2022中考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編26矩形菱形正方形2

2022年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編26矩形、菱形、正方形一、選擇1.（2022浙江省舟山，10，3分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（）（A）48cm （B）（C）24cm （D）（第（第10題）①②③④⑤【答案】A2.（2022山東德州8,3分）圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為基本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形（如圖2），依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3），……，則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是圖1圖1圖2圖3……（A）（B）（C）（D）【答案】C3.（2022山東泰安，17，3分）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為.17C【答案】B4.（2022山東泰安，19，3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為eq\r(3)B.eq\f(3eq\r(3),2)C.eq\r(3)【答案】A5.（2022浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一個(gè)菱形BFDE(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上)，記它們的面積分別為．現(xiàn)給出下列命：（）①若，則．②若則．則:A．①是真命，②是真命B．①是真命，②是假命C．①是假命，②是真命D，①是假命，②是假命【答案】A6.（2022浙江衢州，1,3分）衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡分別架在墻體的點(diǎn)、點(diǎn)處，且,側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則()A.35°B.40°C.55°D.70°（第5題）（第5題）【答案】C7.（2022浙江溫州，6，4分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．已知∠AOB=60°，AC＝16，則圖中長(zhǎng)度為8的線段有()A．2條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】D8.2022四川重慶，10，4分）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C9.（2022浙江省嘉興，10，4分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（）（A）48cm （B）（C）24cm （D）（第（第10題）①②③④⑤【答案】A10．（2022臺(tái)灣臺(tái)北，29）如圖(十二)，長(zhǎng)方形ABCD中，E為中點(diǎn)，作的角平分線交于F點(diǎn)。若＝6，＝16，則的長(zhǎng)度為何？A．4B．5C．6D．【答案】C11.（2022湖南邵陽，7，3分）如圖（二）所示，中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，則下列式子不正確的是（）⊥BD ＝CD C.BO=OD D.∠BAD=∠BCD【答案】A.提示：當(dāng)且僅當(dāng)為菱形時(shí)，AC⊥BD。12.（2022湖南益陽，7，4分）如圖2，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形AACD圖2BB【答案】B13.（2022山東聊城，7，3分）已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm，兩條對(duì)角線的比是4∶3，則這個(gè)菱形的面積是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm【答案】B14.（2022四川宜賓,7,3分）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為（）A．3B．4C（第7題圖）（第7題圖）【答案】D15.（2022天津，5,3分）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF的大小為（）°°°°答案：C16.（2022江蘇淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cmA.5cmB.15cmC.20【答案】C17.（2022山東臨沂，11，3分）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,則四邊形BCDE的面積是（）A．2B．3C．4D．4【答案】A18.（2022四川綿陽7，3）下列關(guān)于矩形的說法中正確的是A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分【答案】D19.（2022四川樂山9，3分）如圖（5），在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，CG∥AE交BF于點(diǎn)G。下列結(jié)論：①tan∠HBE=cot∠HEB②③BH=FG④.其中正確的序號(hào)是A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D20．（2022江蘇無錫，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相平分D．對(duì)角互補(bǔ)【答案】A21.（2022湖北武漢市，12，3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：

①△AED≌△DFB；

②S四邊形

BCDG=

CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF．其中正確的結(jié)論A．只有①②．

B．只有①③．C．只有②③．

D．①②③．AABCDEFGH第12題圖【答案】D22.（2022廣東茂名，5，3分）如圖，兩條筆直的公路、相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村莊C到公路的距離為4公里，則村莊C到公路的距離是A．3公里 B．4公里C．5公里 D．6公里【答案】B23.（2022湖北襄陽，10，3分）順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形 C.矩形 D.對(duì)角線相等的四邊形【答案】D24.（2022湖南湘潭市，5，3分）下列四邊形中，對(duì)角線相等且互相垂直平分的是A.平行四邊形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】B25.（2022湖北襄陽，10，3分）順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形 C.矩形 D.對(duì)角線相等的四邊形【答案】D26.（2022廣東佛山，6，3）依次連接菱形的各邊中點(diǎn)，得到的四邊形是A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形【答案】A27.（2022山東萊蕪，10，3分）如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD，下列結(jié)論：①EG⊥FH②四邊形EFGH是矩形③HF平分∠EHG④EG=（BC-AD）⑤四邊形EFGH是菱形其中正確的個(gè)數(shù)是（）1B.2C.3D.【答案】C28.（2022廣東清遠(yuǎn)，10，3分）如圖3，若要使平行四邊形ABCD成為菱形，則需要添加的條件是（）A．AB＝CD＝BC＝BC＝BD【答案】C29.（2022湖南婁底，6,3分）下列命中，是真命的是A.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】A30.（2022湖北省隨州市，3，4分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為第3圖.16C【答案】D31.（2022江西b卷，8,3分）如圖,將矩形ABCD對(duì)折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使點(diǎn)C恰好落在折痕PQ上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)D落在D′處，其中M是BC的中點(diǎn).連接AC′，BC′，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）.A.1.2CAABD′PCDMNEC′QF第8題【答案】C32.（2022江蘇徐州，9,2分）如圖將邊長(zhǎng)為的正方形與原正方形ABCD沿對(duì)角線AC平移，使點(diǎn)A移至線段AC的中點(diǎn)A′處，的新正方形A′B′C′D′，新正方形與原正方形重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A.B.C.1D.（第9）【答案】二、填空1.（2022山東濱州，17，4分）將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示圖形。若∠CED′=56°,則∠AED的大小是_______.（第1（第17題圖）【答案】62°2.（2022山東德州16,4分）長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_____________．第一次操作第一次操作第二次操作【答案】或3.（2022湖北鄂州，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_______．AABCD

