概率論與數(shù)理統(tǒng)計魏宗舒答案

3232，b，b2，b3，r1，r2，r3，V(i)A={31，321(i)B={r1，〃2，-3，…寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。（1）10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。⑵一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，（i）得白球，（ii）得紅球。解（1）記9個合格品分別為正1,正/…，正9，記不合格為次，則b2，b3，4個紅球分別為，，廠b2，b3，4個紅球分別為，，廠2，廠3，在數(shù)學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。（1）敘述ABC的意義。（2）在什么條件下ABC=C成立？（3）什么時候關(guān)系式CuB是正確的?（4）什么時候A=B成立?解（1）事件ABC表示該是三年級男生，但不是運動員。（2）ABC=C等價于CuAB，表示全系運動員都有是三年級的男生。⑶當全系運動員都是三年級學生時。⑷當全系女生都在三年級并且三年級學生都是女生時、。一個工人生產(chǎn)了n個零件，以事件A,表示他生產(chǎn)的第i個零件是合格品（1<i<n）。用Ai表示下列事件:⑴沒有一個零件是不合格品；（2）至少有一個零件是不合格品；（3）僅僅只有一個零件是不合格品；（4）至少有兩個零件是不合格品。解⑴仃A；ii解⑴仃A；ii=1(2)日A=UA；i ii=1 i=1(3)（4）原事件即“至少有兩個零件是合格品”iji=1 j=1j于i，可表示為UAA；

iji,j=1

i巧于是解樣本點總數(shù)為=于是解樣本點總數(shù)為=10。所取三條線段能構(gòu)成一個三角形，這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、證明下列各式:⑴AUB=BUA；(2)AcB=BCA(3)(AuB)uC=Au(BuC)；(4)(AcB)cC=Ac(BcC)（AUB）cC=（AcC）u（BcC）（6）p|A=UAi ii=1 i=1證明（1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁（1.5）式和（1.6）式的證法。在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分數(shù)的概率。解樣本點總數(shù)為A2=8X7。所得分數(shù)為既約分數(shù)必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、128中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件A“所得分數(shù)為既約分數(shù)”包含A；+2A1XA5=2X3X6個樣本點。8x7 14有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率。/51 ―

， ?，、37、9。所以事件A”所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”包含3個樣本點，于是P(A)=歷。一個小孩用13個字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的(等可能的)，問“恰好組成"MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解顯然樣本點總數(shù)為13!,事件A”恰好組成"MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!個樣本點。所以PP(A)=3!2!2!2!_4813!―13!在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于9x10-1=89個不同位置，當它處于和紅“車”同行或同列的179+8=17個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為P(A)二89一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為97。事件A”沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含A；個樣本點，于是A7P(A)=外。97某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8”的概率為多大？TOC\o"1-5"\h\z94 (9)4解用A表示“牌照號碼中有數(shù)字8"，顯然P(A)=苗芯——，所以10000110J94 “P(A)=1-P(A)=1 =1-10000任取一個正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1;(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；1 4 2解(1)答案為5。(2)當該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數(shù)是1,所以答案為——5(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含102個樣本點。用事件A表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1"，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1,設(shè)最后第二位數(shù)字為。，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3a的個位數(shù)，要使3a的個位數(shù)是1,必須a=7，因此A所包含的樣本點只有71這一點，于是(……)一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到2n根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有5?3-1種接法，同樣對尾也有5?3?1種接法，所以樣本點總數(shù)為(5-3-1)2。用A表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有5?3-1種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為4?2。所以A包含的樣本點數(shù)為(5?3?1)(4?2),于是

P(AP(A)=(5?3-1)(4-2)_8(5?3?1)2 15(2)2n根草的情形和(1)類似得/N+n-k-2/N+n-k-2、的概率為[n-kJ，0<k<n'N+n-1InJ5 4人AMeNYn-1 1入7/jMl(2)恰好有m個盒的概率為ImJIN-m-1J，N-n<m<N-1'N+n-1InJ'm+j-1)(N-m+n-j-1、⑶指定的m個盒中正好有j個球的概率為[m-1.n-jJ，1<m<N,0<j<N.解略。'N+n-1、nj某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分?，、3鐘的概率。 解所求概率為P(A)=5TOC\o"1-5"\h\zn一1 1在AABC中任取一點P，證明AABP與AABC的面積之比大于——的概率為——。n n2一?1 n-1解截取CD'=—CD，當且僅當點P落入ACA'B'之內(nèi)時AABP與AABC的面積之比大于——，因此所求概

nn率為P(A)率為P(A)=AA'BC有面積

AABC的面積CD'2CD2——CD'2n2CD2n2兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設(shè)兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與兩小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。解分別用％,y表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅當242-1x232-1x2220<x-y<2,0<y-x<1。因此所求概率為P(A)= ^―-—2 氏0.121242在線段AB上任取三點x1，x2,x3,求：(1)x2位于5與x3之間的概率。(2)Ax1，Ax2,Ax3能構(gòu)成一個三角形的概率。…111—3x—x解(1)P(A)=- (2)P(B)= ^-2=13 1 2在平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為a,b,c(均小于d)，求三角形與平行線相交的概率。解分別用A1,a2,a3表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然P(AJ=P(A2)=0.所求概率為P(A3)。分別用A/,A」AbA^,A*表示邊a,b,c，二邊ab,ac,bc與平行線相交，TOC\o"1-5"\h\z則 P(A3)= P(AbuA uAb).顯然P(Aa) PA^)+PAJ， P(Ab)二 P(A/+P(AJ ， …1 2 ， ， 、 1， ， 、P(A)=P(A)+P(A)。所以P(A)=-[P(A)+P(A)+P(A)]二——(a+b+c)=--(a+b+c)cacbc 3 2abc 2兀d 兀d(用例1.12的結(jié)果)己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機投點。則事件A“該點命中AB的中點”

的概率等于零，但A不是不可能事件。甲、乙兩人從裝有。個白球與b個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解①]解①]表示白，①2表示黑白，則樣本空間Q={①]，①2，①3表示黑黑白，…，M表示黑…黑白，"b/,并且尸({”x,口{①2月bb-1a

