數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)之高三復(fù)習(xí)大一輪熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展專(zhuān)題39數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問(wèn)題、歸納猜想證明等.本專(zhuān)題主要舉例說(shuō)明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題.1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)〃的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問(wèn)題等）則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過(guò)假設(shè)n=k成立，再結(jié)合其它條件去證n=k+1成立即可.證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證n=n°（n0是滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)n=k（k>n0,neN）成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：n>n°,neN時(shí)，命題均成立3、第一歸納法要注意的地方：（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從n=1開(kāi)始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù)n0開(kāi)始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從n=n0開(kāi)始（2）歸納假設(shè)中，要注意k>n0，保證遞推的連續(xù)性（3）歸納假設(shè)中的n=k，命題成立，是證明n=k+1命題成立的重要條件.在證明的過(guò)程中要注意尋找n=k+1與n=k的聯(lián)系4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)n=k命題成立時(shí)，可用的條件只有n=k，而不能默認(rèn)其它n<k的時(shí)依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)n<k，命題均成立，然后證明n=k+1命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證n=n0（n0是滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)n<k（k>n0,neN）成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：n>n0,neN時(shí)，命題均成立.5.注意點(diǎn)：對(duì)于歸納猜想證明類(lèi)問(wèn)題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納.下載可編輯.

法，確認(rèn)n的初始值n0不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè).【經(jīng)典例題】例1.【2018屆重慶市第一中學(xué)5月月考】已知日為正項(xiàng)數(shù)列匚二!的前日項(xiàng)和，的最小值為【答案】科=%T—(ncN+的最小值為【答案】科=%T—(ncN+)【解析】分析：由題意首先求得回，然后利用題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可.，記數(shù)列匚I的前日項(xiàng)和為口，則詳解：由題意結(jié)合當(dāng)…寸,2%=&+小結(jié)含%＞口可得ij當(dāng)?!=2H當(dāng)?!=2H寸3+。工)=。工?結(jié)含附＞。可得：g=V2—當(dāng)也—%寸?2(如+&+%)=/H＞結(jié)合。＞口可得：?？诙猇2;猜想/T訴—路以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:，結(jié)論是成立的，S&二小則，結(jié)合假設(shè)有:綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是正確的.假設(shè)當(dāng)。時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為:由題意可知:K\，結(jié)論是成立的，S&二小則，結(jié)合假設(shè)有:綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是正確的.假設(shè)當(dāng)。時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為:由題意可知:K\k?/+?】)=”「C據(jù)此可知：也!.下載可編輯.

點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.歸納推理是由部分到整體、點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.例2.設(shè)Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足、=21—2(n￡N*)(1)求卜％九%用的值，并由此猜想數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a；n n(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.【答案】(1)"一勺；(2)見(jiàn)解析.【解析】分析：。)由1=2——2 將n=l,2,3,4代人上式計(jì)算,猜想即可」對(duì)于用數(shù)學(xué)歸綱法證明即可.①當(dāng)n=l時(shí),證明結(jié)論成立，②假圾@三1,時(shí)，結(jié)論成立.利用歸納假設(shè)，去證明當(dāng)才k+1時(shí),結(jié)論也成立即可.詳解：⑴當(dāng)?shù)?時(shí)，%1-%當(dāng)n=2時(shí),ai+aa=Si=2^aa-2；■■ai=4.-n—3日寸,a,L++%—Si—2X鼻一2；..比—B.當(dāng)n=4時(shí)，ai+a2+a3+a4=S4=2Xa4—2,Aa4=16.由此猜想:(n由此猜想:(n￡N*).⑵證明：①當(dāng)n=1時(shí)，%=2,猜想成立..下載可編輯.

