數制轉換的原理與技巧

數制轉換的原理與技巧

作者在中等專業(yè)計算機課程工作了10多年，發(fā)現即使是計算機專業(yè)的學生，也不是計算機專業(yè)的學生，所以在數字轉換的問題上總是感到困難和困惑。而在多年的教學過程中,筆者經過不斷地總結,掌握了數制轉換的規(guī)律以及技巧,并運用于教學中,效果不錯。在這里,將數制之間轉換的原理以及技巧進行詳細地表述。一、數碼進位計數制進位計數制的數據都可以用位置表示法表示,即處于不同位置上的數碼表示不同的數值,數碼在某個位置上有一個固定的權值,數碼與所在位置上的權值(又稱位權)的乘積即為該數碼在該位上代表的數值大小。在進位計數制中,位權等于基數的若干次冪。采用位權表示法,任何進制數據都可表示成按位權展開的多項式之和的形式。例如R進制數N可表示為:N=±(An?1×Rn?1+An?2×Rn?2+?+A1×R1+A0×R0+?+A?m×R?m=±∑i=?mn?1(Ai×Ri)Ν=±(An-1×Rn-1+An-2×Rn-2+?+A1×R1+A0×R0+?+A-m×R-m=±∑i=-mn-1(Ai×Ri)式中:m、n均為正整數,Ai是數碼,R是基數,Ri是位權。二、在教科書中，二進制數和十進制數之間的交換規(guī)則1.規(guī)則進行運算轉換方法:將二進制數按位權進行多項式展開,然后在十進制中按照“逢十進一”的運算規(guī)則進行運算。例1將(110101.11)2轉換成十進制數。(110101.11)2=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=32+16+0+4+0+1+0.5+0.25=(53.75)102.10級制數轉換成二進制數轉換方法:除二取余(整數部分),乘二取整(小數部分)(1),用2作為2,以2為余數把十進制整數除以2得到商和余數,再將所得到的商除以2,又得到新的商和余數,這樣不斷的用2去除商,直到商為0為止。每次除得的余數便是相應的二進制數碼。最先得到的是最低有效位,最后得到的是最高有效位。(2)重復重復的算法對十進制小數乘2得到的整數部分和小數部分,整數部分即是相應的二進制數碼,再用2乘小數部分(之前乘后得到新的小數部分),又得到整數和小數部分。如此不斷重復,直到小數部分為0或達到精度要求為止。第一次所得到為最高位,最后一次得到為最低位。例2將(87.6875)10轉換成二進制數。整數部分轉換如下:整數部分為(1010111)2小數部分轉換如下:小數部分為(0.1011)2將整數部分與小數部分組合起來,即:(87.6875)10=(1010111.1011)2從以上實例不難看出,不管是二進制數還是十進制數,當數值較長較大時,按以上規(guī)則轉換過程非常繁瑣且易出錯。三、單元數與十進制數之間的匹配方法1.按位權進行多項式展開首先,我們知道二進制只有0和1兩個數碼,且基數為2,按位權表示法我們將每一位二進制的權值分別列出,這里先按16位整數部分、4位小數部分的二進制數來列。然后將每一位的權值即基數2的冪次換算成數值,得:不難看出,每一位上的權值都是后一位權值的2倍。將二進制數轉換為十進制數時,二進制數按位權進行多項式展開,即每一位數碼與相應位權的相乘,而后所有項相加。同時按照數學上的規(guī)則:0乘任何數都為0,1乘任何數都為原數。這樣不管二進制數有多長,我們都可以將問題簡單化了。例3(110110101.101)2=()10先將二進制數設計成如下表格,一個格子中填入一位數,然后在下邊寫出每一位上的權值。按照0乘任何數都為0、1乘任何數都為原數的原理,則只需將該位上是1的其權值相加,是0的則不用加,即256+128+32+16+4+1+0.5+0.125=437.625因此(110110101.101)2=(437.625)102.相應二進制位上置1、2.5+0.25同理,十進制數轉換成二進制數也能很容易地進行。從上面二進制數轉換成十進制數的例子中我們看出該位上是1的其權值相加,是0的則不加,那么,將十進制數轉換成二進制數時我們是不是可以將該十進制數先分解成若干個權值的相加,而后按權值在相應二進制位上置為1,沒有的權值相應位上置為0呢?答案是肯定的。例4(569.75)10=()2我們先列出16位整數部分、4位小數部分的二進制數權值如下:然后將十進制數569.75分解為若干位權值的相加,選擇權值時按不大于該數的最大權值為準,例如首先選不大于569.75的最大權值,就是512,那么569.75就分解為512+57.75,然后再選不大于57.75的最大權值,就是32,那么569.75就分解為512+32+25.75,依此類推,得出569.75=512+32+16+8+1+0.5+0.25。按權值相應位上填入1,其余填入0,則去掉整數部分最左邊的所有的連續(xù)零和小數部分最右邊的所有的連續(xù)零,得(569.75)10=(1000111001.11)2四、單元數與八進制數之間的匹配方法同理二、八進制之間的互換也能迎刃而解。由于一位八進制數對應三位二進制數,因而轉換時可按如下方法:1.8進制數轉換成二進制數轉換方法:按原數位的順序,將每位八進制數等值轉換成三位二進制數。例5(571.64)8=()22.補補劑的選擇轉換方法:將二進制數以小數點為界,分別向左、右每三位分為一組,不足三位時用0補足(整數在高位補0,小數在低位補0),然后將每組的三位二進制數等值轉換成對應的八進制數。例6(11101010011.1011)2=()8即(11101010011.1011)2=(3523.54)8五、單元數與十六進制數之間的匹配方法一位十六進制數對應四位二進制數,因而轉換時可按如下方法:1.等價轉換成等臺轉換方法:按原數位的順序,將每位十六進制數等值轉換成四位二進制數。例7(5CE.6A)16=()2即(5CE.6A)16=(10111001110.0110101)22.六進制數“10.轉換方法:將二進制數以小數點為界,分別向左、右每四位分為一組,不足四位時用0補足(整數在高位補0,小數在低位補0