. 口{①2月a+ba+b—1a+b—2甲取勝的概率為尸({”)+P(叫D+P(eD+…乙取勝的概率為P(忡2})+尸也J+不"6))+…設(shè)事件A,B及AuB的概率分別為p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(A.B)，P(A.E))解由P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)得 P(AB)=P(A)+P(B)—P(AuB)=p+q—rP(AB)=P(A—AB)=P(A)—P(AB)=r—q，P(AB)=r—p設(shè)a]、A2為兩個隨機事件，證明：(1)P(A]A2)=1—P(A1)—P(A2)+P(A]A2);⑵1—P(.)—P(A2)<P(A1AJ<P(A]uA2)<P(AJ+P(A2).證明⑴P(A]A2);P(.uA~)=1—P(.u.)=1—P(.)—P(A~)+P(A&)(2)由(1)和P(A1AT)>0得第一個不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個不等式。對于任意的隨機事件A、B、C，證明：P(AB)+P(AC)—P(BC)<P(A)證明P(A)>P[A(BuC)]=P(AB)+P(AC)—P(ABC)>P(AB)+P(AC)—P(BC)在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。解事件A表示訂甲報，事件B表示訂乙報，事件C表示訂丙報。(1)P(ABC)=P(A—(ABuAC))=P(A)—P(ABuAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB—ABC)=7%P(BAC)=P(B)—[P(AB)+P(BC)—P(ABC)]=23%P(ABCu+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5)P(A+B+C)=90%(6)P(ABC)=1—P(A+B+C)=1—90%=10%1.26某班有n個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解用A表示“第i張考簽沒有被抽到"，i=1,2，…,N。要求pUA)。i ii=1P(A)=n，P(AA.)=-P(AiA1<i<Nn=(-1)2T所以P(WP(A)=n，P(AA.)=-P(AiA1<i<Nn=(-1)2T所以P(Wa)立(-1)i-1

ii=1 i=11.27從n階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少?解n階行列式的展開式中,任一項略去符號不計都可表示為。1「2,2…%當且僅當12…,n的排列印之…口中存在k使ik二k時這一項包含主對角線元素。用Ak表示事件“排列中*=k”即第k個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。則(n—1)!1<i<n P(AA)=(n-2)!(1<i<j<n),ij n!所以A)=Z(-1)iii=1 i=1n! i=1(-1)i-1—i!1.29已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率(假設(shè)一個小孩是男孩或是女孩是等可能的)。解用b，g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為:P(AB)6/86其中樣本點依年齡大小的性別排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，則P(BIA)= =--=-P(A) 7/8 7設(shè)M件產(chǎn)品中有m件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解(1)設(shè)A表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”B表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則P(A) P(A) 2M-m-1⑵設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”，n個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，D表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則他們依次摸彩，求：(1)已知前k-1(kVn)個人都沒摸到，求第k個人摸到的概率;⑵第k(k<n)個人摸到的概率。解設(shè)Ai表示“第i個人摸到"⑴P(AJ<?.Ai)=n-(k-1)n-k+1⑵P(Ak)=P(A/?9Ap=nn-1n-k+1n九k 、八132已知一個母雞生k個蛋的概率為石e0)，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為p，證明：一個母雞恰有r個下一代(即小雞)的概率為e-即。解用Ak表示“母雞生k個蛋”B表示“母雞恰有r個下一代”，則1.33某射擊小組共有20名射手其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.51.33某射擊小組共有20名射手賽的概率。解用Ak表示“任選一名射手為k級”,k=1，2,3,4，B表示“任選一名射手能進入決賽”,則P(B)=VP(P(B)=VP(A)P(BIA)=kk=14八八—x0.9420-x0.7+—x0.5+—x0.2=0.645202020在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解用A解用A1表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)”內(nèi)表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn)”A3表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn)”A3表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn)”B表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式:1.35某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為 9:3:2:11:2:3:1。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為9解則P(A1)=—P(A'=11，P(A4)=5P(B1A19解則P(A1)=—P(A'=11，P(A4)=5P(B1A1)=7，P(B1A2)=I，P(B1A4)=7由貝時葉斯公式得P(A11.36有朋友自遠方來訪，他乘火車、1船、汽車來的話，遲到的概率分別是4、k=1輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪11Q、不，而乘飛機不會遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多JJL乙少？解用A1表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”,A表示“朋友乘汽車來”,&表示“朋友乘飛機來”，B表示“朋友遲到了”。1.37證明：若三個事件A、B、k=1C獨立，則AuB、AB及A-B都與C獨立。證明(1)P((AuB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AuB)P(C)(2)PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)(3)P((A-B)C)=P((A-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C)1.38試舉例說明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。解設(shè)。={%,32,巴，咒，35}，P({31})=與18P({35})=64，p({①})= p({①})=PS哈15 1A={3],34} 則 + =—，64644,、 1P(ABC)=P({'})=瓦=P(A)P(B"?但是P(AB)=P({3})=1-豐P(A)P(B)1 64設(shè)AjA2,,An為n個相互獨立的事件，且p(Ak)=pk(1<k<n)，求下列事件的概率:(1)n個事件全不發(fā)生；(2)n個事件中至少發(fā)生一件；(3)n個事件中恰好發(fā)生一件。

