八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試重難點(diǎn)題型（舉一反三）

專題1.5期中考試重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【浙教版】【知識(shí)點(diǎn)1】三角形的基本概念

三角形：不在同一條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形。

【知識(shí)點(diǎn)2】三角形的分類1.按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形（定義，區(qū)別）。2.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。

【知識(shí)點(diǎn)3】三角形的基本性質(zhì)

1.三角形的內(nèi)角和是180°。

2.三角形的任何兩邊的和大于第三邊（由兩點(diǎn)之間線段最短得到）。三角形的任何兩邊的差小于第三邊三角形的任何兩邊之和大于第三邊大于兩邊之差。應(yīng)用：知兩條確定第三條范圍；知三條判斷能否組成三角形；知四條及以上3.三角形的外角：由三角形一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角。

三角形的一個(gè)外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（教材P7做一做）。

【知識(shí)點(diǎn)4】幾條重要的線

1.三角形的角平分線：一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，頂點(diǎn)與對邊交點(diǎn)的連線段叫做三角形的角平分線；三條角平分線都在三角形內(nèi)且相交于一點(diǎn)；2.三角形的中線：連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段；三條中線都在三角形內(nèi)且相交于一點(diǎn)；3.三角形的高；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對邊所在的直線作垂線段。

銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部相交于一點(diǎn)。直角三角形的直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，三條高在三角形的直角頂點(diǎn)處相交于一點(diǎn)。鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高都在三角形的外部，三條高在三角形的外部相交于一點(diǎn)。會(huì)帶來面積問題、直角、直角三角形

線段的垂直平分線(中垂線)：垂直并平分一條線段的直線。

中垂線性質(zhì)：線段的中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。5.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

逆定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上?！局R(shí)點(diǎn)5】全等三角形

1.全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形。形狀相同、大小相等的圖形；

2.全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形。

3.對應(yīng)頂點(diǎn)：能夠相互重合的頂點(diǎn)；對應(yīng)邊：

相互重合的邊；有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；

對應(yīng)角：相互重合的角。有公共角的，角一定是對應(yīng)角；有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；

性質(zhì)定理：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等。注意“對應(yīng)”二字。

SSS——三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

SAS——一個(gè)角和夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

ASA——兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；AAS——

兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

問題：為什么SSA不可以判定？HL——直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。用符號≌表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上?！局R(shí)點(diǎn)6】靈活運(yùn)用全等判定定理

1.判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。2.要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3.要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。

（1）已知條件中有兩角對應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對邊相等(AAS)

（2）已知條件中有兩邊對應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)

（3）已知條件中有一邊一角對應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS

或

ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)【知識(shí)點(diǎn)7】尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：在幾何作圖中，我們把用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，簡稱尺規(guī)作圖。1.基本作圖作等量線段、作等量角、作線段的和差倍、作角的和差倍、2.作線段的中垂線、作角的平分線、中垂線角平分線在一起作、3.作三角形知三邊、知兩邊夾角、知兩角夾邊、知一邊及該邊上的高

作法：有規(guī)定名稱時(shí)需格外注意字母的標(biāo)注注意務(wù)必考慮三角形的各要素（類比于三角形全等的判定條件）。

【知識(shí)點(diǎn)8】定義、命題與證明1.定義：能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。2.命題：定義：判斷某一件事情的句子結(jié)構(gòu)：由條件和結(jié)論兩部分組成。句式改寫：如果……那么……分類：真命題通過推理的方式來判斷、人們經(jīng)過長期實(shí)踐公認(rèn)為正確的假命題通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例)3.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題.4.互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理.5.證明：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理(包括推論)、一步一步推得結(jié)論成立的推理過程。證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在已知中寫出條件，在求證中寫出結(jié)論(3)在證明中寫出推理過程。在解決幾何問題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫成虛線?！局R(shí)點(diǎn)9】圖形的軸對稱軸對稱圖形定義：一個(gè)沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合圖形。對稱軸：定義、位置的確定、條數(shù)、對稱點(diǎn)、作圖、性質(zhì)：對稱軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段圖形的軸對稱定義、性質(zhì)：成軸對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形?！局R(shí)點(diǎn)10】等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)：

邊——等腰三角形兩腰相等；角——等腰三角形兩底角相等(即在同一個(gè)三角形中，等邊對等角)；線——等腰三角形三線合一，這三線是指頂角的平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，也就是說一條線段充當(dāng)三種身份；是常添的輔助線等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有1條或3條。

