《探索多邊形的內(nèi)角和》

《探索多邊形的內(nèi)角和》是<義務教育課程標準實驗教科書>北師大版八年級上冊第四章《四邊形性質探索》第六節(jié)第一課時的內(nèi)容。一、背景分析1、學習任務分析:《四邊形的性質探索》這一章章節(jié)結構是“平行四邊形”、“特殊平行四邊形”、“梯形”、“多邊形的內(nèi)角和及外角和”、中心對稱圖形、課題學習“平面圖形的鑲嵌”組成。本節(jié)是在學生七年級上冊第三章探索用代數(shù)式表示規(guī)律，七年級下冊第五章學習了三角形內(nèi)角和定理及本章對特殊四邊形內(nèi)角和為360度有了初步了解的基礎上來探索多邊形的內(nèi)角和，最后在下一課時探索多邊形的外角和并建立其與內(nèi)角和的聯(lián)系，最后一節(jié)再將內(nèi)角和公式應用于平面圖形鑲嵌分析解決相關生活實際問題。這一課時的教學內(nèi)容很好地起到了讓學生學習和體會“概念類比，特殊到一般，將未知轉化為已知”的數(shù)學思想和方法，對于建立數(shù)學知識的邏輯聯(lián)系和數(shù)學知識的實際應用起到了很好的橋梁作用。本節(jié)課很適合讓學生在教師的引導下自主去探索和總結多邊形內(nèi)角和公式并初步掌握其應用，適合采用”教師引導下的自主探究”的教學方法。2、學生情況分析：1）學生的年齡特點和認知特點：八年級學生大約十三四歲，思維活躍，學生好奇心、求知欲強，互相評價、互相提問的積極性高。學生對于傳統(tǒng)的課堂教學方式比較厭倦，本節(jié)課采用教師引導下的自主探究方法，符合學生的認知特點，容易調(diào)動學生的學習積極性，滿足學生的學習愿望。2）學生對即將學習的內(nèi)容的知識關聯(lián)區(qū)：本節(jié)課讓學生通過探索得出多邊形內(nèi)角和公式。在此之前學生對探索數(shù)學規(guī)律并用代數(shù)式表示，三角形、特殊四邊形的內(nèi)角和已經(jīng)有了一定的理解和認識，并且對四邊形可分割成三角形來研究初步有了一定的體會，因此對于學習本節(jié)內(nèi)容的知識條件已經(jīng)成熟，學生參加探索活動的熱情已經(jīng)具備，所以把這節(jié)課設計成一節(jié)探索活動課切實可行。 估計學生在探究任意四邊形內(nèi)角和時會想到量、拼、分的方法，但是分割多邊形為三角形這一過程由于分法的多樣性會是學生學習的難點，也是培養(yǎng)學生數(shù)學思維靈活性的一個很好機會，所以在探究的過程中教師要切實重視恰當設問引導，注重激發(fā)學生的探索熱情，以利于學生對本課涉及到的類比、轉化、歸納等重要數(shù)學思想和方法有較深層的認識和體會，有效積累學生數(shù)學探索活動經(jīng)驗，增進學生數(shù)學學習和探究問題的信心和興趣。二、教學目標設計依據(jù)新課標的要求，我設計本節(jié)課的教學目標為以下三個方面：1、【知識與技能】探索并掌握多邊形內(nèi)角和定理，進一步了解轉化的數(shù)學思想。2、【過程與方法】經(jīng)歷質疑、猜想、歸納等活動，發(fā)展學生的合情推理能力，通過把多邊形轉化為三角形來解決，體會轉化思想的運用，通過邊數(shù)的漸增，感受從特殊到一般的認識問題的方法，通過從不同角度尋求探索多邊形內(nèi)角和公式解決問題的方法，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，在探索中學會與人合作，學會交流自己的思想和方法．3、【情感態(tài)度與價值觀】 通過動手實踐、相互交流，進一步激發(fā)學習熱情和求知欲望。讓學生體驗猜想得到證實的成功喜悅感和成就感，在解題中感受到生活中數(shù)學無處不在，體驗數(shù)學學習中充滿著探索和創(chuàng)造．教學重難點【教學重點】多邊形內(nèi)角和定理的探索和應用?！窘虒W難點】多邊形定義的理解；多邊形內(nèi)角和公式的推導；類比、轉化、歸納的數(shù)學思維方法的滲透。???????????????????????????????????????三、課堂結構設計本節(jié)課分成六個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設情景、引入新課：第二環(huán)節(jié)概念形成，提出問題：第三環(huán)節(jié)?自主探究多邊形的內(nèi)角和：第四環(huán)節(jié)應用新知思維升華：第五環(huán)節(jié)歸納總結暢談收獲：第六環(huán)節(jié)布置作業(yè)繼續(xù)提升：四、教學媒體設計本節(jié)課用多媒體課件這一教學媒體，最大限度的調(diào)動學生的學習積極性，為突出重點突破難點提供幫助。另外再利用實物展臺展示學生探究成果，提高學生探索活動的熱情，讓學生體驗探索成功的喜悅。五、教學過程設計：第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設情景、引入新課：1、首先展示生活中的多邊形實例：廣場中心的五邊形邊緣， 蜜蜂六邊形的窩，引導學生觀察，感受生活中多邊形無處不在，數(shù)學與生活緊密相連。