淺談學生數學思維品質的缺失及完善

精品文檔-下載后可編輯淺談學生數學思維品質的缺失及完善數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，具有嚴密的符號體系、獨特的公式結構、形象的圖像語言，它對培養(yǎng)學生思維品質的作用無可替代的。但在常規(guī)教學中，常常會發(fā)現學生做的題總是會出現這樣或那樣的錯誤，究其原因就是學生的優(yōu)良思維品質欠缺所導致的結果。教學中，教師若能針對學生在易出錯的地方進行分析歸納，找出其錯誤的根源，然后再利用學生的“錯誤”資源進行教學，無論是對教師本人的成長還是學生的思維品質的完善都是非常有意義的，下面就學生經常出現的典型錯誤進行分析，窺探一下學生在解決數學問題過程中優(yōu)良思維品質的缺失現象，以便為其在以后的學習中有所借鑒。

一、對概念本質的理解缺乏深刻性

李邦河院士在一次報告中談到一個重要的思想：數學玩的是概念，而不是純粹的技巧。因為中小學數學里面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是舍本逐末的做法，可見概念教學對學生的發(fā)展是多么的重要。

例1如圖1在ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=■.

■

圖1

（1）在線段BC上任取點M，求BM

（2）在∠BAC內作射線AM交BC于M，求BM

解：（1）由已知條件很容易得出：BD=1，CD=■，設“在線段BC上任取M點，滿足BM

（2）仿照（1）的解答，設“∠BAC在內作射線AM交BC于M，滿足BM

[錯解分析]顯然（2）的結果是錯的，通過調查發(fā)現學生也有懷疑自己做法的正確性，但苦于找不到錯誤的原因，只能做簡單的模仿。要說清楚道理，還是回到定義，蘇教版教科書必修3上幾何概型的公式是：P（A）=■，這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應d的測度分別是長度、面積和體積，但應用公式的前提是小d的測度與大測度成正比，也就是說小的測度均勻分布在大測度內，保持大內小的發(fā)生是等可能的。顯然同學們對定義的本質（等可能性）理解不夠深刻，（2）中的當點M在線段BC做勻速運動時，射線AM在∠BAC內分布并不均勻，而射線AM在∠BAC內做勻速轉動時，射線AM與BC交點M在線段BC的分布也不均勻，說明兩種情況下的等可能性是不能同時存在的，而學生恰恰混淆它們本質上區(qū)別，造成解題錯誤。

[評注]教師在講解一個新概念時，千萬不要直接把概念、方法告訴學生，而是在教師的啟發(fā)引導下，讓學生質疑、發(fā)現、探究、歸納、判斷、概括新概念，教會學生自己去建構，之后在實際應用中再讓學生去感受概念的內涵，理解概念的本質，這樣就會減少學生對概念本質理解不清的錯誤。

（2）的正確解法如下：由已知條件很容易得出：∠BAM=30°，∠BAC=75°，設“在∠BAC內作射線AM交于M，滿足BN

二、對數學思想的運用缺少靈活性

數學思想是數學知識的本質，是數學的靈魂，對數學的解題在宏觀上有指導作用，但同一種思想在不同的背景，不同的條件下，不同的問題中其結論總會有所變化，同學們往往忽視了這種變化，還在套用前面的方法和經驗，這樣就難免會出錯。

例2已知數列{an}的通項公式an=n2+kn+2，若對n∈N*，有an+1>an成立，則實數k的取值范圍是_____

錯解由數列{an}的通項公式an=n2+kn+2可聯想到二次函數y=x2+kx+2，要使an+1>an，等同于y=x2+kx+2在[1，+∞）上為增函數，則需滿足其對稱軸x=-■≤1可得k≥-2。

[錯解分析]上面的轉化其實并不等價，學生錯把函數的單調性等價于數列的單調性，其實不然。

正解根據二次函數圖像，注意定義域x∈N*。要使f（1）

[評注]數學思想是數學教學的核心和精髓，教師在講授數學問題時應該努力反映和體現數學思想，讓學生體會和領悟數學思想，提高學生的數學素養(yǎng).但一定要讓學生領會數學思想的精神實質，一定不要照搬照抄，要做到活靈活用。

三、忽略公式成立的條件，對數學性質的把握缺少嚴密性

學生剛剛學完一個公式或一條性質，難以抑制心中的興奮，因為有了這個公式和這條性質，心中的那份“疑惑”或“難點”已經不復存在了，興奮之余難免會“丟三落四”。

例3（1）求y=■+■（0

錯解：0

y=■+■（0

[錯因分析]上面的做法顯然忽視了運用基本不等式需滿足的三個條件，一“正”二“定”三“相等”，其中“相等”是取等號的條件。

正解：y=■+■=■+■+■≥2■+■≥2+■=■。當且僅當■=■時，即sinx=1，此時■也取最小值，因此當sinx=1時，y=■+■（0

（2）若函數f（x）=■（k為常數）在定義域上為奇函數，則k=________

錯解：f（x）=■為奇函數，f（x）=0，從而k=0。

[錯解分析]此題忽略了y=f（x）為奇函數有f（0）=0的前提是函數在原點有定義，而此題當k=-1時，f（x）=■在原點沒有意義。

正解由奇函數的定義可知，在定義域內，f（-x）=-f（x）恒成立，化簡得（k2-1）·4x=0

上式恒成立，k2-1=0，k=±1。

[評注]數學公式及數學性質揭示了數學知識的基本規(guī)律，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征，牢固