2021年中考30 圓的基本性質(zhì)-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專(zhuān)題30圓的根基性質(zhì)

【常識(shí)要點(diǎn)】

常識(shí)點(diǎn)一圓的根本概念

圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫

圓.這個(gè)固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。A叫做半徑.以0點(diǎn)為圓心的圓記作。。，讀作圓0.

特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的間隔等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形.

確定圓的前提：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大小.

增補(bǔ)常識(shí)：

1）圓心一樣且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心一樣，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上隨意率性?xún)牲c(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)由圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最

長(zhǎng)的弦.

弧的概念：圓上隨意率性?xún)牲c(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.覺(jué)得/、B端點(diǎn)的弧記作讀作弧

AB.在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的隨意率性一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的間隔叫做弦心距.

弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的關(guān)系：（考點(diǎn)）

半徑2二弦心距2+（g弦長(zhǎng)）2

常識(shí)點(diǎn)二垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：

1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造R7A用勾股，求長(zhǎng)度；

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

常識(shí)點(diǎn)一圓的根本概念

圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)/所形成的圖形叫

圓.這個(gè)固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。A叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0.

特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的間隔等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形.

確定圓的前提：

（4）圓心；

⑸半徑，

⑹其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大小.

增補(bǔ)常識(shí)：

1）圓心一樣且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心一樣，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上隨意率性?xún)牲c(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)由圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最

長(zhǎng)的弦.

弧的概念：圓上隨意率性?xún)牲c(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.覺(jué)得/、B端點(diǎn)的弧記作讀作弧

AB.在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的隨意率性一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的間隔叫做弦心距.

弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的關(guān)系：（考點(diǎn)）

半徑2二弦心距2+6弦長(zhǎng)）2

常識(shí)點(diǎn)二垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：

3）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造用勾股，求長(zhǎng)度；

4）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

常識(shí)點(diǎn)三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

圓心角概念：極點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。

推論：在同圓或等圓中，參加兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那

么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等

常識(shí)點(diǎn)二圓周角定理（考點(diǎn)）

圓周角概念：極點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓訂交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

-1

圓心角=;圓周角

推論1:在同圓或等圓中，參加兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧必然相等.

推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）

常識(shí)點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形

圓內(nèi)接四邊形概念：參加一個(gè)多邊形的所有極點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這

個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。

性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角.

【考查題型】

考查題型一圓的周長(zhǎng)與面積問(wèn)題

典例1.如圖中三個(gè)小圓周長(zhǎng)之和與大圓周長(zhǎng)對(duì)照，較長(zhǎng)的是（）

A.三個(gè)小圓周長(zhǎng)之和B.大圓周長(zhǎng)

C.一樣長(zhǎng)D.不能確定

【答案解析】C

【提示】如圖，設(shè)大圓的直徑為d,三個(gè)小圓的直徑依次為d;d",d",根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可解答.

【詳解】如圖，設(shè)大圓的直徑為d,三個(gè)小圓的宜徑依次為d,d",d、

則大圓周長(zhǎng)為nd;三個(gè)小圓周長(zhǎng)之和為ncT+nd"+Jtcr=jr(d+d"+d〃).因?yàn)閐=d'+d"+d",所以三個(gè)小

圓周長(zhǎng)之和與大圓周長(zhǎng)一樣長(zhǎng).

變式1-1.如圖，。。的半徑為1,分別以。。的直徑A5上的兩個(gè)四等分點(diǎn)?！啊?為圓心，

,為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為()

2

A.nB.-71C.-71D.2兀

24

【答案解析】B

【提示】把陰影部分進(jìn)行對(duì)稱(chēng)平移，再根據(jù)半圓的面積公式計(jì)算即可.

,111

【詳解】；rxl~x—=；rxlx—=—不，

222

???圖中陰影部分的面積為,故選B.

