《探索多邊形的內(nèi)角和》

《探索多邊形的內(nèi)角和》是<義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書>北師大版八年級上冊第四章《四邊形性質(zhì)探索》第六節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容。一、背景分析1、學(xué)習(xí)任務(wù)分析:《四邊形的性質(zhì)探索》這一章章節(jié)結(jié)構(gòu)是“平行四邊形”、“特殊平行四邊形”、“梯形”、“多邊形的內(nèi)角和及外角和”、中心對稱圖形、課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”組成。本節(jié)是在學(xué)生七年級上冊第三章探索用代數(shù)式表示規(guī)律，七年級下冊第五章學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理及本章對特殊四邊形內(nèi)角和為360度有了初步了解的基礎(chǔ)上來探索多邊形的內(nèi)角和，最后在下一課時(shí)探索多邊形的外角和并建立其與內(nèi)角和的聯(lián)系，最后一節(jié)再將內(nèi)角和公式應(yīng)用于平面圖形鑲嵌分析解決相關(guān)生活實(shí)際問題。這一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容很好地起到了讓學(xué)生學(xué)習(xí)和體會“概念類比，特殊到一般，將未知轉(zhuǎn)化為已知”的數(shù)學(xué)思想和方法，對于建立數(shù)學(xué)知識的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用起到了很好的橋梁作用。本節(jié)課很適合讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主去探索和總結(jié)多邊形內(nèi)角和公式并初步掌握其應(yīng)用，適合采用”教師引導(dǎo)下的自主探究”的教學(xué)方法。2、學(xué)生情況分析：1）學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)：八年級學(xué)生大約十三四歲，思維活躍，學(xué)生好奇心、求知欲強(qiáng)，互相評價(jià)、互相提問的積極性高。學(xué)生對于傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式比較厭倦，本節(jié)課采用教師引導(dǎo)下的自主探究方法，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，容易調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望。2）學(xué)生對即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容的知識關(guān)聯(lián)區(qū)：本節(jié)課讓學(xué)生通過探索得出多邊形內(nèi)角和公式。在此之前學(xué)生對探索數(shù)學(xué)規(guī)律并用代數(shù)式表示，三角形、特殊四邊形的內(nèi)角和已經(jīng)有了一定的理解和認(rèn)識，并且對四邊形可分割成三角形來研究初步有了一定的體會，因此對于學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的知識條件已經(jīng)成熟，學(xué)生參加探索活動的熱情已經(jīng)具備，所以把這節(jié)課設(shè)計(jì)成一節(jié)探索活動課切實(shí)可行。 估計(jì)學(xué)生在探究任意四邊形內(nèi)角和時(shí)會想到量、拼、分的方法，但是分割多邊形為三角形這一過程由于分法的多樣性會是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性的一個(gè)很好機(jī)會，所以在探究的過程中教師要切實(shí)重視恰當(dāng)設(shè)問引導(dǎo)，注重激發(fā)學(xué)生的探索熱情，以利于學(xué)生對本課涉及到的類比、轉(zhuǎn)化、歸納等重要數(shù)學(xué)思想和方法有較深層的認(rèn)識和體會，有效積累學(xué)生數(shù)學(xué)探索活動經(jīng)驗(yàn)，增進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究問題的信心和興趣。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)依據(jù)新課標(biāo)的要求，我設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為以下三個(gè)方面：1、【知識與技能】探索并掌握多邊形內(nèi)角和定理，進(jìn)一步了解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2、【過程與方法】經(jīng)歷質(zhì)疑、猜想、歸納等活動，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決，體會轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，通過邊數(shù)的漸增，感受從特殊到一般的認(rèn)識問題的方法，通過從不同角度尋求探索多邊形內(nèi)角和公式解決問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，在探索中學(xué)會與人合作，學(xué)會交流自己的思想和方法．