解⑴p(Fhk)=Ilp(Ak)=FI(i-pk)⑵p(^^Ak)=1--(”)=i-Ini(i-pjk=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1⑶P[U(Ak")]=工(Ak".)=工[pkH(1-p)].k=1 j=1 k=1 j=1 k=1 j=1j于k 并k jwk已知事件A,B相互獨立且互不相容，求min(P(A),P(B))(注：min(羽y)表示x,j中小的一個數(shù))。解一方面P(A),P(B)>0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一個等于0，所以min(P(A),P(B))=0.一個人的血型為O,A,B,AB型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03,現(xiàn)在任意挑選五個人，求下列事件的概率。（1）兩個人為0型，其它三個人分別為其它三種血型；（2）三個人為0型，兩個人為A型；（3）沒有一人為AB。八 （5）解（1）從5個人任選2人為0型，共有種可能，在其余3人中任選一人為A型，共有三種可能，在余下的2人127中任選一人為B型，共有2種可能，另一人為AB型，順此所求概率為：x3x3x2x0.462x0.40x0.11x0.13x0.0168 (2)x0.462x0.402x0.1557⑶(1-0.03)5氏0.85871.42設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6,求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解用Ak表示“第k門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”，k=1,2，…1.42設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6,求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解用Ak表示“第k門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”，k=1,2，…，B表示“擊中飛機”。則P(A^)=0.6，k=1,2,…。(1)P(A]uA2)=1-P(qA2)=1-0.42=0.84(2)P(Au…A)=1-P[Ak)=1-0.4n>0.99k=1n>lg001x5.026

lg0.4取n=6。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機。1.43做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為P，求在成功n次之前已失敗了m次的概率。解用A表示“在成功n次之前已失敗了m次”，B表示“在前n+m-1次試驗中失敗了m次”，C表示“第n+m次試驗成功”(n+m-1、P(A)=P(BC=P(B)P?=[m JPn-1"P)m(n+m-1、“二[m 卜(1-P)m1.45某數(shù)學家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有r根火柴（1Vr<n）的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”，用B表示“乙盒中尚余j根火柴”，C,D分別表示“第2n-r次在甲i j盒取”，“第2n-r次在乙盒取”， A0BC表示取了2n-r次火柴，且第2n-r次是從甲盒中取的，即在前2n-r-1在甲盒中取了n-1，其余在乙盒中取。所以'2n-r-1、<1、n-1In-1人2J,一,一12J 2由對稱性知P（ABC）=p（ABD），所求概率為:r0 0rP(ABCuABD)=2P(ABC)=0r r0 0r第二章離散型隨機變量2.1下列給出的是不是某個隨機變量的分布列?101503305j

\J.JJ11021031J(3)(4)2.2(1)是(2)0.7101503305j

\J.JJ11021031J(3)(4)2.2(1)是(2)0.7+0.1+0.1中1,2 1+ +—2n 一>0,n為自然數(shù)，且Xn=1設(shè)隨機變量乙的分布列為:(2)P(j<自<5))； (3)解(1)尸值=1或己=2)=所以它不是隨機變量的分布列。:3，所以它不是隨機變量的分布歹限4=1，所以它是隨機變量的分布列。kP&—k)=15,k=1,2,3,4,5，求(1)P&—1或m=2)；P(1與<2)。 + =15155；(2)P(2<^<2)=尸&=1)+尸&—2)=5；(3)P(1<W<2)=P&=1)+P&=2)=5.2.3解設(shè)隨機變量2.3解設(shè)隨機變量乙的分布列為Pg=i)=。:i=1,2,3。求C的值。27所以C―衛(wèi)38隨機變量占只取正整數(shù)N,且Pe=n)與n2隨機變量占只取正整數(shù)N,且Pe=n)與n2成反比，求白的分布歹限解根據(jù)題意知尸化-N)—CN2其中常數(shù)C待定。由于xc—C?三—1,所以C——，即白的分布列為N2 6 兀2N=1P《=N)= ，N取正整數(shù)。冗2N2一個口袋中裝有m個白球、n-m個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時停止。設(shè)此時取出了自個白球，求白的分布列。解設(shè)“工=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，則白的分布列為:31設(shè)某批電子管的合格品率為4,不合格品率為4,現(xiàn)在對該批電子管進行測試，設(shè)第乙次為首次測到合格品，求白的分布列。k-13,k—1,2，….4一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5,從中同時取出3只球，以白表示取出球的取大號碼，求自的分布列。 解P化一k)=\/,k=3,4,5.拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為P(0<p<1)，設(shè)自為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求白的分布列。 解Pe=k)=qk-1P+Pk-1q,k=2,3，…，其中q=1-p。兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，如果第一名隊員投中的概率為0.4，第二名隊員投中的概率為0.6,求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。解設(shè)白，”表示第二名隊員的投籃次數(shù)，則P化=k)=0.6k-10.4k-10.4+0.6k0.4k-10.6=0.76.0.24k-1，k=1,2，…；P(n=k)=0.6k0.410.6+0.6k0.4k0.4=0.76-0.6k0,4k-1,k=1,2，…。設(shè)隨機變量自服從普哇松分布，且P&=1)=PR=2)，求尸化=4)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"? ，、 九k 九2解P(5=k)=ke4(九>0)k=0,1,2，…。由于Xe-入=—e-入,得入1=2,X2=0(不合要求)。所以\o"CurrentDocument"? 八 24 2P0 =4)=——e-2 =—e-2。4! 3設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進貨時應(yīng)進多少件此種商品，才能保證當月不脫銷的概率為0.999。解設(shè)自為該種商品當月銷售數(shù)，x為該種商品每月進貨數(shù)，則PCV])20.999。查普哇松分布的數(shù)值表，得x>16。如果在時間t(分鐘)內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與t成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2,求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。(Xt)k .解設(shè)自為時間t內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則 P化=k)= e-Xt(X>0),k=0,1,2,…k!t=1時，P化=0)=e-X=0.2，所以X=ln5；t=2時，Xt=21n5,因而PR>1)=1-PR=0)-P&=1)=(24-In25)/25氏0.83。一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上(每一頁的印刷符號超過500個)。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。解在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率P=擊，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為…1 21-5利用普哇松定理求近似值，取X=np=500x =1，于是上式右端等于1-Xe-1=1-—?0.080301500 k! 2ek=014某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03,現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解設(shè)每箱至少裝100+解設(shè)每箱至少裝100+x個產(chǎn)品，其中有k個次品，則要求x,使0.9?火(100+x、0.03k0.97100+x-k,ccB3k利用普哇松分布定理求近似值，取X=(100+x)x0.03e3，于是上式相當于0.9VXke-3，查普哇松分布數(shù)值表，得k=0 "設(shè)二維隨機變量&,n)的聯(lián)合分布列為：P(&=n,n=m)=旦止包=e』Q〉0,0<p<1)m!(n-m!)m=0,1，…,nn=0,1,2，…求邊際分布列。TOC\o"1-5"\h\z解P(&=n)=?P(&=nE=m)=-X—n-pm(1-p)n-m=*n=0,1,2,…n! m!(n一m)! n!m=0 m=0P(n=m)=EP(&=n,n=m)=Pm±學—n-pm(1-p)n-m=6P)me一九P m=0,1,2,…。八 m! m!(n—m)! m!n=0 n=m在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為白、n、。，求&內(nèi)工)的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解P(己=m,n=n,。=k)=————0.5m0,3n0,2k，m,n,k=0,1,2,3,4m+n+k=4.m!n!k!((41 P(1=m)= 0.5m0.54-m，m=0,1,2,3,4；ImJ(4一—P(n=n)= 0.3n0.74-n，n=0,1,2,3,4；1nj一.(4\ P&=k)= 0.2k0.84-k，k=0,1,2,3,4。IkJ拋擲三次均勻的硬幣，以己表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以「表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(己,n)的聯(lián)合分布列及邊際分布列。設(shè)隨機變量自與“獨立，且P(t=1)=P(n=1)=p〉0，又PR=0)=P(n=0)=1-p〉0，定義g=P右匕+”為偶數(shù)，問p取什么值時自與q獨立?[0若己+n為奇數(shù)解P(q=1)=P&=0)P(n=0)+P&=1)P(n=1)=(1-p)2+p2而尸(己=1,q=1)=p(1=1,n=1)=p2，由p(匕=1工=1)=尸(己=1)尸(C=1)得p=12設(shè)隨機變量自與“獨立，且Pe=±D=P(n=±D=2,定義q=^n，證明q,白,n兩兩獨立，但不相互獨立。證明P(C=1)=P(匕=1)P(n=1)+P&=-1)P(n=-1)=1因為尸&=1工=1)=P&=1,n=1)=4=P&=1)Pq=1)P&=-1工=-1)=P&=-1,n=1)=4尸值=-1)P(q=-1)所以q,乙相互獨立。同理n與q相互獨立。但是P&=1,n=1<=1)中P&=1)P(n=1)P(q=1)，因而q,己,n不相互獨立。設(shè)隨機變量自與n獨立，，且只取值1、2、3、4、5、6，證明白+n不服從均勻分(即不可能有P&+n=k)=(,k=2,3，…,12。)證明設(shè)P(W=k)=p,P(n=k)=q,k=1,2，…,6。 若P&+n=k)=：,k=2,3,…,12，則TOC\o"1-5"\h\zk k 11P&+n= 2)=pq=! (1)P&+n=7)=pq+pq+…+ pq =-1 (2)11 11 16 25 61 11