2

變式1-2.圖案的地磚，要求灰、白兩種顏色面積大抵一樣，那么下面最吻合要求的是

（）

【答案解析】D

【提示】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,依次示意出每個(gè)圖形灰色和白色區(qū)域的面積，對(duì)照即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,則：

A、灰色區(qū)域面積=正方形面積一圓的面積=（2。）2-7"=（4—萬(wàn)）4,白色區(qū)域面積=圓面積=萬(wàn)/，

兩者相差很大；

B、灰色區(qū)域面積=正方形面積一圓的面積=（2a）2-%/=（4一萬(wàn)）/,白色區(qū)域面積=圓面積=乃"，

兩者相差很大；

C、色區(qū)域面積=正方形而積一圓的面積=（2。）2-%/=（4一萬(wàn)）/,白色區(qū)域面積=圓面積=%足,兩

者相差很大；

D、灰色區(qū)域面積=半圓的面積一正方形面積=3萬(wàn)（2。）2-（2。）2=（27一4）",白色區(qū)域面積=正方形

面積一灰色區(qū)域面積=（2〃）2—（2乃—4）〃=（8—2幻］,兩者對(duì)照接近.

故選D.

變式1-3.如圖，一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動(dòng)一圈，圓心經(jīng)由的間隔是（）

A.471rB.271r

C.TirD.2r

【答案解析】B

【提示】一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動(dòng)一圈，圓心經(jīng)由的間隔就是圓的周長(zhǎng).

【詳解】圓心經(jīng)由的間隔就是圓的周長(zhǎng)，所所以2仃.，故選B.

考查題型二操縱垂徑定理進(jìn)行計(jì)算

典例2.（2021.貴州黔東南苗族侗族自治州.中考真題）如圖,。。的直徑C￡>=20,AB是。。的弦,

AB±CD,垂足為M,OM:。。=3:5,則AB的長(zhǎng)為（）

A.8B.12C.16D.2.791

【答案解析】C

【提示】毗鄰0A,先根據(jù)。。的直徑C￡>=20,OM-OD=3:5求出0。及的長(zhǎng),再根據(jù)勾股

定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】毗鄰0A,

:。。的直徑CD=20,0M\00=3:5,

.?.00=10,0M=6,

-：A/i±CD,

AM=y/o^-OM2=7102-62=8，

：.AB=2AM=16.

故選：C.

變式2-1.(2021?湖北中考真題)如圖，點(diǎn)A5,C,。在。0上，OA1BC,垂足為E.若

Z4DC-300,A￡=l,則8C=()

A

A.2B.4C.也D.2百

【答案解析】D

Z4OC=60°,在Rt^COE中可得0七='。。=,04,

【提示】毗鄰OC,根據(jù)圓周角定理求得

22

可得OC的長(zhǎng)度,故CE長(zhǎng)度可求得，即可求解.

【詳解】解：毗鄰0c

,?ZADC=30P,

：.ZAOC=60°,

OE1

在RtaCOE中，——=cos60°=-,

OC2

OE=-OC=-OA,

22

:.AE=-OC=-OA

22

AE=\,

??OA-OC—2,

CE=#）

'：OA1BC,垂足為E,

BC=2?

故選：D.

變式2-2.如圖，在。0中，AE是直徑，半徑0C垂直于弦AB于D,毗鄰BE,若AB=2j7,CD=1,

則BE的長(zhǎng)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案解析】B

【提示】根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?半徑0C垂直于弦AB,

.?.AD=DB=]AB=V?

在RtAAOD中，OA2=（OC-CD）2+AD2,即OA2=（OA-1）2+（幣）2,

解得，OA=4

，OD=OC-CD=3,

,:AO=OE,AD=DB,

BE=2OD=6

故選B

變式2-3.（2021?曲阜模擬）。。的半徑是13,弦ABUCD,715=24,CD=\0,則A8與8的間

隔是（）

A.7B.17C.7或17D.34

【答案解析】C

【提示】先作出圖象根據(jù)勾股定理分別求出弦AB.CD的弦心距OE,OF,再根據(jù)兩弦在圓心同側(cè)和在圓

心異側(cè)兩種情況會(huì)商.

