有限單元法復(fù)習(xí)參考題

《有限單元法》復(fù)習(xí)參考題一、簡答題：1、簡述應(yīng)用有限單元法解決具體問題的要點。（1）將一個表示結(jié)構(gòu)或者連續(xù)體的求解域離散為若干個子域（單元），并通過他們邊界上的結(jié)點相互結(jié)合為組合體。（2）用每個單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場變量。而每個單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)（或及其導(dǎo)數(shù)，為了敘述方便，后面略去此加注）在單元各個節(jié)點上的數(shù)值與其對應(yīng)的插值函數(shù)來表達(dá)。（3）通過和原問題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或者加權(quán)余量法，建立求解基本未知量（場函數(shù)的結(jié)點值）的代數(shù)方程或者常微分方程組。2、等效積分形式和等效積分“弱”形式的區(qū)別何在？為什么等效積分“弱”形式在數(shù)值分析中得到更多的應(yīng)用？在很多情況下對微分方程的等效積分形式進(jìn)行分部積分可以得到等效積分的弱形式，如下式JcYu）D（u）dQ+jET（G）F（u）dr=O,其中C、D、E、F是微分算子。像這種逋過適當(dāng)提高對任意■函數(shù)u和J的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)u的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱為微分方程的等效積分“弱”形式。值得指出的是，從形式上看“弱”形式對函數(shù)u的連續(xù)性要求降低了，但對于實際的物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真正的解，因為原始微分方程往往對解提出了過分的要求。所以等效積分“弱”形式在數(shù)值分析中得到更多的應(yīng)用。3、什么是Ritz（里茲）方法？其優(yōu)缺點是什么？收斂的條件是什么？基于變分原理的近似解法稱為Ritz（里茲），解法如下：a/7（u） ▲ a/7（u） ▲ Ktat=Ft——^=0,等 ?? ?網(wǎng)3）求解線性代數(shù)方程組一＞'—Au的近似解1）假設(shè)近似解：幺ug=￡—一—3為待定參數(shù)，滿足強制邊界條件.2）將包代入中。泛函//（?）的極值問題（求函數(shù)U）,轉(zhuǎn)化為求多元（a,...... ）函數(shù)的極值問題。??優(yōu)缺點：一般來說，使用里茲方法求解，當(dāng)試探函數(shù)族的范圍擴大以及待定參數(shù)的數(shù)目增多時，近似解的精度將會提高。局限性：（1）在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)，往往會產(chǎn)生難以克服的困難。（2）為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)，即增加試探函數(shù)的項數(shù)，這就增加了求解的復(fù)雜性，而且由于試探函數(shù)定義于全域，因此不可能根據(jù)問題的要求在求解域的不同部位對試探函數(shù)提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整個問題求解增加許多困難。收斂的條件：①試探函數(shù)N「N”...，Nn應(yīng)取自完備函數(shù)系列，②試探函數(shù)N「N?,...,Nq應(yīng)滿足Cm_1連續(xù)性要求。4、什么是最小便能原理？該原理在有限單元分購中的作用是什么？對場函數(shù)的試探函數(shù)有什么要求？如此公式所示Blip=0,Blip是系統(tǒng)的總位能，它是彈性體變形位能和外力位能之和。該式表明，在所有區(qū)域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)的并在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)的總位能取駐值。在所有的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)總位能取得最小值，因此6rlp=0所表達(dá)的稱為最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變性能的下界，即近似的位移場在總體上偏小，也就是說結(jié)構(gòu)的計算模型顯得偏于剛硬。要求：最小位能原理的試探函數(shù)-位移，應(yīng)事先滿足兒何方程和給定的位移的邊界條件。5、有限單元法中單元的住移模式為什么通常采用多項式作為近似函數(shù)？選擇廣義坐標(biāo)有限元位移模式的一般原則是什么？