第5題圖【答案】284.（2022山東煙臺(tái)，17,4分）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是.【答案】25.(2022浙江湖州，16，4)如圖，甲類紙片是邊長(zhǎng)為2的正方形，乙類紙片是邊長(zhǎng)為1的正方形，丙類紙片是長(zhǎng)、寬分別為2和1的長(zhǎng)方形．現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張，則應(yīng)至少取丙類紙片張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形．【答案】46.(2022浙江紹興，15，5分)取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中過矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開，那剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為.【答案】7.（2022甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為?！敬鸢浮?.（2022江蘇泰州，18，3分）如圖，平面內(nèi)4條直線L1、L2、L3、L4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)Ａ、Ｃ分別在直線L1和L4上，該正方形的面積是平方單位．【答案】5或99.（2022山東濰坊，16，3分）已知線段AB的長(zhǎng)為a，以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB.取AB邊上一點(diǎn)E，以AE為邊在AB的上方作正方形AENM.過E作EF⊥CD，垂足為F點(diǎn).若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長(zhǎng)為_________________.【答案】10．（2022山東濰坊，17，3分）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則【答案】11.（2022四川內(nèi)江，16，5分）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．AABCDEFGH【答案】AB=CD12.(2022重慶綦江，14，4分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝6，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離OH＝．【答案】：13.（2022江蘇淮安，17，3分）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是.(寫出一種即可)【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD(答案不唯一，寫出一種即可)14.(2022江蘇南京，12，2分)如圖，菱形ABCD的連長(zhǎng)是2㎝，E是AB中點(diǎn)，且DE⊥AB，則菱形ABCD的面積為_________㎝2．(第12題)(第12題)BADCE【答案】15.（2022江蘇南通，15，3分）如同，矩形紙片ABCD中，AB＝2cm，點(diǎn)E在BC上，且AE＝EC.若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)重合，則AC＝▲cm.【答案】416.（2022四川綿陽17，4）如圖，將長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為_____cm.【答案】2EQ\r(,5)17.（2022四川涼山州，17，4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是。【答案】或18.（2022湖北黃岡，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_______．AABCD

第5題圖【答案】2819.（2022湖北黃石，13，3分）有甲乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖（4）.將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為?！敬鸢浮緼B=2BC20．（2022山東日照，16，4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)BM=時(shí)，四邊形ABCN的面積最大．【答案】2;21.（2022河北，14，3分）如圖6，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-4和1，則BC=__．【答案】522.（2022湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是.【答案】15°或75°23.(2022山東淄博，17，4分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)F，則CF=．【答案】24.（2022山東青島，14，3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，若以正方形ABCD的邊AB為對(duì)角線作第二個(gè)正方形AEBO1，再以邊BE為對(duì)角線作第三個(gè)正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=.【答案】25.（2022廣西貴港，16，2分）如圖所示，將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，則四邊形ABCD的面積等于cm2。AABCD60°【答案】26.（2022湖南岳陽，15,3分）將邊長(zhǎng)分別為，，，…的正方形的面積記作，，，，…，計(jì)算，，，…若邊長(zhǎng)為（n為正整數(shù)）的正方形面積記作，根據(jù)你的計(jì)算結(jié)果，猜想．【答案】三、解答1.（2022浙江省舟山，23，10分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH．（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC=（0°＜＜90°），①試用含的代數(shù)式表示∠HAE；②求證：HE=HG；③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．（第23題圖（第23題圖2）（第23題圖3）（第23題圖1）【答案】（1）四邊形EFGH是正方形．(2)①∠HAE=90°＋a．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，∴∠DHA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③四邊形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG（已證），∴GH=GF=FG=FE，∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四邊形EFGH是正方形．2.（2022安徽，23，14分）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、（＞0，＞0，＞0）．