設(shè)E、F為AB、CD的中點(diǎn),

11

AE=-AB=-X24=12,

22

CF=-CD=-x10=5,

22

OE=^AO2-AB2=V132-122=5,

OF=yJoC2-CF2=#132-52=12,

①當(dāng)兩弦在圓心同側(cè)時(shí)，間隔=OF-OE=12-5=7;

②當(dāng)兩弦在圓心異側(cè)時(shí)，間隔=OE+OF=12+5=17.

所以間隔為7或17.

故選C.

變式2-4.（2021.陜西中考真題）如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,NA=50°.￡是邊8C的中點(diǎn)，毗鄰

OE并耽誤，交。。于點(diǎn)。，毗鄰則NO的大小為（）

D

A.55°B.65°C.60°D.75°

【答案解析】B

【提示】毗鄰CQ,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NCDB=180。-乙4=130。，根據(jù)垂徑定理得至U0。

±BC,求得BD=CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：毗鄰8,

ZA=50°,

???ZCDB=180°-ZA=130°,

???￡是邊8c的中點(diǎn)，

:.OD1.BC,

:,BD=CD,

???ZODB=ZODC=-ZBDC=65°,

2

故選：B.

考查題型三垂徑定理的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用

典例3.（2021?廣東廣州市.中考真題）往直徑為52c機(jī)的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所

示，若水面寬AB=48cw,則水的最大深度為（）

A.8cmB.[QcmC.16cmD.20cm

【答案解析】C

【提示】過(guò)點(diǎn)。作于C,交。。于E,毗鄰OA,根據(jù)垂徑定理即可求得AO的長(zhǎng)，又由。

。的直徑為52cm,求得OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得。。的長(zhǎng)，進(jìn)而求得油的最

大深度。石的長(zhǎng).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作于。，交。。于E,毗鄰04,

由垂徑定理得：AD=—AB=—x48=24cm,

22

的直徑為52cm,

:.OA=OE=26cm,

在RA40Z）中，由勾股定理得：OD=VOA2-AD2=A/262-242=10c/n-

DE=OE-OD=26-10=16cm,

二油的最大深度為16cm,

故選：C.

變式3-1.(2021.寧夏中考真題)我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)

題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？”意思是：今

有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小.用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)AB=1尺

(1尺=1()寸).問(wèn)這根圓形木材的直徑是寸.

【答案解析】26

【提示】根據(jù)題意可得0E_LA5,由垂徑定理可得===1尺=5寸，設(shè)半徑

22

OA=OE=r,則0。=—1,在R〃Q4￡＞中，根據(jù)勾股定理可得：（r-1）2+52=r2,解方程可

得出木材半徑，即可得出木材直徑.

【詳解】解：由題可知OE_LAB,

?;OE為。。半徑，

/.A￡）=8￡＞=，AB=，尺=5寸，

22

設(shè)半徑。4=OE=r,

?;ED=1,

：.OD=r-\

在A〃Q4￡＞中，根據(jù)勾股定理可得：

（1）2+52"

解得：r=13,

二木材直徑為26寸；

故答案為：26.

變式3-2.（2021?湖南湘潭市?中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方

田》章計(jì)算弧田面積所用的履歷公式是：弧田面積=!（弦X矢+矢2）.孤田是由圓弧和其所對(duì)的

2

弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的間

隔之差，運(yùn)用垂徑定理（當(dāng)半徑。C_￡弦48時(shí)，平分A6）可以求解.現(xiàn)已知弦AB=8米，半

徑等于5米的弧田，根據(jù)上述公式計(jì)算出弧田的面積為平方米.

