基于matlab的正弦穩(wěn)態(tài)電路功率的分析

..【正文】1.前言在電工和無線電技術(shù)等領(lǐng)域中存在著許多周期性的正弦、非正弦電壓、電流〔或信號〕。對于非正弦電壓、電流〔或信號〕，可利用傅里葉變換，將周期性時間函數(shù)分解為許多不同頻率和幅值的正弦時間函數(shù)之和。然后應用疊加定理對每一頻率的正弦時間函數(shù)，用相量法計算它們的穩(wěn)態(tài)響應，將所有這些響應疊加起來，就可以得到周期性時間函數(shù)鼓勵下的穩(wěn)態(tài)響應。對稱的三相非正弦鼓勵下的三相電路，也可以根據(jù)疊加定理，先分別計算各諧波電壓單獨作用時三相電路中的電壓、電流諧波，然后疊加求出各電壓、電流[1]。電路的正弦穩(wěn)態(tài)是電路在正弦電壓〔流〕的鼓勵作用下，電路最終所到達的穩(wěn)定狀態(tài)。實際上，當電路中的自由響應衰減到可以不計時，便可認為電路進入了穩(wěn)態(tài)。在正弦穩(wěn)態(tài)下，電路中所有電流、電壓都依電源的頻率按正弦方式變化。按正弦規(guī)律變化的物理量稱為正弦量。分析正弦電路，就是要找出正弦電路的變化規(guī)律，這個規(guī)律就是描述正弦電路方程的解。在時域中，描述正弦電路的方程是常系數(shù)微分〔或積分〕方程，它的完全解由兩局部組成：一局部是對應齊次方程的通解---這局部解與鼓勵性質(zhì)無關(guān)，它可通過一般解微分方程的方法而求得；另一局部是方程的特解----它取決于鼓勵形式。以正弦電流為例，數(shù)學表達式。式中三個量、、為正弦量的三要素。稱為正弦電流的振幅〔又稱最大值或峰值〕。它表示正弦電流變化過程中所能到達的最大值。稱為正弦電流的角頻率，它表達了正弦量的相位角〔〕隨時間變化的速度，或者說表示單位時間增加的相位角。描述交流電變化快慢除用角頻率外，還用周期T來描述，周期T是指交流電變化一周所用的時間，即交流電從零開場變到最大，然后逐漸減小到零，接著反方向變到負的最大，最后又回到零所需時間。還可用頻率f來描述交流電變化快慢。頻率是指1S交流電重復出現(xiàn)的次數(shù)。角頻率和正弦量的周期T及頻率f的關(guān)系為：。稱為正弦電流的初相位〔又稱初相角〕，它是正弦量在t=0時刻的相角。兩個同頻率的正弦量之間的相位差與計時起點無關(guān)。當兩個同頻率正弦量的相位差為零時，稱這兩個正弦量同相；當相位差為180°時，稱這兩個正弦量為反相；當相位差為正時，稱電壓U領(lǐng)先電流I，領(lǐng)先角度為"，或稱電流"落后電壓"，落后角度為"[2]。研究分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法為相量法。而相量法那么是用復數(shù)來表示正弦量的有效值和初相位。運用這一方法使得正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析成為與線性電阻電路的分析在形式上一樣的問題。將相量形式的歐姆定律和基爾霍夫定律應用于電路的相量模型，建立相量形式的電路方程并求解，即可得到電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應。在分析時，畫出電路中各電壓、電流的相量圖，往往對分析電路問題會有所幫助。用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)響應的步驟可以歸納如下：(1)畫出和時域電路相對應的電路相量模型；(2)建立相量形式的電路方程，求出響應的相量；(3)將求得的相量變換成對應的時域的實函數(shù)[3]。在電能、電信號的傳輸、處理和應用等技術(shù)領(lǐng)域中，有關(guān)功率計算問題是電路計算的一個非常重要的方面,因為任何電路都毫無例外地進展著由電源或信號源到負載的功率傳輸,在交流電路中，由電源供應負載的電功率有兩種：一種是有功功率，一種是無功功率。