因為多項式運算簡便，并且隨著項數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線，多項式的選擇應(yīng)由低次到高次。1）大多數(shù)函數(shù)可用泰勒級數(shù)展開，根據(jù)需要取前幾項逼近真實的位移函數(shù)解；2）多項式函數(shù)可保持各向同性，不偏惠某一坐標(biāo)方向；3）多項式函數(shù)便于積分和微分，使有限元公式簡單、直觀。4）多項式函數(shù)很容易滿足收斂準(zhǔn)則。一般原則：（1）廣義坐標(biāo)是由結(jié)點場變量確定的，因此它的個數(shù)應(yīng)與結(jié)點自由度數(shù)相等。（2）選取多項式時，常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項必須完備。（3）多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。6、在有限單元法中，保證有限元解收斂有哪些準(zhǔn)則？六節(jié)點三角形單元是收致的單元嗎？為什么？完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場函數(shù)的試探函數(shù)至少是m次完全多項式。協(xié)調(diào)性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有Cm」連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上函數(shù)應(yīng)有直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。不是收斂單元，因為不滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性要求。7、何謂位移元？為什么位移元解具有下限性？請給出力學(xué)上的解釋。位移元：以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱之為位移元。位移元解具有下限性可以解釋如下：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的形變進(jìn)行了約束和限制，使單元的剛度較實際連續(xù)體加強了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的K較實際的K為大,因此求得的位移近似解總體上將小于精確解。8、什么是拉格朗日單元和Seiendipity單元？比較這兩種單元的各自特點。拉格朗日單元特點：（1）插值函數(shù)構(gòu)造方便；（2）內(nèi)部結(jié)點較多，單元的次數(shù)越高相應(yīng)自由度越高；（3）單元階次增高，非完全高次項增加。Seienchpity單元作用是：不改變精度的條件下，減少內(nèi)部結(jié)點，即對Lagrange單元簡化。9、什么是階譜單元？如何在有限單元法中采用階譜單元？相對于通用的標(biāo)準(zhǔn)單元有何好處？階譜單元：特點：（1）插值函數(shù)（階譜函數(shù)）不再具有“0-1特性工（2）高階單元的單元特性矩陣可承襲低階單元的單元特性矩陣。在用于自適應(yīng)分析中可以節(jié)省編程的工作量。10、什么是等參變換？在有限單元法中，等參數(shù)單元的主要優(yōu)點是什么？等參變換是指單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。優(yōu)點是借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進(jìn)行有限元離散。?等參元的插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，等參元的一切計算（如單元剛度矩陣、單元載荷列陣等）都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進(jìn)行，相關(guān)運算大大簡化。?不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。11、等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇應(yīng)遵循哪些原則？如何檢查所采用的積分方案是否滿足所述的原則？1.保證積分的精度。2.保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣k是非奇異的。對于一個給定形式的單元，如果采用精確積分，則插值函數(shù)中所有項次在1人常數(shù)的條件下能被精確積分，并能保證剛度矩陣的非奇異性。如果采用減縮積分，因為插值函數(shù)中只有完全多項式的項次能被精確積分，因此需要進(jìn)行剛度矩陣非奇異必要條件的檢查。若能通過檢查，則可以考慮采用減縮積分方案，以減少計算工作量，并可能對計算結(jié)果有所改進(jìn)。