0

【答案解析】10

【提示】根據(jù)垂徑定理得到AD=4,由勾股定理得到OD=JQ42_A￡）2=3,求得。4—OD=2,

根據(jù)弧田面積=2（弦義矢+矢2）即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???弦AB=8米，半徑。C_L弦AB,

AT>=4.

OD=YIOA2-AD2=3>

OA.—OD—2,

二弧田面積=：（弦x矢+矢2）=1X（8X2+22）=10,

故答案為10

變式3-3.（2021?佳木斯市模擬）如圖是一圓形水管的截面圖，已知。。的半徑04=13,水面寬AB

=24,則水的深度CD是

【答案解析】8

【提示】

先根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)CD=-0C即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：的半徑。4=13,水面寬48=24,ODLAB,

，0￡>=0A=13,4c=〃8=12,

2

在RtZXAOC中，*==而2_122=5,

：.CD=0D-0C=13-5=8.

故答案為：8.

變式3-4.（2021?廣西梧州市?九年級(jí)二模）如圖，圓柱形水管的截面半徑是1m,陰影部分為有水部

分，水面寬43=1.6加，則水的最大深度是.

B

【答案解析】L6

【提示】

如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓的性質(zhì)得出水的最大深度為CD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理求

出0C的長(zhǎng)，由此即可得.

【詳解】

如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)O作OCL43于點(diǎn)C,耽誤CO交圓0于點(diǎn)D,毗鄰0A

由圓的性質(zhì)可知，圓的半徑為OA=OD=\m,水的最大深度為CD的長(zhǎng)

由垂徑定理得：AC=-AB=O.Sm

2

在RtNAOC中，OC=A/O42-AC2=Vl2-0.82=0.6（加）

則CD=OC+。。=0.6+1=1.6（m）

即水的最大深度是1.6加

1.6.

考查題型四操縱弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

典例4.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，。。中，為？=*C，NABC=70°.則ZBOC的度

數(shù)為（）

A.100°B.90°C.80°D.70°

【答案解析】C

【提示】起首根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系得到AB=AC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NA的度

數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理可得NBOC=2/A,進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：...彘=泥，

/.AB=AC,

ZABC=ZACB=70°,

二ZA=180o-70ox2=40o,

?圓O是Z\ABC的外接圓，

ZBOC=2ZA=40°X2=80°,

故選c.

變式4-1.（2021.山東青島市.中考真題）如圖，BO是。。的直徑，點(diǎn)A,。在上，AB

AD,AC交BD于點(diǎn)G.若NCOD=126°.則NAGB的度數(shù)為（）

A.99°B.108°C.110°D.117°

【答案解析】B

【提示】先根據(jù)圓周角定理得到NBAD=90°,再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，得到AB=AD,Z

ABD=45°,未了根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得到/CAD=63°,ZBAG=27°,即

可求解.

【詳解】

解：是。。的直徑

??./BAD=90°

,-AB=筋

/.AB=AD

，/ABD=45°

,/ZCOD=126°

AZCAD=-ZCOD=63°

2

；./BAG=90?！?3°=27°

，ZAGB=180°-27°-45°=108°

故選：B.

變式4-2.（2021?山西模擬）如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD=34°,則NAEO的度

數(shù)是（）

A.51°B.56°C.68°D.78°

【答案解析】A

【試題解答】

如圖，在。O中,

.-Z-/?-s

■BC=CD=DE,

二NBOC=/COE=NDOE=34°,

：AB是。O的直徑,

，ZBOC+ZCOE+ZDOE+ZAOE=180°,

二NAOE=180°-34°-34°-34°=78°,

VOA=OE,

/AEO，AJ80-NAOJ理潭=51。.

22

故選A.

變式4-3.（2021揚(yáng)州市一模）如圖，AB是。。的弦，OA、0C是OO的半徑,=BC,Z

BAO=37。，則/AOC的度數(shù)是（）度.

0

A.74B.106C.117D.127

【答案解析】D

【提示】毗鄰OB,進(jìn)而得出/AOB的度數(shù)，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周

角相等，即可求得NAOC的度數(shù).