功率因數(shù)是供用電系統(tǒng)的一項重要技術(shù)經(jīng)濟指標。在供電系統(tǒng)中，希望是功率因數(shù)越大越好，即電路中的視在功率將大局部用來轉(zhuǎn)化成有功功率，以減少無功功率。用電設(shè)備在消耗有功功率的同時，還需大量的無功功率由電源送往負荷，功率因數(shù)反映的是用電設(shè)備在消耗一定的有功功率的同時所需的無功功率。負載功率因數(shù)的上下，關(guān)系到輸配電線路、設(shè)備的供電能力，也影響到功率損耗，對于電力系統(tǒng)供電設(shè)備的充分利用，有著顯著的影響[4]。提高功率因數(shù)常用的方法就是在保證負載功率不變的情況下，采用無功補償來減小無功功率，從而提高功率因數(shù)。在日常生活中，一般的用電設(shè)備都是感性的，導致其功率因數(shù)都很低，影響了線路及配電變壓器的經(jīng)濟運行。如工廠里的電動機，它會產(chǎn)生感性無功功率，不但使線路消耗電能，增加線路的負擔，更是占用電源變壓器的容量，是不好的。只有通過合理配置無功功率補償設(shè)備，提高系統(tǒng)的功率因數(shù)，才能到達降低損耗的目的，獲得經(jīng)濟利益。為了提高功率因數(shù)，必須增加無功功率補償設(shè)備以減少無功功率。通常采用的方法是在感性負載上并聯(lián)電容器，使感性負載與容性負載的無功功率相互補償，這時對變壓器來說就增加了功率的利用率。無功補償裝置就是配套的電容器〔由許多只電容器并聯(lián)而成〕，它由自動控制設(shè)備自動接入電路，既不會補償缺乏，也不會補償過頭。在實際中，提高功率因數(shù)意味著：〔1〕提高用電質(zhì)量，改善設(shè)備運行條件，可保證設(shè)備在正常條件下工作，這就有利于平安生產(chǎn)?！?〕可節(jié)約電能，降低生產(chǎn)本錢，提高經(jīng)濟效益?！?〕能提高有功功率在視在功率中的比值，充分提高電能的利用率?！?〕可減少線路的功率損失，提高電網(wǎng)輸電效率。例如：當輸出電壓和功率一定時，=0.5時的線路損耗是=1時的4倍?！?〕因發(fā)電機的發(fā)電容量的限定，提高功率因數(shù)也就使發(fā)電設(shè)備得到充分利用[5]。在實際用電過程中，提高負載的功率因數(shù)是最有效地提高電力資源利用率的方式。在現(xiàn)今可用資源接近匱乏的情況下，除了盡快開發(fā)新能源外，更好利用現(xiàn)有資源是我們解決燃眉之急的唯一方法，而對于目前人類所大量使用和無比依賴的電能來說，提高功率因數(shù)將是非常重要的。如何提高功率因數(shù)的問題，從理論上來講，是一個比擬簡單的問題，因而對功率因數(shù)的提高與元件參數(shù)、電源電壓、電源頻率的關(guān)系，研究的文獻不是很多。本文將對不同性質(zhì)負載的電路，如何提高功率因數(shù)的問題進展詳細的討論。2.正弦電流電路中的功率在電能、電信號的傳輸、處理和應用等技術(shù)領(lǐng)域中，有關(guān)電功率的問題都是有重要意義的。在這一節(jié)里討論正弦電流電路中的功率。設(shè)有一個二端網(wǎng)絡(luò)，取電壓、電流的參考方向如圖2.1所示。2.1瞬時功率設(shè)：式(2-1)式(2-2)其中那么無源一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率為式(2-3)可見，功率由兩局部組成,一局部為，它是與時間無關(guān)的恒定分量；另一局部為，它是時間的周期函數(shù)，角頻率為2?；蛘哒f，它由不可逆分量和可逆分量兩局部組成。R、L、C元件的瞬時功率：電阻是耗能元件，任一時刻吸收的電功率為非負值，電感、電容的瞬時功率是正負對稱交變的，一周期吸收的電能與放出的電能相等。它們是不耗能的、儲能的無源元件。電阻R："=0，式(2-4)電感L："="/2，式(2-5)電容C："=－"/2，式(2-6)2.2平均功率平均功率指瞬時功率在一周期的平均值，又稱為有功功率，簡稱為功率。