2．等腰三角形的判定：

邊——有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎？）

角——有兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形（即在同一個(gè)三角形中，等角對等邊）。

3．等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形各條邊相等，各內(nèi)角相等，且都等于60。；三線合一在每邊上都成立。等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸。

4．等邊三角形的判定：

邊——有三條邊相等的三角形是等邊三角形；角——有三個(gè)角都是60。的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是60。的三角形是等邊三角形；邊角——有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

【知識(shí)點(diǎn)11】直角三角形1．直角三角形的性質(zhì)：

角——直角三角形兩銳角互余；邊——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；邊——直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

2．直角三角形的判定：

角——有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；角——有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；邊——較小兩邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形。

邊——一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，(但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。)

3．直角三角形全等的判定：

邊——斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

【知識(shí)點(diǎn)12】不等式的概念：

一般的，用符號“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”連接的式子叫做不等式。不等式中可以含有未知數(shù)，也可以不含）

用不等號連接的，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式。

【知識(shí)點(diǎn)13】不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：如果a>b,b>c那么a>c性質(zhì)2：如果a>b,那么a±c>b±c

即不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。性質(zhì)3：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)如果a>b，c<0，那么ac<bc(或a/c<b/c)

即不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

注；不等式的兩邊都乘以0,不等號變等號?！究键c(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】【例1】（2019秋?洛龍區(qū)校級期中）已知△ABC的三邊長為a，b，c，化簡|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的結(jié)果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與b﹣a﹣c的符號，再把要求的式子進(jìn)行化簡，即可得出答案．【答案】解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的三邊關(guān)系、絕對值、整式的加減，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與，b﹣a﹣c的符號．【變式1-1】（2019秋?濉溪縣期中）設(shè)三角形三邊之長分別為3，8，1﹣2a，則a的取值范圍為（）A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a(chǎn)＜﹣5或a＞2【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊列出不等式組求出其解即可．【答案】解：由題意，得8﹣3＜1﹣2a＜8+3，即5＜1﹣2a＜11，解得：﹣5＜a＜﹣2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形三邊關(guān)系建立不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，不等式組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系建立不等式組是關(guān)鍵．【變式1-2】（2019秋?寧都縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5【分析】先延長AD到E，且AD＝DE，并連接BE，由于∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，利用SAS易證△ADC≌△EDB，從而可得AC＝BE，在△ABE中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得2＜AE＜8，從而易求1＜AD＜4．【答案】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4，∴l(xiāng)的取值范圍是1＜l＜4，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式1-3】（2019?防城港期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【分析】設(shè)AB＝AC＝x，則BC＝20﹣2x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【答案】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，∴設(shè)AB＝AC＝xcm，則BC＝（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次不等式組，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2三種雙角平分線應(yīng)用】【例2】（2018春?翠屏區(qū)校級期中）已知△ABC，下列說法正確的是（只填序號）．①如圖（1），若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°+∠A；②如圖（2），若點(diǎn)P是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°﹣∠A；③如圖（3），若點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝∠A．【分析】①正確．三角形的內(nèi)角和為180°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），從而得證；②正確．根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠P＝90°﹣∠A．③正確．根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，由外角的性質(zhì)可得∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，等量代換求出結(jié)果；【答案】解：①正確．∵P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A；②正確．∵BP、CP為△ABC兩外角的平分線，∴∠BCP＝∠BCE＝（∠A+∠ABC），∠PBC＝∠CBF＝（∠A+∠ACB），由三角形內(nèi)角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．③正確．∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∠P＝∠A；故答案為①②③．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．【變式2-1】（2019秋?新洲區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝度．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，然后整理可得∠D＝∠A．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，∴（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+∠ABC，∴∠BOC＝∠A，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，要注意整體思想的利用．【變式2-2】（2019秋?高密市期中）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BD的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，若∠A＝60°，則∠A2的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，故答案為15°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2018秋?江漢區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC與△ABC的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F，則∠F＝．