②假設(shè)n=k（kN1且k￡N*）時(shí)，猜想成立，即那么n=k+1時(shí)，，+1="+1—『，+1—犯. —二北十1■.@卜+1=2@卜一 ，這表明n=k+1時(shí)，猜想成立，由①②知猜想品=2成立.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之.(II),證明見(jiàn)解析.(II)請(qǐng)猜想匚二!的通項(xiàng)公式目【答案】（I）論寫(xiě)明莫忘掉.并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之.(II),證明見(jiàn)解析.(II)請(qǐng)猜想匚二!的通項(xiàng)公式目【答案】（I）【解析】分析:（I）結(jié)合條件劍=1，2,軍［3可求出%, ①的值5〔II）通過(guò)｛I＞歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，先的證當(dāng)期二在寸成立，再假設(shè)當(dāng)加二此時(shí)成立，最后證明當(dāng)九二文+1時(shí)成立.詳解：［I）由題意，得出二*/二煮457CI）依據(jù)C得內(nèi)二二由此猜想詳解：［I）由題意，得出二*/二煮457CI）依據(jù)C得內(nèi)二二由此猜想假設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之:時(shí)，則對(duì)于叵三口.下載可編輯.k?-1)1= ； 1]4klk+1)口出=4上r3丈十1= +18tz-4fc+2■++* 21--〔4止-Dg+D2k(2k-l)[Bfc2-4Jt+2FLUf2Gt+D(2k+l)''...當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.12k(2k-1)2儂-1) ?]= 2(2k-(k+1)?+1)+~2k+22儂-1) ?]= 2(2k-(k+1)?+1)+~2k+22(2k+Z〕+2(k+ 1)押二*+1點(diǎn)睛：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的步驟及其需要注意的問(wèn)題:綜上，可得對(duì),成立2H(如-1)'第二步：歸納遞推（即假設(shè)且時(shí)成立）;時(shí)成立，第二步：歸納遞推（即假設(shè)且時(shí)成立）;時(shí)成立，1、第一步：歸納奠基（即驗(yàn)證匚1時(shí)成立）;,例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列三I中，().（1）求證:（2）求證,例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列三I中，().（1）求證:（2）求證-一U是等差數(shù)列;【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.(3)設(shè)(1+4)(1+引…口+5).，記數(shù)列口的前日項(xiàng)和為口，求證:3、兩個(gè)條件缺一不可，在驗(yàn)證丘正亙時(shí)成立時(shí)一定要用到歸納假設(shè)一時(shí)的結(jié)論，最后得到的形式應(yīng)與前面的完全一致.,，從而可得,，從而可得【解析】試題分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（2）化簡(jiǎn)可得I%"是等差數(shù)列;（3）由（2）可得看-川+1.下載可編輯.

求和公式可證結(jié)論.試題解析：(1)證明：當(dāng)行=北寸，%=不滿(mǎn)足;名冊(cè)假設(shè)當(dāng)=A:/宜1)時(shí), 則當(dāng)71=鹿+1時(shí)』%+即bi=Jc+l時(shí),滿(mǎn)足;主冊(cè)<力所以,當(dāng)“已押*時(shí)，都有:4$<1.下載可編輯.九+1一工I3n4即也皂3時(shí)所以心■顯然例5.已知函數(shù)f(%)=ax---2lnx,f(1)=0xTOC\o"1-5"\h\z "\一 。 1 )一 .(1)若函數(shù)f(X)在x=1處切線(xiàn)斜率為0,a =f1 -n2+1，已知a=4,n+1 Ia-n+1) 1n求證：a>2++21 1T1 2(2)在(1)的條件下，求證：-——+-+L+- <1+a1+a 1+a5【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)/(x)=a+-^---.，⑴.[1[/(1)=0[a+b-2=0(i=l二a尿+1=1+(門(mén)盟—/I+1)—2(gk—/I+1)—+1整理后可得：=(%—再『―M+1■J--/+1=%—2H烏a+1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a/2n+2當(dāng)n二1時(shí)，4二4>2n+2成立假設(shè)n=k(keN*)成立，則n=k+1時(shí).下載可編輯.