12、簡述有限元網(wǎng)格劃分的基本原則。網(wǎng)格疏密的布置，不連續(xù)處的網(wǎng)格自然劃分，不同密度劃分網(wǎng)格過渡13、什么是自適應(yīng)分析方法？用什么方法進(jìn)行自適應(yīng)的重分析？自適應(yīng)有限元技術(shù)是一種根據(jù)中間計算結(jié)果自動控制計算過程的求解偏微分方程的方法。它主要利用中間計算結(jié)果自動計算所需的網(wǎng)格，選取最佳離散方式，從而逐步對誤差做適當(dāng)調(diào)節(jié)以達(dá)到所需精度。h型改進(jìn)，p型改進(jìn)14、為什么雙線性四邊形單元用于彎曲應(yīng)力分析時表現(xiàn)出較差的性能？不能有重節(jié)點不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180。的情況內(nèi)角最好介于30。-150。之間（有限變形的情況）15、什么是罰函數(shù)法？罰函數(shù)法求解近不可壓縮彈性力學(xué)問題時的有限元方程系數(shù)矩陣應(yīng)具有什么性質(zhì)？如何保證它具有這樣的性質(zhì)？kl非奇異，k2奇異，kl+ak2非奇異二、計算分析題：1、試寫出下述定解問題的等效積分形式和等效積分弱形式，并說明構(gòu)造“弱”形式的意義。u(x,y)=u(x,y)onu(x,y)=u(x,y)onr=（提示：利用Green公式：▽〃?"如/y=口^-dS-口 ,n為so的單位外法向）1、解答:原定解問題的等效積分形式為JJ）vdxdy+|（w（x,尸）-。（范y））vdS=0Q 6其中，v=v（x9>,）rv=v（a\y）為任意函數(shù)？且分別在區(qū)域C2及邊界0C上可由Green公式可得；JJ▽〃?Vv加力-一，^-dS+5（羽）'）一正（七乃"如=0這里，要求▽口和在區(qū)域Q上可積。上式即為等效積分“弱”形式。構(gòu)造“弱”形式的意義：看課件PPT2、己知：A(。)=普+Q(x)=0(0<x<L)?其中a人fl(0<x<L/2) /ZAXAd(/)Q(x)=1二>二，邊界條件為：。(0)=0；-rT°。[0(L/2<x<L) axX=L假設(shè)近似函數(shù)為。0)=。0+。/+。2/+%/,試用配點法，子域法和伽遼金法求解。2、解答：設(shè)欣X)=%十十%/十%/，余量A(/)=L^+C(x)由邊界條件。(0)=0,可得劭=0;由”=10可得叫，TOC\o"1-5"\h\zq 2-10=0 (1)(a)配點法：取x=L/3和2L/3為配點，要求：R(L/3)=0 (2)/?(2￡/3)=0 (3)曳距:=町+2啊L+3叫L=1。329+2白匚+1=0,2的+4與1=0ei=10+_L>電=-L,也=-122L解方程組(1)-(3),可得％=10+L/2M2=-1，%=：NL(b)子域法：ao<X<Li2^L/2<x<L則山2|R(x)cix=0(5)%R(x2=°(5)o Q2 1 Q2旬+2與L+3的L=10,gL+一包L+_L=0,與L+一心L=0?4 2 4電=1。+!工6=工也=三23L4解方程組⑴,(4),(5),可得?=10+￡/2,%=-3/4必=；（b）伽遼金法：取權(quán)函數(shù)%=x，匕=，，匕=d，則（務(wù)工咿。世盟嚕-10)x-￡-10)=0=0=0r-A(6)⑺(8)2d3L3+l.(2d2（務(wù)工咿。世盟嚕-10)x-￡-10)=0=0=0r-A(6)⑺(8)2d3L3+l.(2d2+l)L2+1a2L2-L^1+2d2L+3d3L2-10=0,卜L5+JL(2?2+1)L4+冬I??I?(s+2]L+39I??10)=。,齊廣+孑蟲+1）「+"己/（旬+2微2.+3。?105 -23 17與二。^與=左丁片=斫16L 32 32L+。解方程組(6)?(8),可得％=10十0=-23/32,^=—32 16L3、某問題的微分方程是空+至+。。+。=0 mQ,邊界條件為式l/-■。。onI]-=qon1,，?！?其中，C和。僅是坐標(biāo)的函數(shù)，證明此方程的微分算子是自伴隨的，并建立相應(yīng)的自然變分原理。3、解答；微分算子為"）=冒十齡十c（）,取任意函數(shù)小,dudvdudv十刖，公力+小乃,十“史人）-dxxdydudvdudv十刖，公力+小乃,十“史人）-dxxdy，=Ibd2ud2n02dy2v—nt+v—nit(is4-