將（2）式減去（1）式，得：（-pjq1<0,于是<P|。同理％<q。因此P_A<pq=1T，與（3）式矛盾。6 11 6 1 6 1 66 11 112.24已知隨機變量乙的分布列為012.24已知隨機變量乙的分布列為0142 ，求”=彳己+2與C=cos己的分布列。\o"CurrentDocument"1 34）? … 1 ? -兀、1 ? -2兀、1解”分布列為 Pm =2)=，P(n =2+—)=5，P(n =2+飛-)=；l" J 4 J l"q的分布列為P(C=_1)=—，P《=0)=—，P(C=1)=—oI 乙 I2.25已知離散型隨機變量占2.25已知離散型隨機變量占的分布列為L12-101 3)1 1 1 11，二—一—651530)解Pm=0)=5,P(n=1)=370,P(n=4)=5,P(n=9)=3-0.（.（0 1 3\2.26設(shè)離散型隨機變量自與n的分布列為J 1 3 1二 二 二12 8 8）r01）n： 12，且自與n相互獨立，求C=^+n1337的分布列。解11123 4的分布列。解111111——■—42412)設(shè)獨立隨機變量,與n分別服從二項分布：b（k；njp）與b（k；n2,p），求>”的分布列。解設(shè)己為n1重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中P（A）=p），n為n2重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中尸（A）=p），而,與“相互獨立，所以^+n為々+n2重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，因pkq%+n2—k ,k=0,1,,…，n+no12設(shè)己與n為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為P&=n）=P（n=n）=3,n=1,2,…2n2k 2n-k 2nk=1求自+n的分布列。 解PG+n=n)=2P&=2k 2n-k 2nk=1k=1設(shè)隨機變量占具有分布：尸化=k)=5,k=1,2,3,4,5,求E白、E52及E化+2)2。解，E匕=|(1+2+3+4+5)=3，E己2=5(12+22+3+42+52)=11e化+2)2=E工2+4E:+4=27設(shè)隨機變量0具有分布：PC=k)= ,k=L2,…，求E0及D&o2k解段=￡解段=￡與=2￡k[:k=1 k=11=2"”二g=2￡k=1 k=1, ?/八2j1 _ ,231設(shè)離散型隨機變量,的分布列為：雄=（-Dk-k工'k=12…，問,是否有數(shù)學期望?解￡l（-1）k11-；=￡,因為級數(shù)%發(fā)散，所以,沒有數(shù)學期望。k=1 k=1 k=1