a=a(a-2k)+1 Qa>2k+2「.a >(2k+2)?2+1=4k+5>2(k+1)+2k+1，n=k+1時(shí)，不等式成立/.VneN*,a>2n+2(2)Qa(2)Qan+1=a2—2na+1=a(a-2n)+1由(1)由(1)可知a>2n+2/a+1>2(a+1)n1 1?一, 2a—1n-11 1?—, 221 1?一, 2a—1n-11 1?—, 22an一21<—2n-1例6.【浙江省紹興市2018屆5月調(diào)測(cè)】已知數(shù)列證明:在ri+1=sin(-af})(n.EN+)1,②假設(shè)當(dāng)仁處四口1,結(jié)論成立，即竺&￡”士工￡設(shè)數(shù)列1 的前日項(xiàng)和為I,證明:【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）由題意利用薊學(xué)歸納法題中的結(jié)論即可3詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)巴三.下載可編輯.即點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合綜上所述(2)由即點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合綜上所述(2)由(1)知:函數(shù)與不等式的知識(shí)求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問(wèn)題及以函數(shù)為=Inx\m\—2neR)背景的數(shù)列的綜合問(wèn)題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn).例7.【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù)(I)求函數(shù)IO的單調(diào)區(qū)間；(II)若函數(shù)叵的最小值為-1記口【答案】(I)見(jiàn)解析；(II)見(jiàn)解析.數(shù)列滿(mǎn)足.下載可編輯.【解析】分析：（I）國(guó)額求導(dǎo)r（=）=詈，討論魏<嗎口屈>o兩種情況即可;(II)由(「序口閏數(shù)fCO的最小值點(diǎn)為工=m/jgtn-m+1-2m-=-1,$ff(m)=配而一2m+2.(m>1)?進(jìn)而得皿=1,則瓦十l=加限+聲］由歸納可猜想當(dāng)M圭3,耀E『時(shí)C4〈九利用數(shù)學(xué)歸納法可證得,于是，［比］=1=25支2上貝11gl +…+ —L從而利用聚項(xiàng)相消法可得證.mx-m詳解：（I）函數(shù)四的定義域?yàn)檫@工3.1、當(dāng)應(yīng)至?xí)r，應(yīng)區(qū)1、當(dāng)應(yīng)至?xí)r，應(yīng)區(qū)I,即叵I在匹且上為增函數(shù);2、當(dāng)0時(shí)，令出氫得叵畫(huà)即國(guó)在?上為增函數(shù);同理可得口在三口上為減函數(shù).（II） 國(guó)有最小值為（II） 國(guó)有最小值為-1由（I）知函數(shù)回的最小值點(diǎn)為三回即網(wǎng)蟲(chóng)=一［,則則也m7-2酬三令貝切）二女m=2m+2,m2^-1故HZI在匚匚N上是減函數(shù)g(m)=2<故HZI在匚匚N上是減函數(shù)所以當(dāng)”時(shí)口叫<@口）=0所以當(dāng)”時(shí)口叫<@口）=0|Hr??mWN?皿二1直接得出不扣分）…=他+:+1從而猜想當(dāng)隆期旦猜想當(dāng)隆期旦［時(shí)2<hti<3下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.1、當(dāng)時(shí)，猜想正確.2、假設(shè)2、假設(shè)334C時(shí)，猜想正確..下載可編輯.由加2*/熊3■ 13綜合I、2得：對(duì)一切配之3皿E始j猜想正確.即六之3,犯E律時(shí),2<fcB<3.于是『gj=1出」=2(n>2),則=gJ+[%]+-+[bn]=2w-1.I I■■■I3 3， 2d.-1例8.已知函數(shù)h(x)=例8.已知函數(shù)h(x)=-x2Htx在原點(diǎn)區(qū)倒處切線(xiàn)的斜率為1/(工)=必，數(shù)列回滿(mǎn)足出二則為常數(shù)且叵西(1)求匕_I的解析式;(1)求匕_I的解析式;(2)計(jì)算叵碼，并由此猜想出數(shù)列回的通項(xiàng)公式;(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.If(x)=x(3fri= —(nWN] 1±』；(2)-1+(…)口 ；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)求出M霓)的導(dǎo)圖數(shù)出(霓)，由圖數(shù)M吟=；爐+既在原點(diǎn)叫切線(xiàn)的斜率為1可得出。)=1,可求得￡的值，從而可得f00的解析式；e由函數(shù)解析式，可得遞推關(guān)系，根據(jù)遞推關(guān)系可依次求出5小的值，觀(guān)察前四項(xiàng)共同知律可猜測(cè)出翻列14｝的通項(xiàng)公式,(3)先蛉證％=1時(shí)猜想成立,再假設(shè)丸=k時(shí)猜想成立，只需證明注=此+工時(shí)」猜想也成立即可.試題解析：(I)由已知得，V(￡)=,十=/=1=>皿方=工十1,一一」(工)二喜..下載可編輯.= -二hY= -二hY+2a(3)①當(dāng)??二.時(shí)，猜想顯然成立，②假設(shè)???"二：三、時(shí)，猜想成立，即二二._一—.,“ 常、a.1+fAr-l)aa a則當(dāng)」'.時(shí),- :'一—一，l+(Ar~r)a - -a即當(dāng).?二；」：時(shí)，猜想成立.由①②知，-=._ 對(duì)一切正整數(shù).：都成立.例9.已知數(shù)列網(wǎng)是等差數(shù)列，:=〔也‘4'…卜瓦0f(1)求數(shù)列匚I的通項(xiàng)公式口；證明見(jiàn)解析.【解析】分析：⑴根據(jù)數(shù)列斯提等差教列,由乩j利用析+%+■…+比口=14腱立蛇昉程,解之即可j＜2)要比較加與;加%窿+1的大小，可先比較q+1)(1+：)(1+號(hào)肖鈍E的大小J利用用數(shù)學(xué)歸納法證明，可得當(dāng)口＞1時(shí)，當(dāng)口＜口＜1時(shí)，Sn＜^D3ab^1.詳解：(1)設(shè)數(shù)列｛b｝的公差為d,n%=[ =1由題意得 a ,Abn=3n—2..下載可編輯.