【詳解】毗鄰OB,

VOA=OB,ZBAO=37°,

二ZAOB=180°-2x37°=106°,

,-AC=BC,

360°-106°

:.ZAOC=ZBOC=----------------=127°,

2

故選D.

考查題型五操縱弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

典例5.（2021?富順縣中考真題）如圖，。。中，弦A3與8訂交于點(diǎn)E,A3=CD,毗鄰

AD.BC.

求證：⑴檢=BC;

⑵AE=CE.

【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【提示】

（1）由AB=CD知筋=/，即筋+公=京+泥，據(jù)此可得答案；

（2）由筋=病知AD=BC,聯(lián)合NADE=/CBE,ZDAE=ZBCEnJijEAADE^ACBE,從而得出

答案.

【詳解】

證明（1）VAB=CD,

?-AB=CD,即4。+AC=8C+AC,

?二端=BC\

（2）'：AD=BC,

AAD=BC,

XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,

/.△ADE^ACBE(ASA),

AAE=CE.

變式5-1.(2021?安徽中考真題)如圖，A3是半圓。的直徑，C。是半圓。上差別于AB的兩

點(diǎn)AD=BC,AC與3。訂交于點(diǎn)F,BE是半圓。所任圓的切線，與AC的耽誤線訂交于點(diǎn)E,

(1)求證：ACB4也S4B；

(2)若BE=BF,求AC平分NDAB.

【答案解析】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【提示】

(1)操縱AD=BC,證明NA8D=/8AC,操縱A3為直徑，證明NAOB=NBC4=90°,聯(lián)合已知前提

可得結(jié)論；

(2)操縱等腰三角形的性質(zhì)證明：NEBC=NFBC,再證明NC3P=ZDAP,操縱切線的性質(zhì)與直徑

所對(duì)的圓周角是直角證明：NEBC=NCAB,從而可得答案.

【詳解】

(1)證明：VAD=BC,

：.AD^BC,

：.ZABD=ZBAC,

QA8為直徑，

.?.ZA￡>B=ZBC4=90°,

VAB=BA,

..ACBA^^DAB.

(2)證明：?.?郎=B尸,ZACB=90°,

NFBC=NEBC,

???ZADC=NACB=90°,ZDFA=ZCFB,

ZDAF=NFBC=NEBC,

BE為半圓。的切線,

ZABE=90°,ZABC+NEBC=90°,

???NAC3=90。，

ZCAB+ZABC=90°,

：.ZCAB=ZEBC,

:.NDAF=NCAB,

???AC平分ZDAB.

考查題型六圓周角定理

典例6.（2021?吉林長(zhǎng)春市?中考真題）如圖，A5是。0的直徑，點(diǎn)C、。在00±,

ZBDC=20°,則NAOC的大小為（）

A.40°B.140°C.160°D.170°

【答案解析】B

【提示】根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍得到/BOC=2NBDC=40。，即可求出答案.

【詳解】VZBDC=20°,

二ZBOC=2ZBDC=40°,

二ZAOC=1800-ZBOC=140°,

故選：B.

變式6-1.（2021.浙江杭州市.中考真題）如圖，已知BC是OO的直徑，半徑。A_LBC,點(diǎn)。在劣

弧AC上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)、E.設(shè)/AM=a,ZAOD=^,（）

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-p=90°D.2a-0=90。

【答案解析】D

【提示】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用a示意NC8R進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系,用a示意

ZCOD,末了由角的和差關(guān)系得成果.

【詳解】解：

，NAOB=NAOC=90°,

???ZDBC=90°-ZBEO

=90°-ZAED

=90°-a,

：.ZCOD=2ZDBC

=180°-2a,

VNAOD+NCOD=90。,

，B+180。-2a=90。，

/.2a-p=90°,

故選：D.

