計(jì)算機(jī)進(jìn)制的研究

計(jì)算機(jī)進(jìn)制的研究

在討論如何學(xué)習(xí)此系統(tǒng)之前，讓我們關(guān)注以下三個(gè)二進(jìn)制數(shù)字。計(jì)算公式中相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是多少。如果你能花1分鐘做出來(lái)，說(shuō)明你已經(jīng)學(xué)會(huì)進(jìn)制轉(zhuǎn)換了，請(qǐng)?zhí)^(guò)本文的第一部分，直接閱讀第二部分；如果你能在1分鐘以內(nèi)完成（本人大概需要花十秒左右可以解出答案），那說(shuō)明你已經(jīng)是一個(gè)進(jìn)制轉(zhuǎn)換的高手了，可快速瀏覽本文，當(dāng)然不看也沒(méi)有問(wèn)題；如果你花了幾分鐘才計(jì)算出來(lái)，或者說(shuō)無(wú)法確定答案是否正確的話，那你就得加油了，請(qǐng)認(rèn)真仔細(xì)地并反復(fù)地閱讀本文，相信會(huì)有大收獲。一、準(zhǔn)排制的對(duì)應(yīng)關(guān)系大家都知道：二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)內(nèi)部數(shù)據(jù)處理和數(shù)字電路的基礎(chǔ)。進(jìn)制掌握得是否清楚，對(duì)后續(xù)很多相關(guān)課程的學(xué)習(xí)影響重大。很多人在學(xué)習(xí)進(jìn)制的時(shí)候覺(jué)得猶如在“看天書(shū)”，或者是似懂非懂，一知半解，究其原因是平時(shí)用慣了十進(jìn)制，看見(jiàn)“10”就是“十”。而當(dāng)你學(xué)過(guò)進(jìn)制后，“10”有可能是“二”，也有可能是“八”；或者是“十六”，結(jié)果取決于采用的是幾進(jìn)制數(shù)。學(xué)好進(jìn)制，首先要學(xué)好二進(jìn)制，學(xué)好二進(jìn)制的基礎(chǔ)有兩點(diǎn)：1.熟練掌握二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中最復(fù)雜的計(jì)算，即1+1=(10)2（逢二進(jìn)一，類似于十進(jìn)制中的9+1）；再推出(11)2+1=(100)2……2.熟記2的N次方的數(shù)（即二進(jìn)制的權(quán)，權(quán)的大小與數(shù)字符號(hào)所在位置有關(guān)）；20=1,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,29=512。一般記到2的10次方，2的11次方可以用2K來(lái)表示，即1K=1024=210,220=1M=1024K,230=1G=1024M,240=1T=1024G,264=24·220·240=16MT。運(yùn)用以上兩點(diǎn)，從0開(kāi)始依次加1，可推出四位二進(jìn)制數(shù)，并計(jì)算其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。接下來(lái)，我們來(lái)看看4位二進(jìn)制部與其它進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系表（見(jiàn)表1）?！と魏芜M(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)都可以用按權(quán)展開(kāi)求和的方法。8、4、2、1都是二進(jìn)制的權(quán)，8421法其實(shí)就是四位數(shù)的按權(quán)展開(kāi)求和法。（注意不要與8421碼概念混淆，8421碼是一種BCD編碼，用四位二進(jìn)制編碼來(lái)表示十進(jìn)制的十個(gè)值。例：79=(0111,1001)8421BCD碼)·十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)，都可以用除以基數(shù)，倒過(guò)來(lái)取余數(shù)的方法?；鶖?shù)即為該進(jìn)制能采用的基本符號(hào)，而余數(shù)肯定都是小于基數(shù)的。例如：二進(jìn)制的基數(shù)為2，只有“0”和“1”兩個(gè)基本符號(hào)。十進(jìn)制數(shù)除以二，得到的余數(shù)也只會(huì)是“0”或者“1”。而十六進(jìn)制較復(fù)雜，用“A”表示10，依次類推，逢十六進(jìn)位?！?位二進(jìn)制數(shù)最大為“11”，八進(jìn)制數(shù)為“77”；十進(jìn)制數(shù)為“99”；而十六進(jìn)制數(shù)則為“FF”?！なM(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)可直接轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。16是2的4次方；8是2的3次方。因此，八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的關(guān)系緊密（通俗地講可以看成是親戚關(guān)系——看到二進(jìn)制，馬上就知道八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)長(zhǎng)什么樣）。例如：(56)8=(101,110)2=(2E)16只要充分理解和熟記牢記表1，那你離成為進(jìn)制高手就不遠(yuǎn)了。二、特殊或特殊的二元結(jié)構(gòu)的計(jì)算現(xiàn)在讓我們來(lái)看看如何在很短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出這三個(gè)二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。當(dāng)然直接從基本的四位二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)表中取出答案：為“十一”。（牢記在腦中，最差也要知道“8+2+1”)可看成1111111111減去100所得。10位二進(jìn)制“1”等于2的10次方減1，即1024-1=1023。而二進(jìn)制“100”為十進(jìn)制的“四”。故最后答案為1023-4=1019。另外的一個(gè)算法可以先算出前7個(gè)“1”的十進(jìn)制數(shù)等于2的7次方減1，即128-1=127，然后乘以二進(jìn)制數(shù)“1000”，即十進(jìn)制數(shù)“8”；最后加上3，得到最后結(jié)果為：127*8+3=125*8+2*8+3=1000+19=1019。對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)算式為：1111111*1000+11=1111111000+11=1111111011。