第七章二重積分

第七章二重積分第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(5)比較定理：(6)估值定理：(7)積分中值定理：★第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(9)被積函數(shù)的奇偶性與積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性12若D對(duì)稱(chēng)于x軸，關(guān)于變量y被積函數(shù)

是奇函數(shù)，其積分值為0；若是偶函數(shù)，其積分值兩倍于y>0的區(qū)域上的積分；若D對(duì)稱(chēng)于y軸，關(guān)于變量x被積函數(shù)

是奇函數(shù)，其積分值為0；若是偶函數(shù)，其積分值兩倍于x>0的區(qū)域上的積分；3第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月011-122-2xyxy-221-1第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下：步驟：(1)畫(huà)積分區(qū)域的草圖，求交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)被積函數(shù)及積分區(qū)域D的形狀選擇積分次序:*如果D由上下曲線圍成，一般先對(duì)y后對(duì)x積分,此時(shí)各交點(diǎn)向x軸引垂線并確定垂足坐標(biāo)；*如果D由左、右曲線圍成，一般先對(duì)x后對(duì)y積分，此時(shí)各交點(diǎn)向軸引垂線并確定垂足坐標(biāo)；1.第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月*若D不是簡(jiǎn)單區(qū)域，用平行于坐標(biāo)軸的直線穿過(guò)區(qū)域時(shí)交點(diǎn)多于兩個(gè)，或D內(nèi)不同的兩條平行于坐標(biāo)軸的直線穿過(guò)區(qū)域時(shí)會(huì)交于不同的兩條曲線，則要分塊積分，此時(shí)各交點(diǎn)向坐標(biāo)軸引垂線（若要對(duì)y積分，交點(diǎn)向x軸引垂線,若要對(duì)x積分，交點(diǎn)向y軸引垂線）.*如果被積函數(shù)是x的不可積函數(shù)，則先對(duì)y后x積分；是y的不可積函數(shù)時(shí)，則先對(duì)x后對(duì)y積分；*如果二重積分是以二次積分的形式給出的，一般要更換積分次序。第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果積分區(qū)域?yàn)椋篴、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)積分限的確定1若先對(duì)y后對(duì)x積分，則y的積分限可這樣確定：用平行于y軸的直線沿y軸方向穿過(guò)區(qū)域，穿進(jìn)的邊界曲線為下限，穿出的邊界曲線為上限，后對(duì)x積分其積分限是常量（由交點(diǎn)向x軸作垂線的垂足耒確定）第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2若先對(duì)x后對(duì)y積分，則x的積分限可這樣確定：用平行于x軸的直線沿x軸方向穿過(guò)區(qū)域，穿進(jìn)的邊界曲線為下限，穿出的邊界曲線為上限，后對(duì)y積分其積分限是常量（由交點(diǎn)向y軸作垂線的垂足耒確定）第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)更換積分次序的方法：12由所給的累次積分上下限列出關(guān)于x,y的聯(lián)立不等式;根據(jù)聯(lián)立不等式畫(huà)出D的草圖（先將不等號(hào)換成等號(hào)畫(huà)出邊界曲線，再用“以點(diǎn)示面”的方法確定積分區(qū)域）；3根據(jù)積分區(qū)域D寫(xiě)出新的積分限。2.極坐標(biāo)系下：令第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月步驟：（1）畫(huà)出積分區(qū)域D的草圖，將D的邊界曲線的直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程;（2）將二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分(3)將極坐標(biāo)系下的二重積分一般化為先對(duì)r后對(duì)的二次積分；（4）積分限的確定：先對(duì)r積分，則從極點(diǎn)作射線穿過(guò)區(qū)域，穿進(jìn)的邊界曲線的極坐標(biāo)方程是下限，穿出的是上限；后對(duì)積分其積分限是常量,由過(guò)極點(diǎn)的射第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線自極軸開(kāi)始反時(shí)針旋轉(zhuǎn)到區(qū)域的邊界或頂點(diǎn)（掃過(guò)整個(gè)區(qū)域）。注1：在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分主要適用于積分區(qū)域?yàn)閳@域、園環(huán)域、扇形域或邊界曲線用極坐標(biāo)表示又比較簡(jiǎn)單，被積函數(shù)常為等形式時(shí)，通常將二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分耒計(jì)算。第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注2：幾種常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程.-110ra2a00.a2axyY=x0rr第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0D-22分析：注意到被積函數(shù)只與y有關(guān)解1：在直角坐標(biāo)系下，先x對(duì)后對(duì)y積分第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解2.化為矩形域上的二重積分減去半圓上的二重積分第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:先對(duì)y后對(duì)x積分第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先對(duì)x后對(duì)y:第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例３解：X-型第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：（如圖）-12例第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：積分區(qū)域如圖xyo231原式第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則例６計(jì)算，

解：畫(huà)圖第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例７計(jì)算，解：畫(huà)圖2o第23頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例８計(jì)算，是由圓周，

及直線所圍第一象限部分．