用天平秤某種物品的重量（祛碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、…、10克，（乙組）1，2，3，4，10（克）（丙組）1，1，2，5，10（乙組）1，2，3，4，10（克）（丙組）1，1，2，5，10（克）解設(shè)A、,2、己3分別表示及甲組、乙組、丙組祛碼秤重時所用的祛碼數(shù)則有物品重量度910=10(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8所以，用乙組祛碼秤重時所用的平均祛碼數(shù)最少。某個邊長為500解設(shè)A、,2、己3分別表示及甲組、乙組、丙組祛碼秤重時所用的祛碼數(shù)則有物品重量度910=10(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8所以，用乙組祛碼秤重時所用的平均祛碼數(shù)最少。某個邊長為500米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為:0米的概率是0.49,土10米的概率各是0.16，士20米的概率各是0.08，士30米的概率各是0.05,求場地面積的數(shù)學期望。解設(shè)場地面積為S米2，邊長的誤差為白米，則E5=0E”=2（102*0.16+202*0.08+302*0.05）=186所以ES=E化+500)2=E52+1000E5+250000:250186(米2)對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為P1、P之、P3。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學PJP2+P3。證令自i1第i架儀器發(fā)生故障 .i=1,2,30第i架儀器未發(fā)生故障匕為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則E。=p6=1）=p.,i=1,2,3，所以Em=E1+Em2+Em3=p1+p2+p3。如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學期望。解設(shè)，則”的分布列為i0)n15J1，因而E1=不。設(shè),為查得的不合格品數(shù)，則5=20Q，所以E匕=20En=10。ii=1ii=1從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。解設(shè)乙為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則尸仁=k）=,k=1,2，…，n，于是E5=Ekk=12 2 n+2—-2[(n+1)k一k2]=--—n(n+1) 3k=1把數(shù)字1,2，…,n任意在排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學1數(shù)字k出現(xiàn)在第k個位置上0數(shù)字k不在第k個位置上 則則k的分布列為:(10)1-1nJ于是E己=P&=1）=」，設(shè)匹配數(shù)為J則kkn&=Z己，因而E&=Xe&=1。kk=1kk=1設(shè)自為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明：（1）n=1(2)D0=2苫nP(^>n)-E0(E0+1).n=1證明(1)由于E5=￡nP(W=n)存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而n=0E自立nP(建n)=注P化=n)=￡2P(m=n)=￡P(guān)0E自立nP(建n)=注n=1n=1n=1i=1i=1n=ii=1D自存在，所以級數(shù)E52=￡n2P(5=n)也絕對收斂，從而n=0在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為夕，試驗進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為白，則P(自>1)=1，P(m>n)=pn-1+qn-1,n=2,3，…(q=1—p)1—p1—q p(1—p)利用上題的結(jié)論，E自=p化>1)+￡P(guān)([>n)=1+￡(pn-1+qn-11—p1—q p(1—p)n=2 n=2從一個裝有m個白球、n個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學期望。 解略。對一批產(chǎn)品進行檢驗，如果檢查到第n0件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第n0件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認為每次檢查到不合格品的概率都是p，問平均每批要檢查多少件？解略。流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率p，當生產(chǎn)出k個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學期望與方差。解設(shè)第i—1個不合格出現(xiàn)后到第i個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為己ji=1,2，…,k.又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為白，則己=￡己「因&i獨立同分布，P6i=j)=qj-1p,j=1,2,…(q=1—p)，由此得:i=18E8E'=￡jqj-1p=一i p，j=1E自2=￡j2qj-1p=-_p1j=1 p2D5=E52-(E5)2=1-pp2E&=WE己=-，D己=￡d己=k(1—p),=1 ip ,=1 ip2設(shè)隨機變量自與“獨立，且方差存在，則有D(5)=D5?Dn+(E5)2Dn+D己?(En)2(由此并可得D&ri)>DJDn)證明D(3)=E52n2-(E5)2=E52En2-(E&)2(En)2在整數(shù)0至U9中先后按下列兩種情況任取兩個數(shù)，記為己和n：(1)第一個數(shù)取后放回，再取第二個數(shù)；(2)第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù)，求在n=k(0<k<9)的條件下自的分布列。

解⑴尸&=iIn=k)=:i=0,1，…,9.P&=iIn=k)=9(i=0,1，…,9,i中k),2.49在2.49在n次貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p,令=|1在第i次試驗中A出現(xiàn)i=12…n令i|0在第i次試驗中A不出現(xiàn) ,,,求在自求在自+己2+,??+己=r(0<r<n)的條件下，自(0<i<n)的分布歹限解 P(解 P(W=0I己+己+ +己=r)=P(4=0,己+…+己+己+…+己=r)f i-1 1+1 P&+匕+…+匕)prqprqn-1-r n-rnP化=11匕+匕+…+匕=r)=1-n-rrnnprqprqn-rIr)2.50設(shè)隨機變量己1己2相互獨立，分別服從參數(shù)為入1與入2的普哇松分布，試證:證明尸(，=k1之P(己=k工+己=n) P(己=k)P(證明尸(，=k1之由普哇松分布的可加性知11+12服從參數(shù)為九1+”的普哇松分布，所以2.51設(shè)匕1，己2,…’,為r個相互獨立隨機變量,且*(1<的r)服從同一幾何分布,即有P也.=P也.=k)=qpk-1,k=1,2，…,(1<i<r),其中q=1-p。試證明在5]+52+???+*=n的條件下，化工2,化工2,…工J的分布是均勻分布,即P(1=n,…工=nI5+5+ +5=n=其中n+n+ +n=n證明P('=證明P('=n］，…,己=nI0+02+…+0=P^…，&=n，&+…+&=n)P(&+…+&=n)己2，…，0己2，…，0相互獨立且服從同一幾何分布,所以+己2+…+己=n)= ￡ (0^q?pk.-1)=k,+ +k=n i=1k.=1,2,…i=1,…,rqrpn一r從而P('=n］，從而P('=n］，…,己I己+己+…+己=n)=1 2 rqrpn一r［n：；］J)qrpn一r第三章連續(xù)型隨機變量3.1設(shè)隨機變數(shù)自的分布函數(shù)為F(x)，試以F(x)表示下列概率:(1)P(己=a)；(2)P《<a)；(3)P(^>a)；(4)P(白>a)