先把該數(shù)看成十六進(jìn)制為：BBH，再轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)（十六進(jìn)制“B”等于十進(jìn)制數(shù)“11”），即為11*16+11=176+11=187。·從以上三道小題計(jì)算過(guò)程來(lái)看，首先，再次驗(yàn)證了進(jìn)制的基礎(chǔ)(1）要牢牢記住四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)；(2）要牢牢記住2的0次方到2的10次方所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)?！と缓笪覀?cè)賮?lái)看一些特殊二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算，見(jiàn)表2(1）“1”后面有N個(gè)零的二進(jìn)制數(shù)等于2的N次方（這和十進(jìn)制“100”即10的平方的道理是一樣的）；例：2、4、8、16、32所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。(2)N個(gè)全“1”的二進(jìn)制數(shù)等于2N-1（這和十進(jìn)制數(shù)“99”等于“100-1”的道理是一樣的）?！そ又?，我們來(lái)看二進(jìn)制的乘法可以用移位添0來(lái)代替因?yàn)槎M(jìn)制乘法很簡(jiǎn)單，沒(méi)有乘法口訣表需要去背，要么乘“0”，得全“0”；要么乘“1”，得其本身。二進(jìn)制數(shù)向左移位，末位添0，即乘2（二進(jìn)制數(shù)“10”）。若添2個(gè)0，即乘4（二進(jìn)制數(shù)“100”）；添3個(gè)0，即乘8（二進(jìn)制數(shù)“1000”）；依次類推，添N個(gè)0，即乘2的N次方?！ぷ詈螅覀儗?duì)以上所述進(jìn)行一下總結(jié)和綜合：1.二進(jìn)制數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)不多，仍可用按權(quán)展開(kāi)求和法。2.二進(jìn)制數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)較多，可運(yùn)用計(jì)算全“1”的方法再通過(guò)加減獲得。3.一定要活用移位（即乘除法），并牢記四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十六（八）進(jìn)制數(shù)值。見(jiàn)例1、2下劃線對(duì)應(yīng)加粗部分的運(yùn)算過(guò)程。4.八進(jìn)制介于二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間，因此可以用于過(guò)渡計(jì)算。如：將較大的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以先計(jì)算成八進(jìn)制數(shù)（除8比除16簡(jiǎn)單），再通過(guò)1位對(duì)3位來(lái)快速獲得二進(jìn)制數(shù)（當(dāng)然以熟悉表1為前提）。115=14*8+3=(1*8+6)*8+3(遞推式，在編程時(shí)會(huì)用到)5.如果熟悉了進(jìn)制，那么很多進(jìn)制轉(zhuǎn)換都可以很快計(jì)算出來(lái)。例：（1）將十進(jìn)制數(shù)“252”轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)（不需要用除8取余法）(2）將十進(jìn)制數(shù)“240”轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)（不需要用除8取余法)以上這些運(yùn)算，都必須在熟悉常用進(jìn)制的權(quán)，以及4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)八、十六進(jìn)制數(shù)的前提下，才能迅速準(zhǔn)確地完成。只有真正理解了二進(jìn)制(包括運(yùn)算和特性)，其它進(jìn)制就能迎刃而解了。計(jì)算有很多技巧。如果讓你計(jì)算“99×99=？”，有經(jīng)驗(yàn)的你一定會(huì)這么算：(100-1)×99=9900-99=9801（其實(shí)還有其它技巧可以很快心算出來(lái)，在電視節(jié)目中有過(guò)介紹）。同理，若要將10位以內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，可運(yùn)用以上方法很快心算出來(lái)，但若二進(jìn)制數(shù)超過(guò)10位以上，除非“1”的個(gè)數(shù)不多，否則還是要花一定的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算，甚至要?jiǎng)佑糜?jì)算工具。當(dāng)然或許有人不用就能辦到，這就是“世界之大，無(wú)奇不有啊”。謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給那些學(xué)習(xí)進(jìn)制比較困難的朋友，希望能對(duì)大家學(xué)習(xí)進(jìn)制有所幫助和提高。通過(guò)對(duì)此文的閱讀理解，利用閑暇時(shí)間的反復(fù)訓(xùn)練和再學(xué)習(xí)，我相信每個(gè)人都可以牢牢地“Hold”住它，成為真正的“進(jìn)制控”。注：文中除有文字描述的或有下標(biāo)標(biāo)注的數(shù)字外（也有用符號(hào)表示的，十六進(jìn)制——H；十進(jìn)制——D；八進(jìn)制——Q；二進(jìn)制——B，由于容易和十六進(jìn)制的基本符號(hào)產(chǎn)生混淆，故本文中未采用），其它出現(xiàn)的阿拉伯?dāng)?shù)字都為十進(jìn)制數(shù)。再做幾道進(jìn)制轉(zhuǎn)換的題目，看看有沒(méi)有進(jìn)步：(1)101011101；(2)1110011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)(1)1011(2)1111111011(3)10111011(1)1011(2)1111111011(3)10111011例:127=27-1=(1111111)2例:(101000)2=(101*1000)2=5*8=40;(1111100)2=(11111*100)2=31*4=124。例:(1010100)2=26+24+22=64+16+4=84(=5*16+4=10*8+4)例:(11110111)2=(11111111-1000)2=255-8=247或:=(1111*10000+111)2=15*16+7=256-16+7=247例:(2FC)16=(1011111100)2=29+28-1-3=512+256-4=764例:115=(163)8=(1,110,011)2252=255-3=(11111111-11)2=(11111100)2=(374