(a,bGR).

(1)設(shè)a》0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)a>(),且對任意x>0,Ax)河1),試比較In”與一2b的大小.

22.(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點0,焦點在x

軸上，短軸長為2,離心率為好.

(1)求橢圓C的方程；

(2)4,B為橢圓C上滿足△A08的面積為小的任意兩點，E為線段AB的中點，射線

OE交橢圓C于點P.設(shè)決=f麗，求實數(shù)f的值.

參考答案

山東卷(文科)

1.解析：利用復數(shù)的乘方和乘除運算計算出z,進而求出|z|.

(2—i)2_4-4i+i2_3-4i

4-3i,

iii

|z\=」(—4)2+(—3)2=^^^=5.

答案：C

2.解析：利用所給條件計算出4和[雙進而求交集.

,?”{1,2,3,4),0(”而={4},

：.AUB={1,2,3}.又；5={1,2},二{3}U4U{1,2,3).

又[但{3,4},但{3}.

答案：A

3.解析：同理科卷3題.

答案：D

4.解析：由正視圖得出四棱錐的底面邊長與高，進而求出側(cè)面積與體積.

由正視圖知：四棱錐的底面是邊長為2的正方形，四棱錐的高為2,

1O

片=鼻乂22義2=鼻.四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，底為2,高為

J0

乖,：.S?=4X^X2Xy[5=4y/5.

答案：B

5.解析：求函數(shù)定義域就是求使這個式子有意義的自變量x的取值范圍，本題需滿足二次

根式下的式子大于等于0,分母不能為0,然后取交集.

1-2^0,

由題意，自變量x應滿足，八八

[x+3>0,

解得：.-3<^0.

jr>—3,

答案：A

6.解析：根據(jù)輸入的a的值的不同而執(zhí)行不同的程序.

由程序框圖可知：當a=-1.2時，??,爾0,

.,.a=-1.2+1=—0.2,a<0,a=—0.2+1=0.8,

a>0.VO.8<1,輸出a=0.8.

當a=1.2時，：a2l,.*.a=1.2-l=0.2.

VO.2<1,輸出a=0.2.

答案：C

7.解析：先利用正弦定理，求出角4,進而求出角5和角C,得出角C為直角，從而利用勾

股定理求出邊c.

由正弦定理得：一;~.=—:3*?B=2A,a=l,b=yl3

sinAsinff、9

.1_V3

**sinA2sinJcosA

??F為三角形的內(nèi)角，AsinA^O.

.?.cos2A=方亞一.

nn

又0<4<TT,Ay4=—：.B=2A=—

bo

：.C=n-A-B=^-9，△被7為直角三角形.

由勾股定理得c=qr+(m)2=2.

答案：B

8.解析：同理科卷7題.

答案：A

9.解析：同理科卷8題.

答案：D

10.解析：利用平均數(shù)為91,求出x的值，利用方差的定義，計算方差.

根據(jù)莖葉圖，去掉1個最低分87,1個最高分99,

則"[87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91,

Ajr=4.

.*.S=|[(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91

-91)2]=y.

答案：B

11.解析：同理科卷11題.

答案：D

12.解析：含三個參數(shù)x,y,z,消元，利用基本不等式及配方法求最值.

z=f—3xy+4/(x,y,z￡R+),

.z3燈+4/x4ylx4y

??-=---------------=-+------322、------3=1.

xyxyyx\jyx

當且僅當'="，即x=2y時“=”成立，此時

yx

z=^-3Ay+4y=4y-6y+4y=2y,

.，.x+2j-z=2y+2y-2y=-2y+4y=—2(j-1)2+2.

.,.當y=l時，x+2y-z取最大值2.

答案：C

13.解析：借助圓的幾何性質(zhì)，確定圓的最短弦的位置，利用半徑、弦心距及半弦長的關(guān)系

求弦長.

設(shè)4(3,1),易知圓心C(2,2),半徑L2,當弦過點力(3,1)且與。垂直時為最短弦.

ICA\=yj(2-3)2+(2-1)2=^2.

半弦長=yjr-ICA\2=,4—2=-\[2.

最短弦長為2平.

答案：2^2

14.解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求最值.

如圖所示，"為圖中陰影部分區(qū)域上的一個動點，由于點到直線的距離最短，所以|掰

9

的最小值=亞=也.

答案：也

15.解析：利用向量垂直的充要條件，列方程求解.

腕=90°,：.AB2.OB,：.OB*AB=0.

又正而一應=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),

：.(2,2)?(3,2-t)=6+2(2-t)=0.

1=5?

答案：5

16.解析：同理科卷16題.

答案：①③④

17.解：(1)從身高低于1.80的同學中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(4,

而，(4,。，(A,D),(B,0,(B,6,(C,而，共6個.

由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

選到的2人身高都在1.78以下的事件有3),(4,0,(B,0,共3個.

31

因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為7^=-=-.

0N

(2)從該小組同學中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有04,B),(A,0,

(/,。，(A,6,(B,。，(瓦D),(瓦皮，(C,。，(C,4,(D,玲,共10個.