解：(1)尸化=a)=F(a+0)-F(a)； (2) P化工a)=F(a +0)；(3) P也 2a)=1-F(a)；(4)P(W>a)=1-F(a+0)。32函數(shù)F(x)=士是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果⑴-8<x<8兀0<x0<x<8，在其它場合適當定義;-8<x<0,在其它場合適當定義。解：(1)解：(1)F(x)在(-8,8)內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機變量的分布函數(shù);(2)F(2)F(x)在(0，8)內(nèi)單調(diào)下降,因而也不可能是隨機變量的分布函數(shù);~ |F(x)-8<x<0(3)F(x)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且F(-8,0)，若定義~ |F(x)-8<x<0(3)F(x)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且F(-8,0)，若定義F(x『1x>0二則F(x)可以是某一隨機變量的分布函數(shù)。3.3兀r 「八r 「八3r函數(shù)sinx是不是某個隨機變數(shù)己的分布密度？如果白的取值范圍為(1)[0,-]；(2)[0,兀]；(3)[0,5冗]。解：兀 口(1)當xe[0,—]時，sinx>0且J2sinxdx=1，所以sinx可以是某個隨機變量的分布密度;2 0(2)因為卜sinxdx=2豐1，所以sinx不是隨機變量的分布密度；0(3)當xe[兀,3兀]時，sinx<0，所以sinx不是隨機變量的分布密度。3.4設(shè)隨機變數(shù)占具有對稱的分布密度函數(shù)p(x)，即p(x)=p(-x),證明：對任意的a>0,有(1)F(-a)=1-F(a)=1-Jap(x)dx；(2)P(k|<a)=2F(a)-1；(3)P(同〉a)=211-F(a)]2 0證：(1)F(-a)=J-ap(x)dx=1-J8p(x)dx=1+J-8p(-x)dx=1-Jap(x)dx-8-8=1-F(a)=1-J0p(x)dx-Jap(x)dx=—-Jap(x)dx；-8 0 2 0P(kI<a=Jap(x)dx=2Jap(x)dx，由(1)知 1-F(a)=1-Jap(x)dx-a 0 2 0,故上式右端=2F(a)-1；P(11>a)=1-P(?<a)=1-[2F(a)-1]=2[1-F(a)]。3.5設(shè)F1(x)與F2(x)都是分布函數(shù)，又a>0,b>0是兩個常數(shù)，且a+b=L證明F(x)=aF1(x)+bF2(x)也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型?證：因為FJx)與 F2(x)都是分布函數(shù)，當x1 < x2時，F(xiàn)Jx1)<FJx2)， F2(xj < F2(x2)，于是F(x)=aF(x)+bF(x)<aF(x)+bF(x)=F(x)又limF(x)=lim[aF(x)+bF(x)]=011 21所以，F(xiàn)(x)也是分布函數(shù)。一，1 |0取a=b=2，又令F1(x)=11F2(x)=x<00<x<1x>10這時 F(x)=11^x0<x<121x>1顯然，與F顯然，與F(x)對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列個值，故F(x)不是離散型的，而F(x)不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.6設(shè)隨機變數(shù)占的分布函數(shù)為I1-(1+x)e-xF(x)T3.6設(shè)隨機變數(shù)占的分布函數(shù)為I1-(1+x)e-xF(x)T0x>0 rx<0求相應(yīng)的密度函數(shù),并求尸0<D。解：—[1-(1+x)e-x]=xe-xdx所以相應(yīng)的密度函數(shù)為Ixe-xx>0 2p(xT0 x<0父丘F(1)=1二。3.7設(shè)隨機變數(shù)占的分布函數(shù)為0Ax21x<00<x<1求常數(shù)A及密度函數(shù)。x>1解：因為F(1-0)=F(1)，所以A=1，密度函數(shù)為12x0<x<1P(xJ0其它3.8隨機變數(shù)自的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctgx，求常數(shù)A與B及相應(yīng)的密度函數(shù)。解：1兀(1解：1兀(1+x2)3.9已知隨機變數(shù)占的分布函數(shù)為 P(x)=<0<x<11<x<2其它TOC\o"1-5"\h\z兀 九. 1?因為limF(x)=A+B(--)=0limF(x)=A+B—=1所以A=—,BxT-g 2 x■+<? 2 2L/、 1 1因而 F(x)=+ arctgx,p(x)=F(x)=2兀(1)求相應(yīng)的分布函數(shù)F(x)；(2)求尸&<0.5),尸&>1.3),P(0.2<匕<1.2)。解：F(解：F(x)=<[x, 1.xydy=—x2,0 ,2J1ydy+[x(2-y)dy=2x-—x2-11<x<201 2\o"CurrentDocument"x>2P&<0.5)=F(0.5)=18P依>1.3)=1-P(^<1.3)=1-F(1.3)=0.245P(0.2<。<1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.663.10確定下列函數(shù)中的常數(shù)A，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。 (1)P(x)=Ae-x；? 兀兀 Ax2 1<x<2(2)P(x)= <cosx-y Vx，I (3)P(x)=< Ax 2<x<3、0 其它 0其它解：(1)卜Ae-xldx=2A卜e-xdx=2A=1所以A=1.-g 0 2'J2Ax2dx+J8Axdx="A=1所以A=—1 2 J2Ax2dx+J8Axdx="A=1所以A=—1 2 6,所以290 2‘、’

3.12在半徑為R/求心為O的球內(nèi)任取一點P,求自=oP的分布函數(shù)。4-TlX33所以F(x)=j(R)3解：當0<x<R時 F(x)3所以F(x)=j(R)3兀R3