【分析】根據(jù)角平分線的定義的定義可知：∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：∠EAB﹣∠ABF＝52°，進(jìn)而得到∠F的度數(shù)．【答案】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF＝（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案為：52°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3線段垂直平分線的應(yīng)用】【例3】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為鈍角，BC＝6，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，連接AD、AE，那么△ADE的周長為．【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE周長＝BC．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴L△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，AE＝EC．【變式3-1】（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，則∠MCN的度數(shù)為．【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠ACM+∠BCN的度數(shù)，然后求解．【答案】解：∵∠ACB＝118°，∴∠A+∠B＝62°．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝62°．∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．故答案為：56°．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，滲透了整體求值的思想方法，難度不大．【變式3-2】（2019秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在△DAE中，∠DAE＝30°，線段AE，AD的中垂線分別交直線DE于B和C兩點(diǎn)，則∠BAC的大小是．【分析】由已知條件，利用了中垂線的性質(zhì)得到線段相等及角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解．【答案】解：如圖，∵B是AE的中垂線上的點(diǎn)，C是AD的中垂線上的點(diǎn)，∴AB＝BE，AC＝CD，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDA＝∠CAD＝∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE＝3∠DAE+∠BAD+∠EAC＝90°+∠BAD+∠EAC＝180°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+30°＝120°．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查了中垂線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定與性質(zhì)；確定各角的關(guān)系利用內(nèi)角和列式求解是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2018秋?老河口市期中）如圖，△ABC的邊AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PB，PC，若∠A＝70°，則∠BPC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【答案】解：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵PE是AB的垂直平分線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，同理，∠PAC＝∠PCA，∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠A＝70°，∴∠PBC+∠PCB＝110°﹣70°＝40°，∴∠BPC＝180°﹣40°＝140°，故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】【例4】（2018秋?利津縣期中）如圖，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的對數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【答案】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB．在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AD＝BC，AB＝CD．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CE+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SSS），即3對全等三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．【變式4-1】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)已有的條件∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【答案】解：∵∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，∴①加上條件AB＝AE可利用SAS定理證明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能證明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA證明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS證明△ABC≌△AED；⑤加上∠1＝∠2不能證明△ABC≌△AED；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式4-2】（2018秋?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可知只有C能畫出唯一三角形．【答案】解：A、已知AB、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能畫出△ABC；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、已知兩角和夾邊，能畫出唯一△ABC，故本選項(xiàng)正確；D、根據(jù)∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2018秋?東臺(tái)市期中）如圖，給出下列四組條件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】根據(jù)全等三角形判定的條件，可得答案．【答案】解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)5全等三角形的判定與性質(zhì)】【例5】（2019秋?吉縣期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連接AD、AG．（1）求證：AD＝AG；（2）AD與AG的位置關(guān)系如何，請說明理由．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得∠HFB＝∠HEC，由得對頂角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD＝AG，（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG與AD垂直．【答案】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；（2）位置關(guān)系是AD⊥GA，理由：∵△ABD≌△GCA，∴∠ADB＝∠GAC，又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AED＝∠GAD＝90°，∴AD⊥GA．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2019?內(nèi)江期中）如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．【分析】由于條件可知CD＝AC，BC＝CE，且可求得∠ACE＝∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；又因?yàn)閷斀窍嗟燃础螦FC＝∠DFH，所以∠DHF＝∠ACD＝90°，即AE⊥BD．【答案】解：猜測AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE與△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故線段AE和BD的數(shù)量相等，位置是垂直關(guān)系．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)及對頂角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【變式5-2】（2019秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE．【分析】延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，可證明△BDG≌△CDA（SAS），則BG＝AC，∠CAD＝∠G，根據(jù)AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可證出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE．【答案】證明：延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在△BDG和△CDA中，∵，Ⅳ∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2019秋?吳興區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【分析】延長BD與EC交于點(diǎn)F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD＝CE，且∠BFE＝90°，即可解題．【答案】解：延長BD與EC交于點(diǎn)F，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB，∵∠ADB+∠ABD＝90°∴∠ABD+∠AEC＝90°∴∠BFE＝90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△ADB是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6復(fù)雜的尺規(guī)作圖】【例6】（2018秋?六合區(qū)期中）在七年級我們就學(xué)過用一副三角板畫出一些特殊度數(shù)的角．在八年級第二章，我們學(xué)會(huì)了一些基本的尺規(guī)作圖，這些特殊的角也能用尺規(guī)作出．下面請各位同學(xué)開動(dòng)腦筋，只用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．已知：如圖，射線OA．求作：∠AOB，使得∠AOB在射線OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】反向延長OA到點(diǎn)D，過點(diǎn)O作直線DA的垂直平分線OC，再作∠AOC的平分線即可得．【答案】解：如圖所示，∠AOB即為所作．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線和角平分線的尺規(guī)作圖．【變式6-1】（2018秋?泗洪縣期中）已知：如圖，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B（1）用直尺和圓規(guī)作出一條過點(diǎn)A的直線1，使得點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)（1）中直線l與邊BC的交點(diǎn)為D，請寫出線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【分析】（1）點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在邊AB上，則該直線為∠BAC的角平分線；（2）依據(jù)SAS判定△ACD≌△AED，即可得到DE＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AED＝∠B+∠BDE，進(jìn)而得出∠B＝∠BDE，即可得到BE＝DE＝CD，依據(jù)AB＝AE+BE，即可得到AB＝AC+CD．【答案】解：（1）如圖所示，直線AD即為所求；（2）線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為：AB＝AC+CD．理由：由題可得，AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DE＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE＝CD，又∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式6-2】（2018秋?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．（1）試用直尺和圓規(guī)，在直線AB上求作點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形．要求：①保留作圖痕跡；②若點(diǎn)P有多解，則應(yīng)作出所有的點(diǎn)P，并在圖中依次標(biāo)注P1、P2、P3、…；（2）根據(jù)（1）求PA的長（所有可能的值）【分析】（1）以C點(diǎn)為圓心，CB為半徑畫弧交直線AB于P1，以B點(diǎn)為圓心，BC為半徑畫弧交直線AB于P2，P3，作BC的垂直平分線交直線AB于P4；（2）先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，當(dāng)CP1＝CB時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AP1＝AB＝3；當(dāng)BP2＝BP3＝BC＝5時(shí)，易得AP2＝AB+BP2＝8；AP3＝BP3﹣AB＝2；當(dāng)P4C＝P4B時(shí)，設(shè)AP4＝x，則P4C＝P4B＝x+3，利用勾股定理得到x2+42＝（x+3）2，解方程即可．【答案】解：（1）如圖，點(diǎn)P1、P2、P3、P4為所作；（2）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，當(dāng)CP1＝CB時(shí)，∵CA⊥BP1，∴AP1＝AB＝3；當(dāng)BP2＝BP3＝BC＝5時(shí)，AP2＝AB+BP2＝3+5＝8；AP3＝BP3﹣AB＝5﹣3＝2；當(dāng)P4C＝P4B時(shí)，設(shè)AP4＝x，則P4C＝P4B＝x+3，在Rt△P4AC中，x2+42＝（x+3）2，解得x＝，即AP4＝．綜上所述，AP的值可能為2、3、8、．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．【變式6-3】（2018?惠山區(qū)二模）如圖，已知△ABC（AC＜AB＜BC），請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）在邊BC上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC＝BC；（2）作出一個(gè)△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周長等于邊BC的長．【分析】（1）作AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（2）在BC上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的垂線，在垂線上取點(diǎn)E使DE＝DB，連接EC，作EC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F；則Rt△DEF即為所求．【答案】解：（1）如圖，作AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（2）如圖，①在BC上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的垂線，②在垂線上取點(diǎn)E使DE＝DB，連接EC，③作EC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F；∴Rt△DEF即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【考點(diǎn)7利用軸對稱變換求最值】【例7】（2019秋?襄州區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R，若△PQR周長最小，則最小周長是【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF＝PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR＝EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【答案】解：設(shè)∠POA＝θ，則∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF＝PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR＝RP，∴△PQR的周長＝EF．∵OE＝OF＝OP＝12，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝12，即在保持OP＝12的條件下△PQR的最小周長為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．【變式7-1】（2018秋?洛龍區(qū)校級期中）如圖，等腰三角形ABC的面積是16，且底邊BC長為4，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)EF，若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CMD周長的最小值是．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【答案】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短為：（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)定理，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2019秋?北塘區(qū)期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝44°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠BAE＝136°，∴∠HAA′＝44°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝44°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×44°＝88°，故答案為：88°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2019?黃岡期中）如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝2，BD＝8，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是．