3、【情感態(tài)度與價(jià)值觀】 通過動手實(shí)踐、相互交流，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)熱情和求知欲望。讓學(xué)生體驗(yàn)猜想得到證實(shí)的成功喜悅感和成就感，在解題中感受到生活中數(shù)學(xué)無處不在，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充滿著探索和創(chuàng)造．教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】多邊形內(nèi)角和定理的探索和應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】多邊形定義的理解；多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)；類比、轉(zhuǎn)化、歸納的數(shù)學(xué)思維方法的滲透。???????????????????????????????????????三、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)本節(jié)課分成六個(gè)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情景、引入新課：第二環(huán)節(jié)概念形成，提出問題：第三環(huán)節(jié)?自主探究多邊形的內(nèi)角和：第四環(huán)節(jié)應(yīng)用新知思維升華：第五環(huán)節(jié)歸納總結(jié)暢談收獲：第六環(huán)節(jié)布置作業(yè)繼續(xù)提升：四、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)本節(jié)課用多媒體課件這一教學(xué)媒體，最大限度的調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為突出重點(diǎn)突破難點(diǎn)提供幫助。另外再利用實(shí)物展臺展示學(xué)生探究成果，提高學(xué)生探索活動的熱情，讓學(xué)生體驗(yàn)探索成功的喜悅。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情景、引入新課：1、首先展示生活中的多邊形實(shí)例：廣場中心的五邊形邊緣， 蜜蜂六邊形的窩，引導(dǎo)學(xué)生觀察，感受生活中多邊形無處不在，數(shù)學(xué)與生活緊密相連。2、智力問題：一個(gè)四邊形的桌面，用鋸子鋸掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角？通過現(xiàn)實(shí)情境的模擬展示，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并著手把學(xué)生的注意力自然的引入研究方向，引出本節(jié)課題，激發(fā)學(xué)生探求多邊形內(nèi)角和的欲望。第二環(huán)節(jié)概念形成，提出問題：1、借助多媒體顯示多邊形，學(xué)生類比三角形的有關(guān)概念對多邊形進(jìn)行定義、并表示出相應(yīng)的元素．2．教師再給出嚴(yán)格規(guī)范的定義，并借助學(xué)具說明“在平面內(nèi)”的必要性．此外，說明正多邊形的定義以及多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形．對于邊角這些能在圖形中識別而又不要求學(xué)生掌握的描述性定義，采取學(xué)生類比三角形的表示方法來歸納，滲透類比的數(shù)學(xué)思想．借助于自制的直觀教具，說明多邊形定義中“在平面內(nèi)”這一條件，易于學(xué)生理解，化解了難點(diǎn)．第三環(huán)節(jié)?自主探究多邊形的內(nèi)角和：1、提出問題：三角形的內(nèi)角和是多少度？長方形、 正方形的內(nèi)角和等于多少度？平行四邊形、梯形的內(nèi)角和等于多少度？任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度呢？任意多邊形的內(nèi)角和是多少度呢？你能設(shè)法說明你猜測的正確性嗎？通過提問建立學(xué)生與已有知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從特殊四邊形的內(nèi)角和猜測任意四邊形的內(nèi)角和等于 360度并從四邊形開始研究多邊形的內(nèi)角和．2、利用三角形探索四邊形內(nèi)角和（以四人小組為單位展開探究活動）活動一：利用四邊形探索四邊形內(nèi)角和利用三角形的知識探索四邊形內(nèi)角和等于多少度？你能想到幾種辦法？活動計(jì)劃??????????????四人小組合作，在紙上完成四邊形的分割．探究不同的分割方式所得到的四邊形內(nèi)角和．注意事項(xiàng)用直尺作圖，分割線條用虛線“?????”表示．盡可能多地想出不同的方法求其內(nèi)角和．活動要求：先獨(dú)立思考再小組合作交流完成．）（師巡視，了解學(xué)生探索進(jìn)程并適當(dāng)點(diǎn)撥．）（生思考后交流，把不同的方案在紙上完成．）???組間交流，教師課件展示幾種方法。???你是怎樣得到的？你能找到幾種方法？學(xué)生可能找到以下幾種方法：①“量”——即先測量四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求四個(gè)內(nèi)角的和。