（1）求證：=；ll1l2l3l4h1h2h3ABCD（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S=；（3）若，當(dāng)變化時(shí)，說明正方形ABCD的面積S隨的變化情況．l1l1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG1423【答案】（1）過A點(diǎn)作AF⊥l3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CG⊥l3交l3于點(diǎn)G，∵l2∥l3，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD=∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°,AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；(3)由意，得，所以，又，解得0＜h1＜∴當(dāng)0＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而減小；當(dāng)h1=時(shí)，S取得最小值；當(dāng)＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而增大.3.（2022福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為.(1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長(zhǎng)；(2)如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)自→→→停止,點(diǎn)自→→→停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,=1\*GB3①已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.=2\*GB3②若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.圖圖10-1圖10-2備用圖【答案】(1)證明:①∵四邊形是矩形∴∥∴,∵垂直平分,垂足為∴∴≌∴∴四邊形為平行四邊形又∵∴四邊形為菱形②設(shè)菱形的邊長(zhǎng),則在中,由勾股定理得,解得∴(2)=1\*GB3①顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上,此時(shí)、、、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形 ∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),∵點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒∴,∴,解得∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.=2\*GB3②由意得,以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.分三種情況:=1\*romani)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得=2\*romanii)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得=3\*romaniii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是 圖圖1圖2圖34.（2022廣東廣州市，18，9分）如圖4，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF．求證：△ACE≌△ACF．圖4A圖4ABCDEF【答案】∵四邊形ABCD為菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）5.（2022山東濱州，24，10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。（第24題圖）（第24題圖）【答案】當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形………………2分證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分又∵M(jìn)N∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.………………5分同理，F(xiàn)O=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形………………7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四邊形AECF是矩形………………10分6.（2022山東濟(jì)寧，22，8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長(zhǎng)線于.當(dāng)時(shí)，與的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解思路：過作直線平行于交，分別于，，如圖，則可得：，因?yàn)?，所?可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值.(1)請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2)小東又對(duì)此作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.(第22題)(第22題)（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)，，則，，.∵，∴. 2分∴，.∴. 4分（2）證明：作∥交于點(diǎn)， 5分則，.∵，∴.∵，，∴.∴. 7分∴. 8分(第22題)(第22題)7.（2022福建泉州，25，12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B（）在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D、E、F分別為OB、OA、AB的中點(diǎn)，其中是大于零的常數(shù).（1）判斷四邊形DEFB的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）試求四邊形DEFB的面積與的關(guān)系式；（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，說明理由.【答案】（1）四邊形DEFB是平行四邊形證明：∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn)，∴DE∥AB，同理，EF∥OB，∴四邊形DEFB是平行四邊形.（2）解法一：由（1）得EF∥OB，∴△AEF～△AOB，∴∴.同理，∴，即.解法二：如圖，連結(jié)BE，.∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn)，∴.同理，∴，即.（3）解法一：以E為圓心、OA長(zhǎng)為直徑的圓記為⊙E.①當(dāng)直線與⊙E相切或相交時(shí)，若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn)，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形.此時(shí)可得△AOB～△OBC，故.即（注：本式也可以由三角函數(shù)值得到）.在Rt△OBC中，，∴,∴.解得：.②當(dāng)直線與⊙E相離時(shí)，∠ABO≠90°，∴四邊形DEFB不是矩形，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，四邊形DEFB不是矩形.綜上所述，當(dāng)，四邊形DEFB是矩形，這時(shí)；當(dāng)時(shí)，四邊形DEFB不是矩形.解法二：由（1）知，當(dāng)∠ABO=90°，四邊形DEFB是矩形，此時(shí)Rt△OBC～Rt△ABO，∴，又，∴，∴.當(dāng)時(shí)，解得，這時(shí)四邊形DEFB是矩形.當(dāng)，無實(shí)數(shù)解，這時(shí)四邊形DEFB不是矩形.綜上所述，當(dāng)時(shí)，四邊形DEFB是矩形，此時(shí).解法三：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，在Rt△AMB中，在Rt△OCB中，.在△OAB中，當(dāng)，∠ABO=90°，則四邊形DEFB是矩形.∴，化簡(jiǎn)得，配方得：.其余同解法二.8.