oxfyJJdn=JJ=JJvL(u)dxdyv^t/.v+?〃故算子是自伴隨的。原問題等價于；（假設(shè)@己滿足「上的邊界條件）JJ通「亞ay

影十獷十JJ通「亞ay

影十獷十c放十Qdxdy-河討的G（謝）的3（郵）…,一qds+c微傘+c微傘+QW)dxdy+J@5妙加中韻-—-\--c(jf2+Q(/>dxdy+f獻(xiàn)艷

2 %=5心器"管1+—ccf)=5心器"管1+—ccf)14-Q6dxdy+Jq(fxis=0等價的自然變分原理為:口砥等價的自然變分原理為:口砥0卜僵）-聘）+”+OC+1產(chǎn)砥就舒圉一砥就舒圉一c/一20液dxdy-Jqt^s4、彈性薄板的控制方程為：t+2及4、彈性薄板的控制方程為：t+2及4d4wd4wdx2dy^2+dy幺，建立周邊固支時的自然D變分原理。必富+2嘉+券資心八°,其中“，滿足強迫邊界條件.JL察次*)"哂+J萼〃命"JJndvdxJex三JL沿演出）必由」『沿町況言），"JJndxdxJexoxJL"輸必必'=$凈母小"+ ny8wdT=JL羽以羽）心力一而""[["X加出小=-[（鼻漢皿）dM，+fd%加HT^cx2cy2- 乩及即28K,Jdxdy2x=[（互也譏之上）dM，"辿〃冏蟲”TdxdydxSy 丁dxdy-dx吐…端嗡卯震金相加得：a%言咤網(wǎng)”必比第密十a(chǎn)2。2卬)一W弧1杰辦-J沿&漢?")(“

IJ OXuX〃⑼第"7唔）八a%言咤網(wǎng)”必比第密十a(chǎn)2。2卬)一W弧1杰辦-J沿&漢?")(“

IJ OXuX〃⑼第"7唔）八4富〃/年浦同居第十2uy）、（查馬2_Z四說,}7g曳沆電）打一戶如況包四

dx^yD 1dxdndx7dydndy、，產(chǎn)w7<11,,、八）?十（丁?。?一看的小=o。3 D■故原問題的自然變分原理為:r,、 「「」刀/'2I ,小卬、2q一.“助=山5（Q）+臥"）一（麗）一萬"W"或者口,、ffrQ產(chǎn)卬、）Qn?嘰？獲"萬（羽）”（dxd)^)-qw]dxdy5、如有一問題的泛函為+qw]dx,其中，民/人是常數(shù)，q是給定函數(shù)，w是未知函數(shù)，試導(dǎo)出原問題的微分方程和邊界條件。5、解答；泛函的一階變分為*qw]dx)=￡W號(“；尸+ +q^dx其中，民/人是常數(shù)，q是給定函數(shù)，w是未知函數(shù)，試導(dǎo)出原問題的微分方程和邊界條件。5、解答；泛函的一階變分為*qw]dx)=￡W號(“；尸+ +q^dx(￡7w投/ q蘇，d3兩次利用分部枳分公式，我們有f￡7住茂年dx=Elw6>v山）所以,—EI漳SvJ+0 1?Eh^Swdx=EZw一Elh6十￡(￡Av<4)+Aw+q)6wdx由蘇1=0可得EiwwL=0.Elw3wf=0及Io工+如葉wdx=0上述各式對任給的變分5M及Sw成立，由變分法預(yù)備定理可得:微分方程為：EIw^4-癡+q=0邊界條件為：E/卬力(I6、考慮如圖1所示懸臂梁’設(shè)其跨長為/,抗彎剛度為七/,在梁的中部及端點x=/處受集中荷載產(chǎn)作用。（1）若用Ritz（里茲）法計算粱的撓度曲線方程，試問：是否可取如下表達(dá)式？卬=o（l_cos?｝）,其中，。為待定常數(shù)。《1〉可取撓度曲線表達(dá)式為w=a（1-gs華），僅需要驗證該撓度函數(shù)滿足位移邊界條件即可，即m嗤）…°顯然滿足。（2）若是可以，試?yán)米钚∥荒茉砬蟪鱿鄳?yīng)的撓度曲線方程。 ,X