平均功率是用電設(shè)備將電能轉(zhuǎn)換為其他形式能量〔如機械能，光能，熱能〕的電功率。式(2-7)可求得式(2-8)其中。P的單位為瓦特(W)。上式說明正弦電流電路的有功功率不僅與電流、電壓的有效值有關(guān)，而且與它們之間的相位差的余弦有關(guān)，此稱為電路的功率因數(shù)，取值是在0～"的圍。R、L、C元件的平均功率：如使用有效值，電阻元件所消耗的平均功率可以按直流電阻電路中所用的公式來計算。在正弦鼓勵時，電感、電容所吸收的平均功率均為零。電阻元件R：，式(2-9)電感元件L：，式(2-10)電容元件C：，式(2-11)2.3無功功率無功功率通俗地講就是不消耗電能的用電設(shè)備所消耗的功率，它是用于電路電場與磁場的交換，并用來在電氣設(shè)備中建立和維持電場或磁場的電功率。它對外不做功，而是電磁能的相互轉(zhuǎn)換，表示電路的儲能元件與電源之間所交換的那一局部能量。網(wǎng)絡(luò)N的無功功率Q定義為：式(2-12)即瞬時功率可逆局部的幅值。無功功率的單位為乏〔Var〕，可用無功功率表測量。R、L、C元件的無功功率：電阻不吸收無功功率，電感吸收正值的無功功率，電容吸收負值的無功功率。電阻元件R：式(2-13)電感元件L：式(2-14)電容元件C：式(2-15)2.4視在功率依照直流電路中的功率等于電流和電壓相乘積的關(guān)系，將正弦交流電路中電流有效值與電壓有效值的乘積叫做視在功率，也稱為表觀功率，它表示在滿足一端口電路有功功率和無功功率兩者的須要時，要求外部提供的功率容量，以表示，單位伏、安〔〕，以區(qū)別有功功率和無功功率。許多電氣設(shè)備上都標有額定電壓和額定電流值，把它們二者的乘積稱為容量，所以視在功率往往是指電氣設(shè)備的容量。視在功率，平均功率和無功功率之間滿足直角三角形的關(guān)系。稱為功率三角形，如圖2.2所示，可知：""""""""""""2.5復功率復功率沒有實際意義，只是一個計算用的復數(shù)。定義復功率的目的是為了能直接用電壓電流相量來求解功率問題，使三個功率的關(guān)系變得一目了然。復功率概念適用于單個元件或任何一段電路。定義復功率式(2-16)即復功率的實部為有功功率，虛部為無功功率。在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復功率之代數(shù)和為零，這稱為復功率平衡定理：2.6功率因數(shù)功率因數(shù)表達式為：式(2-17)不能反映的正負，需另加說明。常以"滯后〞表示電流滯后于電壓，角為正；以"超前〞表示電流超前于電壓，角為負。功率因數(shù)小于或等于1。功率因數(shù)的大小說明有功功率占視在功率的比例。功率因數(shù)決定于電路端電壓和電流之間的相位差。小于1，電路中就發(fā)生能量互換，出現(xiàn)無功功率，在實際計算中，可用電能值代替相應的功率[6]。2.7小結(jié)本章從分析無源一端口網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率出發(fā)，分析了有功功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)提高以及各個功率之間的相互關(guān)系。為了方便正弦電路中相量的計算，引入了復功率的概念。最后通過電路中復功率的守恒，進而得出有功功率守恒和無功功率守恒。3.電源電壓、頻率不變，元件參數(shù)對功率因數(shù)的影響下面就電源電壓、電源頻率不變的情況下，分不同電路討論元件參數(shù)對功率因數(shù)的影響。3.1感性電路在等效串聯(lián)電路中，要知道此負載是容性的還是感性的，可判斷容抗和感抗的大小。如果,那么此負載屬于感性的。那么與簡單的電路一樣。下面要研究的是即感性負載。分四種情況討論對功率因數(shù)的改善：串聯(lián)電容和電感；關(guān)聯(lián)電容和電感。