高等數(shù)學(xué)電子教案六

高等數(shù)學(xué)教案第六章定積分的應(yīng)用PAGEPAGE4青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組第六章定積分的應(yīng)用教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。教學(xué)重點(diǎn)：1、定積分的元素法、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積，計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：截面面積為已知的立體體積。2、引力?！?1定積分的元素法一、問題的提出回顧：曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形由連續(xù)曲線、軸與兩條直線、所圍成。abxyoabxyo面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間分成個(gè)長度為的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為個(gè)小窄曲邊梯形，第個(gè)小窄曲邊梯形的面積為，則（2）計(jì)算的近似值（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值若用表示任一小區(qū)間上的窄曲邊梯形的面積，則，并取2．極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素由曲線()及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為曲邊扇形的面積為例4.計(jì)算阿基米德螺線a(a>0)上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積解:例5.計(jì)算心形線a(1cos)(a>0)所圍成的圖形的面積解:二、體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸常見的旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設(shè)過區(qū)間[ab]內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)當(dāng)平面左右平移dx后體積的增量近似為V[f(x)]2dx于是體積元素為dV[f(x)]2dx旋轉(zhuǎn)體的體積為例1連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(hr)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體計(jì)算這圓錐體的體積解:直角三角形斜邊的直線方程為所求圓錐體的體積為例2計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積解:這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積元素為dVy2dx于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為例2求星形線繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解：旋轉(zhuǎn)體的體積例3計(jì)算由擺線xa(tsint)ya(1cost)的一拱直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為52a3所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)則63a32．平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[ab]過點(diǎn)x且垂直于x軸的平面與立體相截截面面積為A(x)則體積元素為A(x)dx立體的體積為例4一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心并與底面交成角計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積解取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x2y2R2立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊分別為及因而截面積為于是所求的立體體積為例5求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積解:取底圓所在的平面為xOy平面圓心為原點(diǎn)并使x軸與正劈錐的頂平行底圓的方程為x2y2R2過x軸上的點(diǎn)x(R<x<R)作垂直于x軸的平面截正劈錐體得等腰三角形這截面的面積為于是所求正劈錐體的體積為三、平面曲線的弧長設(shè)AB是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)在弧AB上任取分點(diǎn)AM0M1M2Mi1MiMn1MnB并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段Mi1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí)如果此折線的長的極限存在則稱此極限為曲線弧AB的弧長并稱此曲線弧AB是可求長的定理光滑曲線弧是可求長的1．直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x)(axb)給出其中f(x)在區(qū)間[ab]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長度取橫坐標(biāo)x為積分變量它的變化區(qū)間為[ab]曲線yf(x)上相應(yīng)于[ab]上任一小區(qū)間[xxdx]的一段弧的長度可以用該曲線在點(diǎn)(xf(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替而切線上這相應(yīng)的小段的長度為從而得弧長元素(即弧微分)以為被積表達(dá)式在閉區(qū)間[ab]上作定積分便得所求的弧長為在曲率一節(jié)中我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為這也就是弧長元素因此例1計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度解從而弧長元素因此所求弧長為2．參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出其中(t)、(t)在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)因?yàn)閐x(t)dt所以弧長元素為所求弧長為例2．計(jì)算擺線xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的長度解弧長元素為所求弧長為8a3．極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出其中r()在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得x()cosy()sin()于是得弧長元素為從而所求弧長為例14求阿基米德螺線a(a>0)相應(yīng)于從0到2一段的弧長解弧長元素為于是所求弧長為§63功水壓力和引力變力沿直線所作的功由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中有一個(gè)不變的力作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離時(shí)，力對物體所作的功為如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.例1把一個(gè)帶q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處它產(chǎn)生一個(gè)電場這個(gè)電場對周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)O為r的地方那么電場對它的作用力的大小為(k是常數(shù))當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從ra處沿r軸移動(dòng)到rb(a<b)處時(shí)計(jì)算電場力F對它所作的功例1￠電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(a<b)處求電場力對單位正電荷所作的功提示:由物理學(xué)知道在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場中距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為(k是常數(shù))解:在r軸上當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)電場力對它所作的功近似為即功元素為于是所求的功為例2在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體在等溫條件下由于氣體的膨脹把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處計(jì)算在移動(dòng)過程中氣體壓力所作的功解取坐標(biāo)系如圖活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示由物理學(xué)知道一定量的氣體在等溫條件下壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k即pVk或解:在點(diǎn)x處因?yàn)閂xS所以作在活塞上的力為當(dāng)活塞從x移動(dòng)到xdx時(shí)變力所作的功近似為即功元素為于是所求的功為例3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛滿了水解作x軸如圖取深度x為積分變量它的變化區(qū)間為[05]相應(yīng)于[05]上任小區(qū)間[xxdx]的一薄層水的高度為dx水的比重為98kN/m3因此如x的單位為m這薄層水的重力為98×32dx這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW882×x×dx此即功元素于是所求的功為(kj)二、水壓力從物理學(xué)知道在水深為h處的壓強(qiáng)為ph這里是水的比重如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處那么平板一側(cè)所受的水壓力為Pp×A如果這個(gè)平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算例4一個(gè)橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水設(shè)桶的底半徑為R水的比重為計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力解桶的一個(gè)端面是圓片與水接觸的是下半圓取坐標(biāo)系如圖在水深x處于圓片上取一窄條其寬為dx得壓力元素為所求壓力為三、引力從物理學(xué)知道質(zhì)量分別為m1、m2相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為其中G為引力系數(shù)引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向如果要計(jì)算一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力那么由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的就不能用上述公式來計(jì)算例5設(shè)有一長度為l、線密度為的均勻細(xì)直棒在其中垂線上距棒a