（2）證明：b=3n—2知S=log(1+1)+log（2）證明：]+…+log(1n口n一]+…+log(1=log[(1+1)(1+3)^(1+_zj)]而Diogb+1=log\""+1,于是，比較S與logb+目比較a+1)(1U)…(1+bE|與國(guó)包的大小.的大小取n=2,有(1+1)推測(cè)；(1+1)(1+①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證（*）式成立.則當(dāng)n=k+1時(shí),)>匹!即當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式成立由①②知的大小取n=2,有(1+1)推測(cè)；(1+1)(1+①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證（*）式成立.則當(dāng)n=k+1時(shí),)>匹!即當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式成立由①②知，（*）式對(duì)任意正整數(shù)n都成立, 于是，當(dāng)a>1時(shí)，Sn時(shí)，S<@logb+1例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列｛x/滿(mǎn)足：5=1,xn一1一3一n+ba

g

o,當(dāng)0<a<1證明：當(dāng)ngN*時(shí),0<x<x；n+1 n.下載可編輯.

3X—2X<—n-n+1；n+1 n3【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】分析：⑷用豹學(xué)歸物法和反證法證明即可5⑵由數(shù)列的遞推式以及作差法可得43—9%+￡/*小+（%+6）底、—電顯—6,構(gòu)造國(guó)數(shù)/（x）=xi+（x+6）^ZT-4x-6（^>0）J利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)圖數(shù)八句的單調(diào)性，從而可以證明j（3）1 13由數(shù)列的遞推式，以及（2）的結(jié)論可得———->-11八—->0，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)311八—->0，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)3）(3An—2公式即可證明X<—12J，再結(jié)合已知可得x=X+