②“拼”——即把四邊形的四個(gè)內(nèi)角剪下來，拼在一起，得到一個(gè)周角；③“分”——即通過添加輔助線的方法，把四邊形分割成三角形。這一環(huán)節(jié)要給予學(xué)生充分的探究時(shí)間，鼓勵學(xué)生積極參與，合作交流，用自己的語言表達(dá)解決問題的方式方法， 發(fā)展學(xué)生的語言表達(dá)能力與推理能力。鼓勵學(xué)生尋找多種分割形式， 深入領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的本質(zhì)——將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決。讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動充滿探索，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。然后由各小組成員匯報(bào)探索的思路與方法，講明理由。此環(huán)節(jié)為了節(jié)省學(xué)生在黑板前重新畫圖的時(shí)間，可以讓學(xué)生利用實(shí)物展臺展示圖形，亮出觀點(diǎn)，鼓勵學(xué)生接受別人觀點(diǎn)的同時(shí)，樂于表達(dá)自己的觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的語言表述能力。教師幫助學(xué)生反思：在剛才的探索活動中，大家有不同的方法求四邊形的內(nèi)角和，這些看似不同的方法有沒有相似之處？ 學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，教師給予正確的評價(jià)和鼓勵。???進(jìn)而引導(dǎo)得出：我們是把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形，再由三角形內(nèi)角和為 1800，求出四邊形內(nèi)角和為360°，從而使問題得到解決！借助輔助線把四邊形分割成幾個(gè)三角形，利用三角形內(nèi)角和求得四邊形內(nèi)角和，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種常用的轉(zhuǎn)化思想方法?；顒佣禾剿魑暹呅蔚膬?nèi)角和選一種你喜歡的上述分割的方法，求出五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角之和。學(xué)生先獨(dú)立思考，再分組活動。教師深入小組，參與小組活動，及時(shí)了解學(xué)生探索的情況。然后由各小組成員利用實(shí)物展臺匯報(bào)探索的思路與方法，講明理由。通過增加圖形的復(fù)雜性，再一次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的過程，加深對轉(zhuǎn)化思想方法的理解，體會由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的思想方法。同時(shí)，在四邊形的基礎(chǔ)上，探索連續(xù)整數(shù)邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)間的關(guān)系。為活動3歸納n邊形的內(nèi)角和準(zhǔn)備素材。讓學(xué)生選擇一種方法求內(nèi)角和的目的也是為活動3奠定基礎(chǔ)，便于公式的總結(jié)。但是還是有可能出現(xiàn)其它的解決問題的辦法，比如：由四邊形內(nèi)角和求五邊形內(nèi)角和，由五邊形內(nèi)角和再求六邊形內(nèi)角和，依次類推，但是這種方法給活動3公式的得出帶來困難。所以教師要因勢利導(dǎo)，給學(xué)生正確的評價(jià)。在探索的過程中再一次培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力，以及選擇解決問題的最佳方法的能力。活動三：歸納 n邊形內(nèi)角和公式想一想：n邊形的內(nèi)角和怎樣表示呢？學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上分組活動， 解決問題。也有可能出現(xiàn)剛才那種解決問題的辦法，教師要因勢利導(dǎo)，給予學(xué)生正確的評價(jià)。學(xué)生可能會歸納總結(jié)得出多邊形的內(nèi)角和等于以下不同形式的公式：(n-2)·180°????②180°·n-360°????③180°·（n-1）-180°??????通過任意多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的過程， 發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。 通過多邊形內(nèi)角和的探索，讓學(xué)生從特殊到一般歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和公式，體會數(shù)形間的聯(lián)系，感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)推理過程和數(shù)學(xué)思考方法。 在探索的過程中，再一次發(fā)展學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力，在交流與合作的過程中，感受合作的重要性。 ??????????????