（2022山東煙臺(tái)，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；ABCDE（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝ABCDE【答案】（1）證明：連接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）證明：過C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.9.(2022浙江湖州，22，8)如圖已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形.（2）∵四邊形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.10．（2022寧波市，23，8分）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過A點(diǎn)作AGDB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求證四邊形DEBF是菱形．解：（1）□ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)∴DF＝eq\f(1,2)DC，BE＝eq\f(1,2)AB∴DF∥BE，DF＝BE∴四邊形DEBF為平行四邊形∴DE∥BF(2)證明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴DBC為直角三角形又∵F為邊CD的中點(diǎn)．∴BF＝eq\f(1,2)DC＝DF又∵四邊形DEBF為平行四邊形∴四邊形DEBF是菱形11.（2022浙江衢州，22,10分）如圖，中，是邊上的中線，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接求證：;當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形；在（2）的條件下，若，求的值.（第22題）（第22題）【答案】.證明：(1)解法1：因?yàn)镈E解法2：又(2)解法1：證明是斜邊上的中線又四邊形是平行四邊形四邊形是菱形解法2證明：又四邊形是平行四邊形四邊形是菱形解法3證明：四邊形是平行四邊形又四邊形是菱形解法1解：四邊形是菱形的中位線，則解法2解：四邊形是菱形12.（2022廣東珠海，15，6分）（本滿分6分）如圖，在正方形ABC1D1中，AB=1.連結(jié)AC1，以AC1為邊作第二個(gè)正方形AC1C2D2；連結(jié)AC2，以AC2為邊作第三個(gè)正方形AC2C3D（1）求第二個(gè)正方形AC1C2D2和第三個(gè)正方形AC2C3D（2）請(qǐng)直接寫出按此規(guī)律所作的第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng).【答案】解：（1）∵四邊形ABC1D1是正方形，∴∠B=90°，BC1=AB=1，∴AC1==.即第二個(gè)正方形AC1C2D2邊長(zhǎng)為.同理，AC2==2.即第三個(gè)正方形AC2C3D3的邊長(zhǎng)為2.（2）第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是8.13.（2022福建泉州，21，9分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1(1)證明：△A1AD1≌△CC1B；(2)若∠ACB＝30°，試問當(dāng)點(diǎn)C1在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC1D1是菱形.（直接寫出答案）【答案】∵矩形ABCD∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。CCBADA1C1D1（第21題）∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）?！?分當(dāng)C1在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABC1D1是菱形，……………9分14.（2022甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE。（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。AABCDEFO【答案】（1）由折疊可知EF⊥AC，AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四邊形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10設(shè)AB=a，BF=b，得a2+b2=100①，ab=48②①+2×②得(a+b)2=196，得a+b=14（另一負(fù)值舍去）∴△ABF的周長(zhǎng)為24cm（3）存在，過點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合意。AABCDEFOP證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP又AC=2AO∴2AE2=AC·AP15.（2022廣東株洲，23，8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q.（1）求證：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形．【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ。（2）解法一：PD=8-t∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形.解法二：PD=8-t當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=(8-t)cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，∴，∴，解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形.16.（2022江蘇蘇州，28,9分）（本滿分9分）如圖①，小慧同學(xué)吧一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）.小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和.小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問問①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；問②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是π？請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問.【答案】解問①：如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路程為.頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為=1+π.正方形OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程為.問②：∵方形OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程為∴π=20×π+π.∴正方形紙片OABC經(jīng)過了81次旋轉(zhuǎn).17.（2022江蘇泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線L垂直平分線段AC，垂足為O，直線L分別與線段AD、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F．（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．【答案】(1)相似.由直線L垂直平分線段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．（2）四邊形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四邊形AFCE為平行四邊形，又AF=FC，所以平行四邊形AFCE為菱形．18.（2022江蘇泰州，28，12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．【答案】解：（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）（2）過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，則有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；（3）＜h≤。