n+1\：X+1—1<—Xn+1 2n+1，即可證明不等式成立.詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明：Xn>0Xi=1>0成立假設(shè)詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明：Xn>0Xi=1>0成立假設(shè)n=k時(shí)xk>0，成立，那么n=k+1時(shí)假設(shè)Xk+1<0，則￡=*卜+1+3+1+1—1<0,矛盾所以X>0，故X>0得證k+1所以X=X +,X]+1—1>X，故0<Xn+1(2)由X=X1+yjxn]+1-1得xx—9x+6x=X2+(xnn+1 n+1 n n+1 n+1+6)t,x+1-4x-6n n+1設(shè)f(x)=x2+(x+6)\x+1—4x—6(X>0)則Uf'(x)=2x+X++1+2X+\—4=21x+11)+^=+2.下載可編輯.后T-j在他也)上單調(diào)遞增,故/(力在色+動(dòng)上單調(diào)遞增,所以所以%j+(/+1+6)7^+l-4xrt+1-6>01 13(3)由(2)得——-->-X3

n+1(1 1A1-1VXn3)1->3n-1n-2一」3所以Xn-2V2，所以，所以又、X+1-1<X-x(x>0)2

一1所以可+1+1-1<2X+1X=X +X=X +qXn+1—一3 2+1-1<—X，故X>—X2n+1 n+1 3n所以X>-V3

(2An-1所以5V37【精選精練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明電+2+m+…+(*+1)=①+D[2w+j]，，時(shí)-k(k"kfN 時(shí)等式成立推證|仃二型十』時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)為【答案】SEES【解析】分析:口=啊，左端為1+2+3+…+(211),n=k+l時(shí)，左端為1+2+升…+(213)』相減即可得結(jié)果.詳解；因?yàn)榧僭O(shè)u=如寸】命題成立，左揣為1+2+3+...+(2k+l).當(dāng)n二k十1時(shí)，左端為1十2十3十…十(2k+1)十(2k子幻十[2Ck+1)+1],，兩式相減可得，從Tk+1”需增添的項(xiàng)是(2k+2)+Qk+?)=4k+U』故答案為4k+￡.下載可編輯.

點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律2.用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：>> >^8>按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為【答案】區(qū)+Z【解析】試題分析：由題意得：“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)求臼，旦旦(1)(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜想出匚］的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明;【解析】試題分析：由題意得：“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)求臼，旦旦(1)(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜想出匚］的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明;【答案】(1)遒；(2)：'話(huà)i"，證明見(jiàn)解析；(3)【解析】分析：⑴利用遞推公式求出％,%, 根據(jù)CD的結(jié)果猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.匕)先計(jì)算出％,再利用裂項(xiàng)相消求和.詳解；(1) =g當(dāng)?I=即寸,口?比工二%當(dāng)林=2H寸j~?g=一【丁」?g=10jd當(dāng)?1.=3寸15~ —n己一1j比q=28；(2)由此猜想(2)由此猜想ar[=n(2n-1)下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①當(dāng)正逗圖時(shí)，由(1)知Ei三遜口成立;②假設(shè)卜一嘮"-UMEN」，結(jié)論成立，即網(wǎng)"稚人一口成立..下載可編輯.

（1）計(jì)算日，□,回，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想口的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.i7【解析】分析：（1）計(jì)算反I,網(wǎng)，回，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想匚迎吐⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論..下載可編輯.詳解-（1）當(dāng)n=田寸；5工=%+g= ?當(dāng)？當(dāng)？i=田寸，/=$+$+$=9%』由此猜想（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明%卜勺?雁+1=伊”〔）％i1①當(dāng)0時(shí)，顯然成立,②假設(shè)當(dāng)09由此猜想（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明%卜勺?雁+1=伊”〔）％i1①當(dāng)0時(shí)，顯然成立,②假設(shè)當(dāng)094時(shí)猜想成立，即由題意得g，k(kI2)%+1=%卜出廠(chǎng),％=@+lj[k+2...當(dāng)叵三三2時(shí)猜想也成立,由①和②，可知猜想成立，即(n€N"]點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：（1）在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一定要注意利用前面的正巫巫時(shí)的假設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯(cuò)誤的.（2）看到或設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯(cuò)誤的.（2）看到或儂，要注意聯(lián)想到項(xiàng)和公..下載可編輯.（1）計(jì)算日，0,口，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想口的表達(dá)式;（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.（1）計(jì)算日、口、口的值，由此猜想數(shù)列EZI的通項(xiàng)公式;（2）用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明.【答案】（1）雙，GZEEH；（2）證明見(jiàn)解析.--_Til I1——C7ri-二月％+1INWN）r I［解析］試題分析：（1）由" 2 當(dāng)I,將巨三國(guó)代入上式計(jì)算出固網(wǎng)、目的值，根據(jù)共同規(guī)律猜想即可；（2）對(duì)于口EH過(guò)亙!用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.①當(dāng)?3時(shí)，證.下載可編輯.