對串聯(lián)電路，電路圖及相量圖如圖3.1、3.2所示，正弦電壓U=380V，f=50Hz。且令R=30Ω，L=127mH。此時電路的功率因數(shù)為0.6。以電流為參考相量3.1.1串聯(lián)電容在電路中串聯(lián)一個電容，電路中電感所消耗的無功功率與電容所消耗的無功功率可以相互補償，用這種補償?shù)姆椒梢缘竭_降低無功功率的目的。其電路圖和相量圖如圖3.3、3.4所示：串聯(lián)電容前的阻抗：式(3-1)功率因數(shù)：式(3-2)串聯(lián)電容后的阻抗：式(3-3)功率因數(shù)：式(3-4)要提高電路的功率因數(shù)，那么有，所以，當，即時電路的功率因數(shù)會增大，且有，即時電路的功率因數(shù)取最大值；而當，即，電路的功率因數(shù)反而會減小。計算結(jié)果說明：當電容C的值大于39時，電路的功率因數(shù)大于0.6。當電容C的值等于78時，電路的功率因數(shù)到達最大值1(此時電路發(fā)生諧振)，當電容C的值小于39時，電路的功率因數(shù)小于0.6。3.1.2串聯(lián)電感在電路中串聯(lián)一個電感。電路圖和相量圖如下：當電路中串聯(lián)電感時，阻抗增大，功率因數(shù)只會減少，不會提高。3.1.3并聯(lián)電容在感性負載的兩端并聯(lián)一個電容。并聯(lián)電容后不會影響原電路的有功功率，但并聯(lián)電容后，電容的無功功率"補償〞了電感的無功功率，減少了電源的無功功率，從而改善電路的功率因數(shù)。其電路圖和相量圖如下：電路中的導納〔如圖3.9〕式(3-5)并聯(lián)電容前的導納：式(3-6)功率因數(shù)：式(3-7)并聯(lián)電容后的導納：式(3-8)功率因數(shù)：式(3-9)要提高電路的功率因數(shù)，那么：即即所以當時，電路的功率因數(shù)會提高。且有當時，電路的功率因數(shù)取最大值1；而當電容時，電路的功率因數(shù)反而會減小。計算結(jié)果說明：當電容C的值小于125時，電路的功率因數(shù)大于0.6。當電容C的值等于62.5時，電路的功率因數(shù)到達最大值1(此時電路發(fā)生諧振)，當電容C的值大于125時，電路的功率因數(shù)小于0.6。3.1.4并聯(lián)電感在電路中并聯(lián)一個電感。電路圖和相量圖如下：如果并聯(lián)電感，由相量圖可知，電路總電流將增加，功率因數(shù)只會減少，不會提高。與前面的討論可以看出，在感性電路中串聯(lián)電感和電容，可以改變電路功率因數(shù)，但電路中的電流將發(fā)生變化。為了保證負載的功率不變，一般應改變輸入電壓。而供電電壓一般是不變的，所以串聯(lián)電容和電感不是最好的補償方法。并聯(lián)電感也可以改變功率因數(shù)，但功率因數(shù)只會減少，不會提高。并聯(lián)電容可以保證負載正常工作，同時可以提高功率因數(shù)。在感性負載中并聯(lián)容性負載，可以提高功率因數(shù)，原理是用電容器的無功功率來補償感性負載的無功功率，從而減少甚至消除感性負載與電源之間原有的能量交換。但要注意，采用并聯(lián)電容來做無功補償?shù)臅r候，應該考慮電容器的耐壓值。必要時可以串聯(lián)一個恰當阻值的電阻[7]。3.2容性負載上面研究了感性負載功率因數(shù)的改變問題，下面我們將對容性電路功率因數(shù)的改變進展研究。如果感抗,那么此電路屬于容性電路。它與簡單的電路差不多。簡化電路的電路圖和相量圖如下：正弦電壓U=380V，f=50Hz。且令R=30Ω，C=80。電路的功率因數(shù)為0.6。3.2.1串聯(lián)電感在電路中串聯(lián)一個電感。