【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【答案】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值為14，故答案為14．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)8等腰三角形中的分類討論思想】【例8】（2018春?鄄城縣期中）等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【分析】此題要分情況考慮：3cm是底或3cm是腰．根據(jù)周長求得另一邊，再進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷是否能夠組成三角形．【答案】解：當(dāng)3cm是底時(shí)，則腰長是（15﹣3）÷2＝6（cm），此時(shí)能夠組成三角形；當(dāng)3cm是腰時(shí)，則底是15﹣3×2＝9（cm），此時(shí)3+3＜9，不能組成三角形，應(yīng)舍去．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來討論．【答案】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴頂角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2019秋?綏棱縣期中）已知一個(gè)等腰三角形底邊的長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為3cm，則腰長為（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，然后求出兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，然后分情況討論求解即可．【答案】解：如圖，∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，∵BC＝5cm，∴AB﹣5＝3或5﹣AB＝3，解得AB＝8或AB＝2，若AB＝8，則三角形的三邊分別為8cm、8cm、5cm，能組成三角形，若AB＝2，則三角形的三邊分別為2cm、2cm、5cm，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形，綜上所述，三角形的腰長為8cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．【變式8-3】（2018秋?沙依巴克區(qū)校級期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．30°或120°或150°【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而不難求解．【答案】解：①如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．②如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．③如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝BC，∴∠B＝30°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠C＝75°，∴∠B＝30°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用．【考點(diǎn)9靈活運(yùn)用“三線合一”】【例9】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．【分析】要證M是BE的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，證明△BDE為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證．【答案】證明：連接BD，∵在等邊△ABC，且D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE為等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形每個(gè)內(nèi)角為60°的知識(shí)．輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2018秋?湖里區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC，求證：EB⊥AB．【分析】作EF⊥AC于F，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AF＝AC，再證明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．【答案】證明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAE和△FAE中，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．證明三角形全等是證明角相等和線段相等的重要手段【變式9-2】（2019春?廣饒縣期中）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖，若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF．求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【分析】1）題要通過構(gòu)建全等三角形來求解．連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結(jié)論．（2）與（1）題的思路和解法一樣．【答案】解：（1）證明：連接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)∴AD＝＝BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF為等腰直角三角形．（2）解：仍為等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．【變式9-3】（2018秋?硚口區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，AD＝CE，DE交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝EF；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，求．【分析】（1）過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)解答即可．【答案】證明：（1）過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∠FDG＝∠E，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠A＝∠ADG＝∠AGD＝60°，∴△ADG是等邊三角形，∴DG＝AD，∵AD＝CE，∴DG＝CE，在△DFG與△EFC中∴△DFG≌△EFC（AAS），∴DF＝EF；（2）∵△ADG是等邊三角形，AD＝DGDH⊥AC，∴AH＝HG＝AG，又∵△DFG≌△EFC，∴GF＝FC＝GC∴HF＝HG+GF＝AG+GC＝AC，∴【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題【考點(diǎn)10三角形內(nèi)角和與等腰三角形】【例10】（2018秋?杭州期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度數(shù)．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC的度數(shù)，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟悉直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．【變式10-1】（2019秋?沛縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝°，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由．【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE【答案】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠40°，∠BDA＝115°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，故答案為：25，25，115，??；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS），即當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題用到的知識(shí)比較多，綜合性比較強(qiáng)，難度不是很大．【變式10-2】（2018秋?泗陽縣期中）已知，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC的延長線上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，試求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，則∠DAE的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）；（3）如圖2，若∠BAC＞90°，其余條件不變，探究∠DAE與∠BAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ADB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【答案】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°，∴∠E＝15°，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；故答案為：45°；（3）設(shè)∠BAC＝α，∠B＝β°，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β，∴∠E＝90°﹣α﹣β，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣β）＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）＝α；∴∠BAC＝2∠DAE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2019秋?