當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為，然后頂點(diǎn)A在x軸正半軸上向左運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，PA⊥x軸，這時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最大為，然后又逐漸減小到，∵x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O，∴點(diǎn)P到x軸的距離的取值范圍是＜h≤。19.（2022山東濟(jì)寧，17，5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形．第17題第17題【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，…………1分∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………2分∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，………3分又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，………………4分∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．………5分20．（2022山東聊城，25，12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）．（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，S的值是多少？（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍．（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）如圖甲，當(dāng)t＝1秒時(shí)，AE＝2，EB＝10，BF＝4，F(xiàn)C＝4，CG＝2，由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24(2)如圖（甲），當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上移動(dòng)，此時(shí)AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，F(xiàn)C＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）（3）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t＝2t＝8，解得t＝4，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，CF＝4t－8，CG＝2t，F(xiàn)G＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，(3)如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)時(shí)，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t＝時(shí)△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t＝時(shí)△EBF∽△GCF，綜上知，當(dāng)t＝或時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似21.（2022山東濰坊，18，8分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PE－PF的值.【解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF=OB=.22.（2022四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE=BE圖5圖5【答案】證明：∵ABCD是菱形，∠ABC=60°∴BC=AC=AD又∵DE∥AC∴ACED為平行四邊形∴CE=AD=BCDE=AC∴DE=CE=BC∴DE=BE23.(2022江蘇南京，21，7分)如圖，將□ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．⑴求證：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．AABCDEF(第21題)【答案】證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC．在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．（2）解法一：∵AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF=EF，BF=CF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．24.（2022江蘇南通，26，10分）（本體滿分10分） 已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△（如圖2）.探究AE′與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；當(dāng)α＝30°時(shí)，求證：△AOE′為直角三角形.【答案】（1）AE′＝BF證明：如圖2，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′∴∠AOE′＝∠BOF′又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA∴OE′＝OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′＝BF（2）作△AOE′的中線AM，如圖3. 則OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM為等邊三角形∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠又∵∠＋∠＝∠AMO即2∠＝60°∴∠＝30°∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°∴△AOE′為直角三角形.25.（2022山東臨沂，22，7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分別是△ABC兩個(gè)外角的平分線．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)（1）求證：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求證：四邊形ABCD是菱形；【解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，……………………（2分）∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，………………（3分）∴AC＝AD；……………………（4分）（2）證明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，∴∠DCE＝∠B＝60°，………（5分）∴DC∥AB,∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，……………（6分）又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．……………………（7分）26.（2022山東臨沂，25，11分)如圖1，獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． （1）求證：EF＝EG；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB＝a,BC＝b，求的值．圖1圖2圖3（1）證明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，………………（1分）又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………（2分）∴EF＝EG．……………………（3分）(2)成立．……………………（4分）證明：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………（5分）∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，……………（6分）∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG．………（7分）(3)解：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，則∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………（8分）∴＝＝，∴＝＝,…………（9分）∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△FEN∽R(shí)t△GEM,…………（10分）∴＝＝．…………（11分）27.（2022海南省，23，10分）如圖10，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．（1）求證：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD為等邊三角形∴∠DBC=60°，AD=BD∴∠DBC=∠A∵AP=BQ∴△BDQ≌△ADP（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AB交AB延長(zhǎng)線與點(diǎn)E（如圖）∵四邊形ABCD為菱形∴AB=AD=3∵AP=2∴BP=1，BQ=AP=2∠CBE=180°－120°=60°∴BE=1，QE=∴PE=2，PQ=∴cos∠BPQ=28.（2022四川樂山20，10分）如圖，E、F分別是矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD上的點(diǎn)，且AE=DF。求證：BE=CF【答案】證明：∵四邊形ABCD為矩形∴OA=OB=OC=OD∵AE=DF∴OE=OF在ΔBOE與ΔCOF中，∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)∴BE=CF29.（2022湖南衡陽，26，10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連結(jié)PD，過點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；(2)連結(jié)AC，若PQ∥AC,求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）(3)若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．【解】(1)假設(shè)當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合（如下圖），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，∴，∴或8，∴存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，出此時(shí)AP的長(zhǎng)2或8．(2)如下圖，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．(3)由已知PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形（如圖），∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=，∴以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S四邊形PQCD=S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP===16（4＜≤8）．30.（2022貴州貴陽，18，10分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△CDE是等邊三角形，連接EB、EA，延長(zhǎng)BE交邊AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度數(shù)．（5分）（第18圖）【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°．∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．31.（2022廣東肇慶，20，7分）如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140，求∠AFE的度數(shù)．AABCDEF【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴CD＝CB，∵AC是正方形的對(duì)角線∴∠DCA＝∠BCA又CE＝CE∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB＝140由△BEC≌△DEC可得∠DEC＝∠BEC＝1402＝70，∴∠AEF＝∠BEC＝70，又∵AC是正方形的對(duì)角線，∠DAB＝90∴∠DAC＝∠BAC＝902＝45，在△AEF中，∠AFE＝180—70—45＝6532.（2022廣東肇慶，22，8分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面積為，求AC的長(zhǎng)．AABCDEO【答案】解：（1）證明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形∴AO＝OC＝BO＝OD∴四邊形OCED是菱形．AABCDEO圖8F（2）∵∠ACB＝30°∴∠DCO＝90°—30°＝60°又∵OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形過D作DF⊥OC于F，則CF＝OC，設(shè)CF＝，則OC＝2，AC＝4在Rt△DFC中，tan60°＝∴DF＝FCtan60°由已知菱形OCED的面積為得OCDF＝，即，解得＝2，∴AC＝42＝833.（2022湖北襄陽，25，10分)如圖9，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF.（1）求證：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度數(shù)；（3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，△PFD∽△BFP？并說明理由.圖9圖9【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分∵∠DPE＝90°∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB. 2分（2）過點(diǎn)E作EG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠EGP＝∠A＝90° 3分又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分（3）方法一：當(dāng)時(shí)，△PFE∽△BFP. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分設(shè)AD＝AB＝a，則AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分∴，∴ 9分又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分方法二：假設(shè)△ADP∽△BFP，則. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分∴， 8分∴， 9分∴PB＝AP，∴當(dāng)時(shí)，△PFE∽△BFP. 10分34.（2022湖南永州，25，10分）探究問：⑴方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．（（第25題）①⑵方法遷移：如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（（第25題）②⑶問拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說明理由）．（（第25題）③【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF=∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF∴DE+BF=EF．（（第25題）②解得圖⑶當(dāng)∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，可使得DE+BF=EF．35.（2022江蘇鹽城，27，12分）情境觀察將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．圖1圖1圖2問探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3圖3拓展延伸如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4圖4【答案】情境觀察AD（或A′D），90問探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF.36.