電路圖和相量圖如下：串聯(lián)電感前的阻抗：式(3-10)功率因數(shù)為：式(3-11)串聯(lián)電感后的阻抗：式(3-12)功率因數(shù)為：式(3-13)要提高電路的功率因數(shù)那么應有：即所以當時電路的功率因數(shù)會提高，且有當，即時，電路的功率因數(shù)取最大值1；當時，電路的功率因數(shù)反而會減小。計算結(jié)果說明：當電感L的值小于255mH時，電路的功率因數(shù)大于0.6。當電感L的值等于127.5mH時，電路的功率因數(shù)到達最大值1，當電感L的值大于255mH時，電路的功率因數(shù)小于0.6。3.2.2串聯(lián)電容在電路中串聯(lián)一個電容。電路圖和相量圖如下串聯(lián)電容后，等效電容減小，阻抗增大，功率因數(shù)只會減少，不會提高。3.2.3并聯(lián)電感在負載兩端并聯(lián)一個電感，其電路圖和相量圖如下：并聯(lián)電感前的導納：式(3-14)功率因數(shù)：式(3-15)并聯(lián)電感后的導納：式(3-16)功率因數(shù)：式(3-17)由于當、不變時，與L成反比，所以，當時〔如圖3.20中A點〕，電路的功率因數(shù)會提高；當時〔如圖3.20中C點〕，功率因素不變；當時〔如圖3.20中B點〕電路的功率因數(shù)取最大值1；而當時〔如圖3.20中D點〕電路的功率因數(shù)反而會減小。計算結(jié)果說明：當電感L的值大于100mH時，電路的功率因數(shù)大于0.6。當電感L的值等于200mH時，電路的功率因數(shù)到達最大值1，當電感L的值小于100mH時，電路的功率因數(shù)小于0.6。3.2.4并聯(lián)電容在負載兩端并聯(lián)一個電容，其電路圖和相量圖如下：并聯(lián)電容后線路總電流增大，功率因數(shù)只會減少，不會提高。3.3小結(jié)在容性電路中串聯(lián)電感和電容，可以改變電路功率因數(shù)，但電路中的電流將發(fā)生變化。為了保證負載的功率不變，一般應改變輸入電壓。而供電電壓一般是不變的，所以串聯(lián)電容和電感不是最好的補償方法。并聯(lián)電容也可以改變功率因數(shù)，但功率因數(shù)只會減少，不會提高。并聯(lián)電感可以保證負載正常工作，同時可以提高功率因數(shù)。但在接入電感時，要考慮電感是不是能承受所加載的電壓，如果不考慮這個因素，只管接入電感大小，有可能將電感損壞。在接入電感的時候，必要時在電感的這條支路上串聯(lián)一個適當?shù)碾娮杈筒蝗菀讓㈦姼袚p壞了[8～10]。4.元件參數(shù)不變，電源電壓、頻率對功率因數(shù)的影響前面我們研究了電源電壓與頻率一定的情況下，對容性電路和感性電路的功率因數(shù)的改善進展了研究。下面再對電源的輸出電壓和頻率變化的情況下進展研究。在前面的討論可以看出，要改善電路的功率因數(shù)，主要是對電路中的阻抗進展研究。那么我們改變電源電壓，或電源頻率，電路中的阻抗又會起怎樣的變化呢？通過上面對容性電路和感性電路的研究可看出，電壓的變化不會引起阻抗的變化，因此，電路的功率因數(shù)肯定不會變化，即電源電壓對功率因數(shù)沒有影響。當然角頻率的變化那么一定會引起阻抗的變化。但角頻率的變化電阻的阻抗不會變化，而電感和電容的阻抗那么會變化。電路的功率因數(shù)肯定會變化[11]。我們來看一下具體電路。4.1感性電路串聯(lián)電路中角頻率的變化，只有電感的阻抗會變化。電感的阻抗隨角頻率的增大而增大。而此電路的功率因數(shù)為，由可知，電路的功率因數(shù)隨角頻率的增大而減小，那么要提高電路的功率因數(shù)只有減小角頻率。同樣在并聯(lián)電路中也只有電感的阻抗會變化。并聯(lián)時電路的功率因數(shù),由可知，此時電路的功率因數(shù)隨角頻率的增大而增大。這時候要提高電路的功率因數(shù)可以提高角頻率。4.2容性電路同分析感性電路一樣，在串聯(lián)電路中，只有電容的阻抗會變化，且隨角頻率的增大而減小。在串聯(lián)電路中，，由可知，功率因數(shù)隨著角頻率的增大而增大。