越秀區(qū)期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連結(jié)DE．（1）如圖①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度數(shù)．（2）如圖①，已知∠BAC＝90°，當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖②，若∠BAC≠90°，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝45°+，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)∠BAD＝x，∠C＝y(tǒng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝180°﹣2y，由∠BAD＝x，于是得到∠DAE＝y(tǒng)+x，即可得到結(jié)論．【答案】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，即；（3）設(shè)∠BAD＝x，∠C＝y(tǒng)，∵AB＝AC，∠C＝y(tǒng)，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y(tǒng)+x，∴．即．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11等腰三角形與全等三角形的綜合】【例11】（2019?東莞市模擬）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE與AD相交于F．（1）求證：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形腰長相等性質(zhì)可得AD＝BD，即可求證△BDF≌△ACD，即可解題；（2）連接CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，BE是AC的垂直平分線．于是得到結(jié)論．【答案】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC；（2）連接CF，∵△BDF≌△ADC，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰直角三角形．∵CD＝3，CF＝CD＝3，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分線．∴AF＝CF，∴AF＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，本題中求證△BDF≌△ACD是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2018秋?臨清市期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：CD＝BF；（2）求證：AD⊥CF；（3）連接AF，試判斷△ACF的形狀．【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)可求得BF＝BD，可得BF＝CD；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可證明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可證明∠CGD＝90°，可得結(jié)論；（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可證明CF＝AF，可知△ACF為等腰三角形．【答案】（1）證明：∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°，又AC＝BC，∴∠DBA＝45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，∴∠BDE＝∠BFE＝45°，∴BD＝BF，又D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴CD＝BF；（2）證明：由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，在△ACD和△CBF中∴△ACD≌△CFB（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠CDA＝90°，∴∠BCF+∠CDA＝90°，∴∠CGD＝90°，∴AD⊥CF；（3）解：由（2）可知△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（1）可知AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性質(zhì)（全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2019秋?寧河縣校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝CE；（2）求證：△AEF≌△CEB．【分析】（1）求出∠ACE＝45°，證明∠EAC＝∠ACE，即可解答；（2）利用同角的余角相等，證明∠BAD＝∠BCE，利用ASA證明即可解答．【答案】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE．（2）∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠BCE＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定方法．【變式11-3】如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD＝AE，連接BE、CD，交于點(diǎn)F．（1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求證：過點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC．【分析】（1）證得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的對應(yīng)角相等即可證得結(jié)論；（2）利用垂直平分線段的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【答案】解：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD；（2）連接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴點(diǎn)A、F均在線段BC的垂直平分線上，即直線AF垂直平分線段BC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線段的性質(zhì)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠從題目中整理出全等三角形，難度不大．【考點(diǎn)12等腰三角形中的新定義問題】【例12】（2019秋?椒江區(qū)校級期中）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的“三階等腰線”．（1）請你在圖1，圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的“三階等腰線”，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）．（2）如圖3，△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三階等腰線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值．【分析】（1）圖1，頂角分別為108°、108°、36°的等腰三角形；圖2，頂角分別為108°、36°、36°的等腰三角形；（2）根據(jù)“三階等腰線”的定義，又由等腰三角形ADE的不確定性，分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖3，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)列方程：2x+x＝36+36，可得x的值；②當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程：36+36+2x+x＝180，可得x的值；③當(dāng)EA＝DE時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程：90﹣x+36+36+x＝180，無解，x不存在．【答案】解：（1）如圖1和圖2，（2）①當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖3，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝36°，∵DE＝EC，∴∠C＝∠EDC＝x°∴∠AED＝2x°，∴2x+x＝36+36，∴x＝24°．②當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖4，同理：∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EDC＝x°，∠DAE＝∠AED＝2x°，∴36+36+2x+x＝180，∴x＝36°．③當(dāng)EA＝DE時(shí)，∵90﹣x+36+36+x＝180∴x不存在，應(yīng)舍去．綜合上述：滿足條件的x＝24°或36°．