l_ l_w2 2圖1（2）用最小勢能原理確定待定常數(shù)c。彎矩為：財⑴二-E/會二dx,II粱的應(yīng)變能為：0=/一口，（一1心二空二/2Efh 4"外力勢能為： V=一。（用/一P（m，）i=-3qPx--系統(tǒng)的總勢能為：T\=Ui-V=^-a1-3aP由<sn=s（U4/）=o,得：d(U+V)deEE*=0.d(U+V)deEE*=0.即2/3。一3尸=0由此解得："E1N由此解得："E1N6PI'八 7TX:.w= (1-cos——)E/ I7、證明三節(jié)點三角形單元的形狀函數(shù)滿足Ni(Xj,y)=丹=0,Ni(Xj,y)=丹=0,N/Nj+N—l乂=士⑼+g?+cj)q=?%N4、,y)=?i?r11%11乂=士⑼+g?+cj)q=?%N4、,y)=?i?r11%11%人,=P'=y-?%1N乂2」?1\y)?(,3〔一7nl)+(?，，一丫泮)1<?+N+n?+N+n_(、mm…+to'i2A8、設(shè)有一彈性平面問題，厚度為f,彈性模量為E,泊松比4=0,對于如圖2所示的三節(jié)點三角形單元，試計算其單元剛度矩陣。圖29、對如圖3所示四邊形單元，試計算其單元剛度矩陣，寫出其基本思路即可。圖39、解答:基本思路：（利用等參元計算）步h將此四邊形單元變換到邊長為2的正方形單元（標(biāo)準(zhǔn)單元），寫出相應(yīng)的兒何變換及其雅可比矩陣；步2:計算在標(biāo)準(zhǔn)單元上的應(yīng)變矩陣，進(jìn)而計算原單元上的應(yīng)變矩陣；步3：將單元剛度矩陣的計算化歸為標(biāo)準(zhǔn)單元上進(jìn)行，即L燈二［［皿丁卬］⑷|J|d。（切10、試用“試湊法”構(gòu)造圖4各節(jié)點形函數(shù)，要求寫出詳細(xì)的計算過程。10、解答:詳見課件PPT11、解答，詳見課件PPT

圖411、利用構(gòu)造變結(jié)點數(shù)單元插值函數(shù)的方法，構(gòu)造如圖5所示8結(jié)點單元的插值函數(shù)。4（口1） 73（L1）4（口1） 73（L1）6l（h-l）5 2（1廣1）圖5(因為單元的邊是直線，可用4個結(jié)點定義單12、(1)圖6所示為二次四邊形單元，試計算6乂/及和加2/個在自然坐標(biāo)為(1/2,1/2)的點(因為單元的邊是直線，可用4個結(jié)點定義單12、(1)Case1;幾何變換采用4個點：在單元內(nèi)有x=XA//,x=XA//,■二iJ=X凡H■一工Jacobi矩陣為J=J（f，7）=用=31+矮)。+，町)』=123,4小何小一期ax一段包即一--I一工€0+“7,）%Eso+w/Jkr=i i=iX乙a+為況E々a+后）.匕1=1 J=1-4一一oo265562,12.1一1-4175114一0-10-(-1)1-(-1)=入-4一一oo265562,12.1一1-4175114一0-10-(-1)1-(-1)=入1-鏟川+，7）厘6=；（1-3（1一/）,Ns=^（i+^）（i-?r）8N1 1八、1- 、 1Z1,、dN、1Z1八1八小、1Z1一—=-(l+;7)+-^(l+7)--(l-rZ-)5-=-(l^)--(l-r)+-7d^)當(dāng)』=：，犯_颯.9當(dāng)』=：，犯_颯.9蕊一百一記cN2二-如神+抑+〃）+；（"/），膏小-"%一）+58）當(dāng)占= 如=工-12陰16助16cN-