要提高電路的功率因數(shù)可增大角頻率。而并聯(lián)電路中，，由可知，功率因數(shù)隨著角頻率的增大而減小。那么要提高電路的功率因數(shù)可減小角頻率。4.3串聯(lián)電路電路的功率因數(shù)為，如果，功率因數(shù)隨著角頻率的增大而減??；如果，功率因數(shù)隨著角頻率的增大而增大。當電路諧振，即時，功率因數(shù)最大。為了盡量提高功率因數(shù)，應盡量使趨近于。而電源電壓對電路的功率因數(shù)沒有影響。4.4并聯(lián)電路電路的功率因數(shù)，如果，電路呈容性，功率因數(shù)隨著角頻率的增大而減??；如果，電路呈感性，功率因數(shù)隨角頻率的增大而增大。同樣電路諧振，即時，功率因數(shù)最大。要盡量提高電路的功率因數(shù)，應盡量使趨近于。而電源電壓對電路的功率因數(shù)沒有影響。4.5小結(jié)通過上面對各種電路的研究可看出，在元件參數(shù)、電源電壓不變的情況下，角頻率的變化會引起阻抗的變化，從而影響功率因數(shù)的變化。在具體的的電路中，通過增大角頻率或減小角頻率來提高功率因數(shù)。5.討論用本文講到的幾種方案來改善功率因數(shù)，哪一種方法最好？哪一種更加經(jīng)濟合理？我們已經(jīng)知道，串聯(lián)補償是不好的，這是因為在供電電壓一般不變的情況下，這種方法將影響負載的正常工作。這里我們要計算的就是在感性負載中并聯(lián)容性負載來提高功率因數(shù)和在容性負載中并聯(lián)感性負載來提高功率因數(shù)。例1：在電壓有效值為220V時，負載的有功功率為，頻率為的RL串聯(lián)電路中，計算將功率因數(shù)從提高到，需要并聯(lián)多大的電容？設(shè)負載原有功率因數(shù)為，現(xiàn)要到達的功率因數(shù)為，電路相量圖3.8所示：為沒有并聯(lián)電容前電流：式(5-1)為并聯(lián)電容后的電流：式(5-2)式(5-3)由于：式(5-4)所以：式(5-5)所需并聯(lián)電容的值為式(5-6)式(5-7)從經(jīng)濟本錢角度來說，電容取小值，即取減號。所以：例2：在電壓有效值為220V時，負載的有功功率為，頻率為的RC串聯(lián)電路中，計算將功率因數(shù)從提高到，需要并聯(lián)多大的電感？設(shè)負載原有功率因數(shù)為，現(xiàn)要到達的功率因數(shù)為，那么所需要并聯(lián)的電感L的計算式，可從下面的推導得出。設(shè)負載所消耗的有功功率不變，負載的電壓不變，以電壓為參考量為沒有并聯(lián)電感前電流：式(5-8)為并聯(lián)電感后的電流：式(5-9)由圖3.18和圖3.19可得:式(5-10)由于：式(5-11)所以：式(5-12)所需并聯(lián)電感的值為：式(5-13)從經(jīng)濟本錢角度來說，電感取小值，即取加號，所以：在確定了我們所需要電容的大小時，我們可以將很多小的電容并聯(lián)在一起形成一個較大的電容器。這是根據(jù)電容并聯(lián)的特性〔〕例如上面我們計算的電容的大小，根據(jù)市場調(diào)查，一個的電容只要1元錢，一個的電容要4元錢，一個的要10元錢。從市場調(diào)查我們可以看出，電容的價格與他的容量有關(guān)。電容的容量越大，價格就越高。如果我們要一個的電容，用不同容量的電容，哪一個比擬合算。表：電容的容量與價格的關(guān)系元件大小258元件數(shù)量〔個〕1564元件價格〔元〕1410總額〔元〕152440從上表我們可以看出，用多個小容量的電容并聯(lián)來補償可以得到更多的經(jīng)濟效益。所以在無功補償?shù)臅r候，不但要考慮我們要補償?shù)姆桨福€要考慮我們補償時，電容的用法。比方，直接用大的電容也可以補償，可那樣在設(shè)備的投入上就要增加資金。不管對負載的無功補償是用什么樣的電容，最終的目的只有一個，就是要增加經(jīng)濟效益。用同樣的方法可以對