【點(diǎn)睛】本題考查設(shè)計(jì)與作圖、等腰三角形的定義、尺規(guī)作圖等知識(shí)，理解三階等腰線的定義是解決問題的關(guān)鍵，并注意第二問的分類討論的思想，不要丟解．【變式12-1】（2019春?市北區(qū)期中）（本題畫圖時(shí)，直接用直尺畫出相關(guān)線段即可，不需尺規(guī)作圖，直接標(biāo)注等腰三角形頂角度數(shù)即可，不需寫出求解過程）把一張頂角為36°的等腰三角形紙片折疊兩次，得到3個(gè)等腰三角形，你能辦到嗎？圖1是其中的一種方法（虛線表示折痕）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線（1）請你在圖1后面用另一種不同的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線①標(biāo)注折痕（折痕用虛線表示）②標(biāo)注得到的每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形形成3對全等三角形，則視為同一種）（2）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（不必標(biāo)注折痕，若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）【分析】（1）利用36°，72°，72°或108°，36°，36°構(gòu)造等腰三角形即可解決問題；（2）利用45°，45°，90°或22.5°，22.5°，135°或45°，67.5°，67.5°構(gòu)造等腰三角形即可解決問題．【答案】解：（1）等腰三角形的三分線如圖所示：（2）頂角為45°的等腰三角形的三分線如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查圖形的剪切和拼接、等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，利用特殊角模型構(gòu)造等腰三角形解決問題，屬于中考常考題型．【變式12-2】（2019春?順德區(qū)期中）如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線，稱這個(gè)三角形為特異三角形．（1）如圖1，△ABC是等腰銳角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，且BD是△ABC的一條特異線，則∠BDC＝度；（2）如圖2，△ABC中，∠B＝2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AE是△ABC的一條特異線；（3）如圖3，已知△ABC是特異三角形，且∠A＝30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)（如有需要，可在答題卡相應(yīng)位置另外畫圖）．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A，設(shè)∠A＝x，則∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x，在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可；（2）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．（3）如圖2中，當(dāng)BD是特異線時(shí)，分三種情形討論，如圖3中，當(dāng)AD是特異線時(shí)，AB＝BD，AD＝DC根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可解決問題，當(dāng)CD為特異線時(shí)，不合題意．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ABC，∵BD是△ABC的一條特異線，∴△ABD和△BCD是等腰三角形，當(dāng)AD＝BD＝BC，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，設(shè)∠A＝x，則∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，∴∠BDC＝72°，故答案為：72；（2）證明：∵DE是線段AC的垂直平分線，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一條特異線．（3）解：如圖3，當(dāng)BD是特異線時(shí)如果AB＝BD＝DC，則∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°＝15°＝135°，如果AD＝AB，DB＝DC，則∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，如果AD＝DB，DC＝DB，則ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合題意舍棄），如圖4中，當(dāng)AD是特異線時(shí)，AB＝BD，AD＝DC，則∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，當(dāng)CD為特異線時(shí)，不合題意．綜上所述，符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)畫出圖形，借助于圖形解決問題，學(xué)會(huì)利用方程去思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目．【變式12-3】（2018秋?濱湖區(qū)期中）【定義】數(shù)學(xué)課上，陳老師對我們說，如果1條線段將一個(gè)三角形分成2個(gè)等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個(gè)三角形的“好線”，如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個(gè)三角形的“好好線”．【理解】如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請你在這個(gè)三角形中畫出它的“好線”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)．如圖②，已知△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，請你在這個(gè)三角形中畫出它的“好好線”，并標(biāo)出所分得的等腰三角形底角的度數(shù)．【應(yīng)用】（1）在△ABC中，已知一個(gè)內(nèi)角為42°，若它只有“好線”，請你寫出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分別是△ABC的“好好線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且AD＝DC，BE＝DE，請你根據(jù)題意畫出示意圖，并求∠B的度數(shù)．【分析】【定義】如圖①，如圖②所示，根據(jù)題意畫出圖形即可；【應(yīng)用】（1）①如圖③當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，②如圖④當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，③如圖⑤當(dāng)∠ABC＝42°時(shí)，BD為“好線”，④如圖⑥，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，⑤如圖⑦，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)∠B＝x°，①當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖1（a），②當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖1（b），③當(dāng)EA＝DE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【答案】解：【定義】如圖①，如圖②所示，【應(yīng)用】（1）①如圖③當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，則AC＝AD＝BD，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠C＝84°；②如圖④當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，則BA＝BD，AD＝CD，這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠BAC＝103.5°；③如圖⑤當(dāng)∠ABC＝42°時(shí)，BD為“好線”，則AD＝BD，CD＝BC，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠C＝124°，④如圖⑥，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，則AD＝CD＝BC，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠ACB＝117°，⑤如圖⑦，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，則AD＝AC，CD＝BD，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠ACB＝126°，綜上所述，這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案為：84°或103.5°或124°或117°或126°；（2）設(shè)∠B＝x°，①當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③當(dāng)EA＝DE時(shí)，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，應(yīng)舍去．綜合上述：滿足條件的x＝42°或18°．【點(diǎn)睛】本題考查設(shè)計(jì)與作圖、等腰三角形的定義、正確的理解題意是解決問題的關(guān)鍵，并注意第二問的分類討論的思想，不要丟解．【考點(diǎn)13與等邊三角形的性質(zhì)