第四環(huán)節(jié)應(yīng)用新知思維升華：1、搶答1）正八邊形的內(nèi)角和為_______.2）.已知多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_______.3）.多邊形的邊數(shù)增加一條，內(nèi)角和就增加______。（4）.?____邊形內(nèi)角和是四邊形內(nèi)角和的 2倍。5）一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是150°，則多邊形的邊數(shù)是_______。這五道比較基本，可采用搶答的形式完成，目的是復(fù)習(xí)今天所學(xué)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果。??通過新穎的形式激發(fā)學(xué)生的競爭意識和主動參與活動的熱情。 學(xué)生利用當(dāng)堂所學(xué)的知識解決問題，鞏固本節(jié)知識。目的是檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用知識解決問題的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和語言表述能力，給學(xué)生獲得成功體驗(yàn)的空間，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。??2、學(xué)以致用：（1）小明有一個(gè)設(shè)想：2008年奧運(yùn)會在北京召開，要是能設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)角和是 2008°的多邊形花壇該多有意義?。⌒∶鞯倪@個(gè)想法能實(shí)現(xiàn)嗎？?（2）如圖，用怎樣的方法可以求出 ∠D+∠F=？（3）如圖所示的模板,按規(guī)定AB,CD的延長線相交成 80°的角,因交點(diǎn)不在板上,不便測量，質(zhì)檢員測得∠BAE=122°，∠DCF=155°.如果你是質(zhì)檢員,如何知道模板是否合格為什么???引導(dǎo)學(xué)生利用多邊形的內(nèi)角和公式解釋小明的設(shè)想能否實(shí)現(xiàn)以及解決相關(guān)兩個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性，以及與實(shí)際生活之間的密切聯(lián)系，并激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。第五環(huán)節(jié)歸納總結(jié)暢談收獲：1、本節(jié)課你的收獲有哪些？2、今天哪些小組或同學(xué)的表現(xiàn)最出色，值得你學(xué)習(xí)？3、在探求過程中我們使用哪些數(shù)學(xué)方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？教師和學(xué)生一起對本節(jié)課內(nèi)容和同學(xué)們的表現(xiàn)做一小結(jié)，然后每位學(xué)生利用活動評價(jià)表進(jìn)行自我量化考核，并于課下反饋給老師。請學(xué)生談自己學(xué)習(xí)過程中的收獲，并整理自己參與數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，回味成功的喜悅，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)也是給學(xué)生正確地評價(jià)自己和他人表現(xiàn)的機(jī)會，這也是給教者本身一個(gè)反思提高的機(jī)會。第六環(huán)節(jié)布置作業(yè)繼續(xù)提升：?習(xí)題4.10??1、2、3題。（必做題）?一個(gè)多邊形去掉一個(gè)內(nèi)角后形成的多邊形內(nèi)角和為1800度，你能求出原多邊形的邊數(shù)嗎？請?zhí)剿鞯贸鰊邊形共有對角線的條數(shù)公式。（2、3題可能選做之一）分層次留作業(yè)，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都有收獲和進(jìn)步。選做的兩題可進(jìn)一步鞏固學(xué)生在課堂所學(xué)到的分類討論、歸納、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、嘗試、主動探討、勇于創(chuàng)新的精神。六、教學(xué)評價(jià)設(shè)計(jì)：學(xué)生學(xué)習(xí)水平評價(jià)：學(xué)生是否積極參與；是否獨(dú)立思考；是否富于想象；是否敢于否定；是否興趣濃厚；是否善于合作；能否主動探索；能否自由表達(dá)。學(xué)生學(xué)習(xí)效果評價(jià)：通過解釋與應(yīng)用，拓展與探究兩個(gè)環(huán)節(jié)初步了解部分學(xué)生對本節(jié)知識的掌握情況，課后通過分層次作業(yè)，三天后進(jìn)行的小測驗(yàn)，了解學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的掌握情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，對教學(xué)中的疏漏進(jìn)行彌補(bǔ)。教師在教學(xué)過程中要及時(shí)根據(jù)學(xué)生回答，讓學(xué)生之間進(jìn)行互評，反饋，同時(shí)對于不同層次的學(xué)生和不同難度問題，教師要及時(shí)的給予反饋和評價(jià)。另外，通過學(xué)生評價(jià)自己和他人