33.13某城市每天用電量不超過一百萬度，以己表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢?P也>0,9)J12x(1-x)2dx=0.00370.9解：PP也>0,9)J12x(1-x)2dx=0.00370.90.8因此，若該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272，若每天的供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。3.14設(shè)隨機變數(shù)自服從（0,5）上的均勻分布，求方程4X2+4以+己+2=0有實根的概率。3.14解：當且僅當 （4解：當且僅當 （4己）2-16化+2）>0(1)成立時，方程4x2+4以+己+2=0有實根。不等式（1）的解為：自>2或自<—1。13因此，該方程有實根的概率P=尸值>2)+P&<-1)=P&>2)=』5-dx=-o25 53.17某種電池的壽命自服從正態(tài)N（a,。2）分布，其中a=300（小時），。=35（小時）（1）求電池壽命在250小時以上的概率；（2）求x，使壽命在a—x與a+x之間的概率不小于0.9。解：(1)P&>250)=P(解：(1)P&>250)=P(100>-1.43)=P(自一300x(2)P(a-x<g<a+x)=P(--<匕―30035x<一<1.43)=O(1.43)氏0.9236；35 35=0(—)-O(--)=20(—)-1>0.935 35 35xx即xx即O(行)>0.95所以至>1.65即x>57.753.18設(shè)①（x）為N（0,1）分布的分布函數(shù)證明當x>0時，有 e23.18設(shè)①（x）為N（0,1）分布的分布函數(shù)證明當x>0時，有 e2.,2兀a1>1-0(x)>—L=e-

x \：2兀證：1-0(x)=1-.J2兀Jxe-工dy=-8-L=rJ8e%；2兀xdy1=e

丫2兀2.--^=x.七：2兀y22dy—)+工J8工x3工2兀xy4y22dy所以1^=e<2k1>1-O(x)>-^=ex v2t3.21證明：二元函數(shù)13.21證明：二元函數(shù)11x+y>0F（x，y）30x+y<0對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且F(-8,y)=F(x,-8)=0,F(F(-8,+8)=0,但是F（x,y）并不是一個分布函數(shù)。證：(1)設(shè)Ax>0,若x+y>0，由于x+Ax+y>0，所以F(x,y)=F(x+Ax,y)=1,若x+y<0，則F(x,y)=0。當x+Ax+y<0時，F(xiàn)(x+Ax,y)=0；當x+Ax+y>0時，F(xiàn)(x+Ax,y)=1。所以F(x,y)<F(x+Ax,y)。

數(shù)。3.23可見，F(xiàn)(羽y)對%非降。同理，F(xiàn)(羽y)對)非降。數(shù)。3.23可見，F(xiàn)(羽y)對%非降。同理，F(xiàn)(羽y)對)非降。(2)(3)(4)x+y>0時，limF(x-Ax,y)-limF(x,y-Ay)-0=F(x,y),Ax40Ay40limF(x-Ax,y)=limF(x,y-Ay)=1=F(x,y)，所以F(x,y)對x、y左連續(xù)。Ax40Ay40F(一8,y)=F(x,-8)=0,F(+8,+8)=0。P(0<^<2,0<n<2)-F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)--1,所以F(x,y)不是一個分布函設(shè)二維隨機變數(shù)值,n)的密度p(x,y)-j2sin(x+y)0兀 ?！?,°—y—2求(白內(nèi))的分布函數(shù)。其它TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀 兀 1.解：當0<x<—,0<y<彳時，F(xiàn)(x,y)-P&<x,n<y)=JJy-sin(t+s)dsdt

2 2 002\o"CurrentDocument"1r.x[cot-cos(t+y)]dt=—[sinx+siny-sin(x+y)],所以x>0,yx>0,y>0

其它3.24設(shè)二維隨機變數(shù)值,n)的聯(lián)合密度為p(x,y)-re；x-4y求常數(shù)k；(2)求相應(yīng)的分布函數(shù)；(3)求P(0<己<1,0<n<2)。解：(1)J8J8ke-3x-4ydxdy-kJ8e-3xdx--,所以k-12.00 40 12x>0,y>0時，F(xiàn)(x,y)-JxJy12e-31-48dtds-12(Jxe-3tdt)(Jye-48ds)=(1=(1-e-3x)(1一e-4y)，所以1(1-e-3x)(1-e-4y)F(x,y)-j0x>0,y>0其它(3)p(0〈己(3)p(0〈己<1,0<n<2)=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0)3.25設(shè)二維隨機變數(shù)值,n)有密度函數(shù)p(%,y)=兀2(16+x2)(25+y2)求常數(shù)a及&,求常數(shù)a及&,n)的密度函數(shù)。J8J8p(x,y)dxdyJxJyp(t,s)dtds-8-8dtds—8—8解：-J」8—8—8—8—8解：-J」8—8—8-4AJ8兀2(16+x2)(25+y2)dxdy所以，A=20；dx J8dy兀2016+x2025+y2A-1

20兀2-8-8(16+12)(25+s2)20dt ds-一(Jx )(Jy )兀2—816+12 -825+s21. .x，兀、, ,y.兀、-——(arctg+-)(arctg-+-)兀2 4 2 5 200<x<1,0<y<1其它< 14xy3.26設(shè)二維隨機變數(shù)(己,n)的密度函數(shù)為 P(x,y)-j0求(1)p(0<：<1,1<n<1);(2)p&=n);(3)p&<n);(4)p值<n)。LI(1)p(0(1)p(0<匕<2,4<n<1)=P8二")=JJ4xydxdy=0;4xydxdy=4J2xdxJ1ydy=—;0 1 644解：⑶(4)x<yp(匕<n)=13.28設(shè)&,n)的密度函數(shù)為解：⑶(4)x<yp(匕<n)=13.28設(shè)&,n)的密度函數(shù)為p(x,y)=\20"x"1,0"y-2求自與"中至少有一個小于1的概率。其它 2p[&<1)u(n<1)]=1-p&>1,n>1)解：=1-Hp(x,y)dxdy=1-J1J12dxdy=§22 22一個電子器件包含兩個主要組件，分別以白和“表示這兩個組件的壽命（以小時計），設(shè)&,n）的分布函數(shù)為1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y) x>0,y>0F(x,y)=V 求兩個組件的壽命都超過120的概率。10 其匕P《>120H>120)=1-P[色<120)u(n<120)]=1-P《<120)-P(n<120)+P《<120H<120)解：=1-F(120+0,g)-F(g,120+0)+F(120+0,120+0)=1-(1-e-1.2)-(1-e-1.2)+(1-2e-1.2+e-2.4)=e-2.4氏0.09設(shè)P](x),p2(x)都是一維分布的密度函數(shù)，為使 p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的h（x，y）必需且只需滿足什么條件?解：若p（x,y）為二維分布的密度函數(shù)，則p（x,y）>0,JgJgp（x,y）dxdy=1-g-g所以條件(1)h(x,y)<p1(x)p2(y);(2)JgJgh(x,y)dxdy=0得到滿足。反之，若條件（1），（2）滿足，則p（x,y）>0,JgJgp（x,y）dxdy=1 p（x,y）為二維分布的密度函數(shù)。一g-g因此，為使p（x，y）成為二維分布的密度函數(shù)，h（x,y）必需且只需滿足條件（1）和（2）。設(shè)二維隨機變數(shù)值,n）具有下列密度函數(shù)，求邊際分布。2e-y+1x>1,y>1其它(2)p(x,y)=口e一>2Mx>°，y<0或x<0,y>00 其它x=yP&<n)=JJ4xydxdy=J1J14xydydx=J12(x-x2)dx=—;0x 0 2