.ox刎二ox刎二69"^7=~4760當(dāng)…弓Case2:幾何變換采用8個點:=0.0257當(dāng)=0.0018拈祠后乂=(1+/(1+研力〃-1)/4N?=(1-/(1+1)/4N3=(l-J)(l-〃)(一J-〃-1)/4'4)(1-碩…-1)/4N-X"的2M=("3X1+夕/2k=￡n內(nèi))'=￡njQ (121⑵

X±N.Ak Q(121/2)TOC\o"1-5"\h\zT I4=￡"=15.625 〃=￡”,=5I I以-yM—n3.125 >?-VNy.|5，i *i【〃=yj=ri5.62551【〃=%廣[3.12515J即叫:卜圈5T即叫:卜圈5T1ro.56251sfo.02571I5J[0,5625)"(0.0321J陽的陽?［噂5T陽的陽?［噂5T1JO.18751J0.01I41I5j[O.O625J10.0018](2)圖7所示為二次三角形單元，試計算6N4/及和MJ②在點尸(L5,2.0)的數(shù)值。(2)3N.~dx(I5.2.0)圖612=(2)3N.~dx(I5.2.0)圖612=--0.24549叫=-*2.-034751c 49乂=?2乙-1)乂=?2乙-1)BN,於必 M.OL. Ifht b.4，”- -、----十一1一?4￡a-L+科一■■一、心,，兒)次 以dr 批dr2A 2A (2A)20(2Ag?2A|b.)=』[0(2Ag?2A|b.)=』[4x(-2HS>4)=0.245(2d) 14ava—1=——ava—1=——t(2Axi*2A1c,)=力(2Ar 1:二[4K(-3H5x(-1)]=-0.M714-13、對如圖8所示的四邊形單元（見左圖）（1）寫出將該單元變換到一邊長為2的正方形單元（見右圖）的坐標(biāo)變換。13、解答，（1）坐標(biāo)變換為:>==N］為+N；x2+ML+NgT—）”加2十如以1-加9十加次十加8T1一爾十加3y=y優(yōu)為）=+Nm+n3y3+n.*8）吐加2+如加一機3+加以1+加9+33）（1+機8（2）計算該單元的雅可比（Jacobi）（2）計算該單元的雅可比（Jacobi）矩陣。要求寫出詳細(xì)計算過程。圖8<2>雅可比矩陣為:5，ar而力-即/I5，ar而力-即/I--也可以寫為V7V714、有一個三角形單元，受有如圖9所示的分布載荷，試計算該單元的等效節(jié)點載荷列陣。要求寫出詳細(xì)的計算過程。14、解答：設(shè)單元等效節(jié)點載荷列陣為｛畤。，它由12邊的等效節(jié)點載荷列陣為｛Rn\e及23邊的等效節(jié)點載荷列陣為｛&F疊加而成,即首先，計算怵鬲一依據(jù)公式，有對三節(jié)點三角形單元，恒有M二4，N?=JN3=L.這樣，X,=lOOzjN3s=100fJL處利用面積坐標(biāo)的箱函數(shù)在三角形某一邊上的積分公式可求得％;5OJ類似地，有.=50,因此，｛AJ，0,50f,0,50/,0,0]「，其中，為厚度。其次,計算;冬丁，完全類似于上述方法，可得｛2=|0,0,100/,0,200^,0T，其中E為厚度。最后，計算網(wǎng)'儼J+畫F=（0,50/,100r,50r,200/,0]r15、圖10為一給定的六節(jié)點三角形單元，在力〃邊上作用有線性分布的面載荷（x方向），假設(shè)單元厚度為1，試用兩種不同的方法求單元等效節(jié)點載荷列陣。要求寫出詳細(xì)的計算過程。（給出均布測壓的等效節(jié)點載荷計算的例子：圖示結(jié)點三角形單元的124邊作用有均布側(cè)壓力q,單元厚度為3求單元的等效結(jié)點荷載。3(xjJl(Wi)解答；Ni=Li(2Lrl)；N2=L2(2L2-I)；N3=Lj(2L>-I)；N4=4I.2k；Ni=4L2L5;N6=4LaLi；在三角形142邊上L&R;可得NlNlNsR,3(xjJl(Wi)解答；Ni=Li(2Lrl)；N2=L2(2L2-I)；N3=Lj(2L>-I)；N4=4I.2k；Ni=4L2L5;N6=4LaLi；在三角形142邊上L&R;可得NlNlNsR,因此有:在三加形142邊上建立局部坐:標(biāo)系如圖:-10 42節(jié)點在局部坐標(biāo)系下的形函數(shù)為,=;(1+期所以土八=其中,I為三用形142邊的邊長;/cos。/sin0其中,.4KJ八3與仇2，=一q1、3/sin3/cosd2=—qtJ3yi-Vif2€OS0./；sin6r ■/cost?Jsin0U為q與水平方向的夾角Q將上述應(yīng)用于該題可得到計算結(jié)果OOCOOO16、圖11為一邊長為2的八節(jié)點正方形單元，它的邊界平行于整體坐標(biāo)軸，在邊152上受有均布表面荷載，P、=P0,假設(shè)單元厚度為/,試求單元等效節(jié)點載荷。要求寫出詳細(xì)的計算過程。圖11圖1116.解答：等效節(jié)點我荷為:00｝二的00｝二的,(Pj)=.(pj)=[0G>3)=(P<1=(P&}={P/=仇)=，/其中,取a=l即為本答斑。17、考慮如圖12所示受均布載荷作用的懸臂梁，將其剖分成兩個單元，單元和節(jié)點編號如圖所示，設(shè)節(jié)點位移和節(jié)點力分別為（匕，2）t和C，M,）T,j=l,2,3,已知平面梁單元單元剛度矩陣為E1[燈=產(chǎn)12

