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文檔簡介
第六階
可降階的高階微分方程一、可降階的高階微分方程y(n)=f
(x)型的微分方程y¢=f
(x,y¢)型的微分方程.y¢=f
(y,y¢)型的微分方程二、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程(補充)三、小結(jié)一、可降階的高階微分方程【定義】二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為 高階微分方程.【求解思路】降階——通過變量代換等其它形式,化為已知其求解方法的較低階的微分方程求解.3221212+
C x
+
CC
xy
=
(-cos
x
+
C x
+
C
)dx
=
-sin
x
+
1.y(n)=f
(x)型的微分方程【特點】方程右端僅含有自變量x.【解法】連續(xù)積分n
次就可得到方程的通解.【例1】求方程y(3)=cos
x
的通解.【解】因為y(3)=cos
x
,所以,y¢=
cos
xdx
=
sin
x
+
C1
,y¢=
(sin
x
+
C1
)dx
=
-cos
x
+
C1
x
+
C2
,12.y¢=f
(x,y¢)型的微分方程.【方程特點】方程右端不顯含未知函數(shù)y
.【解法】令y¢=p(x),則y¢=p¢(x)代入方程得p¢(x)=f
(x,p(x)).這是一個關(guān)于自變量x和未知函數(shù)的一階微分方程,p(
x)若可以求出其通解p=j
(x,C1
),則y¢=j
(x,C1
)再積分一次就能得原方程的通解.的通解.【例2】求方程2
xy¢y¢=1
+(y¢)2【解】因2
xy¢y¢=1
+(y¢)2
不顯含未知函數(shù)y,則令y¢=p(x),故y¢(x)=p¢(x),將其代入所給方程,得2
xp¢p
=
1
+
p2
,分離變量得2
pdp
=
dx
,1
+
p2
x兩邊積分ln(1
+p2
)=ln
|
x
|
+ln
C
,得1
+
p2
=
C
x
.1即
p=
–
C1
x
-
1也即
y¢=
–
C1
x
-
1.1y
=
–
(C1
x
-
1)2
dx則為所求方程的通解.3C13(C1
x
-
1)2
+
C22=
–(r
:密度,s
:弧長)弧段重力大小
按靜力平衡條件,有【例3】設(shè)有一均勻,
柔軟的繩索,
兩端固定,
繩索僅受重力作用而下垂,
問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線
?atanq
=
1
sMgsoyxr
g(其中a
=
H
)y
=1
+
y¢2
dxx0
1a故有1
+
y¢2ay¢=
1Tq【解】取坐標系如圖.考察最低點A
到任意點M
(x,y)弧段的受力情況:A
點受水平張力HM
點受切向張力T兩式相除得HAy¢=
1
1
+
y¢2a設(shè)
OA
=
a,
則得初值問題:d
x令y
=p(x),則y¢=d
p
,原方程化為a
rsh
p
=
ln(
p
+
1
+
p2
)1a兩端積分得
a
r
sh
p
=
x
+
C
,1得C
=
0,則有兩端積分得故所求繩索的形狀為得C2
=
0y
=
a
ch
x
=
a
(
exa
+
e-
xa
)a
2Mgsyo
xTqHa
A懸鏈線3.y¢=f
(y,y¢)型的微分方程【方程特點】右端不顯含自變量x
.【解法】求解這類方程可令y¢=p(y)則y¢=
dy
=
dp(
y) dy
=
dp
p,dx
dy
dx
dy于是,方程
y¢=
f
(
y,
y¢)可化為
p
dp
=
f
(
y,
p).dy這是關(guān)于y
和p的一階微分方程,如能求出其解11p
=
j
(
y,C
),則可由dy
=
j
(
y,C
)用分離變量法即可求出原方程的通解.【例5】21求微分方程
yy
-
y
2
=
0
的通解dxd
y=
x
+
C
j
(
y,C
)
ln
|
y
|=
C1
x
+
C2【解Ⅰ】方程不顯含自變量x則y¢=d
p
=d
p
d
y
=p
d
pdx
d
y
dx
d
y代入方程得兩端積分得
ln
p
=
ln
y
+
ln
C1,
即p
=C1
y,(一階線性齊次方程)故所求通解為C(C2
=
–e
2
)【解Ⅱ】yy
-
y
2
=
0兩端同乘以不為0的因子1y2則有=
0y2yy
-
y
2即( )
=
0dx
yd
y
=
Cyy故積分y
=
Cy
ydy
=
Cdxln
|
y
|=
Cx
+
C1C
x
Cy
=
C1e
(C1
=
–e
1
)所以全微分方程的積分因子【特點】左端恰為某一函數(shù)F
(x,y,y
,
,y(n-1))dx對x的導(dǎo)數(shù),
即
d
F
(
x,
y,
y¢,
,
y(
n-1)
)
=
0.【解法】
類似于全微分方程可降低一階F
(
x,
y,
y
,
,
y(
n-1)
)
=
C
,再設(shè)法求解這個方程.二、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程(補充)求方程
yy
+
y
2
=
0
的通解.【解】dx將方程寫成
d
(
yy¢)
=
0,故有
yy
=
C1
,
即
ydy
=
C1dx,積分后得通解y2
=
C x
+
C
.1
2【注意】這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.【例4】三、小結(jié)可降階微分方程的解法
—
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