1 ， 、 c/ 、 x勺-1(y-x)k2-ie-y0<x<yp(x,y)=｛「(k)r(k)101 2 其它解：「2e-y+1 2p(x)=』s dy=一,(x>1)自1x3 x3pjx)=0,(x<1)11 ， 、 c/ 、 x勺-1(y-x)k2-ie-y0<x<yp(x,y)=｛「(k)r(k)101 2 其它解：「2e-y+1 2p(x)=』s dy=一,(x>1)自1x3 x3pjx)=0,(x<1)1L-、 1 x2x>0時，p(x)=J0e2("dy=~^=e2

匕 -g兀 v2兀x<0時，1L-、 1 x2p(x)=Jge_2(x2+y2)dy=——e一2自 0兀1 1 _y2-所以，pjx)=^=e-2。同理，p/y)=^=e-2。

自 自 \.：2九xk,-1 . 1(3)p/x)=……、尸(y-x)k2Te-ydy= xk2-1exx,(x>0)g r(k)「(k)x r(k)1 2 1證明：若隨機變數(shù)占只取一個值a，則自與任意的隨機變數(shù)n獨立。P匕(x)=0,(x<0)證：己的分布函數(shù)為F(x)=10x<a ,1設(shè)n的分布函數(shù)、色,n)的聯(lián)合分布函數(shù)分別為f(y),f(x,y)。1x>a n當x<a時，F(xiàn)(x,y)=P(己<x,n<y)=0=Fg(x)F(y)。當x>a時，F(xiàn)(x,y)=P(己<x,n<y)=P(n<y)=Fg(x)F(y)。所以，對任意實數(shù)x,y，都有F(x,y)=Fg(x)F(y)，故g與n相互獨立。證明：若隨機變數(shù)自與自己獨立，則必有常數(shù)J使尸&=。)=10證：由于P(g<x)=P(g<x,g<x)=P(g<x)P(g<x)所以F(x)=[F(x)]2, F(x)=0或10由于F(-g)=0,F(+g)=1,F(x)非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)c|0使得F(x)=Lx<c/故P(g=c)=10x>c設(shè)二維隨機變量(g31)的密度函數(shù)為p(x,y)=〈7x2+y2<1其它問g與n是否獨立？是否不相關(guān)?1r2dy_2v1-解：pg(x)=J= 1-x2x2—,(lxl<1)；pg(x)=0,(lxl>1)02J1-y2同理，p(y)= 又因p(x,y),pg(x),pn(y)關(guān)于x或關(guān)于y都是偶函數(shù)，因而Eg=En=E&n)=0,故cov&r)=0,g與“不相關(guān)。

3.41設(shè)某類電子管的壽命(以小時計)具有如下分布密度:「3.41設(shè)某類電子管的壽命(以小時計)具有如下分布密度:「100X>100X<100一臺電子管收音機在開初使用的150小時中，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概率又是多少？(假設(shè)這三個管子的壽命分布是相互獨立的)解：設(shè)這類電子管的壽命為J則 P也>150)=^^^^dx=2150X2 3所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為(23)3=821；三個這類管子全部要替換的概率是(1—23)3=/27°對球的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間［a,b］內(nèi)，求球體積的密度函數(shù)。解：設(shè)球的直徑為J則其體積為n=1琉3°y=1-X3的反函數(shù)X=3：：6y/-,dx=2..\.;36-y2dy。由己的密度函6 6數(shù)pg數(shù)pg(x)=1(b—a),a<x<b，得n的密度函數(shù)為pn(y)=<(b一a)?3；136ky20-a3<y<-b3,6 6其它。22dt0設(shè)隨機變數(shù)占服從N(0,1)22dt0解：在X>0時，尸(|己|<X)=P(—X<己<X)=卜」一XV2—所以目的分布密度 P目(X)=<2/冗?e-x2/2,(x>0);p[&(x)=0,(x<0)0設(shè)隨機變數(shù)自服從N(a,。2)分布，求e自的分布密度。解：y=ex的反函數(shù)x=Iny,dx=1/y-dy。由自服從N(a,。2)分布，推得n=e自的分布密度為隨機變數(shù)匕在任一有限區(qū)間la,b］上的概率均大于0(例如正態(tài)分布等)，其分布函數(shù)為F(x)，又n服從h1］上自的均勻分布。證明C="T(n)的分布函數(shù)與乙的分布函數(shù)相同。解：因為匕在任一有限區(qū)間a,b］上的概率均大于0，所以F(X)是嚴格上升函數(shù)。由于h1］上的均勻分布，所以q的自分布函數(shù)F(X)=P《<X)=P(仁Mn)<X)=P(n<F(X)=F(X)，對任意的X都成立。所以q與乙的分布函數(shù)相同。設(shè)隨機變量自與n獨立，求自+n的分布密度。若(1)乙與n分布服從(a,b)及(a,p)上的均勻分布，且a<a<b<p；(2)乙與n分別服從(—a,0)及(0,a)上的均勻分布，a>00解(1)p自(x)=1/(baa),a<x<b;p自(x)=0,其它。pn(x)=1/(p—a)a<x<p;pn(y)=0，其它。&+n(X&+n(X)二尸p(Xay).p(y)dy

a8& njmin(x—a,P)man(x一b,a)1(baa)(P—a)dy=lmin(x—a,P)-max(