2021年新疆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測附答案解析

2021年高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

1.設(shè)函數(shù)/(x)=ex-cosx-ax,aER(其中，(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)).

(I)當Q=1時，判斷函數(shù)/(X)在(0,+°°)上的單調(diào)性；

(II)若/G)=f!(x)-Cix+a-1,證明：當灰口，2)時，函數(shù)尸(了)有2個零點.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】(I)將。=1代入，連續(xù)兩次求導(dǎo)，即可判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單

調(diào)性情況；

(II)x=0顯然是F(%)的一個零點，然后分xE(0,+8),xG(-oo,-川以及xe

(-TI,0)討論可知F(x)在(-m0)有一個零點，從而得證.

【解答】解：(I)當a=1時，/(x)=d-cosx-x,f(x)=e'+sinji-1,令H(x)

=f(x),則H,(冗)=e"+cosx,

VxG(0,+8),

夕>1,-1WcosxW1,

:?H'(x)>0,

：.H(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

：.H(x)>H(0)=e°-1=0,

：.f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增；

(II)證明：VF(x)=f(x)-ax+a-1=e'+siar-a-ax+a-1=e'+siar-ax-1,

當x=0時，由于F(0)=e°+sin0-0-1=0,故x=0是FCx)的一個零點；

令M(%)=F'(x)="+cosx-m貝!JM'(x)=ev-sinjc,

Vl^a<2,

①當花(0,+8)時，盧>1,故M'(x)>1-sinx^O,

：.M(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

：.M(x)>M(0)=2-。>0,

：.F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

：.F(x)>F(0)=0,此時尸(x)在(0,+8)無零點；

②當xG(-°°,-n］時，-ax^n,

VF(x)nF+sinx-ox-12F+sinx+ir-1>0,

:?F(x)在(-8,-it］無零點;

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③當(-TT.0)時，sinx<0,

.".M'(x)-sittr>0,

：.M(x)在(-n,0)單調(diào)遞增，

M(-IT)n+cos(-Tt)-a<0?M(0)=e°+l-a>0,

由零點存在性定理可知，存在xoe(-IT,0),使得M(xo)=0,

且xe(-n,xo)時，M(x)=F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，(xo,0)時，M(x)

=F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增，

又尸(-IT)K+sin(-n)-a(-n)-1>0>F(AO)<F(0)=0,

：.F(x)在(-TT,0)有一個零點，

綜上，當。日1,2)時，函數(shù)F(%)有2個零點.

2.已知函數(shù)/(x)=cosx-ax2,其中<?6R,x€［——J.

(I)當。=一；時，求函數(shù)/(x)的值域；

IT7T

(II)若函數(shù)/(x)在不上恰有兩個極小值點XI,X2,求a的取值范圍；并判斷是

否存在實數(shù)a,使得=1+/(%2-XI)2成立？若存在，求出”的值；若不存

在，請說明理由.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【分析】(1)將a=—4代入，連續(xù)兩次求導(dǎo)后可判斷了(x)的單調(diào)性情況，進而得出

值域；

為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(0,芻上恰有一個極小值點，設(shè)人(x)=/'(x)

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=-sinA-2ax,則/?'(x)=-cosx-2a,然后分Q4—々及—)Va<0討論可得

2

實數(shù)a的取值范圍；/(不一％i)=1+$(X2-％i)2,可轉(zhuǎn)化為cos2%2-4ax2=1+

結(jié)合sinx2=-2ax2,進一步轉(zhuǎn)化為%2?(3。+l)(6a+1)=0,求得a的值進而作出判斷.

【解答】解：(I)當a=一*時，/(%)=cosx+|x2,則/(x)=-sinx+x,設(shè)g(x)

=f(x),則g'(x)=-cosx+120在［一會身上恒成立，

???g(x)在［-先，上單調(diào)遞增，

又g(0)=0,

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.,.當0)時，f'(%)<0,當xe(o,月時，f(x)>o,

:.f(x)在xe［—o)上單調(diào)遞減，在xe(o,芻上單調(diào)遞增，

?-7(0)=1,/(一今=/8)=*，

...函數(shù)fG)的值域為［1,第;

(II)(-x)=cos(-x)-a(-JC)2=cosx-ax^—f(x),

：.f(x)在［一5，芻上為偶函數(shù)，

...函數(shù)/(x)在［-￡，芻上恰有兩個極小值點等價于函數(shù)/(x)在(0,芻上恰有一個極

小值點，

設(shè)h(x)=f(x)=-sinx-2ax,則h'(x)=-cosx-2a,

①當心。時，h'(x)WO,則〃(x)在(0,分上單調(diào)遞減，

：.h(x)Wh(0)=0,則/(x)WO,

：.f(x)在(0,芻上單調(diào)遞減，無極小值；

②當?！匆?時，h'(x)20,則/?(x)在(0,芻上單調(diào)遞增，

：.h(x)(0)=0,則/(x)20,

.V(X)在(0,￡)上單調(diào)遞增，無極小值；

③當一寺VaVO時，存在&6(0,分使得/?'(劉)=0,且當尤(0,xo)時，/?'(x)

<0,當xeQo，芻時，h'(x)>0,

：.h(x)在xe(0,xo)上單調(diào)遞減，在xe%，*)上單調(diào)遞增，

?：h(0)=0,

'.h(JCO)<0,=—1—a,

(i)當-1-tmWO,即一:WaV0時，/i(J)<0,

：.f(x)W0,此時f(x)在(0,芻上單調(diào)遞減，無極小值；

(H)當-1-aTt>0,即—2VaV—，時，hG)>0，則存在tG(xg>，)，使得/?(f)=

-sinr-2at=0(*),

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且當旺(0,t)時，h'(x)<0,當％E(3引時，h'(x)>0,

：.f(x)在(0,f)上單調(diào)遞減，在(3芻上單調(diào)遞增，

函數(shù)/(x)在(0,今上恰有一個極小值點X2=t,此時x=0是函數(shù)/(x)的極大值點,

當函數(shù)/(x)在［―9芻上恰有兩個極小值點時a的取值范圍為(一上一白；

?Xl+X2=0,

4

1+2

2-

若/（%2-%i）=1+q（%2-％i）2，則COS2%2-4ax2=9^2

由（*）知，sin%2=-2g,

2222

/.1—8ax2—4ax2=1+^