2、智力問題：一個四邊形的桌面，用鋸子鋸掉一個角，還剩幾個角？通過現(xiàn)實情境的模擬展示，調(diào)動學生學習興趣，并著手把學生的注意力自然的引入研究方向，引出本節(jié)課題，激發(fā)學生探求多邊形內(nèi)角和的欲望。第二環(huán)節(jié)概念形成，提出問題：1、借助多媒體顯示多邊形，學生類比三角形的有關概念對多邊形進行定義、并表示出相應的元素．2．教師再給出嚴格規(guī)范的定義，并借助學具說明“在平面內(nèi)”的必要性．此外，說明正多邊形的定義以及多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形．對于邊角這些能在圖形中識別而又不要求學生掌握的描述性定義，采取學生類比三角形的表示方法來歸納，滲透類比的數(shù)學思想．借助于自制的直觀教具，說明多邊形定義中“在平面內(nèi)”這一條件，易于學生理解，化解了難點．第三環(huán)節(jié)?自主探究多邊形的內(nèi)角和：1、提出問題：三角形的內(nèi)角和是多少度？長方形、 正方形的內(nèi)角和等于多少度？平行四邊形、梯形的內(nèi)角和等于多少度？任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度呢？任意多邊形的內(nèi)角和是多少度呢？你能設法說明你猜測的正確性嗎？通過提問建立學生與已有知識的聯(lián)系，引導學生從特殊四邊形的內(nèi)角和猜測任意四邊形的內(nèi)角和等于 360度并從四邊形開始研究多邊形的內(nèi)角和．2、利用三角形探索四邊形內(nèi)角和（以四人小組為單位展開探究活動）活動一：利用四邊形探索四邊形內(nèi)角和利用三角形的知識探索四邊形內(nèi)角和等于多少度？你能想到幾種辦法？活動計劃??????????????四人小組合作，在紙上完成四邊形的分割．探究不同的分割方式所得到的四邊形內(nèi)角和．注意事項用直尺作圖，分割線條用虛線“?????”表示．盡可能多地想出不同的方法求其內(nèi)角和．活動要求：先獨立思考再小組合作交流完成．）（師巡視，了解學生探索進程并適當點撥．）（生思考后交流，把不同的方案在紙上完成．）???組間交流，教師課件展示幾種方法。???你是怎樣得到的？你能找到幾種方法？學生可能找到以下幾種方法：①“量”——即先測量四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)，然后求四個內(nèi)角的和。②“拼”——即把四邊形的四個內(nèi)角剪下來，拼在一起，得到一個周角；③“分”——即通過添加輔助線的方法，把四邊形分割成三角形。這一環(huán)節(jié)要給予學生充分的探究時間，鼓勵學生積極參與，合作交流，用自己的語言表達解決問題的方式方法， 發(fā)展學生的語言表達能力與推理能力。鼓勵學生尋找多種分割形式， 深入領會轉化的本質——將四邊形轉化為三角形問題來解決。讓學生體驗數(shù)學活動充滿探索，體驗解決問題策略的多樣性。然后由各小組成員匯報探索的思路與方法，講明理由。此環(huán)節(jié)為了節(jié)省學生在黑板前重新畫圖的時間，可以讓學生利用實物展臺展示圖形，亮出觀點，鼓勵學生接受別人觀點的同時，樂于表達自己的觀點，發(fā)展學生的語言表述能力。教師幫助學生反思：在剛才的探索活動中，大家有不同的方法求四邊形的內(nèi)角和，這些看似不同的方法有沒有相似之處？ 學生積極思考，大膽發(fā)言，教師給予正確的評價和鼓勵。???進而引導得出：我們是把四邊形的問題轉化成三角形，再由三角形內(nèi)角和為 1800，求出四邊形內(nèi)角和為360°，從而使問題得到解決！借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形，利用三角形內(nèi)角和求得四邊形內(nèi)角和，這是數(shù)學學習中的一種常用的轉化思想方法。活動二：探索五邊形的內(nèi)角和選一種你喜歡的上述分割的方法，求出五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角之和。學生先獨立思考，再分組活動。教師深入小組，參與小組活動，及時了解學生探索的情況。然后由各小組成員利用實物展臺匯報探索的思路與方法，講明理由。通過增加圖形的復雜性，再一次經(jīng)歷轉化的過程，加深對轉化思想方法的理解，體會由簡單到復雜，由特殊到一般的思想方法。同時，在四邊形的基礎上，探索連續(xù)整數(shù)邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)間的關系。為活動3歸納n邊形的內(nèi)角和準備素材。讓學生選擇一種方法求內(nèi)角和的目的也是為活動3奠定基礎，便于公式的總結。但是還是有可能出現(xiàn)其它的解決問題的辦法，比如：由四邊形內(nèi)角和求五邊形內(nèi)角和，由五邊形內(nèi)角和再求六邊形內(nèi)角和，依次類推，但是這種方法給活動3公式的得出帶來困難。所以教師要因勢利導，給學生正確的評價。