61

-12

E1[燈=產(chǎn)12

61

-12

6/6/4尸-61

2/2-12-6/12-6/6/2廣-6/

4/2lm2②lm2②其中，/為長度，E/為抗彎剛度，試求節(jié)點2和節(jié)點3的位移值，要求寫出詳細(xì)計算過程。2kN/m1①1m圖1217、解答：依題意可知，單元（1）的位移列陣為｛d產(chǎn)二（匕⑼,心,&尸,｛用⑴=（片,％儲,%）丁，它們滿足平衡方程：［燈Dm一—一｝⑴單元（2）的位移列陣為⑵=（叱M,%苗尸，節(jié)17、解答：依題意可知，單元（1）的位移列陣為｛d產(chǎn)二（匕⑼,心,&尸,｛用⑴=（片,％儲,%）丁，它們滿足平衡方程：［燈Dm一—一｝⑴單元（2）的位移列陣為⑵=（叱M,%苗尸，節(jié)｛尸｝⑵，它們滿足平衡方程：［幻⑵.嚴(yán)=｛尸產(chǎn)整個結(jié)構(gòu)的位移列陣為3｝=3八四,巧,心,匕同），節(jié)點力列陣為點力列陣為仍二（不必々＞2，鼻，%）\它們滿足平衡方程：［K］｛d｝=｛F｝經(jīng)計算可得，兩個單元的剛度矩陣為■12 6