明結(jié)論成立,②假設(shè)當(dāng)五二文aren"）時(shí)，給論成立，利用歸納假設(shè)，去證明當(dāng)九二人成立即可.試題解析：⑴七二此/=5,以=1內(nèi)①當(dāng)』=卻寸，叫明結(jié)論成立,②假設(shè)當(dāng)五二文aren"）時(shí)，給論成立，利用歸納假設(shè)，去證明當(dāng)九二人成立即可.試題解析：⑴七二此/=5,以=1內(nèi)①當(dāng)』=卻寸，叫=m1結(jié)論成立j②假設(shè)當(dāng)"=k（k>tk七W?）時(shí)，結(jié)論成立」即Q止二此十2,即當(dāng)七三立』時(shí)，結(jié)論也成立（口）計(jì)算日，□,目的值.（口）猜想數(shù)列匚］的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】試題分析：（1）由附=，利用/十1=品，可依次求得gJgJ%的值？求解過(guò)程注意避免出

dCLTli-1現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤MG根據(jù)（［）中所得%％的值，找出共同規(guī)律,可猜測(cè)：/ 先駿證當(dāng)修=如寸，等式成立,需后假設(shè)"=此時(shí),，=彘J只需證明當(dāng)制=此+工時(shí)？加十］=扁口^可證明猜想正確.試題解析：（1）,.x=l,小+】二信已（1Tl十.孫十1——/①口—4-dadj+i -I己但m：+im.下載可編輯..已知數(shù)列數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=(—1)n(2n—1)(n￡N*),Sn為其前n項(xiàng)和.(1)求S1,S2，S3，S4的值；⑵猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【答案】(1電=—1,S2=2,S3=-3,S4=4；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(I)根據(jù)an=(-1>(2n-1),代入n=1,2,3,4計(jì)算，可求",S2,S3,S4的值；(II)由(I)猜想Sn的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立即可.試題解析：(1)依題意可得S]=—1,S2=—1+3=2,S3=—1+3—5=—3,S4=—1+3—5+7=4；⑵猜想：=(-1)n?n.Sn證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即=(-1)k?k,Sk那么當(dāng)n=k+1時(shí)，=(—1)k，k+=(—1)k，k+(—1)k+1(2k+1)=(—1)k+1，(k+1).Sk+1 ak+1即9=卜+1時(shí)，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成立.【方法點(diǎn)睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用，觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說(shuō)法是科學(xué)研究的最基本的方法之一.通過(guò)不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明才能應(yīng)用..設(shè)t>0,f(x)=-x—，令a=1,a=f(a),ngN.t+x1 n+1 n +(1)寫(xiě)出a2,a3,a4的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.t【答案】(1)@]=1,a2=t+113a= -，猜想a4 13+3t2 1tn-1n tn-1+(n-1)tn-2(n￡N+)；(2)證明見(jiàn)解析..下載可編輯.【解析】試題分析:(i)由題意結(jié)合國(guó)數(shù)的解析式計(jì)算可得—=g曰⑺=<…⑷.猜想生產(chǎn)1十(科—1)猜想生產(chǎn)1十(科—1)產(chǎn)工<2)苜先證明口:1時(shí)，猜想正確.然后假設(shè)口=k時(shí)猜想正確，即買(mǎi);中十依—1)產(chǎn),證明n=k+l時(shí)猜想正確即可證得題中的結(jié)論.