由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

選到的2人身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,

皮，（D,玲,共3個.

3

因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在［18.5,23.9）中的概率為々元.

2

18.解：(1)f{x)=-^—^/3sinu)x-sinu)xcosafx==^―小1—cos23X|sin2u)x=

2'

i

■^-cos2Ufx--sin2u)x

/￡j

因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為;，又。＞0,所以件"=4XT-.

4Z34

因此G=l.

(2)由⑴知f(x)=-sin

,一.3n,5n一八n一8n

當n〈人丁時，—^2x—~

/oJJ

所以一坐Wsin（2jr-^^1.

因此一1/〃力

故f（x）在區(qū)間n,等上的最大值和最小值分別為羋，一L

19.⑴證法一：如圖⑴，取融的中點用連接期DH.

因為后為期的中點，

際V入EH〃AB,EH=^AB.

又AB〃CD,CD=^AB,

所以幽75，EH=CD.

所以四邊形灰翊是平行四邊形.

所以CE//DH.

又DHU平面PAD,煙平面PAD,

所以龍〃平面PAD.

證法二：如圖（2）,連接成

因為F為四的中點，

所以AF=^AB.

叉CD=^AB,所以止=成

又AF〃CD,

所以四邊形4次為平行四邊形.

所以CF//AD.

又0也平面PAD,所以CF〃平面PAD.

因為g尸分別為陽，4?的中點，所以斯〃切.

文E國平面PAD,所以的〃平面9

因為CFCEHF,故平面呼〃平面PAD.

入CEU平曲CEF,航旗CE〃平恒PAD.

(2)證明：因為￡,廠分別為陽四的中點，

所以所〃刃.

又出，必，所以ABLER

同理可證皿L陽

又EFCFG=F,E2斗曲EFG,FGU斗曲EFG,

因此血平面EFG.

又僅”分別為如，PC的中點,軟協(xié)MN〃DC.

XABMDC,所以例V〃典所以的此平面跳K

又例VU平面則所以平面班乜平面的

20.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a.｝的首項為國，公差為d

由&=4S,a2?=2a?+l,得

‘4&+6占8ai+4d,

31+(2n—1)at=2ai+2(.n—1)d+1.

a=l,

解得j

d=2.

因此&=2A—1,AGN*.

(2)由已知“+&+…+@=1—nGN*,

aaza?2

當〃T時，M：

當時，今=1一/一(1一判七

所以,=,，〃￡N*.

由（1）知a=2〃-1,〃6N*,

2/7—1

所以bn=一年—,〃￡N*.

”,用1,3,5,,2z?—1

所以北----/尹，

乙乙乙乙

2〃一1

n+1

乙2,

兩式相減，得

’222/7-1

亍+產(chǎn)+3-2+

312/?—12〃+3

2—牙不2〃+i，所以北=3彳一.

21.解：(1)由f(x)=&/+/一Inx,(0,+°°),得

~、2ax+bx—}.

f(A)=----------------.

①當a=0時，f(x)bx="~~f"1.

a.若6W0,當x>0時，f(x)〈0恒成立，

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8).

b.若b>0,當0<水：時，f(A)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x>：時，f(A)>0,函數(shù)f(x)

bb

單調(diào)遞增.

所以函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,力，單調(diào)遞增區(qū)間是Q,+8)

②當a>0時，令f(x)=0,得2品+以-1=0.

由4=〃+8a>0,得

-b-yj3+8a-b+73+8a

%=4a，生=4a-

顯然Xi<0,A2>0.

當0<水X2時，f(x)<0,函數(shù)F(x)單調(diào)遞減；

當力親時，f(x)>0,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)/XA)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,—"者+8)，單調(diào)遞增區(qū)間是

(~b+y]6+8a)

l―-'+8)

綜上所述，當a=0,6W0時，函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+°o)；

當a=0,力0時，函數(shù)/U)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,單調(diào)遞增區(qū)間是&+8)；

當a>0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,='+者+8)單調(diào)遞增區(qū)間是

(―b+y/1+8a)

I―'+8)

(2)由題意知函數(shù)f(x)在x=l處取得最小值.

由(1)知一』+''墳是f［x｝的唯一極小值點，故—+乎+83=1.整理，得2a+b=i,

4a4〃

即8=1—2a

1—4x

令g(x)=2-4x+lnx,則g'(x)=一~—.

令g'U)=0,得尸；.

當0<水［時，,U)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當x>［時，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

因此g(x)W5Q)=l+ln［=1—In4<0.

故g(a)<0,即2-4a+lna=2b+\n水0,

即InaC-2b.

22

22.解：⑴設(shè)橢圓C的方程為當+￡=l(a>6>0),

ab

由題意知《￡=乎，解得［a=/，

a2Q=i,

.26=2,

2

因此橢圓。的方程為之+7=L

乙

(2)(i)當48兩點關(guān)于x軸對稱時，設(shè)直線四的方程為k血