在探索的過程中再一次培養(yǎng)學生的推理能力和表達能力，以及選擇解決問題的最佳方法的能力?；顒尤簹w納 n邊形內(nèi)角和公式想一想：n邊形的內(nèi)角和怎樣表示呢？學生獨立思考的基礎上分組活動， 解決問題。也有可能出現(xiàn)剛才那種解決問題的辦法，教師要因勢利導，給予學生正確的評價。學生可能會歸納總結得出多邊形的內(nèi)角和等于以下不同形式的公式：(n-2)·180°????②180°·n-360°????③180°·（n-1）-180°??????通過任意多邊形轉化為三角形的過程， 發(fā)展學生的空間想象能力。 通過多邊形內(nèi)角和的探索，讓學生從特殊到一般歸納總結出多邊形內(nèi)角和公式，體會數(shù)形間的聯(lián)系，感受從特殊到一般的數(shù)學推理過程和數(shù)學思考方法。 在探索的過程中，再一次發(fā)展學生的推理能力和表達能力，在交流與合作的過程中，感受合作的重要性。 ??????????????第四環(huán)節(jié)應用新知思維升華：1、搶答1）正八邊形的內(nèi)角和為_______.2）.已知多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為_______.3）.多邊形的邊數(shù)增加一條，內(nèi)角和就增加______。（4）.?____邊形內(nèi)角和是四邊形內(nèi)角和的 2倍。5）一個多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是150°，則多邊形的邊數(shù)是_______。這五道比較基本，可采用搶答的形式完成，目的是復習今天所學，了解學生學習效果。??通過新穎的形式激發(fā)學生的競爭意識和主動參與活動的熱情。 學生利用當堂所學的知識解決問題，鞏固本節(jié)知識。目的是檢驗學習效果，讓學生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程，發(fā)展學生的推理能力和語言表述能力，給學生獲得成功體驗的空間，激發(fā)學習的積極性，建立學好數(shù)學的自信心。??2、學以致用：（1）小明有一個設想：2008年奧運會在北京召開，要是能設計一個內(nèi)角和是 2008°的多邊形花壇該多有意義??！小明的這個想法能實現(xiàn)嗎？?（2）如圖，用怎樣的方法可以求出 ∠D+∠F=？（3）如圖所示的模板,按規(guī)定AB,CD的延長線相交成 80°的角,因交點不在板上,不便測量，質檢員測得∠BAE=122°，∠DCF=155°.如果你是質檢員,如何知道模板是否合格為什么???引導學生利用多邊形的內(nèi)角和公式解釋小明的設想能否實現(xiàn)以及解決相關兩個實際問題，讓學生感受到數(shù)學的趣味性，以及與實際生活之間的密切聯(lián)系，并激發(fā)學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。第五環(huán)節(jié)歸納總結暢談收獲：1、本節(jié)課你的收獲有哪些？2、今天哪些小組或同學的表現(xiàn)最出色，值得你學習？3、在探求過程中我們使用哪些數(shù)學方法？運用了哪些數(shù)學思想？教師和學生一起對本節(jié)課內(nèi)容和同學們的表現(xiàn)做一小結，然后每位學生利用活動評價表進行自我量化考核，并于課下反饋給老師。請學生談自己學習過程中的收獲，并整理自己參與數(shù)學活動的經(jīng)驗，回味成功的喜悅，形成良好的學習習慣，同時也是給學生正確地評價自己和他人表現(xiàn)的機會，這也是給教者本身一個反思提高的機會。第六環(huán)節(jié)布置作業(yè)繼續(xù)提升：?習題4.10??1、2、3題。（必做題）?一個多邊形去掉一個內(nèi)角后形成的多邊形內(nèi)角和為1800度，你能求出原多邊形的邊數(shù)嗎？請?zhí)剿鞯贸鰊邊形共有對角線的條數(shù)公式。（2、3題可能選做之一）分層次留作業(yè)，尊重學生的個性差異，讓不同的學生在數(shù)學學習上都有收獲和進步。選做的兩題可進一步鞏固學生在課堂所學到的分類討論、歸納、轉化、由特殊到一般等數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生積極思考、嘗試、主動探討、勇于創(chuàng)新的精神。六、教學評價設計：學生學習水平評價：學生是否積極參與；是否獨立思考；是否富于想象；是否敢于否定；是否興趣濃厚；是否善于合作；能否主動探索；能否自由表達。學生學習效果評價：通過解釋與應用，拓展與探究兩個環(huán)節(jié)初步了解部分學生對本節(jié)知識的掌握情況，課后通過分層次作業(yè)，三天后進行的小測驗，了解學生對本節(jié)內(nèi)容的掌握情況，及時發(fā)現(xiàn)問題，對教學中的疏漏進行彌補。教師在教學過程中要及時根據(jù)學生回答，讓學生之間進行互評，反饋，同時對于不同層次的學生和不同難度問題，教師要及時的給予反饋和評價。另外，通過學生評價自己和他人