浙江省杭州市市夏衍中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

浙江省杭州市市夏衍中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，則（

）A.81 B.243 C.324 D.216參考答案：D【分析】利用項(xiàng)和關(guān)系，代入即得解.【詳解】利用項(xiàng)和關(guān)系，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的項(xiàng)和關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析出四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可得到答案．【解答】解：A中，f（x）=是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)；B中，f（x）=是減函數(shù)，但不具備奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函數(shù)又是減函數(shù)；D中，f（x）=﹣tanx是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)；故選C．3.已知集合,,若，則實(shí)數(shù)=A.3

B.2

C.2或3

D.0或2或3參考答案：D4.如圖，正六邊形ABCDEF中，A. B. C. D.參考答案：D因?yàn)?所以,選D.5.如圖所示，已知?jiǎng)t下列等式中成立的是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A6.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：（1+i）z=2，∴z===1﹣i．則復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.某算法的程序框圖如圖所示，如果輸出的結(jié)果是26，則判斷框內(nèi)應(yīng)為中學(xué)聯(lián)盟網(wǎng)A. B.

C. D.參考答案：C略8.已知A、B、C是圓O上的三個(gè)點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓外一點(diǎn)．若，其中m，n∈R．則m+n的取值范圍是（）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，將，兩邊平方，消去半徑得m、n的數(shù)量關(guān)系，利用向量加法的平行四邊形法則，可判斷m+n一定為負(fù)值，從而可得正確結(jié)果．【解答】解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴1=m2+n2+2mncos∠AOB當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，m2+n2+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，當(dāng)，趨近射線OD，由平行四邊形法則=+=m+n，此時(shí)顯然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范圍（﹣1，0）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量數(shù)量積運(yùn)算的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．9.若向量、滿足、，，則與的夾角為A． B． C． D．參考答案：C10.若集合、b、）中三個(gè)元素為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形，那么該三角形一定不可能是

（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則____.參考答案：略12.計(jì)算：________．參考答案：0略13.使不等式（其中）成立的的取值范圍是

．參考答案：14.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為

．參考答案：6由約束條件畫出可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)可變形為，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值，即是截距的最小值，當(dāng)過B(3,0)點(diǎn)時(shí)，，填6.

15.由點(diǎn)P（1，﹣2）向圓x2+y2﹣6x﹣2y+6=0所引的切線方程是

．參考答案：x=1或5x﹣12y﹣29=0．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，從而得到圓心為C（3，1），半徑r=2．再根據(jù)切線到圓心的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，并結(jié)合分類討論可得所求的切線方程．【解答】解：圓x2+y2﹣6x﹣2y+6=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=4．∴圓心為C（3，1），半徑r=2．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P（1，﹣2）的直線與x軸垂直時(shí)，方程為x=1，恰好到圓心C到直線的距離等于半徑，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P（1，﹣2）的直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)方程為y+2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2=0由圓C到直線的距離d=r，得，解之得k=此時(shí)直線的方程為y+2=（x﹣1），化簡(jiǎn)得5x﹣12y﹣29=0．綜上所述，得所求的切線方程為x=1或5x﹣12y﹣29=0．故答案為：x=1或5x﹣12y﹣29=0．16.對(duì)于三次函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心。給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算=

。參考答案：2012略17.已知函數(shù)，則在[0,10]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，使得的概率是

.參考答案：0.6

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（15分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí)，求二面角C1﹣EF﹣A的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與平面垂直的性質(zhì)；反三角函數(shù)的運(yùn)用；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】：證明題；綜合題；壓軸題；探究型；向量法．【分析】：（I）法一：幾何法：要D1E⊥平面AB1F，先確定D1E⊥平面AB1F內(nèi)的兩條相交直線，由三垂線定理易證D1E⊥AB1，同理證明D1E⊥AF即可．法二：代數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的數(shù)量積等于0，來證垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，轉(zhuǎn)化為求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂線定理方法：E、F都是所在線的中點(diǎn)，過C連接AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連接C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用空間向量數(shù)量積公式求出二面角的余弦值，再求其角．解法一：（I）連接A1B，則A1B是D1E在面ABB1A；內(nèi)的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF．連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影．∴D1E⊥AF?DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)．∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F．（6分）

（II）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí)，由（I）知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接EF，則EF∥BD．連接AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連接C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，從而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小為．

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F?D1E∪AF?即x=．故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F

（2）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，又E是BC的中點(diǎn)，連接EF，則EF∥BD．連接AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則AH⊥EF．連接C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小為π﹣arccos．【點(diǎn)評(píng)】：本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．空間向量計(jì)算法容易出錯(cuò)．19.（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）

參考答案：解：（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.

20.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：B1C∥平面A1BD；(Ⅱ)若，求三棱錐A1-ABD的體積.

參考答案：（1）連結(jié)AB1交A1B于點(diǎn)O，則O為AB1中點(diǎn)，21.“城中觀?！笔墙陙韲鴥?nèi)很多大中型城市內(nèi)澇所致的現(xiàn)象，究其原因，除天氣因素、城市規(guī)劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內(nèi)澇的一個(gè)重要原因。暴雨會(huì)沖刷城市的垃圾雜物一起進(jìn)入下水道，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V(單位：立方米／小時(shí))是雜物垃圾密度x（單位：千克／立方米）的函數(shù)。當(dāng)下水道的垃圾雜物密度達(dá)到2千克／立方米時(shí)，會(huì)造成堵塞，此時(shí)排水量為0；當(dāng)垃圾雜物密度不超過0.2千克／立方米時(shí)，排水量是90立方米／小時(shí)；研究表明，時(shí)，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù)。當(dāng)時(shí)，求函數(shù)V(x)的表達(dá)式；當(dāng)垃圾雜物密度x為多大時(shí)，垃圾雜物量（單位時(shí)間內(nèi)通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克／小時(shí)）可以達(dá)到最大，求出這個(gè)最大值。參考答案：時(shí)，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù)，設(shè)為（2）千克／小時(shí)，

所以，當(dāng)雜物垃圾密度x=1千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小時(shí)。略22.為了調(diào)查觀眾對(duì)電視劇《風(fēng)箏》的喜愛程度，某電視臺(tái)舉辦了一次現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查活動(dòng).在參加此活動(dòng)的甲、乙兩地觀眾中，各隨機(jī)抽取了8名觀眾對(duì)該電視劇評(píng)分做調(diào)查（滿分100分），被抽取的觀眾的評(píng)分結(jié)果如圖所示.（Ⅰ）計(jì)算：①甲地被抽取的觀眾評(píng)分的中位數(shù)；②乙地被抽取的觀眾評(píng)分的極差；（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，若從乙地的所有觀眾中再隨機(jī)抽取4人進(jìn)行評(píng)分調(diào)查，記抽取的4人評(píng)分不低于90分的人數(shù)為，求的分布列與期望；（Ⅲ）從甲、乙兩地分別抽取的8名觀眾中各抽取一人，在已知兩人中至少一人評(píng)分不低于90分的條件下，求乙地被抽取的觀眾評(píng)分低于90分的概率.參考答案：（Ⅰ）由莖葉圖可知，甲地被抽取的觀眾評(píng)分的中位數(shù)是83，乙地被抽取的觀眾評(píng)分的極差是（Ⅱ