試題解析:."=￡(a1."=￡(a1)=f(1)t—T+T，12a3=f(a2)=(2+2ta4=fIOtn-1猜想a.= (n￡猜想antn-1+1n-1)tn-2 +(2)證明：①易知，n=1時(shí)，猜想正確.tk-1②假設(shè)n=k時(shí)猜想正確,即產(chǎn)tk-1+(k-1)tk-2'、 t,a貝Ua=f(a、 t,a貝Ua=f(a)= kk+1kt+akt tk-1tk-1+(k——1)tk-2tkt+ tk-1 tk+ktk-1tk-1+(k——1)tk-2這說(shuō)明9=卜+1時(shí)猜想正確.tn-1由①②知，對(duì)于任何n￡N，都有a由①②知，對(duì)于任何n￡N，都有an tn-1+(n-1)tn-2點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.證明時(shí)步驟(1)和⑵缺一不可，步驟(1)是步驟⑵的基礎(chǔ)，步驟⑵是遞推的依據(jù).x=x+ln(1+x)(ngn*).nn+1 n+110.12017浙江，22】已知數(shù)列收｝滿(mǎn)足：x=1,x=x+ln(1+x)(ngn*).nn+1 n+1.下載可編輯.0Vx+1<x；TOC\o"1-5"\h\z2xn+i xn<【答案】（i）見(jiàn)解析；（ii）見(jiàn)解析；（ni）見(jiàn)解析.【解析】試題分析“I曲數(shù)學(xué)歸納法證明KI[油（I）得即加—+ +構(gòu)造函數(shù)/w=JC7-2x+(x+2)1e(1+xXx>0),由函數(shù)單調(diào)性可證；CIII)由彳丸 I演二演+i十W（1十%1）0/^十%】[得上詈一%』遞推可得聲三看&不q q q試題解析：（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：^>0當(dāng)H=1時(shí)，Jl=l>0假設(shè)k立時(shí)3zfcKJj那么街的<L時(shí),若再+]_三/則。<賴(lài)=西+1十項(xiàng)1十項(xiàng)+1）W0,矛盾J故叫+1>。.因此馬下0（?七人與,所以f=a闈+則1+4_]>>K卅i,因此。V可〈為如加丘"*）(II)由X=X]+ln(1+x1)>x]得xx-4x+2x=X2-2x+(x+2)ln(1+x)記函薊2x+(#+2)lMl+*X#20)函數(shù)用)在[5小)上單調(diào)遞增，所以，00±/(0)7，I因此—2-1+(h]+2)111(1+91)=/(XH+1)>0；2xw+1-xH<EN*)(III)因?yàn)轫?xiàng)—In。,所以為之3得5^11之2%一%--1>2(--1))0,--1)>2?-1(1-1)=2^3,%+i2賴(lài)2 %2 2 再2故xji—尹T/爹口—xjt—2?-15EN)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，不等式及其應(yīng)用.下載可編輯.

同時(shí)考查推理論證能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2—2x+（x+2）ln（1+x）（x>0），利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明.11.12018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無(wú)窮數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)an 111an+1r1)

11an+1Ina)n(I)證明：0<an<1；(II)(a-an+1 ,T為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)n3< 10n+1【答案】（I）見(jiàn)解析；（ID見(jiàn)解析.【解析】試題分析；（I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理論證，可得數(shù)列為遞增數(shù)列.(11)由已知%可得數(shù)列為遞增數(shù)列.anr1)

a+—Inar1)

a+—Ina)n1——aa，n一1 易知］——af為遞減數(shù)列也為逆;咸救列』故當(dāng)和22時(shí),<—j成AZ?10當(dāng)N之2時(shí),利用裂項(xiàng)求和法即可得證試題解析：（1）