變式6-2.（2021?黑龍江牡丹江市?朝鮮族學(xué)校中考真題）如圖，點(diǎn)A,民S在圓上，若弦A3的長(zhǎng)度

等于圓半徑的6倍,則NA陽(yáng)的度數(shù)是（）.

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案解析】C

【提示】設(shè)圓心為。，毗鄰。4、OB,如圖，先證明AOA5為等腰直角三角形得到NAO3=90。,

然后根據(jù)圓周角定理確定NASB的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)圓心為。，毗鄰Q4、QB,如圖，

???弦AB的長(zhǎng)度等于圓半徑的亞倍,

即"=夜。4，

；?O^+OB2=AB2,

.??△048為等腰直角三角形，ZAOB^90°,

二ZASB=-ZAOB=45°.

2

故選C.

變式6-3.（2021?遼寧鞍山市?中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，半徑為2cm,若

3C=2cm,則NA的度數(shù)為（）

A.30°B.25°C.15°D.10°

【答案解析】A

【提示】毗鄰OB和OC,證明aOBC為等邊三角形，得到NBOC的度數(shù)，再操縱圓周角定理得

出NA.

【詳解】解：毗鄰OB和OC,

?.?圓O半徑為2,BC=2,

.?.△OBC為等邊三角形，

二ZBOC-600,

，NA=30°,

故選A.

變式6-4.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，是。。的兩條彼此垂直的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O

出發(fā)，沿OfCfO的路線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)=y（單位：度），那么y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系圖是（）

【答案解析】B

【提示】

根據(jù)圖示，分三種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿。TC運(yùn)動(dòng)時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿CTB運(yùn)動(dòng)時(shí)；（3）當(dāng)點(diǎn)P沿

B-0運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷出y的取值情況，進(jìn)而判斷出y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（單位：秒）的關(guān)系圖

是哪個(gè)即可.

【詳解】

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿O-C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的位置時(shí)，y=90。,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的位置時(shí)，

VOA=OC,

...y=45°,

Ay由90。逐漸減小到45°；

（2）當(dāng)點(diǎn)P沿C-B運(yùn)動(dòng)時(shí)，

根據(jù)圓周角定理，可得

y三90°+2=45°；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿B-0運(yùn)動(dòng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的位置時(shí)，y=45°,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)0的位置時(shí)，y=90。,

，y由45。逐漸增添到90。.

故選：B.

考查題型七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

典例7.（2021?四川眉山市?中考真題）如圖，四邊形A8CD的外接圓為QO,BC=CD,

ZZMC=35°,NACD=45°,則NADB的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案解析】C

【提示】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及等邊對(duì)等角，可得NCDB=35。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得

ZA￡>C=100°,操縱角的和差運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：NZi4C=35°,

r.ZDBC=35°,

BC=CD,

：.ZCDB=35°,

,/NACO=45。，

ZA￡>C=KX）°,

二ZADB=ZADC-ZCDB=65°,

故選：C.

變式7-1.（2021.四川內(nèi)江市.中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上，ZAOC=nO°,點(diǎn)

B是泥的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案解析】A

【提示】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到/AOB=g/AOC,再根據(jù)圓周角定懂得答.

2

【詳解】毗鄰OB,

,??點(diǎn)B是泥的中點(diǎn)，

:.ZAOB=—ZAOC=60",

2

由圓周角定理得，ZD=-ZAOB=30°,

故選：A.

變式7-2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C

都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)由點(diǎn)C、D,則sinNADC的值為（）

2萬(wàn)37132

133

【答案解析】A

【提示】起首根據(jù)圓周角定理可知，NABC=/AOC,在Rt^ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義

求出NABC的正弦值.

【詳解】和NABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是AC，

，根據(jù)圓周角定理知，NABC=/ADC,

.?.在RtAACB中，ABZAC'BC?=技+學(xué)=標(biāo)

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sinNABC=4G=—窘=2叵

ABV1313

sinZADC=^^

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