(20221江蘇鎮(zhèn)江,23,7分)已知:如圖,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E為AB中點(diǎn),求證:四邊形BCDE是菱形.答案:證明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。又E為AB中點(diǎn)，∴DE=AB,BE=AB,∴DE=BE∴∠DBE=∠EDB又AB∥CD,∴∠BDC=∠EDB∵BC=CD,∴∠DBC=∠DBC∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四邊形BCDE是平行四邊形∵BC=CD∴四邊形BCDE是菱形。37.(20221江蘇鎮(zhèn)江,25,6分)已知:如圖1,圖形①滿足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°,∠M=144°.圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形(如圖2).記作AB的長(zhǎng)度為a,BM的長(zhǎng)度為b.(1)圖中①中∠B=___度,圖中②中∠E=____度.(2)小明有兩種紙片各若干張,其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同,這咱紙片稱為“風(fēng)箏一號(hào)”另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同,這種紙片稱為“飛鏢一號(hào)”.①小明僅有“,風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形,需要這種紙片____張;②小明用若干張“風(fēng)箏一號(hào)”和“飛鏢一號(hào)”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏”(如圖3),其中∠P=72°,∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.莊股你在圖窮匕見中畫出拼接線并保留畫圖痕跡.(本中均為無重疊、無縫隙拼接) 【答案】（1）∠B=72°，∠E=36°（2）5個(gè)；（3）圖略38.（2022貴州安順，25，10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE．⑴說明四邊形ACEF是平行四邊形；⑵當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說明理由．第2第25題圖【答案】（1）證明：由意知∠FDC=∠DCA=90°．∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四邊形ACEF是平行四邊形．（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四邊形ACEF是菱形．39.（2022河南，22，10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）.過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明現(xiàn)由.（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.又∵AE=t，∴AE=DF.（2）能.理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.又AE=DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形.∵AB=BC·tan30°=若使□AEFD為菱形，則需即當(dāng)時(shí)，四邊形AEFD為菱形（3）①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形.在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，.②∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.即③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在.綜上所述，當(dāng)或4時(shí)，△DEF為直角三角形40.（2022湖南湘潭市，24，8分）（本滿分8分）兩個(gè)全等的直角三角形重疊放在直線上，如圖⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，將Rt△ABC在直線上左右平移，如圖⑵所示.⑴求證：四邊形ACFD是平行四邊形;⑵怎樣移動(dòng)Rt△ABC，使得四邊形ACFD為菱形;⑶將Rt△ABC向左平移，求四邊形DHCF的面積.圖圖(1)A(D)B(E)C(F)D圖(2)FECBAH【答案】（1）證明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，∴四邊形ACFD是平行四邊形；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四邊形ACFD為菱形，則AC=CF，∴可將Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）在Rt△ABC中，．∴當(dāng)Rt△ABC向左平移時(shí)，EC=BC-BE=8-4=4（cm），在Rt△HEC中，．∴四邊形DHCF的面積為：cm2．41.（2022湖北荊州，19，7分）（本滿分7分）如圖，P是矩形ABCD下方一點(diǎn)，將△PCD繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后恰好D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請(qǐng)說明理由.【答案】△ABE是等邊三角形，理由如下：因?yàn)椤鱌EA是將△PCD繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到的所以△PEA≌△PCD，且AE與DC所夾的銳角為60°所以AE＝DC又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形所以DC＝AB且DC∥AB所以AE＝AB且∠EAB＝60°所以△ABE是等邊三角形.42.(湖南湘西24,10分)如圖,已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,∠ACB=30°,AB=2.(1)求AC的長(zhǎng).(2)求∠AOB的度數(shù).(3)以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC,求菱形OBEC的面積.解(1)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴AC=2AB=4.(2)在矩形ABCD中,∴AO=OA=2,又∵AB=2,∴△AOB是等邊三角形,∴∠AOB=60°.(3)由勾股定理,得BC=,.,所以菱形OBEC的面積是2.43.（2022廣東深圳，21,8分）如圖11,一張矩形紙片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿對(duì)角線BD對(duì)折,點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置,BC’交AD于點(diǎn)(1)求證:AG=C’G(2)如圖12,再折疊一次,使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,得折痕EN,EN交AD于點(diǎn)M,求EM的長(zhǎng).【答案】（1）如圖3圖3由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，又圖3，故而，如圖4圖4設(shè)則圖4在中，，，解之得；故44.（2022陜西，18,6分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為BC上任意一點(diǎn)，連接AG，過B、D兩點(diǎn)分別作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為E、F兩點(diǎn)．求證：△ADF≌△BAE．【解】∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°．又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．∴∠2=∠3，∠1=∠4．∴△ADF≌△BAE．45.（2022陜西，25,10分）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F，然